第6章计数原理（单元测试）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．∈N*，，则（20－）（21－)…（100－）等于
A． B． C． D．
2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
3．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到、、三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到班的分法种数为
A． B．
C． D．
4．在的展开式中，常数项为（ ）
A．15 B． C．30 D．
5．某校在“数学联赛”考试后选取了6名教师参加阅卷，试卷共4道解答题，要求将这6名教师分成4组，每组改一道解答题，其中2组各有2名教师，另外2组各有1名教师，则不同的分配方案的种数是
A．216 B．420 C．720 D．1080
6．展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
7．现用五种不同的颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边的两块不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（ ）
A．180 B．200 C．240 D．260
8．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图；
如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）
A．46 B．44 C．42 D．40
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知+0！=4，则m的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为64
C．常数项为1215 D．二项式系数最大的项为第3项
11．用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）
A．可组成个不重复的四位数
B．可组成个不重复的四位偶数
C．可组成个能被整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第个数字为
12．某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（ ）
A．若1班不再分配名额.则共有种分配方法
B．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法
C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．若，则__________ .
14．若存在，使得和（其中）的展开式中含项的系数相等，则的最大值为______.
15．现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有____种.
16．已知， ，展开式中，含项的系数为19，则当含项的系数最小时，展开式中含项的系数为______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，且等于它后一项系数的，试求该展开式中二项式系数最大的项．
18．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程：.
19．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知（），若的展开式中，______.
（1）求的值；
（2）求的值.
20．某班要从6名男生、4名女生中选出5人担任5门不同学科的课代表，请分别求出满足下列条件的方法种数（结果用数字作答）.
（1）选出的男生人数不少于女生人数；
（2）男生甲必须是课代表，但不能担任语文课代表.
21．如图所示，在以为直径的半圆周上，有异于的六个点，直径上有异于的四个点.则：
（1）以这12个点（包括）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
（2）以这10个点（不包括）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？
22．某校阅览室的一个书架上有6本不同的课外书，有5个学生想阅读这6本书，在同一时间内他们到这个书架上取书.
（1）求每个学生只取1本书的不同取法种数；
（2）求每个学生最少取1本书，最多取2本书的不同取法种数；
（3）求恰有1个学生没取到书的不同取法种数.第6章计数原理（单元测试）
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．∈N*，，则（20－）（21－)…（100－）等于
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】分析：由排列数公式即可得到答案，需注意项数．
详解：由题意可得：共有项， ，
故选C．
点睛：本题考查排列及排列数公式，易错点在于项数的计算，属于基础题．
2．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同报名方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．25种 D．32种
【答案】D
【分析】该事件用分步乘法计数原理计数，结合每个同学有2种选择，即可得出结果
【详解】由题，每个同学有2种选择，故不同报名方式为，
故选：D
3．要将甲、乙、丙、丁4名同学分到、、三个班级中，要求每个班级至少分到一人，则甲被分到班的分法种数为
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分甲和另一个人一起分到A班有，甲一个人分到 A班的方法有：，加到一起即为结果.
【详解】甲和另一个人一起分到A班有=6种分法，甲一个人分到 A班的方法有：=6种分法，共有12种分法；
故答案为B.
【点睛】解答排列、组合问题的角度：
解答排列、组合应用题要从“分析”、“分辨”、“分类”、“分步”的角度入手．
(1)“分析”就是找出题目的条件、结论，哪些是“元素”，哪些是“位置”；
(2)“分辨”就是辨别是排列还是组合，对某些元素的位置有、无限制等；
(3)“分类”就是将较复杂的应用题中的元素分成互相排斥的几类，然后逐类解决；
(4)“分步”就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每一步都是简单的排列、组合问题，然后逐步解决．
4．在的展开式中，常数项为（ ）
A．15 B． C．30 D．
【答案】A
【分析】根据二项展开式的通项公式直接求解.
【详解】，
令，得，
所以常数项是.
故选：A
5．某校在“数学联赛”考试后选取了6名教师参加阅卷，试卷共4道解答题，要求将这6名教师分成4组，每组改一道解答题，其中2组各有2名教师，另外2组各有1名教师，则不同的分配方案的种数是
A．216 B．420 C．720 D．1080
【答案】D
【解析】先对6人分组，再进行分工安排.
