7.4.1 二项分布（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）足球点球大战中，每队派出5人进行点球，假设甲队每人点球破门的概率都是，乙队每人点球破门的概率都是，若甲队进4球的概率为，乙队队进3球的概率为，则（ ）
A． B．
C． D．，大小关系无法确定
【答案】A
【分析】根据二项分布概率模型求解.
【详解】甲队进4球的概率为，
乙队队进3球的概率为，
则．
故选:A．
2．（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路 计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，当电路运行一次时，的数学期望（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】根据二项分布求期望.
【详解】由题意，，
故
，
故选:C.
3．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考期末）设随机变量，则（ ）
A．10 B．30 C．15 D．5
【答案】A
【分析】根据二项分布的方差公式进行计算即可.
【详解】由随机变量满足二项分布，
所以，
所以.
故选：A.
4．（2022春·新疆省直辖县级单位·高二新疆石河子一中校考阶段练习）已知随机变量服从二项分布，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由二项分布的概率公式计算．
【详解】．
故选：D．
5．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）设随机变量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据随机变量和，写出概率的表示式，得到关于p的方程，解出p的值，再根据，由二项分布的方差公式求得到结果．
【详解】随机变量，∴， 解得，
∴ ，则.
故选：D．
6．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）甲乙两人玩闯关游戏,该游戏一共要闯三关,每个人每一关能否闯关成功是相互独立的,甲第一,第二,第三关闯关成功的概率分别是,乙第一,第二,第三关闯关成功的概率都是.规定每一关闯关成功记1分,未闯关成功记0分,用表示甲在闯关游戏中的得分,用表示乙在闯关游戏中的得分,则在“”的条件下,“”的概率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设事件为“”,事件为“”,则,,先利用已知条件分别求出,，，，，，再利用条件概率公式求解即可得到结果.
【详解】设事件为“”,事件为“”,
所以,
又,,
,
所以,
所以.
故选:D.
7．（2022春·山东·高二校联考阶段练习）计算机内部采用每一位只有0和1两个数字的记数法，即二进制．其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制构成．某计算机程序每运行一次都随机出现一个字节，记为，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，X的均值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】得到，利用二项分布求期望公式求出答案.
【详解】X的可能取值为0,1,2,3,4,5,6,7,8，
且的值即为1出现的次数，
故，所以.
故选：C
8．（2022春·陕西西安·高二陕西师大附中校考期中）某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题道，已知该同学每道题答对的概率为，则该同学答对题目数量的数学期望和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件确定该同学答对题目数量的分布列，再由二项分布的期望和方差公式求随机变量的期望及方差.
【详解】设该同学答对题目数量为，因为该同学每道题答对的概率为，共答道题，
所以，
所以，，
故选：C.
二、多选题
9．（2022春·山东·高二校联考阶段练习）如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，…10，用X表示小球落入格子的号码，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】分析得到，进而利用二项分布求概率公式求出相应的概率，利用二项分布求方差公式求出方差.
【详解】设“向右下落”， “向左下落”，
则，
因为小球最后落入格子的号码等于事件发生的次数，而小球下落的过程中共碰撞小木钉10次，
所以，于是，同理可得：，A正确，B错误；
由二项分布求方差公式得：，C错误，D正确.
故选：AD
三、填空题
10．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）设随机变量服从二项分布，若，，则实数的值为__________.
【答案】6
【分析】结合二项分布的期望与方差公式，即可求解．
【详解】由题意可得，，解得．
故答案为：6．
11．（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知随机变量服从二项分布，则___________.
【答案】
【分析】由二项分布得到，即可求出的值.
【详解】解：由题意
在随机变量中，服从二项分布，
∴，
∴
故答案为：.
12．（2022·高二课时练习）若随机变量X服从二项分布，则______．
【答案】
【分析】根据二项分布计算公式计算出正确答案.
【详解】依题意，.
故答案为：
13．（2022秋·河南南阳·高二南阳市第五中学校校考阶段练习）排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲 乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为______．
【答案】
【分析】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜，然后分别求出各种情况的概率，加起来即可．
【详解】乙队获胜可分为乙队以或或的比分获胜．
乙队以获胜，即乙队三场全胜，概率为；
乙队以获胜，即乙队前三场两胜一负，第四场获胜，概率为；
乙队以获胜，即乙队前四场两胜两负，第五场获胜，概率为．
所以，在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为．
故答案为：．
四、解答题
14．（2023秋·辽宁·高二辽河油田第二高级中学校考期末）某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并计算这200名市民评分的平均值；
(2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)；平均分为分
(2)分布列答案见解析，期望为1
【分析】（1）根据频率分布直方图频率之和为1计算即可；（2）根据二项分布概率公式计算列的分布列，数学期望计算即可.
