7.4.2超几何分布（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022春·吉林松原·高二校考期末）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（ ）.
A． B． C． D．
2．（2022春·河北保定·高二高阳中学校考阶段练习）某党支部有名党员，男女，为迎接建党周年，从中选取人做汇报演出，若表示选中的女党员数，则（ ）.
A． B． C． D．
3．（2022春·陕西宝鸡·高二统考期末）设个产品中有个次品，任取产品个，取到的次品可能有个，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2022春·山东枣庄·高二统考期末）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
二、多选题
5．（2023·全国·高二专题练习）下列随机变量中，服从超几何分布的有( )
A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X
B．有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X
C．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X
D．某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X
三、填空题
6．（2022春·河北保定·高二高阳中学校考阶段练习）为了抗击新冠肺炎疫情，医护人员积极响应国家号召，现拟从医院呼吸科中的名年轻医生中选派名支援某市，已知这名年轻医生中有男医生名，女医生名，则选出的名医生中至少有名男医生的概率是______.
7．（2023·全国·高二专题练习）若随机变量X服从超几何分布，则X的均值_____________．
8．（2022春·湖北十堰·高二十堰东风高级中学校考阶段练习）一个箱子中有6个大小相同产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量，则的均值___________．
9．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考期末）设随机变量，则______（结果写成分数形式）．
10．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若表示取得次品的个数，则__________．
11．（2023·高二课时练习）有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽取件产品，抽到的次品数的数学期望是______．
12．（2022春·北京房山·高二统考期末）一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球抽到红球得2分，抽到白球得3分．现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y的均值为___________．
13．（2022春·湖北武汉·高二统考期末）有40件产品，其中有10件次品，从中不放回地抽18件产品，最可能抽到的次品数是________．
四、双空题
14．（2022春·天津河东·高二校考期末）盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________.
五、解答题
15．（2022·高二课时练习）学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用表示抽取的志愿者中女生的人数，请写出随机变量的分布列.（结果用分数表示）
0 1 2
___ ___ ___
16．（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）北京时间2月20日，北京2022年冬奥会闭幕式在国家体育场举行.北京2022年冬奥会的举行激发了人们的冰雪兴趣，带火了冬季旅游，某旅游平台计划在注册会员中调查对冰雪运动的爱好情况，其中男会员有1000名，女会员有800名，用分层抽样的方法随机抽取36名会员进行详细调查，调查结果发现抽取的这36名会员中喜欢冰雪运动的男会员有8人，女会员有4人.
(1)在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有多少人？
(2)在抽取的喜欢冰雪运动的会员中任选3人，记选出的3人中男会员有人，求随机变量的分布列与数学期望.
17．（2022·高二单元测试）为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.
(1)求n的值；
(2)若一次抽取4个城市，
①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率；
②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022春·河南三门峡·高二校考阶段练习）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·江苏宿迁·高二统考期末）设随机变量（且），最大时，（ ）
A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01
二、多选题
3．（2023秋·江西上饶·高二统考期末）2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的可能取值为0，1，2，3 B．
C． D．
4．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．这10件产品的次品率为20% B．次品数为8件
C． D．
5．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量，若，则
B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C．已知，则
D．从一批含有10件正品 4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为
6．（2022春·广东潮州·高二饶平县第二中学校考期中）下列说法不正确的是（ ）
A．随机变量，则
B．某人在10次射击中，击中目标的次数为且，则当时概率最大；
C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D．从个红球和个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；
三、填空题
7．（2022春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则__．
四、解答题
8．（2022秋·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考期末）随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标—询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为，两个等级（见表），且视，等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值.
