2022—2023学年人教版数学九年级下册第28章 锐角三角函数专题练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022—2023学年人教版数学九年级下册第28章 锐角三角函数专题练习（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 319.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-04 00:00:00 | ||
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文档简介
锐角三角函数练习2
解直角三角形
1等腰三角形底边长为10cm，周长为36cm，那么底角的余弦等于（ ）
A． B． C． D．
2在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（ ）
A．45 B．5 C． D．
3如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为（ ）
A．10tan50° B．10cos50° C．10sin50° D．
4在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为 ．
5如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（ ）
A． B．2 C．1 D．2
6如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sinA=，则菱形ABCD的周长是 ．
7如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，tanB=，点D在BC上，且BD=AD，求AC的长和cos∠ADC的值．
8如图所示，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA=．
求：（1）点B的坐标；（2）cos∠BAO的值．
9在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，D为BC上一点，且BD=2，∠BDA=105°．
（1）求AD的长度；
（2）求cos∠DAC的值．
10已知：如图，在△ABC中，AB=AC=9，BC=6．
（1）求sinC；
（2）求AC边上的高BD．
11如图，AC是旗杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（ ）
A．6sin50° B．6cos50° C． D．
12如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，BC=4米，∠A=30°，则斜梁AB= 米．
13已知sin∠AOB=0.1，OC=1.2厘米，则小矩形木条的厚度CD= 厘米．
14如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ）
A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
1河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）
A．12米 B．4米 C．5米 D．6米
2如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼，二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．m B．4m C．4m D．8m
3如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为（ ）
A．4m B． C．m D．m
4某河堤横断面如图所示，河堤高BC=8m，迎水坡坡角∠BAC=30°，则AB的长为（ ）
A．16 m B．m C．m D．m
5如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1：3，坡高BC为2米，则斜坡AB的长是（ ）
A．2米 B．2米 C．4米 D．6米
6如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732．）
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
1如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A．160m B．120m C．300m D．160m
2如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（ ）
A．米 B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米
3如图，小山岗的斜坡AC的坡角α=45°，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，小山岗的高AB约为（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）（ ）
A．164m B．178m C．200m D．1618m
4如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（ ）
A．6（+1）m B．6（﹣1）m C．12（+1）m D．12（﹣1）m
5如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD的高度为 ．（≈1.7）
6如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
（1）求点B到AD的距离；
（2）求塔高CD（结果用根号表示）．
7如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2m，台阶AC的坡度为1：，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．
