7.5 正态分布（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022春·广东潮州·高二统考期末）随机变量服从正态分布，则标准差为（ ）
A．2 B．4 C．10 D．14
2．（2022春·江苏常州·高二统考期中）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（ ）.
A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②
3．（2022春·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期末）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0
B．若是随机变量，则.
C．已知随机变量，若，则
D．设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机实验中发生的次数，则
5．（2022春·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考期末）疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（ ）. 附：随机变量服从正态分布，则，.
A．12 B．16 C．30 D．32
6．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）正常情况下，某厂生产的零件尺寸X服从正态分布（单位：m），，则（ ）
A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.9
7．（2022·高二课时练习）4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间（单位：），则下列说法错误的是（ ）
A．该校学生每周平均阅读时间为
B．该校学生每周阅读时间的标准差为
C．若该校有名学生，则每周阅读时间在的人数约为
D．该校学生每周阅读时间低于的人数约占
8．（2022春·江苏淮安·高二统考期末）某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c近似服从N（90，），若，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．30
9．（2022春·山西忻州·高二统考期末）随机变量X服从正态分布，且，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布，且，则（ ）
A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.09
二、多选题
11．（2022春·江苏苏州·高二校考期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z服从正态分布，则(人数保留整数) （ ）
参考数据：若，．
A．年级平均成绩为82.5分
B．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等
C．成绩不超过77分的人数少于150
D．超过98分的人数为1
12．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
三、填空题
13．（2022春·云南昭通·高二校联考期末）设随机变量，X的正态密度函数为，则______.
14．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数______．
15．（2022春·重庆·高二校联考阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，若，，则______．
16．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）某学校高二年级有1500名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布．已知，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人．
四、双空题
17．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）随机变量服从正态分布，即，随机变量，则__________，__________．
五、解答题
18．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为，标准差为．
(1)求和；
(2)已知这批零件的内径（单位：）服从正态分布，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．
参考数据：若，则：
，，
，．
19．（2023·高二课时练习）某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布（单位：）．
(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于的概率约为多少？
(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023秋·辽宁阜新·高二校考期末）某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布．随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（ ）
（注：若，，，）
A．0.8185 B．0.84 C．0.954 D．0.9755
2．（2022春·湖北十堰·高二十堰东风高级中学校考阶段练习）已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（ ）
（参考数据：①；②；③）
A．这次考试成绩超过100分的约有500人
B．这次考试分数低于70分的约有27人
C．
D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为
3．（2022春·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
二、多选题
4．（2022春·吉林白城·高二校考阶段练习）已知两种不同型号的电子元件（分别记为，）的使用寿命均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论正确的是（ ）
参考数据：若，则，
A．
B．
C．
D．对于任意的正数，有
三、填空题
5．（2023·高二课时练习）在2021年6月某区的高二期末质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是______．附:若,则，.
四、解答题
6．（2023·高二课时练习）一研究机构从某市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右且垃圾数量超过28吨/天的社区确定为“超标”社区．
垃圾量（吨）
频数 5 6 9 12 8 6 4
(1)通过频数分布表估算出这50个社区这一天的垃圾量的平均值；（精确到0.1）
(2)若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，近似为样本方差，经计算得，请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数；
(3)通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，研究机构决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求的分布与数学期望．
7．（2022·湖南郴州·高二安仁县第一中学阶段练习）为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
(1)求a的值；
(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数；
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在与内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
8．（2022秋·江西宜春·高二校联考阶段练习）学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行.近年来，某市积极组织开展党史学习教育的活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中抽取了1000份试卷进行调查，根据这1000份试卷的成绩（单位：分，满分100分）得到如下频数分布表：
成绩/分
频数 40 90 200 400 150 80 40
(1)求这1000份试卷成绩的平均数？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
(2)假设此次测试的成绩服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少（结果保留一位小数）？
(3)该市教育局准备从成绩在内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记为抽取的3份试卷中测试成绩在内的份数，求的分布列和数学期望.
参考数据：若，则，，.
9．（2022春·江苏泰州·高二统考期末）我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为（单位：nm）.
(1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个.现从这7个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及的方差；
(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率.
参考数据：若，则，，，，.
10．（2022春·福建·高二校联考期末）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程的概率；
（参考数据：若随机变量，则，
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0 1 2 3 …… 20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正 反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到万元）.
