2022-2023学年北师大版九年级下册数学第一章 直角三角形的边角关系 单元自测题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年北师大版九年级下册数学第一章 直角三角形的边角关系 单元自测题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 583.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-04 21:45:47 | ||
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文档简介
北师大版九年级下册数学 第一章 直角三角形的边角关系 单元自测题
一、单选题
1．在Rt中，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知α是锐角，若sinα= ，则α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
5．计算sin 45°+cos45°的值为（ ）
A．1 B．2
C． D．2
6．如图，滑雪场有一坡角为20°的滑道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（ ）米．
A． B．100cos20° C． D．100sin20°
7．如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为a，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．4cos a B．4sin a C．4tan a D．
8．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等( )
A． B． C． D．
9．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（ ）
A．5 B． C．10﹣ D．15﹣
10．如图，直线y= x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，则cos∠BAO的值是( )
A． B． C． D．
二、填空题
11．比较大小：sin35° cos45°.
12． .
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为 .
14．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 米.
三、计算题
15．计算：
16．计算： ．
四、解答题
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB= 。求BC的长及∠A的正切值．
18．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的 长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）
19．如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯的高度，测得斜坡米，坡度，在处测得电梯顶端的仰角，求观光电梯的高度．
（参考数据：，，．结果精确到0.1米）
20．先化简，再求值：，其中.
21．先化简，再求值：，其中.
五、综合题
22．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．
23．如图，在正方形 中，点 为 延长线上一点，连接 ．
图3
（1）如图1，连接 ，若 ， ，求 的值；
（2）如图2，点 在 上，连接 ．作 的平分线 交 于点 ，连接 、 ，若 ， ．求证： 平分 ；
（3）如图3，在（2）的条件下，点 为 的中点，点 为平面内一动点，且 ，连接 ，以 为边长作等边 ，若 ，直接写出 的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中， ， ，
，
.
故答案为：B.
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据余弦函数的概念进行计算.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵a是锐角，sina=，
∴a=30°.
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值可知，sin30°= ，即可判断a的度数.
3．【答案】B
【解析】【解答】，，
， A不符合题意；
，B符合题意；
， C不符合题意；
， D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用正弦、余弦和正切的定义逐项判断即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】解： ，
，
米，
米；
故答案为：D．
【分析】利用解直角三角形的方法可得 。
5．【答案】C
【解析】【解答】 解： .
故答案为：C.
【分析】直接代入特殊角的三角函数值，然后再合并同类二次根式即可得出答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵滑道坡角为20°，
∴，
∵AC为100米，，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据坡角可得∠C=20°，然后根据∠C的余弦函数进行计算即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，作AH⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BC=2HC
∵HC=ACcosa =2cosa，
∴BC=2HC=4cosa.
故答案为：A.
【分析】作AH⊥BC，利用锐角三角函数定义求出HC长，再利用等腰三角形的性质求BC长即可.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：易得，，AB=5，
∴AB=BC，
∴∠ACB=∠A，
∴cos∠ACB=cos∠A=.
故答案为：D.
【分析】 根据勾股定理以及网格结构，可以求得AC、AB、BC的长，根据等边对等角得∠ACB=∠A，进而根据余弦函数的定义及等角的同名三角函数值相等即可得到cos∠ACB的值．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝×＝，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣．
故答案为：D．
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，先利用解直角三角形的方法求出BM和CM的长，再利用线段的和差求出CD的长即可。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：令x=0，则y=3，
令y=0，则x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∴cos∠BAO=.
故答案为：A.
【分析】先求出点A、B的坐标，从而得出OA=4，OB=3，AB=5，再利用锐角三角函数的定义即可得出cos∠BAO=.
11．【答案】＜
【解析】【解答】解：∵cos45°= sin45°，正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大，
∴sin35°＜sin45°，
∴sin35°＜cos45°.
故答案为：＜.
【分析】根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大可得sin35°＜sin45°，根据特殊角的三角函数值可得cos45°= sin45°，据此进行比较.
12．【答案】
【解析】【解答】原式 ，
故答案为： .
【分析】先进行负整数指数幂的运算，再代入三角函数的特殊值即可求值.