【详解】（1）由频率分布直方图知，
，
由，解得，
（分）.
（2）评分在90分以上的频率为，用频率作为概率的估计值，现从该城市中随机抽取4人可以看成二项分布，,
的所有可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
，
，
，
所以X的分布列为：
0 1 2 3 4
.
15．（2022·高二课时练习）设随机变量X服从二项分布，且随机变量X的期望与方差分别是2.4和1.44，求二项分布的参数n、p的值．
【答案】，
【分析】根据二项分布的期望和方差计算公式列方程组，解方程组求得的值.
【详解】依题意得，解得，.
16．（2023·高二课时练习）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别是和，且在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为．
(1)求的值；
(2)设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的分布．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）利用“至少有一个”的对立事件即可求得；
（2）确定随机变量的取值，求出对应概率，即可列出分布列.
【详解】（1）设事件表示“在任意时刻至少有一个安全防范系统不发生故障”，
则，解得．
（2）由题意得，随机变量的取值为：0，1，2，3；
，
，
，
，
所以随机变量的分布为：
0 1 2 3
17．（2022春·江苏南京·高二校考期中）近两年肆虐全球的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状 发热 咳嗽 气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎 严重急性呼吸综合征 肾衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，若有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现有4例疑似病例，分别对其取样 检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：四个样本混合在一起化验；
方案三：平均分成两组，分别混合在一起化验.
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”.
(1)若按方案一，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；
(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一 二 三中哪个最“优”？并说明理由.
【答案】(1)
(2)选择方案一最“优”，理由见解析
【分析】（1）根据二项分布求解即可.
（2）根据题意得到方案一检验次数为4，方案二平均检测次数为，方案三平均检测次数为，即可得到答案.
【详解】（1）（1）用表示4个疑似病例中化验呈阳性的人数，则
由题意可知，.
（2）方案一：逐个检验，检验次数为4；
方案二：混合在一起检测，记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5，，
所以随机变量的分布列为
1 5
所以
方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1次，其概率为；
若呈阳性则检测次数为3次，其概率为.
设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为，
所以随机变量的分布列为
2 4 6
所以.
由上可知，
故选择方案一最“优”.
18．（2022春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是．
(1)求甲被录用的概率；
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列．
【答案】(1)
(2)分布列见解析
【分析】（1）利用二项分布计算甲通过两个和三个的项目的概率，相加即可；
（2）利用二项分布，求分布列即可.
【详解】（1）由题意得甲通过两个项目测试的概率为，
通过三个项目测试的概率为，
所以甲被录用的概率为.
（2）由（1）得每个人被录用的概率为，的所有可能取值为0，1，2，3，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
【能力提升】
一、单选题
1．（2022秋·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考期末）已知随机变量，，，，记，其中，，现有如下命题：①；②若，则，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
【答案】D
【分析】根据已知得出.取，根据二项式定理求出奇数项和偶数项和，即可判断命题①真假；先利用分布列的表达式得出，判断的增减性.讨论是否为整数，得出最大项.最后根据已知，即可判断命题②真假.
【详解】由已知可得，.
对于命题①，当时，.
因为，
，所以.
所以，所以，所以①为假命题；
对于命题②，若.
.
当时，，随着的增加而增加；当时，，随着的增加而减小.
当为整数时，或时，有最大值；当不为整数时，为的整数部分时，有最大值.因为，，所以当时，最大，所以有，所以②为真命题.
故选：D.
2．（2022春·黑龙江佳木斯·高二校联考期末）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设Y=X-1，分析出，从而求出的可能取值及相应的概率，求出期望和方差，得到正确答案.
【详解】设A=“向右下落”，则=“向左下落”，且，
设Y=X-1，因为小球在下落过程中共碰撞5次，所以，
于是（）.