等级
询单转化率
人数
(1)求该网店询单转化率的平均值；
(2)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于的概率；
(3)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a，被任一位B等级客服接待的概率为b，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a应该控制在什么范围？
9．（2023·高二课时练习）为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从本市某学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
(1)求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；
(2)设表示选出的3人中语文教师的人数，求的均值和方差．
10．（2022春·山东·高二校联考阶段练习）某车间一天生产了100件产品，质检员为了解产品质量，随机不放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测．假设这100件产品中有40件不合格品，60件合格品，用X表示样本中合格品的件数．
(1)求X的分布列（用式子表示）和均值；
(2)用样本的合格品率估计总体的合格品率，求误差不超过0.1的概率．
参考数据：设．则
11．（2022秋·上海嘉定·高二校考期中）已知共15张卡牌由5张红卡、10张其它颜色卡组成，混合后分3轮发出，每轮随机发出5张卡．
(1)求事件“第1轮无红色卡牌”的概率；
(2)求事件“第1轮有至少3张红色卡牌”的概率；
(3)求事件“每轮均有红色卡牌”的概率．
12．（2022春·辽宁丹东·高二统考期末）中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立.
(1)记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）；
(2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率；
(3)在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.7.4.2超几何分布（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022春·吉林松原·高二校考期末）有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从这些零件中任取3个，那么至少有1个是一等品的概率是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得都是二等品的概率为，求解计算即可.
【详解】全部都是二等品的概率为，故至少有1个是一等品的概率为.
故选：D.
2．（2022春·河北保定·高二高阳中学校考阶段练习）某党支部有名党员，男女，为迎接建党周年，从中选取人做汇报演出，若表示选中的女党员数，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据超几何分布的概率公式直接计算.
【详解】由题意，知服从超几何分布，的可能取值为，，，
故，，
，
于是.
故选：C.
3．（2022春·陕西宝鸡·高二统考期末）设个产品中有个次品，任取产品个，取到的次品可能有个，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【分析】根据超几何分步的数学期望公式求解即可
【详解】由题意，个
故选：A
4．（2022春·山东枣庄·高二统考期末）已知6件产品中有2件次品，4件正品，检验员从中随机抽取3件进行检测，记取到的正品数为X，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】A
【分析】X服从超几何分布，求出X的分布列，根据数学期望的计算方法计算即可．
【详解】X可能取1，2，3，其对应的概率为
，
，
，
∴．
故选：A
二、多选题
5．（2023·全国·高二专题练习）下列随机变量中，服从超几何分布的有( )
A．抛掷三枚骰子，向上面的点数是6的骰子的个数X
B．有一批种子的发芽率为70％，任取10颗种子做发芽试验，试验中发芽的种子的个数X
C．盒子中有3个红球、4个黄球、5个蓝球，任取3个球，不是红球的个数X
D．某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生的人数X
【答案】CD
【分析】判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：
(1)总体是否可分为两类明确的对象；
(2)是不是不放回抽样；
(3)随机变量是不是样本中其中一类个体的个数.
据此逐项分析判断即可.
【详解】AB是重复试验问题，服从二项分布，不服从超几何分布，故AB不符题意；
CD符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本中某类样本被抽取的件数，服从超几何分布.
故选：CD.
三、填空题
6．（2022春·河北保定·高二高阳中学校考阶段练习）为了抗击新冠肺炎疫情，医护人员积极响应国家号召，现拟从医院呼吸科中的名年轻医生中选派名支援某市，已知这名年轻医生中有男医生名，女医生名，则选出的名医生中至少有名男医生的概率是______.
【答案】##
【分析】利用古典概型概率的计算公式直接计算.
【详解】由题意，选出的名医生中至少有名男医生可分为恰有名男医生和全部都是男医生两种情况，
则所求概率为，
故答案为：.
7．（2023·全国·高二专题练习）若随机变量X服从超几何分布，则X的均值_____________．
【答案】
【分析】由超几何分布期望公式直接求解即可.
【详解】由题意知：.
故答案为：.
8．（2022春·湖北十堰·高二十堰东风高级中学校考阶段练习）一个箱子中有6个大小相同产品，其中4个正品、2个次品，从中任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量，则的均值___________．
【答案】2
【分析】先求得的可能取值为1，2，3对应的概率，进而利用期望的定义求得的值
【详解】任取3个产品，记其中正品的个数为随机变量，则的可能取值为1，2，3
则
则
故答案为：2
9．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考期末）设随机变量，则______（结果写成分数形式）．
【答案】
【分析】根据超几何分布的分布列计算公式求解.