11．（2022春·江苏连云港·高二江苏省灌云高级中学校考阶段练习）某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
（1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？
附：；若，则，，．
12．（2022春·全国·高二期末）在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
组别 [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数 2 13 21 25 24 11 4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），
①求的值；
②利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额（单位：元） 20 50
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
参考数据与公式：．若，则，，.
13．（2022春·江苏扬州·高二扬州市江都区丁沟中学校考期末）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心 牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理 学史增信 学史崇德 学史力行，教育引导党员干部学党史 悟思想 办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据：，，，.7.5 正态分布（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022春·广东潮州·高二统考期末）随机变量服从正态分布，则标准差为（ ）
A．2 B．4 C．10 D．14
【答案】A
【分析】根据正态分布中的参数意义可知当差为4，进而可得标准差.
【详解】因为服从正态分布可知:方差为4，故标准差为2，
故选：A
2．（2022春·江苏常州·高二统考期中）如图是三个正态分布，，的密度曲线，则三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为（ ）.
A．①②③ B．③②① C．②③① D．①③②
【答案】A
【分析】先利用正态分布求出三个变量的标准差，再利用当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”进行判定.
【详解】由题意，得，，，
因为当较小时，峰值高，正态曲线“瘦高”，且，
所以三个随机变量X，Y，Z对应曲线的序号分别依次为①，②，③.
故选：A.
3．（2022春·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期末）随机变量的概率分布密度函数，其图象如图所示，设，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据正态分布的性质即可求解.
【详解】解：由题意可知，则，
故图中阴影部分的面积为.
故选：C.
4．（2022秋·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）下列说法正确的有（ ）
A．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于0
B．若是随机变量，则.
C．已知随机变量，若，则
D．设随机变量表示发生概率为的事件在一次随机实验中发生的次数，则
【答案】D
【分析】根据线性相关系数的定义，期望方差的公式以及正态分布进项逐项分析即可得答案.
【详解】解：
对于选项A：根据相关系数的定义可知A错误；
对于选项B：若是随机变量，则，故B错误；
对于选项C：因为随机变量服从正态分布，故，
则，故C错误；
对于选项D：随机变量的可能取值为、，故，
，当且仅当取等号，故D正确；
故选：D
5．（2022春·福建泉州·高二福建省德化第一中学校考期末）疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（ ）. 附：随机变量服从正态分布，则，.
A．12 B．16 C．30 D．32
【答案】B
【分析】根据正态分布的对称性求出每天学习时间超过10小时的概率,进而可求人数.
【详解】由题意可知，所以,所以每天学习时间超过10小时的人数为，
故选：B
6．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）正常情况下，某厂生产的零件尺寸X服从正态分布（单位：m），，则（ ）
A．0.1 B．0.4 C．0.5 D．0.9
【答案】D
【分析】根据正态分布概率的对称性求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
故选:D.
7．（2022·高二课时练习）4月23日为世界读书日，已知某高校学生每周阅读时间（单位：），则下列说法错误的是（ ）
A．该校学生每周平均阅读时间为
B．该校学生每周阅读时间的标准差为
C．若该校有名学生，则每周阅读时间在的人数约为
D．该校学生每周阅读时间低于的人数约占
【答案】C
【分析】利用正态分布的对称性及常见概率直接计算.
【详解】由知A，B正确；
因为，，每周阅读时间在的人数约占，人数约为，所以C错误；
该校学生每周阅读时间低于小时的人数约占，D正确；
故选：C.
8．（2022春·江苏淮安·高二统考期末）某班50名同学参加体能测试，经统计成绩c近似服从N（90，），若，则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．30
【答案】B
【分析】由已知可得正态分布曲线的对称轴，再由已知条件结合对称性求得，即可求得该班体能测试成绩低于85分的人数.
【详解】由c近似服从N（90，），可知正态分布曲线的对称轴为，
则，
所以,
则可估计该班体能测试成绩低于85分的人数为人，
故选：B.
9．（2022春·山西忻州·高二统考期末）随机变量X服从正态分布，且，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用正态分布的性质可求出，而方差无法确定，从而可得出答案．
【详解】因为，
由正态分布的对称性可得，故B正确，A错误，
而正态分布的方差无法确定，故C，D均错误.
