7.3.2离散型随机变量的方差（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022春·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）若随机变量X的概率分布表如下：
X 0 1
P 0.4
则（ ）A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16
2．（2022秋·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022春·安徽滁州·高二统考期末）已知随机变量的分布列为：
则随机变量的方差的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·广西河池·高二统考期末）随机变量的概率分别为，，其中是常数，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
5．（2022春·北京·高二东直门中学校考阶段练习）若随机变量的分布列如表，则的方差是（ ）
0 1
A．0 B．1 C． D．
6．（2023·高二课时练习）如果是离散型随机变量，，则下列结论中正确的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
二、多选题
7．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）已知随机变量满足，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022春·江苏苏州·高二统考期末）若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）已知随机变量满足，则__________.
10．（2022春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知一个随机变量的分布为，若是的等差中项，且，则______．
11．（2023·全国·高二专题练习）甲、乙两种零件某次性能测评的分值，的分布如下，则性能更稳定的零件是______．
8 9 10
P 0.3 0.2 0.5
8 9 10
P 0.2 0.4 0.4
12．（2022春·四川眉山·高二统考期末）若样本数据，，…，的标准差为4，则数据，，…，的标准差为___________.
13．（2022春·山东枣庄·高二统考期末）已知离散型随机变量X的取值为有限个，，，则______．
四、解答题
14．（2023·全国·高二专题练习）某小组共10人参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布、期望与方差．
15．（2022·高二单元测试）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量、，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8、7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2．
(1)求、的分布；
(2)比较甲、乙的射击技术．
16．（2022·高二课时练习）某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．
(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；
(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
17．（2022春·贵州遵义·高二统考期末）不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为．
(1)求白球的个数m；
(2)若有放回的取出两个求，记取出的红球个数为X，求，．
18．（2022春·江西南昌·高二南昌市八一中学校考期末）冬奥会志愿者有名男同学，名女同学.在这名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的所大学.现从这名志愿者中随机选取名同学，到机场参加活动.每位同学被选中的可能性相等.
(1)求选出的名同学是来自互不相同的大学的概率；
(2)设为选出的名同学中女同学的人数，求随机变量的期望和方差．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023秋·上海·高二上海交大附中校考期末）已知，随机变量、相互独立，随机变量的分布为，的分布为，则当在内增大时（ ）
A．减小，增大 B．减小，减小
C．增大，增大 D．增大，减小
2．（2023·高二课时练习）设，随机变量的分布如下：，当在上增大时，以下说法中正确的是（ ）．
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
二、多选题
3．（2022春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为
X 0 a 2
P b
其中结论正确的是（ ）
A．
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．
D．当最小时，
三、填空题
4．（2023·高二课时练习）已知随机变量的取值为1、2、3，若与相等，且方差，则______．
5．（2023·高二课时练习）已知随机变量的分布如下：．若，则______．
6．（2023·高二单元测试）随机变量的分布为，若，则___________.
四、双空题
7．（2023秋·辽宁阜新·高二校考期末）若随机事件在1次试验中发生的概率为，用随机变量表示在1次试验中发生的次数，则方差的最大值为______；的最大值为____________
五、解答题
8．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲 乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲 乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲 乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
9．（2022春·北京·高二北京二中校考期末）根据国家高考改革方案，普通高中学业水平等级性考试科目包括政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，考生可根据报考高校要求和自身特长，从6门等级性考试科目中自主选择3门科目参加考试，在一个学生选择的三个科目中，若有两个或三个是文史类（政治、历史、地理）科目，则称这个学生选择科目是“偏文”的，若有两个或三个是理工类（物理、化学、生物）科目，则称这个学生选择科目是“偏理”的．为了了解同学们的选课意向，从北京二中高一年级中随机选取了20名同学（记为，，2，，19，20其中是男生，是女生），每位同学都各自独立的填写了拟选课程意向表，所选课程统计记录如表：
学生科目
政治 1 1 1 1 1 1 1 1 1
历史 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
地理 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
物理 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
化学 1 1 1 1 1 1 1 1 1
生物 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1)从上述20名同学中随机选取3名同学，求恰有2名同学选择科目是“偏理”的概率；
(2)从北京二中高一年级中任选两位同学，以频率估计概率，记为“偏文”女生的人数，求的分布列和数学期望；
(3)记随机变量，样本中男生的期望为，方差为；女生的期望为，方差为，试比较与；与的大小（只需写出结论）．
10．（2023·高二课时练习）已知是一个离散型随机变量，其概率分布如下：，试求和．
11．（2022春·江苏宿迁·高二统考期末）在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：
策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分；
策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分．
本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：
策略 概率 每题耗时（分钟）
第11题 第12题
A 选对选项 0.8 0.5 3
B 部分选对 0.6 0.2 6
全部选对 0.3 0.7
已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．根据以上经验解答下列问题：
(1)若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差；
(2)若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案．7.3.2离散型随机变量的方差（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022春·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）若随机变量X的概率分布表如下：
X 0 1
P 0.4
则（ ）A．0.5 B．0.42 C．0.24 D．0.16
【答案】C
【分析】根据分布列的数学期望和方差公式直接求解.