13．【答案】或
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：或.
【分析】利用勾股定理可得AB，根据旋转的性质可得B′C′=BC=8，AC′=AC=6，∠B'C'B=90°，则BC′=AB-AC′=4，利用勾股定理可求出BB′，然后根据三角函数的概念进行计算.
14．【答案】750
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD=75°-30°=45°，
AC=30×25=750（米），
∴AD=AC sin45°=375（米），
∴AB=2AD= 750 （米）.
故答案为： 750 .
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，易得∠ACD=45°，AC=30×25=750米，根据三角函数的概念可求出AD，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行计算.
15．【答案】解：原式=
【解析】【分析】，负数的绝对值去掉负号，运算即可。
16．【答案】解：原式
【解析】【分析】化为最简二次根式，利用负指数幂法则计算，利用绝对值的代数意义化简，利用特殊角的三角函数值化简，计算即可得到结果.
17．【答案】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，sinB= ，
∴AC=AB．sinB=6，
∴BC= =8，
∴tanA=
【解析】【分析】结合正弦的定义，利用∠B的正弦值求出AC的长，然后利用勾股定理求出BC，结合正切的定义即可求解.
18．【答案】解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴BC=AB sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
【解析】【分析】 过B作地平面的垂线段BC，垂足为C， 根据正弦函数的定义由 BC=AB sin∠BAC 即可算出答案。
19．【答案】解：过点B作BE⊥AC于点E，如图，
在Rt△ABE中，（米），坡度，即
设AE=x（米），则BE=2x（米）
由勾股定理得，
∴
解得，（负值舍去）
∴（米），（米）
∵
∴△BEC是等腰直角三角形
∴（米）
∴AC=AE+CE=（米）
答：观光电梯的高度为141.1米。
【解析】【分析】过点B作BE⊥AC于点E，设AE=x（米），则BE=2x（米），利用勾股定理可得，求出，可得AE和BE的长，再证出△BEC是等腰直角三角形，可得，最后利用线段的和差求出AC的长即可。
20．【答案】解：
=
=
=.
∵=2×+1=+1，
∴原式===.
【解析】【分析】对括号中的第二个分式的分母进行分解，然后对括号中的式子进行通分，将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得a的值，然后代入化简后的式子中进行计算.
21．【答案】解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝
当＝ 时，
原式＝
＝
＝
【解析】【分析】对第一个分式的分子、分母进行分解因式，对括号中的式子进行通分计算，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简；根据特殊角的三角函数值可得x的值，然后代入化简后的式子中进行计算即可.
22．【答案】（1）解：过点F作FG⊥EC于G，
依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，
∴四边形DEGF是矩形，
∴FG＝DE，
在Rt△CDE中，
DE＝CE tan∠DCE＝6×tan30 o ＝2 （米），
∴点F到地面的距离为2 米；
（2）解：∵斜坡CF的坡度为 i＝1：1.5．
∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3（米），
∴FD＝EG＝（3+6）（米）．
在Rt△BCE中，
BE＝CE tan∠BCE＝6×tan60 o ＝6（米），
∴AB＝AD+DE﹣BE＝3+6+2﹣6＝6﹣≈4.3 （米）．
答：宣传牌的高度约为4.3米．
【解析】【分析】（1）过点F作FG⊥EC于G，易得四边形DEGF是矩形，根据矩形的性质得FG＝DE，在Rt△CDE中，根据正切函数的定义，由DE＝CE tan∠DCE即可算出答案；
（2）根据坡比的定义，Rt△CFG中，可得CG＝1.5FG，进而可得FD＝EG＝（3+6）（米），在Rt△BCE中，根据正切函数的定义，由BE＝CE tan∠BCE求出BE，最后根据AB＝AD+DE﹣BE算出答案.