故选：B．
10．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）某班学生的一次数学考试成绩（满分：100分）服从正态分布，且，则（ ）
A．0.03 B．0.05 C．0.07 D．0.09
【答案】D
【分析】先计算，再结合计算即可.
【详解】∵，∴，
∴．
故选：D.
二、多选题
11．（2022春·江苏苏州·高二校考期末）在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果进行测试．高二有1 000名学生，某学科的期中考试成绩(百分制且卷面成绩均为整数)Z服从正态分布，则(人数保留整数) （ ）
参考数据：若，．
A．年级平均成绩为82.5分
B．成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)人数相等
C．成绩不超过77分的人数少于150
D．超过98分的人数为1
【答案】ABD
【分析】根据正态分布的概念可知A对，根据对称性可知B对，根据原则和曲线的对称性即可求解C,D.
【详解】由，可知，所以平均分为，故A对.
由于，可知关于对称，根据正态分布的对称性可知，
成绩在95分以上(含95分)人数和70分以下(含70分)的概率相等，进而人数相等，故B对.
,因为，所以C错误.
,因为，
所以超过98分的人数为1，故D正确.
故选:ABD
12．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知，，则下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】BC
【分析】利用正态密度曲线的对称性可判断AB选项；作变换，则，利用正态密度曲线的对称性可判断CD选项.
【详解】对于A选项，若，则，A错；
对于B选项，若，则，B对；
对于C选项，令，则，
若，则，C对；
对于D选项，令，则，
若，，D错.
故选：BC.
三、填空题
13．（2022春·云南昭通·高二校联考期末）设随机变量，X的正态密度函数为，则______.
【答案】0
【分析】由正态密度函数结构直接可得.
【详解】由正态密度函数结构特征可知，.
故答案为：0
14．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）已知随机变量服从正态分布，若，则实数______．
【答案】3
【分析】由正态分布曲线的特点可知，得正态曲线关于对称，且，结合题意得到a的值．
【详解】随机变量服从正态分布，正态曲线关于对称，且，
由，可知，解得．
故答案为：3．
15．（2022春·重庆·高二校联考阶段练习）已知随机变量X服从正态分布，若，，则______．
【答案】
【分析】先求出的概率，然后根据正态分布的特征求解即可.
【详解】解：由题意得：
∵
∴与关于对称
∴．
故答案为：
16．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）某学校高二年级有1500名同学，一次数学考试的成绩服从正态分布．已知，估计高二年级学生数学成绩在120分以上的有__________人．
【答案】240
【分析】根据正态曲线的对称性求出，再乘以可得结果.
【详解】因为考试的成绩服从正态分布，所以正态曲线关于对称，
因为，所以，
所以该班数学成绩在120分以上的人数为（人）．
故答案为：240
四、双空题
17．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）随机变量服从正态分布，即，随机变量，则__________，__________．
【答案】 17 36
【分析】首先根据正态分布的知识得，然后可得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，，
故答案为：.
五、解答题
18．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）某车间生产一批零件，现从中随机抽取10个，测量其内径的数据如下（单位：）：192，192，193，197，200，202，203，204，208，209．设这10个数据的均值为，标准差为．
(1)求和；
(2)已知这批零件的内径（单位：）服从正态分布，若该车间又新购一台设备，安装调试后，试生产了5个零件，测量其内径（单位：）分别为：181，190，198，204，213，如果你是该车间的负责人，以原设备生产性能为标准，试根据原则判断这台设备是否需要进一步调试？并说明你的理由．
参考数据：若，则：
，，
，．
【答案】(1)，
(2)这台设备是否需要进一步调试，理由见解析
【分析】（1）利用公式计算出平均数和方差，进而求出标准差；
（2）计算出五个零件的内径中恰有1个不在的概率约为，而又试产的5个零件中内径出现了1个不在内，根据原则，得到结论.
【详解】（1）,
，
故；
（2）由题意得：，
，即，
所以五个零件的内径中恰有1个不在的概率为，
又试产的5个零件中内径出现了1个不在内，
所以小概率事件出现了，根据原则，这台设备是否需要进一步调试.