【详解】根据概率的性质可得，
所以，
所以，
故选:C.
2．（2022秋·浙江金华·高二浙江金华第一中学校考阶段练习）已知随机变量满足，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由数学期望与方差的性质求解
【详解】，得，
，得，
故选：B
3．（2022春·安徽滁州·高二统考期末）已知随机变量的分布列为：
则随机变量的方差的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由随机变量的分布列，求出的值，并根据二次函数的性质求出最大值．
【详解】解：由题意可得，，
则，
当，有最大值为．
故选：A．
4．（2022春·广西河池·高二统考期末）随机变量的概率分别为，，其中是常数，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】先求得参数k的值，进而求得的值，再利用随机变量的方差的计算公式即可求得的值
【详解】，，，解得，
，
.
故选：C.
5．（2022春·北京·高二东直门中学校考阶段练习）若随机变量的分布列如表，则的方差是（ ）
0 1
A．0 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】根据分布列利用期望与方差的公式计算即可得解.
【详解】解：，
则.
故选：D.
6．（2023·高二课时练习）如果是离散型随机变量，，则下列结论中正确的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】根据随机变量的线性关系，结合数学期望与方差的性质即可得，，故可得答案.
【详解】解：因为，又，所以，，
则，.
故选：D.
二、多选题
7．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）已知随机变量满足，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据平均数和方差的知识求得正确答案.
【详解】依题意，，，
所以，
.
故选：BC
8．（2022春·江苏苏州·高二统考期末）若随机变量服从两点分布，其中分别为随机变量的均值和方差，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据随机分布的定义和随机分布的期望方差计算进行求解即可.
【详解】对于选项A：随机变量X服从两点分布，因为
故，故选项A正确；
对于选项B：，故选项B错误；
对于选项C：，故选项C正确；
对于选项D：，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
9．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期中）已知随机变量满足，则__________.
【答案】18
【分析】根据方差的性质求解即可.
【详解】解：因为，
所以.
故答案为：18.
10．（2022春·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期末）已知一个随机变量的分布为，若是的等差中项，且，则______．
【答案】
【分析】根据概率的性质、等差中项的性质，以及分布列的均值，方差运算公式求解.
【详解】由题可知，，
所以.
故答案为: .
11．（2023·全国·高二专题练习）甲、乙两种零件某次性能测评的分值，的分布如下，则性能更稳定的零件是______．
8 9 10
P 0.3 0.2 0.5
8 9 10
P 0.2 0.4 0.4
【答案】乙
【分析】分别计算，的期望和方差，即可作出判断.
【详解】由题意知：，
，
所以，
，
因为，所以乙更稳定．
故答案为:乙．
12．（2022春·四川眉山·高二统考期末）若样本数据，，…，的标准差为4，则数据，，…，的标准差为___________.
【答案】8
【分析】利用方差的性质有，即可求新数据的标准差.
【详解】由题设，，故，
所以新数据的标准差为8.
故答案为：8
13．（2022春·山东枣庄·高二统考期末）已知离散型随机变量X的取值为有限个，，，则______．
【答案】##
【分析】根据题意和方差公式，以及方差的线性公式即可求解.
【详解】因为，
由，
得.
故答案为：.
四、解答题
14．（2023·全国·高二专题练习）某小组共10人参加义工活动．已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4．现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布、期望与方差．
【答案】分布列见解析，期望为，方差为.