【详解】因为，所以，
故答案为: .
10．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若表示取得次品的个数，则__________．
【答案】##3.4
【分析】根据超几何分布的期望公式，和期望的性质可求出结果.
【详解】由题意可得：服从超几何分布，．
所以.
故答案为：．
11．（2023·高二课时练习）有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽取件产品，抽到的次品数的数学期望是______．
【答案】
【分析】设抽到的次品数为X，由题意可得X服从超几何分布，从而即可求得期望.
【详解】解：设抽到的次品数为X，
则由题意可知抽到的次品数X服从超几何分布，
即，
所以抽到的次品数的数学期望值为.
故答案为：
12．（2022春·北京房山·高二统考期末）一个口袋中装有7个球，其中有5个红球，2个白球抽到红球得2分，抽到白球得3分．现从中任意取出3个球，则取出3个球的得分Y的均值为___________．
【答案】
【分析】求的可能取值与每个值所对应的概率即可求解
【详解】的可能取值为，且
，，
，
所以得分Y的均值，
故答案为：
13．（2022春·湖北武汉·高二统考期末）有40件产品，其中有10件次品，从中不放回地抽18件产品，最可能抽到的次品数是________．
【答案】4
【分析】根据超几何分布的数学期望求解即可
【详解】由题意，该情景符合超几何分布，根据超几何分布的数学期望公式有抽到的次品数是，因为次品数为整数，故最可能抽到的次品数是4
故答案为：4
四、双空题
14．（2022春·天津河东·高二校考期末）盒子里装有同样大小的4个白球和3个黑球，甲先从中取2球（不放回），之后乙再从盒子中取1个球.（1）则甲所取的2个球为同色球的概率为____________；（2）设事件为“甲所取的2个球为同色球”，事件为“乙所取的球与甲所取的球不同色”，则在事件发生的条件下，求事件发生的概率____________.
【答案】 ； .
【分析】（1）利用超几何分布求概率即可；
（2）利用条件概公式求解即可.
【详解】解：（1）设事件A为“甲所取的2个球为同色球”
所以.
（2），.
故答案为：；.
五、解答题
15．（2022·高二课时练习）学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用表示抽取的志愿者中女生的人数，请写出随机变量的分布列.（结果用分数表示）
0 1 2
___ ___ ___
【答案】分布列见解析
【分析】根据题意，可知的可能取值，再根据古典概型求出概率，列出分布列即可.
【详解】解：的可能取值为0，1，2，当时，表示没有抽到女生；当时，表示抽到1名女生；当时，表示抽到2名女生，
∴，，.
0 1 2
16．（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）北京时间2月20日，北京2022年冬奥会闭幕式在国家体育场举行.北京2022年冬奥会的举行激发了人们的冰雪兴趣，带火了冬季旅游，某旅游平台计划在注册会员中调查对冰雪运动的爱好情况，其中男会员有1000名，女会员有800名，用分层抽样的方法随机抽取36名会员进行详细调查，调查结果发现抽取的这36名会员中喜欢冰雪运动的男会员有8人，女会员有4人.
(1)在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有多少人？
(2)在抽取的喜欢冰雪运动的会员中任选3人，记选出的3人中男会员有人，求随机变量的分布列与数学期望.
【答案】(1)（人）
(2)分布列答案见解析，数学期望：
【分析】(1)根据分层抽样的定义求出男女会员中喜欢冰雪运动的比例，进而求解；
(2)根据超几何分布计算概率.
【详解】（1）用分层抽样的方法随机抽取36名会员，
其中男会员有（人），女会员有16人，
所以在1800名会员中喜欢冰雪运动的估计有（人）.
（2）可能的取值有，
所以的分布列为
0 1 2 3
所以的期望.
17．（2022·高二单元测试）为发展业务，某调研组对A，B两个公司的扫码支付情况进行调查，准备从国内个人口超过1000万的超大城市和8个人口低于100万的小城市中随机抽取若干个进行统计.若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为.
(1)求n的值；
(2)若一次抽取4个城市，
①假设抽取出的小城市的个数为X，求X的可能值及相应的概率；
②若抽取的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率.
