2022年春安徽省各地沪科版数学八年级下册期末试题选编第17章 一元二次方程 练习题 （含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年春安徽省各地沪科版数学八年级下册期末试题选编第17章 一元二次方程 练习题 （含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 539.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-04 20:34:44 | ||
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文档简介
第17章 一元二次方程 练习题
一、单选题
1．（2022春·安徽合肥·八年级统考期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022春·安徽六安·八年级统考期末）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．5，-1 B．5，4 C．5， -4 D．5 ，0
3．（2022春·安徽滁州·八年级校考期末）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
4．（2022春·安徽池州·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
5．（2022春·安徽阜阳·八年级期末）用配方法解方程时，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022春·安徽安庆·八年级统考期末）方程的解为，，若方程，它的解是（ ）．
A． B． C． D．
7．（2022春·安徽阜阳·八年级期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
8．（2022春·安徽宣城·八年级统考期末）下列一元二次方程，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·安徽亳州·八年级校考期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
10．（2022春·安徽六安·八年级统考期末）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．-x2+x +3=0 B．x2-x=2 C．x2-x+1 =0 D．x2 +x-3=0
11．（2022春·安徽合肥·八年级统考期末）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
12．（2022春·安徽池州·八年级统考期末）关于x的方程是一元二次方程，则______．
13．（2022春·安徽安庆·八年级统考期末）关于x的方程的一个根是，则m的值为___________．
14．（2022春·安徽合肥·八年级统考期末）方程的根是_________．
15．（2022秋·安徽芜湖·八年级统考期末）观察下列方程：①x+=3；②x+=5；③x+=7，可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+=2n+4(n为正整数)的解x= ________________．
16．（2022春·安徽安庆·八年级统考期末）若方程有两个相等的根，则方程的根分别是_________．
17．（2022春·安徽阜阳·八年级期末）若一元二次方程无实数根，则的取值范围是_______．
18．（2022春·安徽宣城·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____．
19．（2022春·安徽合肥·八年级统考期末）若m，n是一元二次方程的两个实根，则的值是______．
三、解答题
20．（2022春·安徽亳州·八年级校考期末）解下列方程：
(1)（配方法）
(2)
21．（2022春·安徽六安·八年级统考期末）解方程：
(1)；
(2)x(x +2) =3x +6．
22．（2022春·安徽滁州·八年级校考期末）（1）解方程：
（2）
23．（2022春·安徽池州·八年级统考期末）解方程：（x﹣1）（x+2）=6．
24．（2022春·安徽滁州·八年级统考期末）已知关于x的方程．
(1)小明同学说：“无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根．”你认为他说的有道理吗？请说明理由．
(2)若方程的一个根是－2，求另一个根及m的值．
25．（2022春·安徽安庆·八年级统考期末）已知关于x的方程．
(1)试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若k＝8，请解此方程．
26．（2022春·安徽安庆·八年级统考期末）已知关于x的方程．
(1)求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两根分别为，且分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．
27．（2022春·安徽滁州·八年级校考期末）已知关于x的方程．
(1)若方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)若两实数根，满足，求m的值．
28．（2022春·安徽亳州·八年级校考期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是1，求方程另一个根．
29．（2022春·安徽蚌埠·八年级统考期末）如图，某中学课外兴题小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m的篱笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为 28 m．
(1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
(2)能否围成500平方米的矩形花园 若能求出 BC长；若不能，说明理由．
30．（2022春·安徽滁州·八年级统考期末）某工厂引进一条新生产线生产一种防疫产品，开工第一天生产200万个，第三天生产242万个．
(1)求前三天生产量的日平均增长率；
(2)经调查：1条生产线最大产量是300万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线最大产量将减少20万个/天．现该厂要保证每天生产该种防疫产品1100万个，在增加产量同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
31．（2022春·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在中，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点同时出发，沿边以的速度向点移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，，两点的距离是？
32．（2022春·安徽安庆·八年级统考期末）随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，安徽电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆．
(1)求前三季度销售量的平均增长率．
(2)某厂家目前只有1条生产线，经调查发现，1条生产线最大产能是6000辆/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少200辆/季度．
①现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A．是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．含有两个未知数，故本选项不合题意；
C．不是整式方程，故本选项不合题意；
D．方程整理得x＝1，是一元一次方程，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的识别，掌握一元二次方程的定义是解题的关键.
