14.1.3轴对称[上学期]

§14．1．3 轴对称（三）
第三课时
教学目标
（一）教学知识点
探索作出轴对称图形的对称轴的方法．
（二）能力训练要求
1．经历探究轴对称图形的对称轴的作法的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程．
2．掌握轴对称图形对称轴的作法．
3．在探索的过程中，培养学生分析、归纳的能力．
（三）情感与价值观要求
通过提问、思考、归纳、探究来激发学生学习数学的兴趣，并使学生了解一些研究问题的经验和方法，开拓实践能力，培养创新精神．
教学重点
轴对称图形对称轴的作法．
教学难点
探索轴对称图形对称轴的作法．
教学方法
引导发现法．
教具准备
多媒体课件、投影仪．
教学过程
Ⅰ．提出问题，引入新课
[师]有时我们感觉两个图形是轴对称的，如何验证呢？不折叠图形，你能比较准备地作出轴对称图形的对称轴吗？
（学生思考，教师提示）
[师]大家不妨回忆，我们上节研究的主要结论是什么？
[生]轴对称图形的性质．
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．
[师]这位同学回答得很好．大家想想，既然轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，那么，轴对称图形的对称轴如何来作呢？
[生]只要我们找到一对对应点，作出连结它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了．
[师]好极了．这就是我们这节课要研究的第一个问题，大家请看大屏幕．
（播放课件）
问题：如何作出线段的垂直平分线？
提示：由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质，只要作出到线段两端点距离相等的两点即可．
[师]下面同学们按我们分好的组来讨论．
[生]我们用折纸的方法，根据折叠的过程中线段重合，说明了线段垂直平分线的一个性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．所以这个问题利用此性质就能完成．
[师]这位同学分析得很详细，我们曾证明过这一性质．现在我们利用这一性质，来作出线段的垂直平分线．
Ⅱ．导入新课
[师]要作出线段的垂直平分线，根据垂直平分线的判定定理，到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，又由两点确定一条直线这个公理，那么我们必须找到两个到线段两端点距离相等的点，这样才能确定已知线段的垂直平分线．
下面我们一同来写出已知、求作、作法，体会作法中每一步的依据．
[师生共析]
[例]如图（1），点A和点B关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？
已知：线段AB[如图（1）]．
求作：线段AB的垂直平分线．
作法：如图（2）
1．分别以点A、B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C和D两点；
2．作直线CD．
直线CD就是线段AB的垂直平分线．
[师]在上述作法中，为什么要以“大于AB的长”为半径作弧？
[生]如果以AB长为半径作弧，两弧只有一个交点，正好是线段AB的中点．这样就找不到到端点A、B距离相等的两点，也就作不出线段AB的垂直平分线．
[生]如果以小于AB长为半径，两弧就没有交点，这样找不到到A、B两端点距离相等的点，也就作不出线段AB的垂直平分线了．只有以大于长为半径作弧才可以作出线段AB的垂直平分线．
[师]根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线，请与同伴进行交流．
[生]从作法的第一步可知
AC=BC，AD=BD．
∴C、D都在AB的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定定理）．
∴CD就是线段AB的垂直平分线（两点确定一条直线）．
[师]这种作图方法用到直尺和圆规，我们把这种用直尺和圆规辅助作图的方法叫尺规作图法．
我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．
[师]同学们不要忘了，我们作线段的垂直平分线是为了什么．
[生]是为了作出轴对称图形的对称轴．
[师]那怎么作出一个轴对称图形的对称轴呢？
[生]我们只要找到任意一组对应点，作出这对对应点连线的垂直平分线，就可以得到此图形的对称轴．
[师]我们来看下面的例题．
（演示课件）
[例]下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴．
作法：1．找出五角星的一对对应点A和A′，连结AA′．
2．作出线段AA′的垂直平分线L．
则L就是这个五角星的一条对称轴．
用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五条对称轴．
[师]现在同学们自己画一个轴对称图形，再按照上述方法，作出这个轴对称图形的对称轴．
（投影仪演示学生作图）
[生甲]
Ⅲ．随堂练习
（一）课本P122练习 1、2、3
1．画出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们画的一样吗？
答案：略
2．如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
答案：角是轴对称图形．
角的对称轴是角的平分线所在直线．
3．如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它们的对称轴．
答案：与A成轴对称的是图形D（或B）．
（二）阅读课本P121～P122，小结．
Ⅳ．课时小结
本节课我们探讨了尺规作图，作出线段的垂直平分线．并据此得到作出一个轴对称图形一条对称轴的方法：找出轴对称图形的任意一对对应点，连结这对对应点，作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴．
Ⅴ．课后作业
课本P124习题─5、10、11、12题．
Ⅵ．活动与探究
尺规作图：作出已知角的角平分线．
过程：找出作图根据：角平分线上的点到角两边的距离相等．
结果：
已知：∠AOB
求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC
（如下图）
作法：
1．在OA和OB上分别截取OD、OE，使OD=OE．
2．分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．
3．作射线OC．
OC就是∠AOB的平分线．
证明：从作图过程中，不难发现OD=OE．EC=DC，OC=OC．
∴△OCE≌△OCD（SSS）．
∴∠1=∠2，即OC是∠AOB的角平分线．
板书设计
§14．1．3 轴对称（三）
一、问题：复习轴对称的性质．
二、问题：如何作出一个轴对称图形的一条对称轴？
三、问题：如何作出线段的垂直平分线？
四、尺规作图：
作法（略）
五、例题（略）
六、练习
七、课时小结
八、课外作业
备课资料
参考例题
[例1]如下图，已知直线L和两点A、B，在直线L上求作一点P，使PA=PB．
分析：PA=PB，则P点在线段AB的垂直平分线上，P点又在直线L上，故P点为线段AB的垂直平分线与直线L的交点．
解：作出线段AB的垂直平分线L′，L′与直线L的交点即为P，使PA=PB．
[例2]画出下图甲中的各图的对称轴．
分析：根据对称图形的性质可知：这几个图形的对称轴分别有3条、2条、1条、3条．
解：如下图乙所示
方法总结：当对称轴的条数超过1条时，各对称轴往往交于一点．
[例3]如下图小河边有两个村庄，要在河对岸建一自来水厂向A村与B村供水，要符合条件：（1）若要使厂部到A、B的距离相等，则应选在哪儿？
（2）若要使厂部到A村、B村的水管最省料，应建在什么地方？
分析：（1）到A、B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到两边距离相等”．
（2）要使厂部到A村、B村的距离和最短，可联想到“两点之间线段最短”．
解：（1）如图（1），取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A、B的距离相等．
（2）如图（2），画出点A关于河岸EF的对称点A′，连A′B交EF于P，则P到A、B的距离和最短．
方法总结：“垂线段最短”“两点之间线段最短”是线段最值问题中两个重要方法．
毛
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