【分析】根据题意得到随机变量的可能取值，求得相应的概率，列出分布列，利用期望和方差的公式，即可求解.
【详解】由题意，随机变量的可能取值为 ，
可得，，
，
所以随机变量X的分布为
0 1 2
所以期望为，
方差为．
15．（2022·高二单元测试）甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量、，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10，9，8、7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2．
(1)求、的分布；
(2)比较甲、乙的射击技术．
【答案】(1)答案见解析；
(2)甲比乙的射击技术好．
【分析】（1）由概率和为1求出对应概率，列出分布列即可；
（2）分别计算期望和方差，比较即可作出判断.
【详解】（1）由题意得：，解得．因为乙射中10、9、8环的概率分别为0.3、0.3、0.2，
所以乙射中7环的概率为，所以的分布为
10 9 8 7
0.5 0.3 0.1 0.1
的分布为
10 9 8 7
0.3 0.3 0.2 0.2
（2）由（1）得：；；
；
．
由于，，说明甲射击的环数的期望比乙高，且成绩比较稳定，所以甲比乙的射击技术好．
16．（2022·高二课时练习）某网约车司机统计了自己一天中出车一次的总路程X（单位：km）的可能取值是20，22，24，26，28，30，它们出现的概率依次是0.1，0.2，0.3，0.1，t，2t．
(1)求X的分布列，并求X的均值和方差；
(2)若网约车计费细则如下：起步价为5元，行驶路程不超过3km时，收费5元，行驶路程超过3km时，则按每超出1km（不足1km也按1km计程）收费3元计费．试计算此人一天中出车一次收入的均值和方差．
【答案】(1)分布列见解析，，；
(2)均值为71元，方差为.
【分析】（1）利用概率和为1求出的值，然后可得X的分布列，然后算出其期望方差即可；
（2）设此人一天中出车一次的收入为Y元，则，然后利用期望方差的性质可算出答案.
【详解】（1）由题意，得．∴．
∴X的分布列为
X 20 22 24 26 28 30
P 0.1 0.2 0.3 0.1 0.1 0.2
∴，
．
（2）设此人一天中出车一次的收入为Y元，则，
∴，．
故此人一天中出车一次收入的均值为71元，方差为95.4．
17．（2022春·贵州遵义·高二统考期末）不透明袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，若从中不放回地取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为．
(1)求白球的个数m；
(2)若有放回的取出两个求，记取出的红球个数为X，求，．
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）根据题意，得到，即可求解；
（2）根据得到随机变量可能为，求得相应的概率，列出分布列，利用期望和方差的公式，即可求解.
（1）
解：由题意知，袋中装有质地，大小相同的4个红球，m个白球，
因为第一个取出的球是红球，第二个取出的球是白球的概率为，
可得，解得．
（2）
解：由题意，随机变量可能为，
则，，，
所以随机变量的分布列为：
0 1 2
则期望为，
方差为.
18．（2022春·江西南昌·高二南昌市八一中学校考期末）冬奥会志愿者有名男同学，名女同学.在这名志愿者中，三名同学来自北京大学，其余名同学来自北京邮电大学，北京交通大学等其他互不相同的所大学.现从这名志愿者中随机选取名同学，到机场参加活动.每位同学被选中的可能性相等.
(1)求选出的名同学是来自互不相同的大学的概率；
(2)设为选出的名同学中女同学的人数，求随机变量的期望和方差．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）求出选出的名同学是来自互不相同大学的情况种类，除以从10名学生选出4名的情况种类即为答案；（2）求出X的可能取值，利用超几何分布求概率公式求出对应的概率，写出分布列，求出期望和方差
(1)
设“选出的名同学是来自互不相同大学”为事件，
则，
所以选出的名同学是来自互不相同大学的概率为；
(2)
随机变量的所有可能值为，，，，4.
，
∴，，
，，.
所以随机变量的分布列是：
4
=
．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023秋·上海·高二上海交大附中校考期末）已知，随机变量、相互独立，随机变量的分布为，的分布为，则当在内增大时（ ）
A．减小，增大 B．减小，减小
C．增大，增大 D．增大，减小
【答案】C
【分析】利用数学期望和方差的性质直接求解.