2．C
【分析】根据一元二次方程定义直接求解即可．
【详解】解：将一元二次方程化为一般式，
二次项系数为，一次项系数为，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程定义各个描述是解决问题的关键．
3．B
【分析】把代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可．
【详解】解：把代入一元二次方程得，
，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．C
【分析】把x=-1代入方程x2-2x+m=0得1+2+m=0，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：根据题意，将x=-1代入x2-2x+m=0，得：1+2+m=0，
解得m=-3，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．B
【分析】根据完全平方公式，结合等式的性质，进行配方即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的求解步骤是解题的关键．
6．D
【分析】利用换元法解一元二次方程即可得．
【详解】解：令，
则方程可变形为，
∵方程的解为，，
∴方程的解为，
即，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．
7．A
【分析】先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．
【详解】解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，
∴，
∴方程有两个不相等实数根．
故选A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．
8．C
【分析】分别计算各选项方程的根的判别式Δ=b2-4ac，然后根据计算的结果分别判断根的情况．
【详解】解：A．Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，方程有两个不相等，故A错误；
B．Δ=b2-4ac=42-4×1×(-1)=20>0，方程有两个不相等，故B错误；
C．Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×3=-8<0，，方程没有实数根，故C正确；
D．Δ=b2-4ac=(-5)2-4×3×2=1>0，方程有两个不相等，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ=b2-4ac．解题的关键是掌握当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
9．B
【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：由题可得：，
解得：且，
故选：B．
【点睛】本题考查了考查了一元二次方程的定义与一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
10．C
【分析】先分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
【详解】解：A、Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）×3＝13＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意；
B、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意；
C、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，则方程没有实数根，所以该选项符合题意；
D、Δ＝12﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
11．C
【分析】每半年平均每周作业时长的下降率为，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为，
去年上半年平均每周作业时长为分钟，
去年下半年平均每周作业时长为分钟，
今年上半年平均每周作业时长为分钟，
现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．
12．-3
【分析】根据一元二次方程的定义，令二次项次数为2，二次项系数不等于0，解答即可．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴a -7＝2且a-3≠0，
∴a＝±3且a≠3，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
13．2
【分析】把代入，即可求解．
【详解】解：∵x的方程的一个根是，
∴，
解得：．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
14．
【分析】先移项，再利用直接开平方的方法解方程即可．
【详解】解：∵，即
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“直接开平方的方法解一元二次方程”是解本题的关键．
15．n+3或n+4
【分析】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解，根据方程的解发现规律即可求解.
【详解】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解：
①x+= x+=1+2，在等式两边同时乘以x，
移项得x2- 3x+2=0，即(x- 2)(x- 3)=0，故解得x = 1或x=2；
②x+= x+=2+3，同理解得x = 2或x =3；
③x+= x+=3+4，同理解得x =3或x =4；
以此类推，第n个方程为：x+= x+，
且解为：x =n或x =n+1；
将方程x+=2n+4两边同时减3，得（x-3）+=2n+1，
根据规律得：x-3 =n或x -3=n+1，即x =n+3或x =n+4.
故答案为：n+3或n+4.
【点睛】此题考查数字的规律，分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解发现规律是解答此题的关键.
