第十八章 平行四边形单元测试卷（标准难度 含答案）

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人教版初中数学八年级下册第十八章《平行四边形》单元测试卷（标准难度）（含答案解析）
考试范围：第十八章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在中，，，，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则平行四边形的周长为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或或
2. 在四边形中，，相交于点，能判定这个四边形是正方形的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，，
3. 顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是( )
A. 等腰梯形 B. 正方形 C. 平行四边形 D. 矩形
4. 如图，在矩形纸片中，为上一点，将沿翻折至若点恰好落在上，，，则( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，已知四边形是平行四边形，下列说法正确的是( )
A. 若，则 是菱形
B. 若，则 是正方形
C. 若，则 是矩形
D. 若，则 是正方形
6. 如图，已知点、、、分别是菱形各边的中点，则四边形是( )
A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形
7. 下列命题中，为真命题的是( )
对角线互相平分的四边形是平行四边形
对角线互相垂直的四边形是菱形
对角线相等的平行四边形是菱形
有一个角是直角的平行四边形是矩形
A. B. C. D.
8. 如图，四边形是正方形，对角线、相交于点，点是上除端点外的任意一点，过点作交于点，若，则四边形的面积为( )
A.
B.
C.
D. 不能确定
9. 如图，点、在矩形的对角线所在的直线上，，则四边形是( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
10. 如图，四边形是平行四边形，点为的中点，延长至点，使，连接、、，则在中，( )
A. B. C. D.
11. 如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，的长为，则( )
A.
B.
C.
D.
12. 四边形不具有稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变．如图，改变边长为的正方形的内角，变为菱形，若，则阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
13. 如图，，，分别是各边的中点，是边上的高，若，则的长为 ．
14. 如图，某小区要在一块矩形的空地上建造一个如图所示的四边形花园，点，，，分别为边，，，的中点，若，，则四边形的面积为 ．
如图，将两条宽度都为的纸条重叠在一起，使，则四边形的面积为 ．
16. 如图，在 中，按以下步骤作图：以为圆心，以适当长为半径画弧，分别交，于，两点；分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部交于点；连接并延长交于点若，，，则的周长等于 ．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
如图，点，是 的对角线上两点，且，求证：四边形为平行四边形．
18. 本小题分
如图，在中，，分别是，的中点，延长至点，使得，连接，，，．
求证：四边形是平行四边形
若，，，求的长．
19. 本小题分
如图，已知点，，，在同一条直线上，，，求证：
．
四边形是平行四边形．
20. 本小题分
如图，平行四边形中，，过点作交的延长线于点，点为的中点，连接．
求证：四边形是矩形；
若，且，求四边形的周长．
21. 本小题分
如图，在平行四边形中，连接，为线段的中点，延长与的延长线交于点，连接，．
求证：四边形是矩形；
若，，求四边形的面积．
22. 本小题分
如图，在菱形中，对角线，相交于点，是中点，连接过点作交的延长线于点，连接．
求证：≌；
四边形是矩形．
23. 本小题分
如图，在平行四边形中，、分别是，边上的点，且当时，求证：四边形是菱形．
24. 本小题分
如图，中，，于，分别将、沿、对折，得到、，延长、相交于点
求证：四边形是正方形；
若，，求的长．
25. 本小题分
如图，在正方形中，点，分别在，上，且．
试探索线段，的大小关系，写出你的结论并说明理由；
连接，，分别取，，，的中点，，，，顺次连接，得到四边形：
请在图中补全图形；
四边形是什么特殊平行四边形？请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
由勾股定理可求，分别以，为边，，为边，，为边三种情况讨论可求解．
【解答】
解：，，，
，
若以，为边，则平行四边形的周长，
若以，为边，则平行四边形的周长，
若以，为边，则平行四边形的周长，
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角，根据正方形的判定对各个选项进行分析从而确定最后答案．
【解答】
解：能，因为对角线相等且互相垂直平分；
B.不能，只能判定为等腰梯形；
C.不能，不能判定为特殊的四边形；
D.不能，只能判定为菱形；
故选A．
3.【答案】
【解析】解：如图：菱形中，、、、分别是、、、的中点，
，；，，
故四边形是平行四边形，
又，
，
四边形是矩形．
故选：．
先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形判断．
此题很简单，关键是要熟知菱形的性质，矩形的概念及三角形的中位线定理．
菱形的性质：菱形的对角线互相垂直；
矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形；
三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于底边且等于底边的一半．
4.【答案】
【解析】解：设，则，
沿翻折至，
，
在中，，
，
解得，
，
，
故选A．
设，则，在中，由勾股定理列方程即可解得答案．
本题考查矩形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练应用勾股定理．
5.【答案】
【解析】解：、错误，有一个角为的平行四边形是矩形
B、错误，对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
C、正确，对角线相等的平行四边形是矩形；
D、错误，一组邻边相等的平行四边形是菱形；
故选C．
根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．
此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．
6.【答案】
【解析】解：连接、交于．
四边形是菱形，
，
，，
，，
同法可得：，，
，，
四边形是平行四边形，
同法可证：，
，
，
，
四边形是矩形．
故选：．
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可证明；
本题考查菱形的性质、平行四边形的判定、矩形的判定等、三角形的中位线定理知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形及菱形的判定方法，难度不大．
利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】
解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，正确，为真命题，符合题意；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形，故原命题错误，为假命题，不符合题意；
有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，是真命题，符合题意，
真命题为，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，，，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
故选B．
由四边形是正方形，，可得≌，从而，可得，根据，可得，故．
本题考查正方形的性质，涉及全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握正方形性质及全等三角形判定，证明≌．
9.【答案】
【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