【详解】由题意可得：，，
所以.
所以当在内增大时，增大.
；.
所以.
所以当在内增大时，增大.
故选：C
2．（2023·高二课时练习）设，随机变量的分布如下：，当在上增大时，以下说法中正确的是（ ）．
A．增大 B．减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【答案】D
【分析】根据随机变量的分布列求得数学期望，从而可求得，结合二次函数的单调性即可判断的增减性.
【详解】解：随机变量的分布如下：，则，
所以，
当在上增大时，先减小后增大.
故选：D.
二、多选题
3．（2022春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知某商场销售一种商品的单件销售利润为，a，2，根据以往销售经验可得，随机变量X的分布列为
X 0 a 2
P b
其中结论正确的是（ ）A．
B．若该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为
C．
D．当最小时，
【答案】ABC
【分析】根据离散型随机变量的分布列的性质，期望与方差的计算公式，独立重复事件的概率公式进行计算求解，最值问题可结合函数的性质求解.
【详解】由题意，，，故选项A正确；该商场销售该商品5件，其中3件销售利润为0的概率为，故选项B正确；随机变量X的期望值，可知方差
，当时，，故选项C正确；当时，，故选项D错误.
故选：ABC.
三、填空题
4．（2023·高二课时练习）已知随机变量的取值为1、2、3，若与相等，且方差，则______．
【答案】
【分析】设，计算，再根据方差公式计算得到答案.
【详解】设，则，，，故，
.
故答案为：
5．（2023·高二课时练习）已知随机变量的分布如下：．若，则______．
【答案】
【分析】根据分布列的性质可得，有根据数学期望求得，解得的值，按照方差的计算公式即可得的值.
【详解】解：已知随机变量的分布为，所以，即，
又，所以解得，
则.
故答案为：.
6．（2023·高二单元测试）随机变量的分布为，若，则___________.
【答案】
【分析】根据数学期望的性质可求得，并结合概率和为构造方程组求得，利用方差计算公式可求得结果.
【详解】，，
即，又，，，
.
故答案为：.
四、双空题
7．（2023秋·辽宁阜新·高二校考期末）若随机事件在1次试验中发生的概率为，用随机变量表示在1次试验中发生的次数，则方差的最大值为______；的最大值为____________
【答案】 ##0.25 ##
【分析】根据两点分步的均值、方差计算公式，结合二次函数的最值问题和均值不等式即可求解.
【详解】由题意可得随机变量的所有可能取值为0，1，
并且，，
所以，，
所以当时取得最大值；
，
当且仅当即时等号成立，
所以的最大值为，
故答案为：；
五、解答题
8．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）我市拟建立一个博物馆，采取竞标的方式从多家建筑公司选取一家建筑公司，经过层层师选，甲 乙两家建筑公司进入最后的招标．现从建筑设计院聘请专家设计了一个招标方案：两家公司从6个招标问题中随机抽取3个问题，已知这6个招标问题中，甲公司能正确回答其中4道题目，而乙公司能正确回答每道题目的概率均为，甲 乙两家公司对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
(1)求甲公司至少答对2道题目的概率；
(2)请从期望和方差的角度分析，甲 乙两家哪家公司竞标成功的可能性更大？
【答案】(1)；
(2)甲公司竞标成功的可能性更大．
【分析】(1)利用超几何分布求出甲公司回答对2道题和回答对3道题的概率，即可求出结果.
(2)分别求甲、乙两家公司答对题数的分布列，再求两个随机变量的期望和方差，由此作出判断.