16．，##，
【分析】根据根的判别式求得a＝﹣3，b＝0，把a＝﹣3，b＝0代入x2+ax+b＝0得：x2﹣3x＝0，解得x1＝0，x2＝3即可．
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣（a﹣3）x﹣3a﹣b2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣3a﹣b2）＝＝（a+3）2+4b2＝0，
∴a＝﹣3，b＝0，
把a＝﹣3，b＝0代入x2+ax+b＝0
得：x2﹣3x＝0，
解得：x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，利用方程有两个相等的根求出a，b的值是解题的关键．
17．
【分析】根据判别式的意义得到△＜0，然后解不等式即可．
【详解】解：一元二次方程x -4x+k=0无实数根，
∴(―4)2-4k<0，
解得k>4，
故答案为：k>4．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△>0时方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时方程有两个相等的实数根；（3）△<0时方程没有实数根．
18．且m≠0
【分析】由二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2-4x+2=0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且m≠0
故答案为：且m≠0．
【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与有如下关系：
①当时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当时，方程有两个相等的两个实数根；
③当时，方程无实数根．
19．－1
【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，m＋n＝－2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实根，
∴，m＋n＝－2，
∴，
∴，
故答案为：－1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若，是一元二次方程（a≠0）的两根时，，．
20．(1)，；
(2)，．
【分析】（1）先移项，然后配方，再开平方，求出方程的解即可；
（2）先移项，然后分解因式，最后求出方程的解即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
配方得：，即，
开平方得：，
∴，．
（2）解：，
移项得：，即
分解因式得：，
∴或，
解得，．
【点睛】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练进行配方和因式分解，是解题的关键．
21．(1)，
(2)，
【分析】（1）将常数项移到右边，两边同时加上4，配成完全平方式，用直接开平方法求解即可；
（2）两边整理后，用因式分解法求解即可．
（1）
解：
∴
解得：，
（2）
解：
∴或
解得：，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，一般解一元二次方程的方法有：配方法、公式法和因式分解法．
22．（1）；（2）
【分析】（1）先求解再利用公式法解方程即可；
（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可．
【详解】解（1），
则
（2），
去分母得：
整理得：
解得：
经检验：是原方程的解．
【点睛】本题考查的是利用公式法解一元二次方程，分式方程的解法，掌握以上两种方程的解法步骤是解本题的关键．
23．x1= ，x2=
【详解】试题分析：把方程化为一般形式后利用公式法解方程即可.
试题解析：
x2+x﹣8=0，
a=1，b=1，c=﹣8，
△=b2﹣4ac=1+32=33＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x==
∴x1= ，x2=.
24．(1)有道理，理由见解析
(2)另一个根为2，
【分析】（1）根据Δ=b2-4ac＞0，即可得证；
（2）将x=-2代入方程，求出m的值，再将m=-5代入方程，解方程即可确定方程的另一个根．
【详解】（1）解：有道理，理由如下：
∵
∴无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将代入方程得
解得
∴原方程为
∴
∴另一个根为2，．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由可得结论；
（2）将k=8代入方程得，利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=8时，原方程为：，
∴（3x+2）（x+2）=0，
∴．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
26．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据方程的根的判别式，得出△，即可证出方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，列出关于的方程，解方程并检验即可得答案．
【详解】（1）证明：△，
△，
总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两根分别为，
∴，
由题意知：
∴
∴或．
∵
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是掌握：（1）牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系得出．
27．(1)m＞0
(2)
【分析】（1）由方程求出判别式即可．
（2）由一元二次方程根与系数的关系，用含m代数式表示两根之和及两根之积，进而求解．
（1）
解： ，
∵方程总有两个不相等的实数根，
∴8m＞0，
∴m＞0．
（2）
解：由，
∵，，
∴原式，
整理得，
解得或，
∵m＞0，
故m的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和．