所以，A错误；
，
，
所以，B错误；
，C错误，D正确
故选：D
二、多选题
3．（2022春·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）某学校共有5个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（ ）
A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为
B．四人去了同一餐厅就餐的概率为
C．四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为
D．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为
【答案】ACD
【分析】对于ABC，利用排列组合的意义及古典概型概率的求法，求出对应事件的概率，从而得以判断；
对于D，根据题意得到第一餐厅就餐的人数服从二项分布，从而利用二项分布数学期望的求法求得的期望，由此判断即可.
【详解】依题意得，四位同学随机选择一家餐厅就餐有选择方法，
对于A，四人去了四个不同餐厅就餐的概率为，故A正确；
对于B，四人去了同一餐厅就餐的概率为，故B错误；
对于C，四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为，故C正确；
对于D，每个同学选择去第一餐厅的概率为，
所以去第一餐厅就餐的人数服从二项分布，
所以，故D正确.
故选：ACD.
三、双空题
4．（2023秋·北京东城·高二统考期末）某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答.假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是，且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对其中两道题的概率为______；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为______.
【答案】
【分析】（1）甲能够答对道题目，则，根据二项分布的概率即可进一步求解；
（2）设乙能够答对道题目，根据超几何分布即可求出答案.
【详解】解设甲能够答对道题目，，
所以，
解设乙能够答对道题目，
则.
故答案为：；.
四、解答题
5．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）一个暗箱里放着6个黑球 4个白球.
(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；
(2)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数的分布列和均值.
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据条件概率的求法，找到第第1次取出的是白球的概率与第1次取出的是白球，第3次取到黑球的概率，求其比值即可；
（2）取到白球个数服从二项分布，根据独立重复实验的概率公式与均值公式求解即可
【详解】（1）设事件为“第1次取出的是白球”，
事件为“第3次取到黑球”，
；
（2）设事件为“取一次球，取到白球”，
则，这3次取球结果互不影响，
则，所以，
其分布列为：
0 1 2 3
.
6．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）某市销售商为了解A、B两款手机的款式与购买者性别之间的是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到2×2列联表如下表所示：
购买A款 购买B款 总计
女 25
男 40
总计 100
已知所调查的100人中，A款手机的购买者比B款手机的购买者少20人.
(1)将上面的2×2列联表补充完整；
(2)是否有99%的把握认为购买手机款式与性别之间有关，请说明理由；
(3)用样本估计总体，从所有购买两款手机的人中，选出4人作为幸运顾客，求4人中购买A款手机的人数不超过1人的概率.
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，.
【答案】(1)列联表见解析；
(2)有，理由见解析；
(3).
【分析】（1）由题目条件可将列联表补充完整；
（2）利用公式算得，后比较其与6.635大小可得结果；
（3）由题目条件可得每次选出购买A款手机的人的概率均为，设X为4人中选出购买A款手机的人数，则，得.
【详解】（1）由题可得列联表如下：
购买A款 购买B款 总计
女 25 20 45
男 15 40 55
总计 40 60 100
（2）由题有：
因为8.249＞6.635，所以有99%的把握认为购买手机款式与性别之间有关；
（3）从所有购买两款手机的人中，选出4人可以看成做了4次独立重复试验，每次选出购买A款手机的人的概率均为，
设X为4人中选出购买A款手机的人数，，
所以 ， .
.
7．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考期末）新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．
(1)设A类服装单件销售价格为元，B类服装单件销售价格为元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）的大小；
(2)某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率均为．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，若，求n的所有可能取值．
【答案】(1)分布列见解析，B类服装单件收益的期望大；
(2)n可取的值为0，1，2．
【分析】（1）根据给定的信息，求出，的可能值及对应的概率，列出分布列并求出期望作答.
（2）求出购买了服装的顾客中购买B类服装的概率，借助二项分布求出n的各个值对应的概率，再比较判断作答.
【详解】（1）依题意，的可能值为200，170，120，
，
的分布列为：
200 170 120
P 0.3 0.5 0.2
的期望，
的可能值为300，255，180，
，
的分布列为：
300 255 180
P 0.2 0.4 0.4
的期望，
设A类服装、B类服装的单件收益分别为元，元，则，，
（元），（元），，
所以B类服装单件收益的期望大.
（2）依题意，的可能值为0，1，2，3，4，5，显然，
，，，
，，，
因为，，
所以当时，n可取的值为0，1，2．
8．（2022秋·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考期末）某批件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验.
(1)当，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？
(2)当，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？
(3)（1）、（2）分别对应哪种分布，并结合（1）（2）探究两种分布之间的联系.
