宜宾市叙州区第二中学校2022-2023学年高二下学期开学考试数学（理）试卷（含解析）

宜宾市叙州区第二中学校2022-2023学年高二下学期开学考试数学（理）试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知某单位有职工120人，其中男职工有90人，现采用分层抽样（按男、女分层）抽取一个样本，若已知样本中有9名女职工，则样本的容量为( )
A.44 B.40 C.36 D.没法确定
2、已知命题，，则为( )
A.， B.，
C.， D.，
3、准线方程为的抛物线的标准方程为( )
A. B. C. D.
4、已知变量x，y满足约束条件，则的最大值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
5、辗转相除法又叫欧几里得算法，其算法的程序框图如图所示.执行该程序框图，若输入的，，则输出的m的值为( )
A.2 B.6 C.12 D.24
6、直线被圆所截得的弦长为( )
A. B.4 C. D.
7、甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是( )
A. B. C. D.
8、已知，是椭的两个焦点，过点且斜率为k的直线l与E交于M，N两点，则的周长为( )
A.8 B. C. D.与k有关
9、已知圆，圆，则圆与圆的位置关系为( )
A.相离 B.相交 C.外切 D.内切
10、已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
11、已知，若点P是抛物线上任意一点，点Q是圆上任意一点，则的最小值为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
12、已知双曲线C与双曲线有相同的焦点，且其中一条渐近线方程为，则双曲线C的标准方程是( )
A. B. C. D.
二、填空题
13、若不等式与关于x不等式的解集相同，则_____.
14、空间四点A，B，C，D满足，，，，则_______.
15、已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为______.
16、已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，M为上的三等分点，且满足，若，则该椭圆的离心率e的取值范围是______.
三、解答题
17、已知命题p：曲线与x轴相交于不同的两点；命题q：椭圆的焦点在y轴上.
（1）判断命题p的否定的真假；
（2）若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求实数m的取值范围.
18、某校从高一新生开学摸底测试成绩中随机抽取人的成绩，按成绩分组并得各组频数如下（单位：分）：，4；，6；，20；，30；，24；，16.
成绩分组 频数 频率 频率/组距
合计
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计本次考试成绩的中位数（精确到0.1）.
19、如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为菱形，E为棱PD的中点，O为边AB的中点.
（1）求证：平面POC；
（2）若侧面底面ABCD，且，；
①求PD与平面POC所成的角；
②在棱PD上是否存在点F，使点F到直线OD的距离为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
20、甲乙两地相距100km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：圆）由可变本和固定组成组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元.
（1）将全程匀速匀速成本y（元）表示为速度v（km/h）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）若，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
21、已知抛物线过点.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设F为抛物线C的焦点，直线与抛物线C交于A，B两点，求的面积.
22、已知椭圆，离心率为，，分别为椭圆C的左、右顶点，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）当直线m过椭圆C的左焦点以及上顶点P时，直线m与椭圆C交于另一点Q，求此时的弦长.
（3）设直线l过点，且与x轴垂直，M，N为直线l上关于x轴对称的两点，直线与椭圆C相交于异于的点D，直线与x轴的交点为E，当与的面积之差取得最大值时，求直线的方程.
参考答案
1、答案：C
解析：设样本容量为n，
则由题意得，
解得，
故选：C.
2、答案：D
解析：命题p的否定为：，.
故选：D.
3、答案：B
解析：由于抛物线的准线方程是，
所以抛物线的开口向左，设抛物线的方程为，
则，，所以抛物线的标准方程为.
故选：B.
4、答案：C
解析：画出可行域如图所示，
由图可知，当直线经过A时，取得最大值，
由，可得，即，
所以的最大值为.
故选：C.
5、答案：C
解析：由程序框图知：输出的m为132和108的最大公约数，
当时，并不是132和108的公约数，故舍去.
当时，是132和108的公约数，
故132和108的最大公约数为12.
故选：C.
6、答案：A
解析：由已知，圆，圆心坐标为，半径为3，
所以点到直线的距离为，
所以，直线被圆截得的弦长为.
故选：A.
7、答案：C
解析：甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，
记事件A：两人下成和棋，事件B：乙获胜，事件C：甲获胜，
则事件A和事件B为互斥事件，且事件C与事件互为对立事件，
所以，甲获胜的概率为.
故选：C.
8、答案：C
解析：由椭圆，则，即，
又椭圆的定义可得，，且，
所以的周长为.
故选：C.
9、答案：C
解析：圆的圆心坐标是，半径，圆的圆心坐标是，半径，
，所以圆心距，所以两圆相外切.