28．(1)见解析
(2)-5
【分析】(1)只需证明根的判别式△＞0即可．
(2)设另一个根为，利用根与系数关系定理，×1= -5，计算即可．
【详解】（1）∵中，a=1，b=a，c=-5，
∴△=＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）设另一个根为，
∵，
∴×1= -5，
解得= -5，
故方程另一个根为-5．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系定理，熟练掌握并灵活应用两个定理是解题的关键．
29．(1)当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米
(2)不能围成500平方米的矩形花园，理由见解析
【分析】（1）根据可以砌60m长的墙的材料，即总长度是60m，BC=xm，则AB=（60-x+2）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
（2）利用根的判别式进行判断即可．
【详解】（1）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得：
（60﹣x+2）x＝300，
x2﹣62x+600＝0，
解这个方程得：x1＝12，x2＝50，
∵28＜50，
∴x2＝50（不合题意，舍去），
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得：
（60﹣x+2）x＝500，
x2﹣62x+1000＝0，
△＝622﹣4000＝﹣156＜0，
则该方程无解，即不能围成500平方米的矩形花园．
答：不能围成500平方米的矩形花园．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙EF最长可利用28m，舍掉不符合题意的数据．
30．(1)10%
(2)4条
【分析】（1）设前三天生产量的日平均增长率为x，则，解出方程即可。
（2）设需增加a条生产线，根据题意得，解出方程，根据在增加产量同时又要节省投入的条件下，作出判断即可。
（1）
解：设：前三天生产量的日平均增长率为x，则
解得，（不合题意，含去）
∴前三天生产量的日平均增长率为10%．
（2）
解：设：需增加a条生产线，根据题意得
整理得
解得，，
∵增加产量同时又要节省投入，
∴，
∴应该增加4条生产线．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题目意思列出一元二次方程是解答本题的关键。
31．秒或秒
【分析】设经过秒后，，两点的距离是，利用勾股定理列出方程并解答即可．
【详解】解：设经过秒后，，两点的距离是，
根据题意，得，
整理，得，
解得，．
当时，，符合题意，
答：秒或秒后，，两点间的距离等于．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，根据路程速度时间，表示线段的长度，将问题转化到三角形中，利用勾股定理或者面积关系建立等量关系，是解应用题常用的方法．
32．(1)
(2)①4条；②不能，理由见解析
【分析】（1）设前三季度销售量的平均增长率为，根据在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆建立一元二次方程，解方程即可得；
（2）①设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，根据现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆建立方程，解方程即可得；
②设再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，根据每季度生产电动汽车达到6万辆建立方程，利用一元二次方程根的判别式进行分析即可得．
（1）
解：设前三季度销售量的平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
答：前三季度销售量的平均增长率为．
（2）
解：①设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，
由题意得：，
整理得：，
解得或，
在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，
，
答：应该再增加4条生产线；
②设再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，
由题意得：，
整理得：，
此方程根的判别式为，
所以此方程没有实数根，
答：不能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，正确建立方程是解题关键．
一、单选题
1．（2022春·安徽合肥·八年级统考期末）下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（2022春·安徽六安·八年级统考期末）一元二次方程化为一般形式后，二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．5，-1 B．5，4 C．5， -4 D．5 ，0
3．（2022春·安徽滁州·八年级校考期末）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
4．（2022春·安徽池州·八年级统考期末）若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-3 D．3
5．（2022春·安徽阜阳·八年级期末）用配方法解方程时，结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022春·安徽安庆·八年级统考期末）方程的解为，，若方程，它的解是（ ）．
A． B． C． D．
7．（2022春·安徽阜阳·八年级期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
8．（2022春·安徽宣城·八年级统考期末）下列一元二次方程，没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022春·安徽亳州·八年级校考期末）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．且 C．且 D．