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)见解析.
【分析】（1）当时，如果放回，是二项分布，计算概率值；
（2）如果不放回，是超几何分布，分别计算概率值；
（3）对超几何分布与二项分布关系的认识从共同点、不同点和联系三个方面进行说明．
【详解】（1）若以有回放的方式抽取，每次抽取时都是从这件产品中抽取，从而抽到次品的概率都为，
可以把3次抽取看成是3次独立重复试验，这样抽到的次品数，
恰好抽到1件次品的概率为.
（2）若以不回放的方式抽取，抽到的次品数是随机变量，服从超几何分布，的分布与产品的总数有关，
所以需要分3种情况分别计算：
①时，产品的总数为500件，其中次品的件数为件，合格品的件数为490件，
从500件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为.
②时，产品的总数为5000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为4900件，
从5000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为.
③时，产品的总数为50000件，其中次品的件数为件，合格品的件数为49000件，
从50000件产品中抽出3件，其中恰好抽到1件次品的概率为.
（3）对超几何分布与二项分布关系的认识：
共同点：每次试验只有两种可能的结果：成功或失败．
不同点：
1、超几何分布是不放回抽取，二项分布是放回抽取；
2、超几何分布需要知道总体的容量，二项分布不需要知道总体容量，但需要知道“成功率”；
联系：当产品的总数很大时，超几何分布近似于二项分布．
9．（2023·高二课时练习）一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．
(1)设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差；
(2)设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）由的可能取值为，且即可求出分布列，由二项分布的期望、方差公式即可计算期望、方差；
（2）的可能取值为，分别求出相应的概率，即可求出的分布列；
（3）利用对立事件概率计算公式即可求出结果.
【详解】（1）由题意可知，可取，且服从二项分布，则
，，
，，
，．
由此得的分布如下：
所以，.
（2）由于为这名学生在首次停车前经过的路口数，显然是随机变量，
其取值为且
，，，
，，，
由此得的分布如下：
（3）设这名学生在途中至少遇到一次红灯为事件，
所求概率.
10．（2022春·浙江·高二校联考阶段练习）学校的“智慧”书屋每学年初向高一新生招募30名左右的志愿者.2021学年初，新高一学生报名踊跃，报名人数达到60人．现有两个方案确定志愿者：方案一：用抽签法随机抽取30名志愿者；方案二：将60名报名者编号，用随机数法先从这60个编号中随机抽取45个，然后再次用随机数法从这60个编号中随机抽取45个，两次都被抽取到的报名者成为志愿者．
(1)采用方案一或二，分别记报名者甲同学被抽中为事件和事件，求事件和事件发生的概率；
(2)若采用方案二，设报名者甲同学被抽取到的次数为，求的数学期望；
(3)不难发现采用方案二确定的志愿者人数不少于方案一的30人．若采用方案二，记两次都被抽取到的人数为，则的可取值是哪些？其中取到哪一个值的可能性最大？
【答案】(1)，；
(2)；
(3)，取到34的可能性最大.
【分析】（1）应用古典概型的概率求法求不同方案下抽取到甲的概率.
（2）由题设，应用二项分布期望公式求期望.
（3）设两次都被抽到的人数为随机变量且，则，利用不等式法求最大，即可确定n值.
（1）
抽签法随机抽取30名志愿者含甲的概率为，
随机数法抽取45名志愿者含甲的概率为
（2）
由（1）知：甲每次被抽到的概率均为，则．
所以.
（3）
设两次都被抽到的人数为随机变量，则，
故．
令，
故，
令则，即，
当时，；当时，．
因此，时最大，即最大，
所以取到34的可能性最大．
11．（2022春·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）近两年因为疫情的原因，同学们对于居家上网课的情景越来越熟悉了．相较于在学校教室里线下课程而言，上网课因为少了课堂氛围，难于与老师和同学互动，听课学生很容易走神．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；
②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．
请回答如下两个问题：
(1)若某班级共有50名学生，一节课老师会进行三次专注度监测，那么全班同学在三次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？
(2)计某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2的概率，），试探求：
（Ⅰ）的通项公式；
（Ⅱ）的通项公式．
【答案】(1)285分
(2)（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（1）设全班同学在三次专注度监测中完成签到的总人次数为随机变量X，则，在三次专注度监测中完成签到的总分数为随机变量Y，则，求出，从而求出；
（2）得到，构造出，从而得到等比数列，求出的通项公式，进而用累加法求解的通项公式.