【详解】6人分成4组共有种不同的分组方案，所以共有种分配方案.
【点睛】本题主要考查排列组合的实际应用，选派问题一般思路是：按照先分组，再分工的步骤进行求解.
6．展开式中项的系数为160，则（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】先求得展开式中的系数，可得展开式中的系数，从而得答案.
【详解】二项式展开式的通项为，
令可得二项式展开式中的系数为，
∴展开式中的系数为，
可得，解得，
故选：C．
7．现用五种不同的颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求有公共边的两块不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（ ）
A．180 B．200 C．240 D．260
【答案】D
【分析】先涂Ⅰ，有5种涂法，然后涂Ⅱ，Ⅳ，最后涂Ⅲ，分Ⅱ，Ⅳ相同和Ⅱ，Ⅳ不同求解.
【详解】先涂Ⅰ，有5种涂法，然后涂Ⅱ，Ⅳ，最后涂Ⅲ．
①当Ⅱ，Ⅳ相同时，涂法有种，故不同的涂色方法种数为；
②当Ⅱ，Ⅳ不同时，涂法有种，故不同的涂色方法种数为．
综上所述，不同的涂色方法种数为．
故选：D.
8．算筹是在珠算发明以前我国独创并且有效的计算工具，为我国古代数学的发展做出了很大贡献.在算筹计数法中，以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字，如图：
表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，遇零则置空，如图；
如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的三位数的个数为（ ）
A．46 B．44 C．42 D．40
【答案】B
【分析】按每一位算筹的根数分类，列举出所有的情况，根据根或根以上的算筹可以表示两个数字，计算出每种情况下所表示的三位数的个数，利用分类加法计数原理可得结果.
【详解】按每一位算筹的根数分类一共有种情况，分别为、、、、、、、、、、、、、、，
根或根以上的算筹可以表示两个数字，运用分步乘法计数原理，得上面情况能表示的三位数字个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、，
根据分类加法计数原理，得根算筹能表示的三位数字个数为：
.
故选：B.
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．已知+0！=4，则m的值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】BC
【解析】根据等式得出=6，结合选项可以得解.
【详解】∵+0！=4，
∴=6．当m=2时成立；当m=3时也成立．
故选：BC．
10．对于的展开式，下列说法正确的是（ ）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为64
C．常数项为1215 D．二项式系数最大的项为第3项
【答案】ABC
【分析】根据二项式系数和性质可判断选项A；用赋值法求出所有系数和可判断选项B；求出展开式的通项可判断选项C，由二项式系数的性质可判断D.
【详解】的展开式所有项的二项式系数和为，选项A正确；
中令得，选项B正确；
展开式通项为，
令，得，所以常数项为，选项C正确；
二项式系数最大的项为第4项，选项D不正确.
故选：ABC.
【点睛】本题考查二项式定理的应用，二项式系数性质，熟记通项是解题的关键，掌握赋值法求系数和，属于中档题.
11．用数字、、、、、组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）
A．可组成个不重复的四位数
B．可组成个不重复的四位偶数
C．可组成个能被整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排成一个数列，则第个数字为
【答案】BC
【解析】A选项选一个非0数在首位，其他几位全排列；B选项，分为在末位和不在末位；C选项能被整除的四个数然后分类讨论排列；D选项分类讨论：首位为、前两位为、前两位为进而得出答案.
【详解】解：A选项，有个，错，
B选项，分为两类：在末位，则有种，不在末位，则有种，
∴共有种，对，
C选项，先把四个相加能被整除的四个数从小到大列举出来，
即先选：，、、、，
它们排列出来的数一定可以被整除，∴共有：种，对，
D选项，首位为的有个，前两位为的有个，前两位为的有个，此时共有个，
因而第个数字是前两位为的最小数，即为，错，
故选：BC.
【点睛】解排列、组合问题要遵循的两个原则:
（1）按元素(位置)的性质进行分类；
（2）按事情发生的过程进行分步：具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).