10．（2022春·安徽六安·八年级统考期末）下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A．-x2+x +3=0 B．x2-x=2 C．x2-x+1 =0 D．x2 +x-3=0
11．（2022春·安徽合肥·八年级统考期末）在“双减政策”的推动下，某校学生课后作业时长有了明显的减少．去年上半年平均每周作业时长为a分钟，经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了70%，设每半年平均每周作业时长的下降率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
12．（2022春·安徽池州·八年级统考期末）关于x的方程是一元二次方程，则______．
13．（2022春·安徽安庆·八年级统考期末）关于x的方程的一个根是，则m的值为___________．
14．（2022春·安徽合肥·八年级统考期末）方程的根是_________．
15．（2022秋·安徽芜湖·八年级统考期末）观察下列方程：①x+=3；②x+=5；③x+=7，可以发现它们的解分别是①x=1或2；②x=2或3；③x=3或4．利用上述材料所反映出来的规律，可知关于x的方程x+=2n+4(n为正整数)的解x= ________________．
16．（2022春·安徽安庆·八年级统考期末）若方程有两个相等的根，则方程的根分别是_________．
17．（2022春·安徽阜阳·八年级期末）若一元二次方程无实数根，则的取值范围是_______．
18．（2022春·安徽宣城·八年级统考期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____．
19．（2022春·安徽合肥·八年级统考期末）若m，n是一元二次方程的两个实根，则的值是______．
三、解答题
20．（2022春·安徽亳州·八年级校考期末）解下列方程：
(1)（配方法）
(2)
21．（2022春·安徽六安·八年级统考期末）解方程：
(1)；
(2)x(x +2) =3x +6．
22．（2022春·安徽滁州·八年级校考期末）（1）解方程：
（2）
23．（2022春·安徽池州·八年级统考期末）解方程：（x﹣1）（x+2）=6．
24．（2022春·安徽滁州·八年级统考期末）已知关于x的方程．
(1)小明同学说：“无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根．”你认为他说的有道理吗？请说明理由．
(2)若方程的一个根是－2，求另一个根及m的值．
25．（2022春·安徽安庆·八年级统考期末）已知关于x的方程．
(1)试说明无论k取何值时，方程总有两个不相等的实数根；
(2)若k＝8，请解此方程．
26．（2022春·安徽安庆·八年级统考期末）已知关于x的方程．
(1)求证：无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根；
(2)设方程的两根分别为，且分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为6，求m的值．
27．（2022春·安徽滁州·八年级校考期末）已知关于x的方程．
(1)若方程总有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
(2)若两实数根，满足，求m的值．
28．（2022春·安徽亳州·八年级校考期末）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)若方程有一个根是1，求方程另一个根．
29．（2022春·安徽蚌埠·八年级统考期末）如图，某中学课外兴题小组准备围建一个矩形花园 ABCD，其中一边靠墙，另外三边用总长为60 m的篱笆围成，与墙平行的一边 BC上要预留2 m宽的入口（如图中MN所示，不用篱笆），已知墙长为 28 m．
(1)当矩形的长BC为多少米时，矩形花园的面积为300平方米；
(2)能否围成500平方米的矩形花园 若能求出 BC长；若不能，说明理由．
30．（2022春·安徽滁州·八年级统考期末）某工厂引进一条新生产线生产一种防疫产品，开工第一天生产200万个，第三天生产242万个．
(1)求前三天生产量的日平均增长率；
(2)经调查：1条生产线最大产量是300万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线最大产量将减少20万个/天．现该厂要保证每天生产该种防疫产品1100万个，在增加产量同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？
31．（2022春·安徽合肥·八年级统考期末）如图，在中，，．点从点出发，沿边以的速度向点移动；点从点同时出发，沿边以的速度向点移动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．问经过几秒后，，两点的距离是？
32．（2022春·安徽安庆·八年级统考期末）随着电池技术的突破，电动汽车已呈替代燃油汽车的趋势，安徽电动汽车在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆．
(1)求前三季度销售量的平均增长率．
(2)某厂家目前只有1条生产线，经调查发现，1条生产线最大产能是6000辆/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少200辆/季度．
①现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？
②是否能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆，若能，应该再增加几条生产线？若不能，请说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A．是一元二次方程，故本选项符合题意；
B．含有两个未知数，故本选项不合题意；
C．不是整式方程，故本选项不合题意；
D．方程整理得x＝1，是一元一次方程，故本选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的识别，掌握一元二次方程的定义是解题的关键.