(1)
基于约定①，可以认为每名同学在每次专注度监测中完成签到的概率为0.9，取全班同学在三次专注度监测中完成签到的总人次数为随机变量X，则，取全班同学在三次专注度监测中完成签到的总分数为随机变量Y，则，
∴分．
(2)
（Ⅰ）依题意，，，
∴，
又∵，∴为等比数列，
∴，
（Ⅱ）∵，，…，，将这个式子相加得，
∴
12．（2022春·山东菏泽·高二曹县一中校考阶段练习）垃圾分类，是指按一定标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称，分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，为争物尽其用.垃圾分类后，大部分运往垃圾处理厂进行处理.为了监测垃圾处理过程中对环境造成的影响，某大型垃圾处理厂为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年工厂的环境监测费用预算定为80万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外两套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.
(1)当时，求某个时间段需要检查污染处理系统的概率；
(2)若每套环境监测系统运行成本为20元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要6万元.现以此方案实施，问该工厂的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由.
【答案】(1)；
(2)不会超过预算，理由见解析.
【分析】（1）利用互斥事件的概率加法计算公式和次独立重复试验的概率计算公式进行求解即可；
（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，则X的所有可能取值为60，100，利用次独立重复试验的概率计算公式和离散型随机变量的数学期望公式求出数学期望表达式，通过构造函数，利用导数判断函数的单调性求最值即可.
【详解】（1）设某个时间段在开启3套系统时就被确定需要检查污染源处理系统的事件为A，
则，
设某个时间段需要开启另外2套环境监测系统才能确定需要检查污染源处理系统的事件为B，
则．
所以某个时间段需要检查污染源处理系统的概率为．
（2）设某个时间段环境监测系统的运行费用为X元，
则X的所有可能取值为60，100．
且，．
．
令，，
则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以的最大值为．
所以实施此方案的最高费用为（万元）．
因为，所以不会超过预算．
【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件的概率加法公式、次独立重复试验的概率计算公式、离散型随机变量的数学期望公式和利用导数判断函数的单调性求最值；通过构造函数，利用导数求最值是求解本题的关键.7.4.1 二项分布（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2023春·湖北荆州·高二统考阶段练习）足球点球大战中，每队派出5人进行点球，假设甲队每人点球破门的概率都是，乙队每人点球破门的概率都是，若甲队进4球的概率为，乙队队进3球的概率为，则（ ）
A． B．
C． D．，大小关系无法确定
2．（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人.二进制数被广泛应用于电子电路 计算机等领域.某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，当电路运行一次时，的数学期望（ ）
A． B．2 C． D．3
3．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考期末）设随机变量，则（ ）
A．10 B．30 C．15 D．5
4．（2022春·新疆省直辖县级单位·高二新疆石河子一中校考阶段练习）已知随机变量服从二项分布，则等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2023秋·河南南阳·高二统考期末）设随机变量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）甲乙两人玩闯关游戏,该游戏一共要闯三关,每个人每一关能否闯关成功是相互独立的,甲第一,第二,第三关闯关成功的概率分别是,乙第一,第二,第三关闯关成功的概率都是.规定每一关闯关成功记1分,未闯关成功记0分,用表示甲在闯关游戏中的得分,用表示乙在闯关游戏中的得分,则在“”的条件下,“”的概率为（ ）.
A． B． C． D．
7．（2022春·山东·高二校联考阶段练习）计算机内部采用每一位只有0和1两个数字的记数法，即二进制．其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制构成．某计算机程序每运行一次都随机出现一个字节，记为，其中出现0的概率为，出现1的概率为，记，则当程序运行一次时，X的均值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2022春·陕西西安·高二陕西师大附中校考期中）某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题道，已知该同学每道题答对的概率为，则该同学答对题目数量的数学期望和方差分别为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022春·山东·高二校联考阶段练习）如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，…10，用X表示小球落入格子的号码，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
10．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）设随机变量服从二项分布，若，，则实数的值为__________.
11．（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）已知随机变量服从二项分布，则___________.