12．某中学为提升学生劳动意识和社会实践能力，利用周末进社区义务劳动，高三一共6个班，其中只有1班有2个劳动模范，本次义务劳动一共20个名额，劳动模范必须参加并不占名额，每个班都必须有人参加，则下列说法正确的是（ ）
A．若1班不再分配名额.则共有种分配方法
B．若1班有除劳动模范之外学生参加，则共有种分配方法
C．若每个班至少3人参加，则共有90种分配方法
D．若每个班至少3人参加，则共有126种分配方法
【答案】BD
【分析】对于AB，将20个名额分给n个班，且每个班至少有一个名额，相当于在20个物体的19个空中，选个位置分隔，用插空法；对于CD，将问题转化为将10个，名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，进而结合挡板法求解即可得到.
【详解】解：对于A，若1班不再分配名额，则20个名额分配到5个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故A错误；
对于B，若1班有除劳动模范之外学生参加，则20个名额分配到6个班级，每个班级至少1个，根据隔板法，有种分配方法，故B正确；
对于CD，若每个班至少3人参加，由于1班有2个劳模，故只需先满足每个班级有2个名额，还剩10个名额，
再将10个，名额分配到6个班级，每个班级至少1个名额，故只需在10个名额中的9个空上放置5个隔板即可，故有种，故C错误，D正确.
故选：BD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．若，则__________ .
【答案】2或3
【详解】分析：由可得或,从而可得结果.
详解：由组合数公式的性质可得或，
解得或，故答案为或.
点睛：本题主要考查组合数公式的应用，意在考查分类讨论的数学思想以及灵活运用基本公式的能力.
14．若存在，使得和（其中）的展开式中含项的系数相等，则的最大值为______.
【答案】
【分析】分别利用通项公式，求得和的展开式中含项的系数，然后由其相等求解.
【详解】由的展开式中第项为，
令，得，
∴含项的系数为.
同理的展开式中含项的系数为.
由，得，
又在上是减函数.
∵，∴，
故的最大值为.
故答案为：
15．现有5种不同的颜色要对图形中(如图)的四个部分涂色,要求有公共边的两部分不能用同一颜色,则不同的涂色方法有____种.
【答案】180
【分析】由分步计数原理计算可得答案.
【详解】根据题意，分4步进行分析：
对于A部分，有5种颜色可选，即有5种情况；
对于B部分，与A部分有公共边，有4种颜色可选，即有4种情况；
对于C部分，与A、B部分都有公共边，有3种颜色可选，即有3种情况；
对于D部分，与A、C部分都有公共边，有3种颜色可选，即有3种情况；
则不同的着色方法有5×4×3×3=180种
【点睛】利用分步计数原理解决问题时，要按问题发生过程合理的分步.
16．已知， ，展开式中，含项的系数为19，则当含项的系数最小时，展开式中含项的系数为______.
【答案】156
【分析】根据含项的系数为19，得到，然后分或和，且，根据项的系数最小时求解.
【详解】∵，，展开式中，含项的系数为19，
∴.
则当或时，含项的系数为；
当，且时，含项的系数为：
，
，
，
.
∴当或9时，的系数最小，为81.
∴，
展开式中含项的系数为.
故答案为：156
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，且等于它后一项系数的，试求该展开式中二项式系数最大的项．
【答案】
【详解】试题分析：先求出的展开式的通项公式，然后根据某一项的系数恰好是它前一项系数的2倍，是它后一项系数的倍，建立方程组，解之即可求出n的值，从而求出展开式中二项式系数最大的项．
由题意设展开式中第k＋1项系数是第k项系数的2倍，是第k＋2项系数的，
∴解得，
∴展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项．故系数最大的项为第5项
考点：二项展开式的通项，二项式系数最大的项
18．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）解方程：.
【答案】（1）；（2）330；（3）.
【分析】(1)利用组合数的性质化简，再利用组合数、排列数公式计算即得；
(2)利用组合数的性质依次化简计算即得；
(3)利用排列数计算公式变形解方程即可得解.
【详解】（1）原式.
（2）原式
.
（3）原方程可化为
，
化简得，解得或（舍去），
故方程的解是.
19．在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知（），若的展开式中，______.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）10；（2）
【分析】（1）分别选择不同方案，根据展开式系数关系即可求出；
（2）令和可求出.