2．C
【分析】根据一元二次方程定义直接求解即可．
【详解】解：将一元二次方程化为一般式，
二次项系数为，一次项系数为，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程定义各个描述是解决问题的关键．
3．B
【分析】把代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可．
【详解】解：把代入一元二次方程得，
，
，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
4．C
【分析】把x=-1代入方程x2-2x+m=0得1+2+m=0，然后解关于m的方程即可．
【详解】解：根据题意，将x=-1代入x2-2x+m=0，得：1+2+m=0，
解得m=-3，
故选C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
5．B
【分析】根据完全平方公式，结合等式的性质，进行配方即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的求解步骤是解题的关键．
6．D
【分析】利用换元法解一元二次方程即可得．
【详解】解：令，
则方程可变形为，
∵方程的解为，，
∴方程的解为，
即，
解得，
故选：D．
【点睛】本题考查了利用换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题关键．
7．A
【分析】先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．
【详解】解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，
∴，
∴方程有两个不相等实数根．
故选A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．
8．C
【分析】分别计算各选项方程的根的判别式Δ=b2-4ac，然后根据计算的结果分别判断根的情况．
【详解】解：A．Δ=b2-4ac=(-2)2-4×1×0=4>0，方程有两个不相等，故A错误；
B．Δ=b2-4ac=42-4×1×(-1)=20>0，方程有两个不相等，故B错误；
C．Δ=b2-4ac=(-4)2-4×2×3=-8<0，，方程没有实数根，故C正确；
D．Δ=b2-4ac=(-5)2-4×3×2=1>0，方程有两个不相等，故D错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式Δ=b2-4ac．解题的关键是掌握当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．
9．B
【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围．
【详解】解：由题可得：，
解得：且，
故选：B．
【点睛】本题考查了考查了一元二次方程的定义与一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
10．C
【分析】先分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义进行判断．
【详解】解：A、Δ＝（﹣1）2﹣4×（﹣1）×3＝13＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意；
B、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意；
C、Δ＝（﹣1）2﹣4×1×1＝﹣3＜0，则方程没有实数根，所以该选项符合题意；
D、Δ＝12﹣4×1×（﹣3）＝13＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
11．C
【分析】每半年平均每周作业时长的下降率为，根据“经过去年下半年和今年上半年两次整改后，现在平均每周作业时长比去年上半年减少了”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设每半年平均每周作业时长的下降率为，
去年上半年平均每周作业时长为分钟，
去年下半年平均每周作业时长为分钟，
今年上半年平均每周作业时长为分钟，
现在平均每周作业时长比去年上半年减少了，
，
．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确地列出一元二次方程是解题的关键．
12．-3
【分析】根据一元二次方程的定义，令二次项次数为2，二次项系数不等于0，解答即可．
【详解】解：∵方程是一元二次方程，
∴a -7＝2且a-3≠0，
∴a＝±3且a≠3，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c＝0（且a≠0）．特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
13．2
【分析】把代入，即可求解．
【详解】解：∵x的方程的一个根是，
∴，
解得：．
故答案为：2
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
14．
【分析】先移项，再利用直接开平方的方法解方程即可．
【详解】解：∵，即
∴
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“直接开平方的方法解一元二次方程”是解本题的关键．
15．n+3或n+4
【分析】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解，根据方程的解发现规律即可求解.
【详解】分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解：
①x+= x+=1+2，在等式两边同时乘以x，
移项得x2- 3x+2=0，即(x- 2)(x- 3)=0，故解得x = 1或x=2；
②x+= x+=2+3，同理解得x = 2或x =3；
③x+= x+=3+4，同理解得x =3或x =4；
以此类推，第n个方程为：x+= x+，
且解为：x =n或x =n+1；
将方程x+=2n+4两边同时减3，得（x-3）+=2n+1，
根据规律得：x-3 =n或x -3=n+1，即x =n+3或x =n+4.
故答案为：n+3或n+4.
【点睛】此题考查数字的规律，分别对三个方程式变形，并求三个方程式的解发现规律是解答此题的关键.