12．（2022·高二课时练习）若随机变量X服从二项分布，则______．
13．（2022秋·河南南阳·高二南阳市第五中学校校考阶段练习）排球比赛实行“五局三胜制”，根据此前的若干次比赛数据统计可知，在甲 乙两队的比赛中，每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，则在这场“五局三胜制”的排球赛中乙队获胜的概率为______．
四、解答题
14．（2023秋·辽宁·高二辽河油田第二高级中学校考期末）某市为争创“文明城市”，现对城市的主要路口进行“文明骑车”的道路监管，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地区随机抽取了200名市民对该项目进行评分，绘制如下频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并计算这200名市民评分的平均值；
(2)用频率作为概率的估计值，现从该城市市民中随机抽取4人进一步了解情况，用表示抽到的评分在90分以上的人数，求的分布列及数学期望.
15．（2022·高二课时练习）设随机变量X服从二项分布，且随机变量X的期望与方差分别是2.4和1.44，求二项分布的参数n、p的值．
16．（2023·高二课时练习）某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别是和，且在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为．
(1)求的值；
(2)设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的分布．
17．（2022春·江苏南京·高二校考期中）近两年肆虐全球的新型冠状病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状 发热 咳嗽 气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎 严重急性呼吸综合征 肾衰竭，甚至死亡.核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽拭子样本里的遗传物质，若有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为.现有4例疑似病例，分别对其取样 检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验.混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案：
方案一：逐个化验；
方案二：四个样本混合在一起化验；
方案三：平均分成两组，分别混合在一起化验.
在新冠肺炎爆发初期，由于检查能力不足，化检次数的期望值越小，则方案越“优”.
(1)若按方案一，求4个疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；
(2)现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一 二 三中哪个最“优”？并说明理由.
18．（2022春·上海黄浦·高二上海市向明中学校考期末）某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是．
(1)求甲被录用的概率；
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022秋·上海徐汇·高二上海市南洋模范中学校考期末）已知随机变量，，，，记，其中，，现有如下命题：①；②若，则，下列判断正确的是（ ）
A．①和②均为真命题 B．①和②均为假命题
C．①为真命题，②为假命题 D．①为假命题，②为真命题
2．（2022春·黑龙江佳木斯·高二校联考期末）下图是一块高尔顿板示意图：在一块木块上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为1，2，3，……，6，用表示小球落入格子的号码，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2022春·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）某学校共有5个学生餐厅，甲、乙、丙、丁四位同学每人随机地选择一家餐厅就餐（选择到每个餐厅概率相同），则下列结论正确的是（ ）
A．四人去了四个不同餐厅就餐的概率为
B．四人去了同一餐厅就餐的概率为
C．四人中恰有2人去了第一餐厅就餐的概率为
D．四人中去第一餐厅就餐的人数的期望为
三、双空题
4．（2023秋·北京东城·高二统考期末）某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答.假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是，且每道题答对与否互不影响，则甲恰好答对其中两道题的概率为______；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为______.
四、解答题
5．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）一个暗箱里放着6个黑球 4个白球.
(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；
(2)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数的分布列和均值.
6．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）某市销售商为了解A、B两款手机的款式与购买者性别之间的是否有关系，对一些购买者做了问卷调查，得到2×2列联表如下表所示：
购买A款 购买B款 总计
女 25
男 40
总计 100
已知所调查的100人中，A款手机的购买者比B款手机的购买者少20人.
(1)将上面的2×2列联表补充完整；
(2)是否有99%的把握认为购买手机款式与性别之间有关，请说明理由；
(3)用样本估计总体，从所有购买两款手机的人中，选出4人作为幸运顾客，求4人中购买A款手机的人数不超过1人的概率.
附：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
k 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
参考公式：，.
7．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳二中校考期末）新疆棉以绒长、品质好、产量高著称于世．现有两类以新疆长绒棉为主要原材料的均码服装，A类服装为纯棉服饰，成本价为120元/件，总量中有30%将按照原价200元/件的价格销售给非会员顾客，有50%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．B类服装为全棉服饰，成本价为160元/件，总量中有20%将按照原价300元/件的价格销售给非会员顾客，有40%将按照8.5折的价格销售给会员顾客．这两类服装剩余部分将会在换季促销时按照原价6折的价格销售给顾客，并能全部售完．
(1)设A类服装单件销售价格为元，B类服装单件销售价格为元，分别写出两类服装单件销售价格的分布列，并通过计算比较这两类服装单件收益的期望（收益=售价-成本）的大小；
(2)某服装专卖店店庆当天，全场A，B两类服装均以会员价销售，假设每位来店购买A，B两类服装的顾客只选其中一类购买，每位顾客限购1件，且购买了服装的顾客中购买A类服装的概率均为．已知该店店庆当天这两类服装共售出5件，设X为该店当天所售服装中B类服装的件数，若，求n的所有可能取值．
8．（2022秋·上海虹口·高二华东师范大学第一附属中学校考期末）某批件产品的次品率为2%，现从中任意地依次抽出3件进行检验.
