18.2.1 矩形的性质 课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
18.2.1 矩形的性质
人教版八年级下册
知识回顾
对边平行
对边相等
对角相等
对角线互相平分
平行四边形的性质有哪些？
教学目标
1.掌握矩形的概念，能比较与平行四边形的异同.
2.探索并证明矩形的性质，会用矩形的性质解决问题.
新知导入
矩形是生活中常见的图形，你平时有注意到吗？
新知探究
你还注意到生活中有哪些矩形？
新知导入
我们知道平行四边形的定义，那么矩形是不是平行四边形呢？
矩形的两组对边分别平行，所以矩形也是平行四边形
新知导入
矩形
由上图的变换，大家想一想矩形的定义？
猜想：有 个角为直角的平行四边形为矩形
四
新知探究
根据平行四边形的性质，只要有一个角为直角，就可以得到其他3个角也是直角了。
A
B
C
D
已知： ABCD中，∠A=90°
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
证明：∵平行四边形ABCD中，∠A=90°
∴∠C=∠A=90°，∠B=∠D
AD BC
∴∠A+∠B=180°
∴∠B=90°
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°
新知探究
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
┐
平行四边形
矩形
有一个角是直角
知识点1
矩形的定义和性质
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∠B=90°，
∴ ABCD是矩形．
几何语言
新知探究
矩形是特殊的平行四边形，但平行四边形不一定是矩形.
1. 矩形必须具备两个条件：
①是平行四边形；
②有一个角是直角.两个条件缺一不可.
2. 矩形的定义可以作为判定一个四边形是矩形的方法.
新知探究
矩形的一般性质（矩形具有平行四边形的所有性质）：
对边平行且相等
对角相等
对角线互相平分
A
B
D
C
┐
O
矩形还有哪些一般平行四边形不具有的特殊性质呢？
新知探究
思考1 有一个角是直角的平行四边形是矩形，那么矩形其他的内角都是多少呢？
A
B
D
C
┐
矩形ABCD中， ∠A = 90 .
经过全面的证明，可知∠A =∠B =∠C =∠D = 90 .
矩形的四个角都是直角
新知探究
思考2 平行四边形对角线互相平分，那么矩形的对角线有特殊的性质吗？
矩形ABCD中，∠A=∠B=∠C
=∠D = 90 .
猜想：AC=BD.
A
B
D
C
┐
新知探究
如图，矩形ABCD中，求证： AC=BD.
证明：∵四边形ABCD是矩形
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90 ，AD=BC
∵ AB是△DAB和△CBA的公共边
∴ △DAB≌△CBA(SAS)
∴ AC=BD.
A
B
D
C
┐
矩形的对角线相等
新知小结
矩形 性质
边
角
对角线
矩形是特殊的平行四边形
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
新知小结
边
角
对角线
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线相等且互相平分
性质
矩形
角特殊化
一般
特殊
A
B
D
C
平行四边形
新知探究
例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长．
A
B
C
D
O
对角线相等且互相平分
分析：
（等边三角形）
等腰三角形
矩形的性质
新知探究
例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长．
A
B
C
D
O
OA=AB=4
OA=OB=OC=OD
△AOB是等边三角形
四边形ABCD是矩形
AC=8
分析：
新知探究
四个角都是直角
分析：
直角三角形
矩形的性质
勾股定理
例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长．
A
B
C
D
O
新知探究
BC
∠ABC=∠DCB=∠CDA=∠DAB=90°
分析：
△ABC是直角三角形
四边形ABCD是矩形
例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长．
A
B
C
D
O
新知探究
解：∵四边形ABCD是矩形.
∴AC = BD，
OA= OC= AC,OB = OD =BD ,
∴OA = OB.
又∵∠AOB=60°,
∴△OAB是等边三角形，
∴OA=AB=4，
∴AC=BD=2OA=8.
例1 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4．求AC与BC的长．
A
B
C
D
O
∵ ∠ABC=90°，
∴ △ABC是直角三角形．
在Rt△ABC中，，
∴ ．
新知小结
等腰三角形
直角三角形
等边三角形
含30°角的直角三角形
A
B
C
D
O
60°
例题小结
30°
新知练习
如图,在矩形ABCD中, E是BC上一点, AE=AD, DF⊥
AE ,垂足为F.求证：DF=DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连结DE.
∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠C=90°.
∴∠ADE=∠DEC, ∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE, ∴∠DFE=∠C=90°.
又∵DE=DE,∴△DFE≌△DCE（AAS）,
∴DF=DC.
1.
新知探究
A
B
D
C
┐
矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴呢？
是.它有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线.
新知探究
知识点2
直角三角形斜边上中线的性质
思考 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 我们观察Rt△ABC， 在Rt△ABC中， BO是斜边AC上的中线，BO 与AC 有什么关系？
A
B
D
C
┐
O
新知探究
如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O. 试判断，在Rt△ABC中，BO与AC的关系.
解：∵四边形ABCD是矩形
∴
∴
A
B
D
C
┐
O
新知探究
性质 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
该性质的逆命题“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形”仍然成立，它可以用来判断一个三角形是否为直角三角形.
拓展
新知练习
如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90 ，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线， AD=2， CE=5，则CD=（ ）.
A.2 B.3 C.4 D.
解析： ∵在Rt△ABC中， ∠ACB=90 ,
CE为AB边上的中线， CE=5
∴AE=CE=5
∵AD=2
∴DE=3
∵CD为AB边上的高
∴在Rt△CDE中，
C
课堂总结
矩形
概念
特殊性质
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
①四个角都是直角
②对角线相等
③轴对称图形
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
课堂练习
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=34°，则∠BAO的度数是（　　）
A．46° B．54°
C．56° D．60°
C
B
C
A
D
O
34°
34°
56°
课堂练习
2. 矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，请填写下列空格.
（1）若OA=4，则BD= .
8
（2）若∠DAO=60 , AD=3，则
AC= .
6
A
B
D
C
O
课堂练习
3.如图，在△ABC中，AD是高，E、F分别是边AB、AC的中点.
若AB=10，AC=8，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是
边AB、AC的中点，
∴DE=AE= AB= ×10=5，
DF=AF=AC=×8=4，
∴四边形AEDF的周长=AE＋DE＋DF＋AF=5＋5＋4＋4=18.
课堂练习
4.如图，矩形 ABCD 中，E 为 AD 上一点， EF⊥CE 交AB 于点 F，若 DE=2，矩形 ABCD 的周长为 16，且CE=EF，求 AE 的长.
解：∵四边形 ABCD 为矩形
B
C
A
D
┐
E
F
∴ ∠A=∠D=90
∵EF⊥CE
∴ ∠AEF+∠DEC=90
∵ ∠A=90
∴ ∠AEF+∠AFE=90
∴ ∠DEC=∠AFE
课堂练习
∵ 在△AEF 和△DCE 中，∠A=∠D=90 ，∠AFE=∠DEC，EF=CE
∴△AEF≌△DCE（AAS），AE=DC
∵ 矩形 ABCD 的周长为16
∴ AD+CD=8
∵ DE=2，AE=DC ∴ 2+AE+AE=8
∴ AE=3
B
C
A
D
┐
E
F
谢谢
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