19．（2023·高二课时练习）某厂包装白糖的生产线，正常情况下生产出来的白糖质量服从正态分布（单位：）．
(1)求正常情况下，任意抽取一包白糖，质量小于的概率约为多少？
(2)该生产线上的检测员某天随机抽取了两包白糖，称得其质量均小于，检测员根据抽检结果，判断出该生产线出现异常，要求立即停产检修，检测员的判断是否合理？请说明理由．
【答案】(1)
(2)检测员的判断是合理的，理由见解析
【分析】（1）根据正态分布的对称性及“”原则可直接计算得到结果；
（2）根据独立事件概率乘法公式可求得抽取两包白糖，质量均小于的概率，可知其为极小概率事件，几乎不可能发生，但事件发生了，所以可判断出检测员的判断为合理的.
【详解】（1）设正常情况下，该生产线上包装出来的白糖质量为，
由题意可知：；
，
由正态分布的对称性及“”原则可知：.
（2）检测员的判断是合理的．
如果生产线不出现异常的话，由（1）可知，随机抽取两包白糖检测，质量都小于的概率约为，为极小概率事件，几乎不可能发生；但这样的事件竟然发生了，
有理由认为生产线出现异常，即检测员的判断是合理的.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023秋·辽宁阜新·高二校考期末）某批待出口的水果罐头，每罐净重X（单位：g）服从正态分布．随机抽取1罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为（ ）
（注：若，，，）
A．0.8185 B．0.84 C．0.954 D．0.9755
【答案】A
【分析】根据正态分布的对称性，以及即可求得净重在179g与186.5g之间的概率.
【详解】由题意可知，，可得
净重在179g与186.5g之间的概率为
由正态分布的对称性可知，
；
所以净重在179g与186.5g之间的概率为.
故选：A.
2．（2022春·湖北十堰·高二十堰东风高级中学校考阶段练习）已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布，则下列说法正确的有（ ）
（参考数据：①；②；③）
A．这次考试成绩超过100分的约有500人
B．这次考试分数低于70分的约有27人
C．
D．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为
【答案】B
【分析】由正态分布的性质则，求出人数判断A，由正态分布的对称性求出相应概率判断BC，利用独立事件的概率公式和互斥事件概率公式计算后判断D．
【详解】由题意可知，对于选项A，，，则，则成绩超过100分的约有人，所以选项A错误；
对于选项B，，所以，所以分数低于70分的人数约为 ，即约为27人，所以选项B正确；
对于选项C，，，所以，所以选项C错误；
对于选项D，因为，且至少有2人的分数超过100分的情况如下：①恰好2人时概率为；②3人均超过100分时的概率为，则至少有2人的分数超过100分的概率为，所以选项D错误；
故选：B．
3．（2022春·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．对任意正数，
D．对任意正数，
【答案】C
【分析】根据正态分布的密度曲线的性质及意义判断即可
【详解】解：由正态密度曲线的性质可知，
、的密度曲线分别关于、对称，
因此结合所给图像可得，
；
又的密度曲线较的密度曲线“瘦高”，
所以，
；
故A、B错误．
由密度曲线与横轴所围成的图形的面积的意义可知：对任意正数，
．
故C正确，D错误．
故选：C．
二、多选题
4．（2022春·吉林白城·高二校考阶段练习）已知两种不同型号的电子元件（分别记为，）的使用寿命均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论正确的是（ ）
参考数据：若，则，
A．
B．
C．
D．对于任意的正数，有
【答案】ABD
【分析】抓住平均数和标准差这两个关键量，结合正态曲线的图形特征分析即可．
【详解】对于A，，故A选项正确；
对于B，由正态分布密度曲线，可知，所以，故B选项正确；
对于C，由正态分布密度曲线，可知，所以，故C选项错误；
对于D，对于任意的正数，由图象知表示的面积始终大于表示的面积，所以，D选项正确，
故选：ABD．
三、填空题
5．（2023·高二课时练习）在2021年6月某区的高二期末质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布．已知参加本次考试的学生约有9450人，如果某学生在这次考试中数学成绩为108分，那么他的数学成绩大约排在该区的名次是______．附:若,则，.
【答案】1500
【分析】根据正态分布特点，则，再乘以总人数即可.