解直角三角形的应用-方向角问题
1为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
2小美同学从A地沿北偏西60°方向走200m到B地，再从B地向正南方向走100m到C地，此时小美同学离A地 ．
3在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A也可表示成 ．
4如图，某军港有一雷达站P，军舰M停泊在雷达站P的南偏东60°方向36海里处，另一艘军舰N位于军舰M的正西方向，与雷达站P相距18海里．求：
（1）军舰N在雷达站P的什么方向；
（2）两军舰M，N的距离．（结果保留根号）
5如图，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦查发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民，此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？（≈1.41，≈1.73，=2.45）．
6在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．
答案
解直角三角形
1解：如图，作AD⊥BC于D点．
则CD=5cm，
AB=AC=13cm．
∴底角的余弦=．
故选A．
2解：∵sinA==，AB=15，
∴BC=5．
故选B．
3解：∵cosB=，
∴BC=ABcosB=10cos50°．故选B．
4解：方法一：∵在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，cos∠B=，
∴
解得BC=7或BC=17．
故答案为：7或17．
方法二：作AD⊥BC于点D，如右图所示，
∵cos∠B=，AB=12，
∴AD=BD=12，
∵AC1=AC2=13，
∴C1D=5，C2D=5，
∴BC1=BD﹣C1D=12﹣5=7，
BC2=BD+C2D=12+5=17，
故答案为：7或17．
5解：作DE⊥AB于E点．
∵tan∠DBA==，
∴BE=5DE，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴AE=DE．
∴BE=5AE，
又∵AC=6，
∴AB=6．
∴AE+BE=5AE+AE=6，
∴AE=，
∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD=AE=2．
故选B．
6解：已知如图DE⊥AB，垂足是E，
所以△AED为直角三角形，
则得：sinA=，
即：=，
∴AD=10，
∴菱形ABCD的周长为：10×4=40．
故答案为：40．
7解：∵在Rt△ABC中，BC=8，tanB=，tanB=，
∴AC=BC tanB=4，
设AD=x，则BD=x，CD=8﹣x，
由在Rt△ADC中，由勾股定理得，（8﹣x）2+42=x2，解得x=5，
AD=5，CD=8﹣5=3，
∴cos∠ADC=．
8解：（1）如图，作BH⊥OA，垂足为H，
在Rt△OHB中，∵BO=5，sin∠BOA=，
∴BH=3．
∴OH=4，
∴点B的坐标为（4，3）；
（2）∵OA=10，OH=4，
∴AH=6，
在Rt△AHB中，
∵BH=3，
∴AB=3，
∴cos∠BAO=．
9解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵sin∠DBE=，
∴DE=sin45°×2=2，
∵∠BDA=105°，
∴∠DAE=180°﹣45°﹣105°=30°，
∴AD=2DE=4；
（2）设CD=x，则AC=BC=2+x，
在Rt△ACD中，
∵AC2+CD2=AD2，
∴（2+x）2+x2=42，
解得：x1=﹣，x2=﹣﹣（舍去），
∴AC=2+﹣=+，
∴cos∠DAC==．
10解：（1）作AE⊥BC交BC于点E，
∵AB=AC，
∴BE=EC=3，
在Rt△AEC中，，
∴；
（2）在Rt△BDC中，，
即=，
∴BD=4．
解直角三角形的应用
1解：∵BC=6米，∠ACB=50°，
∴拉线AC的长为=，
故选：D．
2解：∵BC⊥AC，BC=4，∠A=30°，
∴AB=2BC=8（米）．
3解：由图可得，CD⊥AO，
∴sin∠AOB==0.1，
即=0.1，
∴CD=0.12，
故答案为：0.12
4解：如图所示，作BD⊥CA于D点．
∵∠BAC=150°，
∴∠DAB=30°，
∵AB=20米，
∴BD=20sin30°=10米，
∴S△ABC=×30×10=150（米2）．
已知这种草皮每平方米a元，
所以一共需要150a元．
故选C．
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
1解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：，
∴AC=BC×=6，
∴AB===12．故选A．
2解：过C作CE⊥AB于E点．
在Rt△CBE中，由三角函数的定义可知
CE=BC sin30°=8×=4m．
故选：B．
3解：∵AC=2，∠A=30°．
∴AB===，故选C．
4解：∵迎水坡坡角∠BAC=30°，河堤高BC=8m，
∴sin30°=，
∴AB==16（m）．
故选：A．
5解：因为斜坡AB的坡度i=BC：AC=1：3，BC=2，
所以AC=6．
∴AB==2（米）．
故选B．
6解：∵∠CAB=45°．
∴AB=BC=10．
∵∠CDB=30°．
∴BD=10．
∴AD=10﹣10≈7.32．（7分）
∵7.32+3＞10．
答：离原坡角10米的建筑物需要拆除．（10分）
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及三角函数的运用能力．
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
1解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，