故本选项符合题意；
B.四边形是矩形，
，
，
四边形不是矩形，
故本选项不符合题意；
C.四边形是矩形，
不能证明，
不能证明，
故本选项不符合题意；
D.四边形是矩形，
，
，
四边形不是正方形，
故本选项不符合题意；
故选：．
根据对角线互相平分可判断；根据对角线不相等的平行四边形不是矩形可判断，；根据无法证明对角线互相垂直可判断．
本题主要考查了平行四边形的判定，矩形的性质和判定，菱形的判定，正方形的判定，熟练掌握平行四边形和特殊平行四边形的判定方法是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行四边形的性质等知识，属于中考常考题型．
连接设平行四边形的面积为由：：，，可得，，，由此即可解决问题．
【解答】
解：如图，连接．
设平行四边形的面积为．
：：，，，
，，，
：：：：：：，
故选：．
11.【答案】
【解析】解：四边形是菱形，
，，
，，
，，
，
故选：．
根据菱形的性质得出，，，求出，，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求出答案．
本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线性质等知识点，注意：菱形的对角线互相垂直且平分，菱形的面积等于对角线积的一半．
12.【答案】
【解析】解：设与交点为，则，
四边形为菱形，则，
，
，
，，
梯形面积为：
，
阴影部分的面积为：
．
故选D．
利用勾股定理求出，，再求梯形面积，最后求阴影部分的面积．
本题考查了菱形的性质，正方形的性质．掌握菱形的性质、梯形面积的应用是解决此题的关键．
13.【答案】
【解析】解：是的高，
，
，是边的中点，
，
、分别是边、的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
根据直角三角形的性质求出，根据三角形中位线定理计算，得到答案．
本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是矩形的判定与性质，能求出、的长和是解此题的关键．根据矩形的性质推出，得到四边形是矩形，推出，，同理得到，，推出，进而可得答案．
【解答】
解：连接、，
四边形是矩形，
，，，
、分别为边、的中点，
，
四边形是矩形，
，，
同理可得，，，
，
，
四边形的面积是．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了菱形的判定与性质，根据宽度相等，利用面积法求出边长相等是证明菱形的关键．先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再根据两张纸条的宽度相等，利用面积求出，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形；根据宽度是与求出菱形的边长，然后利用菱形的面积底高计算即可．
【解答】
解：纸条的对边平行，即，，
四边形是平行四边形，
两张纸条的宽度都是，
，
，
平行四边形是菱形，即四边形是菱形．
如图，过作，垂足为，
，
，
，
在中，，
即，
解得，
．
故答案为．
16.【答案】
【解析】解：由作图可知，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
，，
四边形的周长为，
故答案为：．
首先证明是等边三角形，求出，即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于常考题型．
17.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，且，
，
，
，
≌
，
，
，
，且
四边形为平行四边形．
【解析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键由平行四边形的性质可得，，由“”可证≌，即可得，，可证，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形为平行四边形．
18.【答案】证明：点，分别是，的中点，
是的中位线，
，，
，
，，
四边形是平行四边形；
解：由得：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，，
，
是直角三角形，，
点是的中点，
，
．
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理，勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，属于中考常考题型．
证是的中位线，得出，，证出，，即可得出结论；
由平行四边形的性质得出，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，，由直角三角形斜边上的中线性质得，即可得出答案．
19.【答案】证明：，
，
，
，
在和中，
，
≌，
．
证明：≌，
，，
，
，
又，
四边形是平行四边形．
【解析】利用证明≌，即可得；
结合可得，则，得，即可得出结论．
此题考查了全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定、平行线的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明≌是解题的关键．
20.【答案】解：四边形是平行四边形，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形．
，
，
点为的中点，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形的周长．
【解析】本题考查了矩形的判定，平行四边形的性质，勾股定理，正确识别图形是解题的关键．
根据平行四边形的性质得到，推出四边形是平行四边形，根据垂直的定义得到，于是得到结论；
根据直角三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据矩形的周长公式即可得到结论．
21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，
，
点是的中点，
，
在和中，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
．
四边形是矩形．
解：由得四边形是矩形，
，，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
即四边形的面积为．
【解析】由四边形是平行四边形，得，而点是的中点，可得≌，即知，从而四边形是平行四边形，又，即得四边形是矩形；
由，，，得的长，进而得到矩形的面积，再求出的面积，即可得四边形的面积．
本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理，证明．
22.【答案】证明：，
，
是中点，
，
在和中，
，
≌．
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形．
【解析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
根据两直线平行，内错角相等可得，根据线段中点的定义可得，然后利用“角边角”证明和全等；
根据全等三角形对应边相等可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直得出，即可得出结论．
23.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，，
在和中，
，
≌，
，
，
即，
又，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．
【解析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
证≌，得出，则，证出四边形是平行四边形，由，即可得出四边形是菱形．
24.【答案】解：证明：，
，
由折叠的性质可知，，，，，，
，
，
四边形是正方形．
由折叠的性质可得，，
设，则正方形的边长是，
则，，
在中，根据勾股定理可得，
解得或舍去．
．

【解析】见答案．
25.【答案】解：．
四边形是正方形，
，，
又，
≌．
．
画出图形如下图所示：
四边形是正方形．
理由如下：
，，，分别是，，，的中点，
，．
，
．
四边形是菱形．
≌，
．
，
．
．
又，，
．
四边形是正方形．
【解析】此题主要考查正方形的判定的方法与性质，及全等三角形的判定等知识点的综合运用．
根据已知利用判定≌，由全等三角形的判定方法可得到．
根据已知可得，，，都是中位线，由全等三角形的判定可得到四边形四边都相等且有一个角是直角，从而可得到该四边形是正方形．
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