【详解】因为考试的成绩服从正态分布，
根据，，则，
得，
即数学成绩高于108分的学生占总人数的15.87%，
由，可知这位学生的数学成绩108分大约排在该区的名次是1500．
故答案为：1500.
四、解答题
6．（2023·高二课时练习）一研究机构从某市人口数量在两万人左右的320个社区中随机抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到如下频数分布表，并将人口数量在两万人左右且垃圾数量超过28吨/天的社区确定为“超标”社区．
垃圾量（吨）
频数 5 6 9 12 8 6 4
(1)通过频数分布表估算出这50个社区这一天的垃圾量的平均值；（精确到0.1）
(2)若该市人口数量在两万人左右的社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为（1）中的样本平均值，近似为样本方差，经计算得，请利用正态分布知识估计这320个社区中“超标”社区的个数；
(3)通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，研究机构决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查．现计划在这8个“超标”社区中任取5个先进行跟踪调查，设为抽到的这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区个数，求的分布与数学期望．
【答案】(1)平均值为22.8吨
(2)51
(3)分布列见解析，
【分析】(1)根据频数分布表，将数据代入平均数的计算公式即可求解；
(2)根据正态分布曲线的对称性即可求解；
(3)先求出随机变量的可能取值，然后求出每一个值对应的概率，列出分布列代入期望的计算公式即可求解.
【详解】（1）由频数分布表，
可得，
所以这50个社区这一天垃圾量的平均值为22.8吨．
（2）由已知及（1）知，，于是．
因为，
所以估计这320个社区中“超标”社区的个数为51．
（3）由频数分布表知：8个“超标”社区中这一天的垃圾量至少为30.5吨的社区有4个，于是的可能取值为1、2、3、4，且，，，，所以的分布列如下：
，
由此得的数学期望．
7．（2022·湖南郴州·高二安仁县第一中学阶段练习）为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时长15小时），将其分成六组，并绘制成如图所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
(1)求a的值；
(2)以样本估计总体，该地区教职工学习时间近似服从正态分布，其中近似为样本的平均数，经计算知．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在内的人数；
(3)现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在与内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，．
【答案】(1)
(2)4093
(3)在内的教职工平均人数为1，在内的教职工平均人数2
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，计算即可得答案.
（2）先求得平均数，可得值，根据值，结合所给公式及数据，代入计算，可得的值，根据总人数，即可得答案.
（3）根据分层抽样，可得内的人数分别为2，3，设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为X，可得X所有取值，进而可得各个取值对应的概率，即可求得期望，进而可得内人数的期望值，即可得答案
【详解】（1）由题意得，
解得．
（2）由题意知样本的平均数为，
所以．
又，所以．
则，
所以估计该地区教职工中学习时间在内的人数约为4093．
（3）对应的频率比为，即为2:3，
所以抽取的5人中学习时间在内的人数分别为2，3，
设从这5人中抽取的3人学习时间在内的人数为X，
则X的所有可能取值为0，1，2，
，，，
所以．
则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为1．
设从这5人中抽取的3人中学习时间在内的人数为Y，
则，
所以．
则这3人中学习时间在内的教职工平均人数约为2．
8．（2022秋·江西宜春·高二校联考阶段练习）学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行.近年来，某市积极组织开展党史学习教育的活动，为调查活动开展的效果，市委宣传部对全市多个基层支部的党员进行了测试，并从中抽取了1000份试卷进行调查，根据这1000份试卷的成绩（单位：分，满分100分）得到如下频数分布表：
成绩/分
频数 40 90 200 400 150 80 40
(1)求这1000份试卷成绩的平均数？（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
(2)假设此次测试的成绩服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的近似值为6.61，以样本估计总体，假设有84.14%的学生的测试成绩高于市教育局预期的平均成绩，则市教育局预期的平均成绩大约为多少（结果保留一位小数）？
(3)该市教育局准备从成绩在内的120份试卷中用分层抽样的方法抽取6份，再从这6份试卷中随机抽取3份进行进一步分析，记为抽取的3份试卷中测试成绩在内的份数，求的分布列和数学期望.
参考数据：若，则，，.
【答案】(1)82.15分
(2)75.5分
(3)分布列见解析，
【分析】（1）根据平均数的求法求得平均数.
（2）结合正态分布的对称性求得市教育局预期的平均成绩.