16．，##，
【分析】根据根的判别式求得a＝﹣3，b＝0，把a＝﹣3，b＝0代入x2+ax+b＝0得：x2﹣3x＝0，解得x1＝0，x2＝3即可．
【详解】解：∵关于x的方程x2﹣（a﹣3）x﹣3a﹣b2＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝[﹣（a﹣3）]2﹣4（﹣3a﹣b2）＝＝（a+3）2+4b2＝0，
∴a＝﹣3，b＝0，
把a＝﹣3，b＝0代入x2+ax+b＝0
得：x2﹣3x＝0，
解得：x1＝0，x2＝3．
故答案为：x1＝0，x2＝3．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，利用方程有两个相等的根求出a，b的值是解题的关键．
17．
【分析】根据判别式的意义得到△＜0，然后解不等式即可．
【详解】解：一元二次方程x -4x+k=0无实数根，
∴(―4)2-4k<0，
解得k>4，
故答案为：k>4．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△>0时方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时方程有两个相等的实数根；（3）△<0时方程没有实数根．
18．且m≠0
【分析】由二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2-4x+2=0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：且m≠0
故答案为：且m≠0．
【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与有如下关系：
①当时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当时，方程有两个相等的两个实数根；
③当时，方程无实数根．
19．－1
【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，m＋n＝－2，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的实根，
∴，m＋n＝－2，
∴，
∴，
故答案为：－1．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，若，是一元二次方程（a≠0）的两根时，，．
20．(1)，；
(2)，．
【分析】（1）先移项，然后配方，再开平方，求出方程的解即可；
（2）先移项，然后分解因式，最后求出方程的解即可．
【详解】（1）解：，
移项得：，
配方得：，即，
开平方得：，
∴，．
（2）解：，
移项得：，即
分解因式得：，
∴或，
解得，．
【点睛】本题主要考查了配方法和因式分解法解一元二次方程，熟练进行配方和因式分解，是解题的关键．
21．(1)，
(2)，
【分析】（1）将常数项移到右边，两边同时加上4，配成完全平方式，用直接开平方法求解即可；
（2）两边整理后，用因式分解法求解即可．
（1）
解：
∴
解得：，
（2）
解：
∴或
解得：，
【点睛】本题考查了解一元二次方程，一般解一元二次方程的方法有：配方法、公式法和因式分解法．
22．（1）；（2）
【分析】（1）先求解再利用公式法解方程即可；
（2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后检验即可．
【详解】解（1），
则
（2），
去分母得：
整理得：
解得：
经检验：是原方程的解．
【点睛】本题考查的是利用公式法解一元二次方程，分式方程的解法，掌握以上两种方程的解法步骤是解本题的关键．
23．x1= ，x2=
【详解】试题分析：把方程化为一般形式后利用公式法解方程即可.
试题解析：
x2+x﹣8=0，
a=1，b=1，c=﹣8，
△=b2﹣4ac=1+32=33＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴x==
∴x1= ，x2=.