【答案】(1)；
(2)①X的可能取值为0，1，2，3，4，相应概率见解析；
②.
【分析】⑴利用古典概型求概率的公式把一次抽取2个城市全是小城市的概率表示出来，解方程即可；
⑵①的分布符合超几何分布，根据超几何分布的概率计算方法求概率即可；
②利用条件概率求概率的方法求概率即可.
【详解】（1）从个城市中一次抽取2个城市，有种情况，
其中全是小城市的有种情况，则全是小城市的概率为，
解得（负值舍去）.
（2）①由题意可知，X的可能取值为0，1，2，3，4，
相应的概率分别记为，
，，
，，
.
②若抽取的4个城市全是超大城市，共有种情况；
若抽取的4个城市全是小城市，共有种情况，
所以若抽取的4个城市是同一类城市，则全为超大城市的概率为.
【能力提升】
一、单选题
1．（2022春·河南三门峡·高二校考阶段练习）数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由超几何分布的概率公式结合排列组合即可求得．
【详解】由超几何分布的概率公式可得，他能及格的概率是：
．
故选：D．
2．（2022春·江苏宿迁·高二统考期末）设随机变量（且），最大时，（ ）
A．1.98 B．1.99 C．2.00 D．2.01
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出最大时的M值，再利用超几何分布的期望公式计算作答.
【详解】随机变量，则，
因最大，则有，
即，，
整理得，解得，
而，则，所以.
故选：C
【点睛】关键点睛：熟练掌握组合数公式，这是正确计算的关键．
二、多选题
3．（2023秋·江西上饶·高二统考期末）2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（ ）
A．的可能取值为0，1，2，3 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据题意分析服从参数为10，4，3的超几何分布，根据超几何分布的性质运算即可对选项一一验证得出答案.
【详解】由题意可得的可能取值为0，1，2，3，故A正确；
分析可得服从参数为10，4，3的超几何分布，
其分布列为，
则，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：ACD.
4．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）已知10件产品中存在次品，从中抽取2件，记次品数为，，，则下列说法正确的是（ ）
A．这10件产品的次品率为20% B．次品数为8件
C． D．
【答案】ACD
【分析】假设次品为件，由求得次品及次品率，再分别求的，即可得出结果.
【详解】假设10件产品中存在次品为件，从中抽取2件，
，则次品数为2件，B错误；
这10件产品的次品率为，A正确；
10件产品中存在2件次品，从中抽取2件，记次品数为，则的可能取值为0，1，2，
；
则，C正确；
，D正确.
故选：ACD.
5．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）下列说法正确的是（ ）
A．已知随机变量，若，则
B．两位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生不相邻的概率是
C．已知，则
D．从一批含有10件正品 4件次品的产品中任取3件，则取得2件次品的概率为
【答案】BC
【分析】对于A，利用二项分布的数学期望和方差的公式即可判断；对于B，根据古典概型的概率公式及排列组合知识即可判断；对于C，利用排列数和组合数的计算即可判断；对于D，利用超几何分布的概率即可判断
【详解】对于：根据二项分布的数学期望和方差的公式，可得，解得，故错误；
对于：两位男生和两位女生随机排成一列共有（种）排法；两位女生不相邻的排法有（种），故两位女生不相邻的概率是，故B正确；
对于：由，得，解得，故正确；
对于：设随机变量表示取得次品的个数，则服从超几何分布，
所以，故错误．
故选：．
6．（2022春·广东潮州·高二饶平县第二中学校考期中）下列说法不正确的是（ ）
A．随机变量，则
B．某人在10次射击中，击中目标的次数为且，则当时概率最大；
C．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D．从个红球和个白球颜色外完全相同中，一次摸出个球，则摸到红球的个数服从超几何分布；
【答案】AC
【分析】A应用二项分布概率公式求概率即可；B由二项分布知，应用不等式法：当求的解集即可判断正误；C根据互斥事件的定义判断正误；D由超几何分布的性质判断正误.