在Rt△ABD中，BD=AD tan30°=120×=40（m），
在Rt△ACD中，CD=AD tan60°=120×=120（m），
∴BC=BD+CD=160（m）．
故选A．
2解：在Rt△ABO中，
∵BO=30米，∠ABO为α，
∴AO=BOtanα=30tanα（米）．
故选C．
3解：∵在直角三角形ABC中，=tanα=1，
∴BC=AB，
∵在直角三角形ADB中，
∴=tan26.6°=0.50，
即：BD=2AB，
∵BD﹣BC=CD=200，
∴2AB﹣AB=200，
解得：AB=200米，
答：小山岗的高度为200米；
故选C．
4解：根据题意可得：BC==AB，BD==AB．
∵CD=BC﹣BD=AB（﹣1）=12，
∴AB=6（+1）．
故选A．
5解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，
根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形ABEC为矩形．
∴CE=AB=12m．
在Rt△CBE中，cot∠CBE=，
∴BE=CE cot30°=12×=12 ．
在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，
得DE=BE=12 ．
∴CD=CE+DE=12（ +1）≈32.4．
答：楼房CD的高度约为32.4m．
故答案为：32.4m．
6解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，
∵AB=40m，∠A=30°，
∴BE=AB=20m，AE==20m，
即点B到AD的距离为20m；
（2）在Rt△ABE中，
∵∠A=30°，
∴∠ABE=60°，
∵∠DBC=75°，
∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°，
∴DE=EB=20m，
则AD=AE+EB=20+20=20（+1）（m），
在Rt△ADC中，∠A=30°，
∴DC==（10+10）m．
答：塔高CD为（10+10）m．
7解：∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，
∴四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=2
设DE=x，在Rt△CDE中，CE===x，
在Rt△ABC中，
∵=，AB=2，
∴BC=2，
在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣2，
∴AF===（x﹣2），
∵AF=BE=BC+CE．
∴（x﹣2）=2+x，
解得x=6．
答：树DE的高度为6米．
解直角三角形的应用-方向角问题
1解：（1）∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，
∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°．
（2）作PH⊥AB于H．
∵∠BAP=∠BPA=30°，
∴BA=BP=50，
在Rt△PBH中，PH=PB sin60°=50×=25，
∵25＞25，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
2解：如图：∠B=60°，AB=200m，BC=100m．
则由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosB，
解得：AC=100m．
3解：过点A作AC⊥x轴于C．
在直角△OAC中，∠AOC=90°﹣60°=30°，OA=14千米，
则AC=OA=7千米，OC=7千米．
因而小岛A所在位置的坐标是（7，﹣7）．
故答案为：（7，﹣7）．
4解：过点P作PQ⊥MN，交MN的延长线于点Q．
（1）在Rt△PQM中，由∠MPQ=60°，
得∠PMQ=30°，又PM=36，
∴PQ=PM=×36=18（海里）．
在Rt△PQN中，cos∠QPN=，
∴∠QPN=45°．
即军舰N到雷达站P的东南方向（或南偏东45°）．
（2）由（1）知在Rt△PQN为等腰直角三角形，∴PQ=NQ=18（海里）．
在Rt△PQM中，MQ=PQ tan∠QPM=18 tan60°=18（海里），
∴MN=MQ﹣NQ=18﹣18（海里）．
答：两军舰的距离为（18﹣18）海里．
5解：过点A作AD⊥BC的延长线于点D，
∵∠CAD=45°，AC=10海里，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD===5（海里），
在Rt△ABD中，
∵∠DAB=60°，
∴BD=AD tan60°=5×=5（海里），
∴BC=BD﹣CD=（5﹣5）海里，
∵中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，
∴海监船到达C点所用的时间t===（小时）；
某国军舰到达C点所用的时间i==≈=0.4（小时），
∵＜0.4，
∴中国海监船能及时赶到．
6解：（1）∵∠1=30°，∠2=60°，
∴△ABC为直角三角形．
∵AB=40km，AC=km，
∴BC===16（km）．
∵1小时20分钟=80分钟，1小时=60分钟，
∴×60=12（千米/小时）．
（2）能．
理由：作线段BR⊥AN于R，作线段CS⊥AN于S，延长BC交l于T．
∵∠2=60°，∴∠4=90°﹣60°=30°．
∵AC=8（km），∴CS=8sin30°=4（km）．
∴AS=8cos30°=8×=12（km）．
又∵∠1=30°，∴∠3=90°﹣30°=60°．
∵AB=40km，∴BR=40 sin60°=20（km）．
∴AR=40×cos60°=40×=20（km）．
易得，△STC∽△RTB，
所以=，
，
解得：ST=8（km）．
所以AT=12+8=20（km）．
又因为AM=19.5km，MN长为1km，∴AN=20.5km，
∵19.5＜AT＜20.5
故轮船能够正好行至码头MN靠岸．
解直角三角形
1等腰三角形底边长为10cm，周长为36cm，那么底角的余弦等于（ ）
A． B． C． D．