24．(1)有道理，理由见解析
(2)另一个根为2，
【分析】（1）根据Δ=b2-4ac＞0，即可得证；
（2）将x=-2代入方程，求出m的值，再将m=-5代入方程，解方程即可确定方程的另一个根．
【详解】（1）解：有道理，理由如下：
∵
∴无论m为何实数，方程总有两个不相等的实数根．
（2）解：将代入方程得
解得
∴原方程为
∴
∴另一个根为2，．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由可得结论；
（2）将k=8代入方程得，利用因式分解法解方程即可．
【详解】（1）解：∵
，
∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）当k=8时，原方程为：，
∴（3x+2）（x+2）=0，
∴．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，以及一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
26．(1)见解析
(2)3
【分析】（1）根据方程的根的判别式，得出△，即可证出方程总有两个不相等的实数根；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，列出关于的方程，解方程并检验即可得答案．
【详解】（1）证明：△，
△，
总有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程的两根分别为，
∴，
由题意知：
∴
∴或．
∵
∴
∴
∴．
【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是掌握：（1）牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系得出．
27．(1)m＞0
(2)
【分析】（1）由方程求出判别式即可．
（2）由一元二次方程根与系数的关系，用含m代数式表示两根之和及两根之积，进而求解．
（1）
解： ，
∵方程总有两个不相等的实数根，
∴8m＞0，
∴m＞0．
（2）
解：由，
∵，，
∴原式，
整理得，
解得或，
∵m＞0，
故m的值为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式及根与系数的关系，解题关键是将熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系及两根之积与两根之和．
28．(1)见解析
(2)-5
【分析】(1)只需证明根的判别式△＞0即可．
(2)设另一个根为，利用根与系数关系定理，×1= -5，计算即可．
【详解】（1）∵中，a=1，b=a，c=-5，
∴△=＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根．
（2）设另一个根为，
∵，
∴×1= -5，
解得= -5，
故方程另一个根为-5．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系定理，熟练掌握并灵活应用两个定理是解题的关键．
29．(1)当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米
(2)不能围成500平方米的矩形花园，理由见解析
【分析】（1）根据可以砌60m长的墙的材料，即总长度是60m，BC=xm，则AB=（60-x+2）m，再根据矩形的面积公式列方程，解一元二次方程即可．
（2）利用根的判别式进行判断即可．
【详解】（1）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得：
（60﹣x+2）x＝300，
x2﹣62x+600＝0，
解这个方程得：x1＝12，x2＝50，
∵28＜50，
∴x2＝50（不合题意，舍去），
∴x＝12．
答：当矩形的长BC为12米时，矩形花园的面积为300平方米；
（2）设矩形花园BC的长为x米，则其宽为（60﹣x+2）米，依题意列方程得：
（60﹣x+2）x＝500，
x2﹣62x+1000＝0，
△＝622﹣4000＝﹣156＜0，
则该方程无解，即不能围成500平方米的矩形花园．
答：不能围成500平方米的矩形花园．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系求解，注意围墙EF最长可利用28m，舍掉不符合题意的数据．
30．(1)10%
(2)4条
【分析】（1）设前三天生产量的日平均增长率为x，则，解出方程即可。
（2）设需增加a条生产线，根据题意得，解出方程，根据在增加产量同时又要节省投入的条件下，作出判断即可。
（1）
解：设：前三天生产量的日平均增长率为x，则
解得，（不合题意，含去）
∴前三天生产量的日平均增长率为10%．
（2）
解：设：需增加a条生产线，根据题意得
整理得
解得，，
∵增加产量同时又要节省投入，
∴，
∴应该增加4条生产线．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题目意思列出一元二次方程是解答本题的关键。
31．秒或秒
【分析】设经过秒后，，两点的距离是，利用勾股定理列出方程并解答即可．
【详解】解：设经过秒后，，两点的距离是，
根据题意，得，
整理，得，
解得，．
当时，，符合题意，
答：秒或秒后，，两点间的距离等于．
【点睛】此题考查的是一元二次方程的应用，根据路程速度时间，表示线段的长度，将问题转化到三角形中，利用勾股定理或者面积关系建立等量关系，是解应用题常用的方法．
32．(1)
(2)①4条；②不能，理由见解析
【分析】（1）设前三季度销售量的平均增长率为，根据在今年第一季度销售了2万辆，第三季度销售了2.88万辆建立一元二次方程，解方程即可得；
（2）①设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，根据现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆建立方程，解方程即可得；
②设再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，根据每季度生产电动汽车达到6万辆建立方程，利用一元二次方程根的判别式进行分析即可得．
（1）
解：设前三季度销售量的平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符题意，舍去），
答：前三季度销售量的平均增长率为．
（2）
解：①设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，
由题意得：，
整理得：，
解得或，
在增加产能同时又要节省投入成本的条件下，
，
答：应该再增加4条生产线；
②设再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为辆/季度，
由题意得：，
整理得：，
此方程根的判别式为，
所以此方程没有实数根，
答：不能增加生产线，使得每季度生产电动汽车达到6万辆．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式，正确建立方程是解题关键．