（3）利用超几何分布的分布列计算公式，计算出的分布列并求得数学期望.
【详解】（1）设这1000份试卷成绩的平均数为，则：
分.
（2）由（1）得，而，
由于，
即，
所以市委宣传部预期平均成绩大约为75.5分；
（3）由分层抽样得抽取的6份试卷中2份在内，4份在内，的可能取值为0，1，2，
则，，
即的分布列为：
0 1 2
所以.
9．（2022春·江苏泰州·高二统考期末）我国是全球制造业大国，制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，主要产品产量稳居世界前列，为深入推进传统制造业改造提升，全面提高传统制造业核心竞争力，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破.设备生产的零件的直径为（单位：nm）.
(1)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于10nm的有4个.现从这7个零件中随机抽取3个.记表示取出的零件中直径大于10nm的零件的个数，求的分布列及数学期望；
(2)技术攻坚突破后设备生产的零件的合格率为，每个零件是否合格相互独立.现任取6个零件进行检测，若合格的零件数超过半数，则可认为技术攻坚成功.求技术攻坚成功的概率及的方差；
(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的零件中随机取出10个，求至少有一个零件直径大于9.4nm的概率.
参考数据：若，则，，，，.
【答案】(1)分布列见解析，
(2)，
(3)
【分析】(1)结合已知条件，利用超几何分布即可求解；(2)结合已知条件，利用二项分布即可求解；(3)利用正态分布的对称性和对立事件的性质即可求解.
【详解】（1）由题意，可知可取0,，1，2，3，.则有
，，
，.
故的分布列为：
0 1 2 3
从而的数学期望.
（2）可取的值为0，1，2，3，4，5，6，则有
；
；
.
所以技术攻坚成功的概率，
因于，所以的方差.
（3）由，则可知，
由于，则，
所以，
所以，
则，
记“从生产的零件中随机取出10个，至少有一个零件直径大于9.4nm”为事件，
则.
故至少有一个零件直径大于9.4nm的概率为.
10．（2022春·福建·高二校联考期末）某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试.现对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：
(1)估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
(2)经计算第（1）问中样本标准差的近似值为50，根据大量的测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程近似地服从正态分布（用样本平均数和标准差分别作为的近似值），现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程的概率；
（参考数据：若随机变量，则，
(3)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上（方格图上依次标有数字0 1 2 3 …… 20）移动，若遥控车最终停在“胜利大本营”（第19格），则可获得购车优惠券3万元；若遥控车最终停在“微笑大本营”（第20格），则没有任何优优惠券.已知硬币出现正 反面的概率都是，遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车向前移动一次：若掷出正面，遥控车向前移动一格（从到；若掷出反面，遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到“胜利大本营”或“微笑大本营”时，游戏结束.设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求参与游戏一次的顾客获得优惠券全额的期望值（精确到万元）.
【答案】(1)；
(2)；
(3)证明见解析，参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元.
【分析】（1）利用直方图求平均值的公式即得；
（2）利用正态分布的性质求解即可；
（3）由题可得，利用定义证明其为等比数列，结合累加法得出的表达式，由此得到，，设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，或0，分别求出或0的概率，然后求出期望即可.
【详解】（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为：
；
（2）∵，
∴.
（3）由题可知，
遥控车移到第格有两种可能：
①遥控车先到第格，又掷出反面，其概率为；
②遥控车先到第格，又掷出正面，其概率为，
∴，
∴时，，又∵，
∴当时，数列首项为，公比为的等比数列，
∴，
以上各式相加，得，
∴时，，
∴到达“胜利大本营”的概率，
∴设参与游戏一次的顾客获得优惠券金额为万元，则或0，
∴的期望，
∴参与游戏一次的顾客获得优惠券金额的期望值为万元
11．（2022春·江苏连云港·高二江苏省灌云高级中学校考阶段练习）某市为提升农民的年收入，更好地实现2021年精准扶贫的工作计划，统计了2020年位农民的年收入并制成频率分布直方图，如图．
（1）根据频率分布直方图，估计这位农民的年平均收入（单位：千元）（同一数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该市农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入，近似为样本方差，经计算得，利用该正态分布，求：
①在扶贫攻坚工作中，若使该市约有占农民人数的的农民的年收入高于本市规定的最低年收入标准，则此最低年收入标准大约为多少千元？
②该市为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策落实情况，随机走访了位农民．若每位农民的年收入互相独立，问：这位农民中的年收入不少于千元的人数最有可能是多少？
附：；若，则，，．
【答案】（1）千元．；（2）①千元；②人．
【分析】(1)求各组数据区间的中点值乘以相应的频率之和，即可得；
(2)①根据正态分布曲线的对称性分析求解即可；
②根据正态分布求出每个农民的年收入不少于千元的概率，记个农民的年收入不少于千元的人数为，可得，其中，然后根据二项分布的概率计算公式，计算出“恰好有个农民的年收入不少于千元”中的最大值即可.