2在△ABC中，∠C=90°，AB=15，sinA=，则BC等于（ ）
A．45 B．5 C． D．
3如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10，则BC的长为（ ）
A．10tan50° B．10cos50° C．10sin50° D．
4在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为 ．
5如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=6，D是AC上一点，若tan∠DBA=，则AD的长是（ ）
A． B．2 C．1 D．2
6如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，垂足是E，DE=6，sinA=，则菱形ABCD的周长是 ．
7如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8，tanB=，点D在BC上，且BD=AD，求AC的长和cos∠ADC的值．
8如图所示，在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，BO=5，sin∠BOA=．
求：（1）点B的坐标；（2）cos∠BAO的值．
9在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，D为BC上一点，且BD=2，∠BDA=105°．
（1）求AD的长度；
（2）求cos∠DAC的值．
10已知：如图，在△ABC中，AB=AC=9，BC=6．
（1）求sinC；
（2）求AC边上的高BD．
11如图，AC是旗杆AB的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=50°，则拉线AC的长为（ ）
A．6sin50° B．6cos50° C． D．
12如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，BC=4米，∠A=30°，则斜梁AB= 米．
13已知sin∠AOB=0.1，OC=1.2厘米，则小矩形木条的厚度CD= 厘米．
14如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（ ）
A．450a元 B．225a元 C．150a元 D．300a元
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
1河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（ ）
A．12米 B．4米 C．5米 D．6米
2如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼，二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．m B．4m C．4m D．8m
3如图，坡角为30°的斜坡上两树间的水平距离AC为2m，则两树间的坡面距离AB为（ ）
A．4m B． C．m D．m
4某河堤横断面如图所示，河堤高BC=8m，迎水坡坡角∠BAC=30°，则AB的长为（ ）
A．16 m B．m C．m D．m
5如图，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i=1：3，坡高BC为2米，则斜坡AB的长是（ ）
A．2米 B．2米 C．4米 D．6米
6如图是一座人行天桥的示意图，天桥的高是10米，坡面的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面的倾斜角为30°，若新坡角下需留3米的人行道，问离原坡角10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732．）
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
1如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为（ ）
A．160m B．120m C．300m D．160m
2如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为（ ）
A．米 B．30sinα米 C．30tanα米 D．30cosα米
3如图，小山岗的斜坡AC的坡角α=45°，在与山脚C距离200米的D处，测得山顶A的仰角为26.6°，小山岗的高AB约为（结果取整数，参考数据：sin26.6°=0.45，cos26.6°=0.89，tan26.6°=0.50）（ ）
A．164m B．178m C．200m D．1618m
4如图为了测量某建筑物AB的高度，在平地上C处测得建筑物顶端A的仰角为30°，沿CB方向前进12m到达D处，在D处测得建筑物顶端A的仰角为45°，则建筑物AB的高度等于（ ）
A．6（+1）m B．6（﹣1）m C．12（+1）m D．12（﹣1）m
5如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD的高度为 ．（≈1.7）
6如图，为了测出某塔CD的高度，在塔前的平地上选择一点A，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，在A、C之间选择一点B（A、B、C三点在同一直线上）．用测角仪测得塔顶D的仰角为75°，且AB间的距离为40m．
（1）求点B到AD的距离；
（2）求塔高CD（结果用根号表示）．
7如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2m，台阶AC的坡度为1：，且B，C，E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．
解直角三角形的应用-方向角问题