23．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ；
（2）证明：如图所示：过点A作 ，连接CE，
∵ ，PE平分 ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点A、P、C、E四个点在同一个圆上，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴DE平分
（3）解： 的最小值为
【解析】【解答】解：(3)如图所示：点M的运动轨迹为以点Q为圆心，QA为半径的圆上，作点B关于AP的对称点 ，
∴QP垂直平分 ，
当点 ， ，B三点共线时， 取得最小值，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∵B关于AP的对称点 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为
【分析】（1）易得∠DPC=30°，AD=DC=CB=AB=4，PD=2DC=8，利用勾股定理求出PC，进而得到PB，然后利用三角函数的概念进行计算；
（2）过点A作AG⊥PE，连接CE，根据角平分线的概念可得∠APE=∠EPC=30°，设PB=a，则AP=2a，AB=BC=a，PC=a+a，PC+PA=3+a，PE=a+a，则PE=PC，∠PEC=∠PCE=75°，然后表示出AG、PG、GE，证明△AED≌△CED，得到∠ADE=∠EDC，据此证明；
（3）点M的运动轨迹为以点Q为圆心，QA为半径的圆上，作点B关于AP的对称点B′，当点B′、M′、B 三点共线时，BM′取得最小值，易得QG、BG、BB′的值，证明△B′PM′≌△QPM，得到B′M′=QM=2，然后求出BM′即可.
一、单选题
1．在Rt中，，若，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知α是锐角，若sinα= ，则α的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
3．如图，在中，，，，下列三角函数表示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是电杆的一根拉线，测得米，，则拉线的长为（ ）
A．米 B．米
C．米 D．米
5．计算sin 45°+cos45°的值为（ ）
A．1 B．2
C． D．2
6．如图，滑雪场有一坡角为20°的滑道，滑雪道的长AC为100米，则BC的长为（ ）米．
A． B．100cos20° C． D．100sin20°
7．如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为a，则两梯脚之间的距离BC为（ ）
A．4cos a B．4sin a C．4tan a D．
8．如图，的顶点都是正方形网格中的格点，则等( )
A． B． C． D．
9．将一对直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，点B在ED上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E＝45°，∠A＝60°，AC＝10，则CD的长度是（ ）
A．5 B． C．10﹣ D．15﹣
10．如图，直线y= x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，则cos∠BAO的值是( )
A． B． C． D．
二、填空题
11．比较大小：sin35° cos45°.
12． .
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在AB边上，连结，则的值为 .
14．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 米.
三、计算题
15．计算：
16．计算： ．
四、解答题
17．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB= 。求BC的长及∠A的正切值．
18．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的 长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.60）
19．如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯．某测绘兴趣小组为测算电梯的高度，测得斜坡米，坡度，在处测得电梯顶端的仰角，求观光电梯的高度．
（参考数据：，，．结果精确到0.1米）
20．先化简，再求值：，其中.
21．先化简，再求值：，其中.
五、综合题
22．为积极参与鄂州市全国文明城市创建活动，我市某校在教学楼顶部新建了一块大型宣传牌，如下图．小明同学为测量宣传牌的高度AB，他站在距离教学楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°，同时测得教学楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上）．然后，小明沿坡度i＝1：1.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行．
（1）求点F到直线CE的距离（结果保留根号）；
（2）若小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°，求宣传牌的高度AB（结果精确到0.1米，≈1.41，≈1.73）．
23．如图，在正方形 中，点 为 延长线上一点，连接 ．
图3
（1）如图1，连接 ，若 ， ，求 的值；
（2）如图2，点 在 上，连接 ．作 的平分线 交 于点 ，连接 、 ，若 ， ．求证： 平分 ；
（3）如图3，在（2）的条件下，点 为 的中点，点 为平面内一动点，且 ，连接 ，以 为边长作等边 ，若 ，直接写出 的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中， ， ，
，
.
故答案为：B.
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据余弦函数的概念进行计算.
2．【答案】A
【解析】【解答】解：∵a是锐角，sina=，
∴a=30°.
故答案为：A.
【分析】根据特殊角的锐角三角函数值可知，sin30°= ，即可判断a的度数.
3．【答案】B
【解析】【解答】，，
， A不符合题意；
，B符合题意；
， C不符合题意；
， D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用正弦、余弦和正切的定义逐项判断即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】解： ，
，
米，
米；
故答案为：D．
【分析】利用解直角三角形的方法可得 。
5．【答案】C
【解析】【解答】 解： .
故答案为：C.