(1)当，，，若以取后放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？
(2)当，，，若以取后不放回的方式抽取，恰好抽到1件次品的概率是多少？
(3)（1）、（2）分别对应哪种分布，并结合（1）（2）探究两种分布之间的联系.
9．（2023·高二课时练习）一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是．
(1)设为这名学生在途中遇到红灯的次数，求的分布列、期望、方差；
(2)设为这名学生在首次停车前经过的路口数，求的分布；
(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率．
10．（2022春·浙江·高二校联考阶段练习）学校的“智慧”书屋每学年初向高一新生招募30名左右的志愿者.2021学年初，新高一学生报名踊跃，报名人数达到60人．现有两个方案确定志愿者：方案一：用抽签法随机抽取30名志愿者；方案二：将60名报名者编号，用随机数法先从这60个编号中随机抽取45个，然后再次用随机数法从这60个编号中随机抽取45个，两次都被抽取到的报名者成为志愿者．
(1)采用方案一或二，分别记报名者甲同学被抽中为事件和事件，求事件和事件发生的概率；
(2)若采用方案二，设报名者甲同学被抽取到的次数为，求的数学期望；
(3)不难发现采用方案二确定的志愿者人数不少于方案一的30人．若采用方案二，记两次都被抽取到的人数为，则的可取值是哪些？其中取到哪一个值的可能性最大？
11．（2022春·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）近两年因为疫情的原因，同学们对于居家上网课的情景越来越熟悉了．相较于在学校教室里线下课程而言，上网课因为少了课堂氛围，难于与老师和同学互动，听课学生很容易走神．为了提升同学们的听课效率，授课教师可以选择在授课过程中进行专注度监测，即要求同学们在10秒钟内在软件平台上按钮签到，若同学们能够在10秒钟内完成签到，则说明该同学在认真听课，否则就可以认为该同学目前走神了．经过一个月对全体同学上课情况的观察统计，平均每次专注度监测有90%的同学能够正常完成签到．为了能够进一步研究同学们上课的专注度情况，我们做如下两个约定：
①假设每名同学在专注度监测中出现走神情况的概率均相等；
②约定每次专注度监测中，每名同学完成签到加2分，未完成签到加1分．
请回答如下两个问题：
(1)若某班级共有50名学生，一节课老师会进行三次专注度监测，那么全班同学在三次专注度监测中的总得分的数学期望是多少？
(2)计某位同学在数次专注度监测中累计得分恰为n分的概率为（比如：表示累计得分为1分的概率，表示累计得分为2的概率，），试探求：
（Ⅰ）的通项公式；
（Ⅱ）的通项公式．
12．（2022春·山东菏泽·高二曹县一中校考阶段练习）垃圾分类，是指按一定标准将垃圾分类储存、分类投放和分类搬运，从而转变成公共资源的一系列活动的总称，分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值，为争物尽其用.垃圾分类后，大部分运往垃圾处理厂进行处理.为了监测垃圾处理过程中对环境造成的影响，某大型垃圾处理厂为此建立了5套环境监测系统，并制定如下方案：每年工厂的环境监测费用预算定为80万元，日常全天候开启3套环境监测系统，若至少有2套系统监测出排放超标，则立即检查污染处理系统；若有且只有1套系统监测出排放超标，则立即同时启动另外两套系统进行1小时的监测，且后启动的这2套监测系统中只要有1套系统监测出排放超标，也立即检查污染处理系统.设每个时间段（以1小时为计量单位）被每套系统监测出排放超标的概率均为，且各个时间段每套系统监测出排放超标情况相互独立.
(1)当时，求某个时间段需要检查污染处理系统的概率；
(2)若每套环境监测系统运行成本为20元/小时（不启动则不产生运行费用），除运行费用外，所有的环境监测系统每年的维修和保养费用需要6万元.现以此方案实施，问该工厂的环境监测费用是否会超过预算（全年按9000小时计算）？并说明理由.