1为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理，如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时50海里的速度向正东方航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，继续航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．
（1）求∠APB的度数；
（2）已知在灯塔P的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？
2小美同学从A地沿北偏西60°方向走200m到B地，再从B地向正南方向走100m到C地，此时小美同学离A地 ．
3在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A在码头O的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O为坐标原点，正东方向为x轴的正方向，正北方向为y轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A也可表示成 ．
4如图，某军港有一雷达站P，军舰M停泊在雷达站P的南偏东60°方向36海里处，另一艘军舰N位于军舰M的正西方向，与雷达站P相距18海里．求：
（1）军舰N在雷达站P的什么方向；
（2）两军舰M，N的距离．（结果保留根号）
5如图，2012年4月10日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦查发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民，此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向的10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？（≈1.41，≈1.73，=2.45）．
6在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°，且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．
（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．
答案
解直角三角形
1解：如图，作AD⊥BC于D点．
则CD=5cm，
AB=AC=13cm．
∴底角的余弦=．
故选A．
2解：∵sinA==，AB=15，
∴BC=5．
故选B．
3解：∵cosB=，
∴BC=ABcosB=10cos50°．故选B．
4解：方法一：∵在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，cos∠B=，
∴
解得BC=7或BC=17．
故答案为：7或17．
方法二：作AD⊥BC于点D，如右图所示，
∵cos∠B=，AB=12，
∴AD=BD=12，
∵AC1=AC2=13，
∴C1D=5，C2D=5，
∴BC1=BD﹣C1D=12﹣5=7，
BC2=BD+C2D=12+5=17，
故答案为：7或17．
5解：作DE⊥AB于E点．
∵tan∠DBA==，
∴BE=5DE，
∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
∴AE=DE．
∴BE=5AE，
又∵AC=6，
∴AB=6．
∴AE+BE=5AE+AE=6，
∴AE=，
∴在等腰直角△ADE中，由勾股定理，得AD=AE=2．
故选B．
6解：已知如图DE⊥AB，垂足是E，
所以△AED为直角三角形，
则得：sinA=，
即：=，
∴AD=10，
∴菱形ABCD的周长为：10×4=40．
故答案为：40．
7解：∵在Rt△ABC中，BC=8，tanB=，tanB=，
∴AC=BC tanB=4，
设AD=x，则BD=x，CD=8﹣x，
由在Rt△ADC中，由勾股定理得，（8﹣x）2+42=x2，解得x=5，
AD=5，CD=8﹣5=3，
∴cos∠ADC=．
8解：（1）如图，作BH⊥OA，垂足为H，
在Rt△OHB中，∵BO=5，sin∠BOA=，
∴BH=3．
∴OH=4，
∴点B的坐标为（4，3）；
（2）∵OA=10，OH=4，
∴AH=6，
在Rt△AHB中，
∵BH=3，
∴AB=3，
∴cos∠BAO=．
9解：（1）过点D作DE⊥AB，垂足为E，
∵sin∠DBE=，
∴DE=sin45°×2=2，
∵∠BDA=105°，
∴∠DAE=180°﹣45°﹣105°=30°，
∴AD=2DE=4；
（2）设CD=x，则AC=BC=2+x，
在Rt△ACD中，
∵AC2+CD2=AD2，
∴（2+x）2+x2=42，
解得：x1=﹣，x2=﹣﹣（舍去），
∴AC=2+﹣=+，
∴cos∠DAC==．
10解：（1）作AE⊥BC交BC于点E，
∵AB=AC，
∴BE=EC=3，
在Rt△AEC中，，
∴；
（2）在Rt△BDC中，，
即=，
∴BD=4．
解直角三角形的应用
1解：∵BC=6米，∠ACB=50°，
∴拉线AC的长为=，
故选：D．
2解：∵BC⊥AC，BC=4，∠A=30°，
∴AB=2BC=8（米）．
3解：由图可得，CD⊥AO，
∴sin∠AOB==0.1，
即=0.1，
∴CD=0.12，
故答案为：0.12
4解：如图所示，作BD⊥CA于D点．
∵∠BAC=150°，
∴∠DAB=30°，
∵AB=20米，
∴BD=20sin30°=10米，
∴S△ABC=×30×10=150（米2）．
已知这种草皮每平方米a元，
所以一共需要150a元．
故选C．
解直角三角形的应用-坡度坡角问题
1解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：，
∴AC=BC×=6，
∴AB===12．故选A．
2解：过C作CE⊥AB于E点．
在Rt△CBE中，由三角函数的定义可知
CE=BC sin30°=8×=4m．
故选：B．
3解：∵AC=2，∠A=30°．
∴AB===，故选C．
4解：∵迎水坡坡角∠BAC=30°，河堤高BC=8m，
∴sin30°=，