【详解】（1）选择条件①，
若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则，
；
选择条件②，
若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则，
；
选择条件②，
若的展开式中所有二项式系数的和为，则，
；
（2）由（1）知，则，
令，得，
令，则，
.
【点睛】本题考查二项展开式系数关系，属于基础题.
20．某班要从6名男生、4名女生中选出5人担任5门不同学科的课代表，请分别求出满足下列条件的方法种数（结果用数字作答）.
（1）选出的男生人数不少于女生人数；
（2）男生甲必须是课代表，但不能担任语文课代表.
【答案】（1）22320；（2）12096.
【分析】（1）根据题意，分5人全部是男生，5人中有4名男生、1名女生，3名男生、2名女生3种情况讨论选出5人，再安排课代表，最后相加即可；
（2）根据题意，分3步分析：在其他9人中任选4人，甲可以担任其他4门学科的课代表，将其他4人全排列，担任其他4门学科的课代表，再根据分步乘法原理即可的解.
【详解】解：（1）根据题意，分3种情况讨论：
①选出的5人全部是男生，有种方法；
②选出的5人中有4名男生、1名女生，有种方法；
③选出的5人中有3名男生、2名女生，有种方法，
则选出的男生人数不少于女生人数的方法种数为.
（2）根据题意，分3步分析：
①在其他9人中任选4人，有种方法；
②由于甲不能担任语文课代表，则甲可以担任其他4门学科的课代表，有种方法；
③将其他4人全排列，担任其他4门学科的课代表，有种方法，
则共有种方法.
21．如图所示，在以为直径的半圆周上，有异于的六个点，直径上有异于的四个点.则：
（1）以这12个点（包括）中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？
（2）以这10个点（不包括）中的3个点为顶点，可作出多少个三角形？
【答案】（1）360；（2）116.
【详解】分析：（1）构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类，将三类情况加到一起即可；（2）类似于（1）可分三种情况讨论得三角形个数为.
详解：
（1）构成四边形，需要四个点，且无三点共线，可以分成三类：
①四个点从中取出，有个四边形；
②三个点从中取出，另一个点从，中取出，有个四边形；
③二个点从中取出，另外二个点从，中取出，有个四边形．
故满足条件的四边形共有
(个)．
（2）类似于（1）可分三种情况讨论得三角形个数为
(个)．
点睛:排列与组合问题要区分开，若题目要求元素的顺序则是排列问题，排列问题要做到不重不漏，有些题目带有一定的约束条件，解题时要先考虑有限制条件的元素,高考中常见的排列组合问题还有分组分配问题，即不同元素分到不同组内时，通常先分组后分配.
22．某校阅览室的一个书架上有6本不同的课外书，有5个学生想阅读这6本书，在同一时间内他们到这个书架上取书.
（1）求每个学生只取1本书的不同取法种数；
（2）求每个学生最少取1本书，最多取2本书的不同取法种数；
（3）求恰有1个学生没取到书的不同取法种数.
【答案】（1）（2）（3）
【分析】（1）直接利用排列公式得到答案.
（2）将情况分为：每个学生只取1本书；一个学生取2本书，其余学生每人取一本书这两种情况，分别计算相加得到答案.
（3）将情况分为：1个学生取3本书，3个学生每人取1本书，1个学生取0本书； 2个学生每人取2本书，2个学生每人取1本书，1个学生取0本书，计算得到答案.
【详解】（1）每个学生只取1本书的不同取法种数为种.
（2）每个学生最少取1本书，最多取2本书分两种情况：
第一种，每个学生只取1本书，取法为；
第二种，一个学生取2本书，其余学生每人取一本书.确定取2本书的学生有种方法，这个学生取哪2本书有种方法，其余4个学生取剩下的4本书且每人一本有种方法，故一个学生取2本书，其余学生每人取一本书取法为.
所以，每个学生最少取1本书，最多取2本书的不同取法为种.
（3）恰有1个学生没取到书分两种情况：
第一种，1个学生取3本书，3个学生每人取1本书，1个学生取0本书，取法种数为.
第二种，2个学生每人取2本书，2个学生每人取1本书，1个学生取0本书，取法种数为.
所以恰有1个学生没取到书的不同取法种数为种.
【点睛】本题考查了排列组合公式的应用，意在考查学生的应用能力和理解能力.