【分析】直接代入特殊角的三角函数值，然后再合并同类二次根式即可得出答案.
6．【答案】B
【解析】【解答】解：∵滑道坡角为20°，
∴，
∵AC为100米，，
∴，
∴．
故答案为：B.
【分析】根据坡角可得∠C=20°，然后根据∠C的余弦函数进行计算即可.
7．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，作AH⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BC=2HC
∵HC=ACcosa =2cosa，
∴BC=2HC=4cosa.
故答案为：A.
【分析】作AH⊥BC，利用锐角三角函数定义求出HC长，再利用等腰三角形的性质求BC长即可.
8．【答案】D
【解析】【解答】解：易得，，AB=5，
∴AB=BC，
∴∠ACB=∠A，
∴cos∠ACB=cos∠A=.
故答案为：D.
【分析】 根据勾股定理以及网格结构，可以求得AC、AB、BC的长，根据等边对等角得∠ACB=∠A，进而根据余弦函数的定义及等角的同名三角函数值相等即可得到cos∠ACB的值．
9．【答案】D
【解析】【解答】解：过点B作BM⊥FD于点M，
在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝10，
∴∠ABC＝30°，BC＝10×tan60°＝，
∵AB∥CF，
∴BM＝BC×sin30°＝×＝，
CM＝BC×cos30°＝15，
在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝45°，
∴∠EDF＝45°，
∴MD＝BM＝，
∴CD＝CM﹣MD＝15﹣．
故答案为：D．
【分析】过点B作BM⊥FD于点M，先利用解直角三角形的方法求出BM和CM的长，再利用线段的和差求出CD的长即可。
10．【答案】A
【解析】【解答】解：令x=0，则y=3，
令y=0，则x=-4，
∴A（-4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∴cos∠BAO=.
故答案为：A.
【分析】先求出点A、B的坐标，从而得出OA=4，OB=3，AB=5，再利用锐角三角函数的定义即可得出cos∠BAO=.
11．【答案】＜
【解析】【解答】解：∵cos45°= sin45°，正弦在0°到90°内，函数值随角度的增大而增大，
∴sin35°＜sin45°，
∴sin35°＜cos45°.
故答案为：＜.
【分析】根据一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大可得sin35°＜sin45°，根据特殊角的三角函数值可得cos45°= sin45°，据此进行比较.
12．【答案】
【解析】【解答】原式 ，
故答案为： .
【分析】先进行负整数指数幂的运算，再代入三角函数的特殊值即可求值.
13．【答案】或
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
故答案为：或.
【分析】利用勾股定理可得AB，根据旋转的性质可得B′C′=BC=8，AC′=AC=6，∠B'C'B=90°，则BC′=AB-AC′=4，利用勾股定理可求出BB′，然后根据三角函数的概念进行计算.
14．【答案】750
【解析】【解答】解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ACD中，∠ACD=75°-30°=45°，
AC=30×25=750（米），
∴AD=AC sin45°=375（米），
∴AB=2AD= 750 （米）.
故答案为： 750 .
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，易得∠ACD=45°，AC=30×25=750米，根据三角函数的概念可求出AD，然后根据含30°角的直角三角形的性质进行计算.
15．【答案】解：原式=
【解析】【分析】，负数的绝对值去掉负号，运算即可。
16．【答案】解：原式
【解析】【分析】化为最简二次根式，利用负指数幂法则计算，利用绝对值的代数意义化简，利用特殊角的三角函数值化简，计算即可得到结果.
17．【答案】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，sinB= ，
∴AC=AB．sinB=6，
∴BC= =8，
∴tanA=
【解析】【分析】结合正弦的定义，利用∠B的正弦值求出AC的长，然后利用勾股定理求出BC，结合正切的定义即可求解.
