辽宁省凌源市2022-2023学年高二下学期开学抽测数学试题（含解析）

凌源市2023年高中学生抽测试题
高二数学试卷
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：必修第二册（10%）和第三册 第四册，选择性必修一，选择性必修二第四章随机变量的数字特征结束.
一 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.直线的一个方向向量的坐标为（ ）
A. B. C. D.
2.若为虚数单位），则（ ）
A.4 B.2 C. D.
3.已知平面向量，若，则（ ）
A. B. C.2 D.
4.若随机变量的分布列如表所示，则当时，实数的取值范围是（ ）
0 1 2
A. B. C. D.
5.已知函数的最小正周期为，将函数的图象向左平移个单位长度，得到图象，则（ ）
A. B.
C. D.
6.已知椭圆的两焦点为，椭圆上一点到的距离为为的中点，则为坐标原点的长为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
7.从中任取2个不同的数，事件：“取到的2个数之和为奇数”，事件“取到的2个数之和为3的倍数”，则等于（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数是定义域为的偶函数且为奇函数，当时，a.若，则（ ）
A.2 B.0 C. D.
二 多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9.现有男女学生共8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中男生有人（ ）
A.3人 B.4人 C.5人 D.6人
10.如图是甲 乙二人参加某知识竞赛的成绩得分情况，则下列说法正确的是（ ）
A.甲的成绩明显提高 B.乙的成绩无明显提高
C.甲 乙二人五次测试的平均成绩相同 D.甲的成绩比乙的成绩稳定
11.下列结论正确的是（ ）
A.两个不同的平面的法向量分别是，则
B.直线的方向向量，平面的法向量，则
C.若，则点在平面内
D.若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底
12.已知抛物线的焦点到准线的距离为2，若点在抛物线上，且点到的距离为在圆上，则（ ）
A.的最小值为 B.的最大值为
C. D.
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.的展开式中的常数项为__________.（用数字作答）
14.已知向量满足，则与的夹角为__________.
15.设双曲线的左 右焦点分别为是上一点，且.若的面积为8，则离心率__________.
16.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知圆过平面内三点.
（1）求圆的标准方程；
（2）若点也在圆上，且弦长为，求直线的方程.
18.（12分）
在中，角所对的边分别为，已知.
（1）求的值；
（2）若，求.
19.（12分）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，点在线段上，.
（1）证明：平面；
（2）当平面平面时，求二面角的余弦值.
20.（12分）
假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司对该地区n名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的a，b，c，d满足，且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400.
（1）求样本容量是多少？第六小组的频数是多少？
（2）求a，b，c，d的值；
（3）现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
（i）求在各组应该抽取的人数；
（ii）在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望.
21.（12分）
双曲线的左 右焦点分别为 ，点，在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）直线过点且与双曲线交于A 两点，且的中点的横坐标为，求直线的方程.
22.（12分）
已知椭圆，点P为E上的一动点，分别是椭圆E的左 右焦点，的周长是12，椭圆E上的点到焦点的最短距离是2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的动直线l与椭圆交于P，Q两点，求面积的最大值及此时l的方程.
凌源市2023年高中学生抽测试题·高二数学
参考答案 提示及评分细则
1.C
2.B .
3.A .
4.A 由分布列知：当时，，即的取值范围为.
5.B 由题知，向左平移个单位长度，得到
6.B 分别为的中点，.
7.B 从中任取2个不同的数，记事件为“取到的2个数之和为奇数”，事件为“取到的2个数之和为3的倍数”，则，则.
8.A 为奇函数，，又为偶函数，，，即，由，易得，解得，当时，.
9.CD 设女生有人，则男生有人，由题意得：，即，解得或，故男生有5或6人.
10.ABC
11.ACD
12.AC ，圆心，圆半径为1，所以的最小值为.
13. 展开式中的常数项为的展开式中的系数为的展开式中的常数项为.
14. 因为，所以，所以，所以，又因为，所以.
15. 由题意，，设，可得的面积为，即，即，解得离心率.
16. 当三棱锥的体积最大时，平面与底面垂直，计算得，同理三棱锥的外接球的球心为中点，半径为1，外接球的表面积为.
17.解：（1）设圆的方程为，
解得
即，故圆的标准方程为.
（2）圆心到直线的距离，
当直线斜率不存在时，方程为：，不符合题意
当直线斜率存在时，设直线方程为：，
直线方程为或
18.解：（1）由正弦定理可得，，
则，
即，
则，
.
（2）由（1）知，.
由余弦定理，即，解得，
.
19.（1）证明：在线段上取一点，满足，
又因为，所以，故，
因为，所以，
因为，所以，
所以四边形为平行四边形，所以，
又因为平面平面，所以平面.
（2）解：取的中点，连结，依题意得，则.
如图，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴的正方向建立空间直角坐
标系，得
，
设是平面的一个法向量，
则得令，解得，
同样可求得平面的一个法向量为，
所以，
又平面与平面所成角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
20.解：（1）根据频率分布直方图可知，第五小组的频率为，又因为第五小组的频数为2400，
所以样本容量.
同理，第六小组的频率为，
以第六小组的频数是.
（2）由频率之和为1，得，所以.
因为频率分布直方图中的满足，
所以.
所以代入中，得，得，解得.
所以.
（3）（i）因为前4组的频率之比为，
且现从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查，
所以在应该抽取的人数分别是
.
（ii）由题意，随机变量的所有可能取值是.
则.
故随机变量的分布列为
0 1 2 3
故随机变量的数学期望为.
21.（1）由题意有，解得，
因此，双曲线的标准方程为；
（2）设直线的方程为，联立方程消去整理为，得，
故直线的方程为.
22.（1）由题意得，解得：，
椭圆的方程是：.
（2）设，
联立消去得：
令，则，，
，易知在单调递增，
所以当，此时：.