【详解】（1）由题意可知，甲公司至少答对2道题目可分为答对两题或者答对三题；
所求概率
（2）设甲公司正确完成面试的题数为，则的取值分别为．
．
则的分布列为：
1 2 3
，
；
设乙公司正确完成面试的题为，则取值分别为．
，，
，
则的分布列为：
0 1 2 3
．
．
由可得，甲公司竞标成功的可能性更大．
9．（2022春·北京·高二北京二中校考期末）根据国家高考改革方案，普通高中学业水平等级性考试科目包括政治、历史、地理、物理、化学、生物6门，考生可根据报考高校要求和自身特长，从6门等级性考试科目中自主选择3门科目参加考试，在一个学生选择的三个科目中，若有两个或三个是文史类（政治、历史、地理）科目，则称这个学生选择科目是“偏文”的，若有两个或三个是理工类（物理、化学、生物）科目，则称这个学生选择科目是“偏理”的．为了了解同学们的选课意向，从北京二中高一年级中随机选取了20名同学（记为，，2，，19，20其中是男生，是女生），每位同学都各自独立的填写了拟选课程意向表，所选课程统计记录如表：
学生科目
政治 1 1 1 1 1 1 1 1 1
历史 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
地理 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
物理 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
化学 1 1 1 1 1 1 1 1 1
生物 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(1)从上述20名同学中随机选取3名同学，求恰有2名同学选择科目是“偏理”的概率；
(2)从北京二中高一年级中任选两位同学，以频率估计概率，记为“偏文”女生的人数，求的分布列和数学期望；
(3)记随机变量，样本中男生的期望为，方差为；女生的期望为，方差为，试比较与；与的大小（只需写出结论）．
【答案】(1)
(2)分布列见解析，
(3)，
【分析】（1）根据表格计算出20人中偏理的人数，再利用古典概型的概率公式求解即可．
（2）由表格可知取一名学生，这个学生是偏文女生的概率为，的所有可能取值为0，1，2，结合二项分布的概率公式求出相应的概率，得到的分布列，进而求出即可．
（3）由男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，可知，．
【详解】（1）由表格可知，男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，
则偏理共有11人，偏文共有9人，
设恰有2名同学选择科目是“偏理”为事件，
则（A）．
（2）由表格可知，抽取的20人中，偏文女生有6人，
所以抽取一名学生，这个学生是偏文女生的概率为，
则，1，2，
，，，
所以的分布列为：
0 1 2
．
（3）男生中偏理有7人，偏文有3人，女生中偏理有4人，偏文有6人，
则，
，
故，．
10．（2023·高二课时练习）已知是一个离散型随机变量，其概率分布如下：，试求和．
【答案】，．
【分析】根据概率分布的性质，解得，然后根据均值与方差的计算公式求解和即可.
【详解】解：由概率分布的性质，得解得，
从而可得，．
11．（2022春·江苏宿迁·高二统考期末）在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：
策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做，选对得2分；
策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，漏选得2分，全部选对得5分．
本次期末考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：
策略 概率 每题耗时（分钟）
第11题 第12题
A 选对选项 0.8 0.5 3
B 部分选对 0.6 0.2 6
全部选对 0.3 0.7
已知该同学作答两题的状态互不影响，但这两题总耗时若超过10分钟，其它题目会因为时间紧张而少得1分．根据以上经验解答下列问题：
(1)若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差；
(2)若该同学期望得到高分，请你替他设计答题方案．
【答案】(1)分布列见解析，，
(2)题和12题均采用策略，理由见解析；
【分析】（1）先求出随机变量的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，即可求出数学期望与方差；
（2）依题意列出所有可能情况，分别求出数学期望，即可判断；
(1)
解：设事件为“第11题得0分”，事件为“第11题得2分”，事件为“第11题得5分”，
事件为“第12题得0分”，事件为“第12题得2分”，
所以，，，，，
由题意可知，的可能取值为0，2，4，5，7，
则，
，
，
，
，
所以小明第11题和第12题总得分的分布列为：
0 2 4 5 7
所以，
(2)
解：依题意该同学答题方案有：
方案题采用策略，12题采用策略；
方案题和12题均采用策略；
方案题和12题均采用策略；
方案题采用策略，12题采用策略；
设随机变量为该同学采用方案2时，第11题和第12题总得分，
则的可能取值为0，2，4，5，7，10，
故，
，
，
，
，
，
故的分布列为：
0 2 4 5 7 10
0.01 0.08 0.12 0.1 0.48 0.21
所以，
但因为时间超过10分钟，后面的题得分少分，相当于得分均值为3分，
因为，
方案的期望值一定小于，故不选方案，
设随机变量为该同学采用方案4时，第11题和第12题总得分，
则的可能取值为0，2，4，5，7，
故，
，
，
，
，
故的分布列为：
0 2 4 5 7
0.02 0.12 0.16 0.14 0.56
所以，
方案的期望值也小于，故不选方案；
所以我建议该同学按照方案题和12题均采用策略．