【详解】A：由二项分布的概率公式得: ，故错误;
B：在10次射击中击中目标的次数为，当时对应的概率，所以当时，，由得：，即，，则且，即时概率最大，故正确．
C：至少有一个黑球包含的基本事件为“一黑一红，两黑”，至少有一个红球包含的基本事件为“一黑一红，两红”，故至少有一个黑球与至少有一个红球不互斥，故错误；
D：设摸出红球的个数为，则，故满足超几何分布，故正确；
故选：AC
三、填空题
7．（2022春·上海徐汇·高二上海中学校考期中）某袋中装有大小相同质地均匀的黑球和白球共5个．从袋中随机取出3个球，已知恰全为黑球的概率为，若记取出3个球中黑球的个数为，则__．
【答案】##0.36
【分析】黑球的个数为，通过从袋中随机取出3个球，恰全为黑球的概率为，求出，然后求解记取出3个球中黑球的个数为，的概率得到分布列，然后求解期望与方差即可．
【详解】解：设黑球的个数为，由得，
记取出3个球中黑球的个数为，的取值可以为1，2，3；
，，，
则分布列如下：
1 2 3
所以，
则．
故答案为：.
四、解答题
8．（2022秋·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考期末）随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标—询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为，两个等级（见表），且视，等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值.
等级
询单转化率
人数
(1)求该网店询单转化率的平均值；
(2)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于的概率；
(3)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a，被任一位B等级客服接待的概率为b，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a应该控制在什么范围？
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）由已知分别求出、等级客服的询单转化率，根据平均数公式求出即可；
（2）设A等级客服的人数为，则的可能取值为，对应的询单转化率中位数分别为，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案；
（3）根据二项分布的期望公式计算出改革前的日均成交人数为7200，然后表示出改革后的日均成交人数，结合每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，列出不等式组，即可求出a的取值范围.
【详解】（1）解：由已知可得，等级客服的询单转化率为，等级客服的询单转化率为，所以该网店询单转化率的平均值为.
（2）解：由（1）知：、等级客服的询单转化率分别为.
设抽取4位客服中，等级客服的人数为X，则X的可能取值为0,1,2,3,4.
由题意可得，服从超几何分布.
当时，4人转化率为，中位数为；
当时，4人转化率为，中位数为；
当时，4人转化率为，中位数为；
当时，4人转化率为，中位数为；
当时，4人转化率为，中位数为.
所以，当时，这4人的询单转化率的中位数不低于.
因为，服从超几何分布，所以的分布列为，.
所以.
（3）解：设改革前后等级客服的接待顾客人数分别为.
则改革前，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为，
所以，则.
因为，等级客服的询单转化率分别为，
所以改革前日均成交人数为；
改革后，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为，
所以，则，
故改革后日均成交人数为.
由得：，①
因为每位顾客被一位等级客服接待的概率为，又，所以每位顾客被一位等级客服接待的概率为.
又每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，所以，
解得：，②
由①②得：，所以应该控制在.
9．（2023·高二课时练习）为了提高我市的教育教学水平，市教育局打算从本市某学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，这6名教师中，语文、数学、英语教师各2人．
(1)求选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率；
(2)设表示选出的3人中语文教师的人数，求的均值和方差．
【答案】(1)
(2)，．
【分析】（1）设事件表示“选出的语文教师人数多于数学教师人数”， 表示“恰好选出1名语文教师和2名英语老师”， 表示“恰好选出2名语文教师”， 则，彼此互斥，且，由此能求出选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率．
（2）由于从6名教师中任选3人的结果为，从6名教师中任取3人，其中恰有名语文教师的结果为，由此能求出选出的3人中，语文教师人数的分布列和数学期望与方差．
【详解】（1）解：某学校推荐的6名教师中任选3人去参加进修活动，基本事件总数，
这6名教师中，语文教师2人，数学教师2人，英语教师2人，
设事件表示“选出的语文教师人数多于数学教师人数”，
表示“恰好选出1名语文教师和2名英语教师”， 表示“恰好选出2名语文教师”，
则，彼此互斥，且，
，
选出的语文教师人数多于数学教师人数的概率．
（2）解：由于从6名教师中任选3人的结果为，
从6名教师中任取3人，其中恰有名语文教师的结果为，，1，2，
那么从6名教师中任选3人，恰有名语文教师的概率
所以，
于是，．
10．（2022春·山东·高二校联考阶段练习）某车间一天生产了100件产品，质检员为了解产品质量，随机不放回地抽取了20件产品作为样本，并一一进行检测．假设这100件产品中有40件不合格品，60件合格品，用X表示样本中合格品的件数．
(1)求X的分布列（用式子表示）和均值；
(2)用样本的合格品率估计总体的合格品率，求误差不超过0.1的概率．
参考数据：设．则
【答案】(1)分布列见解析，12
(2)
【分析】（1）根据题意得到随机变量服从超几何分布，得到分布列及数学期望；
（2）样本合格品率，故，再根据题目条件得到其概率，得到答案.