∴AB==16（m）．
故选：A．
5解：因为斜坡AB的坡度i=BC：AC=1：3，BC=2，
所以AC=6．
∴AB==2（米）．
故选B．
6解：∵∠CAB=45°．
∴AB=BC=10．
∵∠CDB=30°．
∴BD=10．
∴AD=10﹣10≈7.32．（7分）
∵7.32+3＞10．
答：离原坡角10米的建筑物需要拆除．（10分）
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及三角函数的运用能力．
解直角三角形的应用-仰角俯角问题
1解：过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，
在Rt△ABD中，BD=AD tan30°=120×=40（m），
在Rt△ACD中，CD=AD tan60°=120×=120（m），
∴BC=BD+CD=160（m）．
故选A．
2解：在Rt△ABO中，
∵BO=30米，∠ABO为α，
∴AO=BOtanα=30tanα（米）．
故选C．
3解：∵在直角三角形ABC中，=tanα=1，
∴BC=AB，
∵在直角三角形ADB中，
∴=tan26.6°=0.50，
即：BD=2AB，
∵BD﹣BC=CD=200，
∴2AB﹣AB=200，
解得：AB=200米，
答：小山岗的高度为200米；
故选C．
4解：根据题意可得：BC==AB，BD==AB．
∵CD=BC﹣BD=AB（﹣1）=12，
∴AB=6（+1）．
故选A．
5解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，
根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形ABEC为矩形．
∴CE=AB=12m．
在Rt△CBE中，cot∠CBE=，
∴BE=CE cot30°=12×=12 ．
在Rt△BDE中，由∠DBE=45°，
得DE=BE=12 ．
∴CD=CE+DE=12（ +1）≈32.4．
答：楼房CD的高度约为32.4m．
故答案为：32.4m．
6解：（1）过点B作BE⊥AD于点E，
∵AB=40m，∠A=30°，
∴BE=AB=20m，AE==20m，
即点B到AD的距离为20m；
（2）在Rt△ABE中，
∵∠A=30°，
∴∠ABE=60°，
∵∠DBC=75°，
∴∠EBD=180°﹣60°﹣75°=45°，
∴DE=EB=20m，
则AD=AE+EB=20+20=20（+1）（m），
在Rt△ADC中，∠A=30°，
∴DC==（10+10）m．
答：塔高CD为（10+10）m．
7解：∵AF⊥AB，AB⊥BE，DE⊥BE，
∴四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE，EF=AB=2
设DE=x，在Rt△CDE中，CE===x，
在Rt△ABC中，
∵=，AB=2，
∴BC=2，
在Rt△AFD中，DF=DE﹣EF=x﹣2，
∴AF===（x﹣2），
∵AF=BE=BC+CE．
∴（x﹣2）=2+x，
解得x=6．
答：树DE的高度为6米．
解直角三角形的应用-方向角问题
1解：（1）∵∠PAB=30°，∠ABP=120°，
∴∠APB=180°﹣∠PAB﹣∠ABP=30°．
（2）作PH⊥AB于H．
∵∠BAP=∠BPA=30°，
∴BA=BP=50，
在Rt△PBH中，PH=PB sin60°=50×=25，
∵25＞25，
∴海监船继续向正东方向航行是安全的．
2解：如图：∠B=60°，AB=200m，BC=100m．
则由余弦定理可得：AC2=AB2+BC2﹣2AB BC cosB，
解得：AC=100m．
3解：过点A作AC⊥x轴于C．
在直角△OAC中，∠AOC=90°﹣60°=30°，OA=14千米，
则AC=OA=7千米，OC=7千米．
因而小岛A所在位置的坐标是（7，﹣7）．
故答案为：（7，﹣7）．
4解：过点P作PQ⊥MN，交MN的延长线于点Q．
（1）在Rt△PQM中，由∠MPQ=60°，
得∠PMQ=30°，又PM=36，
∴PQ=PM=×36=18（海里）．
在Rt△PQN中，cos∠QPN=，
∴∠QPN=45°．
即军舰N到雷达站P的东南方向（或南偏东45°）．
（2）由（1）知在Rt△PQN为等腰直角三角形，∴PQ=NQ=18（海里）．
在Rt△PQM中，MQ=PQ tan∠QPM=18 tan60°=18（海里），
∴MN=MQ﹣NQ=18﹣18（海里）．
答：两军舰的距离为（18﹣18）海里．
5解：过点A作AD⊥BC的延长线于点D，
∵∠CAD=45°，AC=10海里，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴AD=CD===5（海里），
在Rt△ABD中，
∵∠DAB=60°，
∴BD=AD tan60°=5×=5（海里），
∴BC=BD﹣CD=（5﹣5）海里，
∵中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰正以每小时13海里的速度航行，
∴海监船到达C点所用的时间t===（小时）；
某国军舰到达C点所用的时间i==≈=0.4（小时），
∵＜0.4，
∴中国海监船能及时赶到．
6解：（1）∵∠1=30°，∠2=60°，
∴△ABC为直角三角形．
∵AB=40km，AC=km，
∴BC===16（km）．
∵1小时20分钟=80分钟，1小时=60分钟，
∴×60=12（千米/小时）．
（2）能．
理由：作线段BR⊥AN于R，作线段CS⊥AN于S，延长BC交l于T．
∵∠2=60°，∴∠4=90°﹣60°=30°．
∵AC=8（km），∴CS=8sin30°=4（km）．
∴AS=8cos30°=8×=12（km）．
又∵∠1=30°，∴∠3=90°﹣30°=60°．
∵AB=40km，∴BR=40 sin60°=20（km）．
∴AR=40×cos60°=40×=20（km）．
易得，△STC∽△RTB，
所以=，
，
解得：ST=8（km）．
所以AT=12+8=20（km）．
又因为AM=19.5km，MN长为1km，∴AN=20.5km，
∵19.5＜AT＜20.5
故轮船能够正好行至码头MN靠岸．