故选：C.
10、答案：B
解析：如图，取AD中点F，连接EF，CF，因为E是AB中点，则，或其补角就是异面直线CE，BD所成的角，设正四面体棱长为1，则，，.故选B.
11、答案：B
解析：抛物线的焦点，准线方程为，
圆的圆心为，半径为1，
，，
由抛物线定义知：点P到直线的距离，
的最小值即A到准线距离：，
的最小值为，
故选B.
12、答案：D
解析：已知双曲线的半焦距为，A中，B中，C中，D中，只有D的焦点与已知双曲线相同，D中双曲线的渐近线方程也为，满足题意.
故选：D.
13、答案：
解析：由有，，由于绝对值不等式的解集和的解集相同，故，，是一元二次方程的两个根，由韦达定理得，两式相除得.
14、答案：0.
解析：因为
.
故答案为0.
15、答案：
解析：设圆锥底面圆半径为R，球的半径为r，
由题意知，圆锥的轴截面是边长为2R的等边三角形，球的大圆是该该等边三角形的内切圆，
所以，，
，
所以球与圆锥的表面积之比为.
故答案为：.
16、答案：
解析：设，，
则，，
，，
，，，
，，
，又，
，
，
P存在，存在，
，显然恒成立，
又，在上有解，
令，对称轴，
且P不在x上，
，，
解得，即
故答案为：.
17、答案：（1）为假
（2）.
解析：（1）由可得显然成立，故命题p为真，为假；
（2）由已知得，q为真时，，所以q为假时，或
因为“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，由（1）知p为真，所以p真q假，
所以.
18、答案：（1）见解析
（2）见解析
（3）76.7
解析：（1）由题意列出频率分布表如下：
成绩分组 频数 频率 频率/组距
4 0.04 0.004
6 0.06 0.006
20 0.2 0.022
30 0.3 0.03
24 0.24 0.024
16 0.16 0.016
合计 100 1 0.1
（2）画出频率分布直方图，如下：
（3）由频率分布直方图得：的频率为，的频率为0.3，
估计本次考试成绩的中位数为.
19、答案：（1）证明见解析
（2）①；②存在点F，
解析：（1）取线段PC的中点M，连接OM，EM，在中，E，M分别为PD，PC的中点.
，且，
又底面ABCD是菱形，且O为AB的中点，
，且，
，且，
四边形AOME为平行四边形，
，
又平面POC，平面，
平面POC；
（2）①在平面PAB内过点O作，由平面底面ABCD得平面ABCD，
菱形ABCD中，则，
以O为原点，分别以OB，OC，Oz所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，是正三角形，则，，，
，，，
设平面POC的一个法向量为，
则，取，得，，所以，
设直线PD与平面POC所成的平面角为，且，
则，，
故直线PD与平面POC所成的角为；
②设，，
，
，，
，
，
即，
化简得，故（舍负），
综上，存在点F，.
20、答案：（1），定义域为
（2）当货车以60km/h的速度行驶，全程运输成本最小.
解析：（1）可变成本为，固定成本为a元，所用时间为，
所以，即，定义域为.
（2），当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，，
答：当货车以60km/h的速度行驶，全程运输成本最小.
21、答案：（1）
（2）12
解析：（1）因为抛物线：过点，
所以，解得，所以抛物线C的方程为.
（2）由抛物线的方程可知，直线与x轴交于点，
联立直线与抛物线方程，消去x可得，
所以，，所以，
所以的面积为12.
22、答案：（1）
（2）
（3）或
解析：（1）由椭圆的离心率为，所以，①
又，②
设过左焦点且垂直于x轴的直线为：，
代入中，结合②化简得：
，
所以过左焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为：
，③
联立①②③解得：，，
所以椭圆C的标准方程为：.
（2）由（1）知，，
所以直线m的方程为：
，即
，代入中消去y得：
，解得：或，
当时，为P点，
当时，，
所以，
所以.
（3）由（1）知，，如图所示：
连接ME，，
因为直线l过点，且与x轴垂直，
所以直线l方程为：，
由题意得直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为：，
联立得：
点，又M，N为直线l上关于x轴对称的两点，
所以，
联立，消去x整理得：
，解得：
或，由点D异于点，
所以将代入中得：
，即
所以直线DN的方程为：
，
令，，
所以，
由图可知：与的面积之差为：
，
因为
，
当且仅当时取等号，
所以当与的面积之差取得最大值时，
直线的方程为：，
即：或.