【详解】（1）由于质检员是随机不放回的抽取20件产品，各次实验结果不相互独立，所以随机变量服从超几何分布.
的分布列为；
的均值为
（2）样本中合格品率是一个随机变量，
，
所以误差不超过的概率为.
11．（2022秋·上海嘉定·高二校考期中）已知共15张卡牌由5张红卡、10张其它颜色卡组成，混合后分3轮发出，每轮随机发出5张卡．
(1)求事件“第1轮无红色卡牌”的概率；
(2)求事件“第1轮有至少3张红色卡牌”的概率；
(3)求事件“每轮均有红色卡牌”的概率．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）应用组合数，结合古典概型的概率求法求；
（2）应用组合数，结合互斥事件的加法公式求；
（3）讨论第一轮有红牌1、2、3张，对应第二轮出现红牌可能张数的概率和，即可求.
【详解】（1）由题意，“第1轮无红色卡牌”的概率.
（2）由题意，“第1轮有至少3张红色卡牌”的概率.
（3）要使每轮都有红色卡牌，有如下情况：
第一轮抽到1张红牌，则第二轮红牌有1张、2张、3张，
此时每轮都有红牌的概率为，
第一轮抽到2张红牌，则第二轮红牌有1张、2张，
此时每轮都有红牌的概率为，
第一轮抽到3张红牌，则第二轮红牌有1张，
此时每轮都有红牌的概率为，
综上，3轮中“每轮均有红色卡牌”的概率.
12．（2022春·辽宁丹东·高二统考期末）中国男子篮球职业联赛（CBA）始于1995年，至今已有28个赛季，根据传统，在每个赛季总决赛之后，要举办一场南北对抗的全明星比赛，其中三分王的投球环节最为吸引眼球，三分王投球的比赛规则如下：一共有五个不同角度的三分点位，每个三分点位有5个球（前四个是普通球，最后一个球是花球），前四个球每投中一个得1分，投不中的得0分，最后一个花球投中得2分，投不中得0分.全明星参赛球员甲在第一个角度的三分点开始投球，已知球员甲投球的命中率为，且每次投篮是否命中相互独立.
(1)记球员甲投完1个普通球的得分为X，求X的方差D（X）；
(2)若球员甲投完第一个三分点位的5个球后共得到了2分，求他是投中了花球而得到了2分的概率；
(3)在比赛结束后与球迷的互动环节中，将球员甲在前两个三分点位使用过的10个篮球对应的小模型放入箱中，由幸运球迷从箱中随机摸出5个小模型，并规定，摸出一个花球小模型计2分，摸出一个普通球小模型计1分，求该幸运球迷摸出5个小模型后的总计分Y的数学期望.
【答案】(1)
(2)
(3)6
【分析】(1)用两点分布的概率公式计算即可.
(2)设出事件，分别计算P(A)、P(AB)，用条件概率公式计算得结果.
(3)用超几何分布概率公式分别计算出所有可能情况的概率，再计算出数学期望.
（1）
由题设, 服从参数为 的两点分布, .
（2）
记 表示事件: “甲投完第一个三分点位的五个球得到了 2 分”;
记 表示事件: “甲投中花球”, 则
于是
（3）
由题设 值可取 , 则
于是