18．【答案】解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C，
在Rt△ABC中，
∵∠ACB=90°，
∴BC=AB sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），
答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．
【解析】【分析】 过B作地平面的垂线段BC，垂足为C， 根据正弦函数的定义由 BC=AB sin∠BAC 即可算出答案。
19．【答案】解：过点B作BE⊥AC于点E，如图，
在Rt△ABE中，（米），坡度，即
设AE=x（米），则BE=2x（米）
由勾股定理得，
∴
解得，（负值舍去）
∴（米），（米）
∵
∴△BEC是等腰直角三角形
∴（米）
∴AC=AE+CE=（米）
答：观光电梯的高度为141.1米。
【解析】【分析】过点B作BE⊥AC于点E，设AE=x（米），则BE=2x（米），利用勾股定理可得，求出，可得AE和BE的长，再证出△BEC是等腰直角三角形，可得，最后利用线段的和差求出AC的长即可。
20．【答案】解：
=
=
=.
∵=2×+1=+1，
∴原式===.
【解析】【分析】对括号中的第二个分式的分母进行分解，然后对括号中的式子进行通分，将除法化为乘法，再进行约分即可对原式进行化简，根据特殊角的三角函数值可得a的值，然后代入化简后的式子中进行计算.
21．【答案】解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝
当＝ 时，
原式＝
＝
＝
【解析】【分析】对第一个分式的分子、分母进行分解因式，对括号中的式子进行通分计算，然后将除法化为乘法，再约分即可对原式进行化简；根据特殊角的三角函数值可得x的值，然后代入化简后的式子中进行计算即可.
22．【答案】（1）解：过点F作FG⊥EC于G，
依题意知FG∥DE，DF∥GE，∠FGE＝90°，
∴四边形DEGF是矩形，
∴FG＝DE，
在Rt△CDE中，
DE＝CE tan∠DCE＝6×tan30 o ＝2 （米），
∴点F到地面的距离为2 米；
（2）解：∵斜坡CF的坡度为 i＝1：1.5．
∴Rt△CFG中，CG＝1.5FG＝2×1.5＝3（米），
∴FD＝EG＝（3+6）（米）．
在Rt△BCE中，
BE＝CE tan∠BCE＝6×tan60 o ＝6（米），
∴AB＝AD+DE﹣BE＝3+6+2﹣6＝6﹣≈4.3 （米）．
答：宣传牌的高度约为4.3米．
【解析】【分析】（1）过点F作FG⊥EC于G，易得四边形DEGF是矩形，根据矩形的性质得FG＝DE，在Rt△CDE中，根据正切函数的定义，由DE＝CE tan∠DCE即可算出答案；
（2）根据坡比的定义，Rt△CFG中，可得CG＝1.5FG，进而可得FD＝EG＝（3+6）（米），在Rt△BCE中，根据正切函数的定义，由BE＝CE tan∠BCE求出BE，最后根据AB＝AD+DE﹣BE算出答案.
23．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ；
（2）证明：如图所示：过点A作 ，连接CE，
∵ ，PE平分 ，
∴ ， ，
设 ，则 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴点A、P、C、E四个点在同一个圆上，
∵ ，
∴ ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴DE平分
（3）解： 的最小值为
【解析】【解答】解：(3)如图所示：点M的运动轨迹为以点Q为圆心，QA为半径的圆上，作点B关于AP的对称点 ，
∴QP垂直平分 ，
当点 ， ，B三点共线时， 取得最小值，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
，
∴ ，
∵B关于AP的对称点 ，
∴ ， ， ，
∴ ，
即 ，
在 与 中，
，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的最小值为
【分析】（1）易得∠DPC=30°，AD=DC=CB=AB=4，PD=2DC=8，利用勾股定理求出PC，进而得到PB，然后利用三角函数的概念进行计算；
（2）过点A作AG⊥PE，连接CE，根据角平分线的概念可得∠APE=∠EPC=30°，设PB=a，则AP=2a，AB=BC=a，PC=a+a，PC+PA=3+a，PE=a+a，则PE=PC，∠PEC=∠PCE=75°，然后表示出AG、PG、GE，证明△AED≌△CED，得到∠ADE=∠EDC，据此证明；
（3）点M的运动轨迹为以点Q为圆心，QA为半径的圆上，作点B关于AP的对称点B′，当点B′、M′、B 三点共线时，BM′取得最小值，易得QG、BG、BB′的值，证明△B′PM′≌△QPM，得到B′M′=QM=2，然后求出BM′即可.