【详解】解：（1）由频率分布直方图可知：
，
故估计位农民的年平均收入为千元．
（2）由题意知，
①因为，
时，满足题意，即最低年收入标准大约为千元；
②由，
每个农民的年收入不少于千元的概率为，记个农民的年收入不少于千元的人数为，
则，其中，
于是恰好有个农民的年收入不少于千元的事件概率为．
从而由，得，而，
所以当时，，
当时，
由此可知，在所走访位农民中，年收入不少于千元的人数最有可能是人．
12．（2022春·全国·高二期末）在创建“全国文明城市”过程中，我市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次）通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：
组别 [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100]
频数 2 13 21 25 24 11 4
（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表），
①求的值；
②利用该正态分布，求；
（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：
①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；
②每次获赠的随机话费和对应的概率为：
赠送话费的金额（单位：元） 20 50
概率
现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望．
参考数据与公式：．若，则，，.
【答案】（1），；（2）分布列见解析，
【分析】（1）直接根据公式计算得到，再根据正态分布的对称性及计算得到答案.
（2）获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，计算概率得到分布列，再计算数学期望得到答案.
【详解】（1）由题意得：，
∴ ，∵，
，
（2）由题意知，.
获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100，
，，，
，，.
∴的分布列为：
20 40 50 70 100
∴.
【点睛】方法点睛：本题考查了正态分布求概率，分布列和数学期望，求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定的取值情况，然后利用排列，组合，概率知识求出取各个值时对应的概率，对应服从某种特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，考查学生逻辑推理能力与计算能力，属于中档题.
13．（2022春·江苏扬州·高二扬州市江都区丁沟中学校考期末）2021年是中国共产党百年华诞.中国站在“两个一百年”的历史交汇点，全面建设社会主义现代化国家新征程即将开启.2021年3月23日，中宣部介绍中国共产党成立100周年庆祝活动八项主要内容，其中第一项是结合巩固深化“不忘初心 牢记使命”主题教育成果，在全体党员中开展党史学习教育.这次学习教育贯穿2021年全年，总的要求是学史明理 学史增信 学史崇德 学史力行，教育引导党员干部学党史 悟思想 办实事，开新局.为了配合这次学党史活动，某地组织全体党员干部参加党史知识竞赛，现从参加人员中随机抽取100人，并对他们的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.
（1）现从这100人中随机抽取2人，记其中得分不低于80分的人数为，试求随机变量的分布列及期望；
（2）由频率分布直方图，可以认为该地参加党史知识竞赛人员的分数服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，经计算.现从所有参加党史知识竞赛的人员中随机抽取500人，且参加党史知识竞赛的人员的分数相互独立，试问这500名参赛者的分数不低于82.3的人数最有可能是多少？
参考数据：，，，.
【答案】（1）分布列答案见解析，数学期望：；（2）人数最有可能是79.
【分析】（1）可得得分不低于80分的有20人，可能的取值为0，1，2，即可求得取不同值的概率，即可得出分布列，求出期望；
（2）由题求出，根据题意可得，即可求解.
【详解】解：（1）100人中得分不低于80分的人数为，
随机变量可能的取值为0，1，2.
又，，，
则的分布列为：
0 1 2
.
（2）.
，
，
每位参赛者分数不低于82.3的概率为0.15865，记500位参赛者中分数不低于82.3的人数为随机变量，则，其中，
所以恰好有个参赛者的分数不低于82.3的概率为，，1，2，…，500.
由，
得.
所以当时，，
当时，
由此可知，在这500名参赛者中分数不低于82.3的人数最有可能是79.
