7.1.2 全概率公式（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2023秋·江西上饶·高二统考期末）某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84
2．（2022春·福建莆田·高二统考期末）“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，已知李明骑单车的概率为0.7，乘坐公共汽车的概率为0.3，而且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准时到校的概率分别为0.9与0.8，则李明准时到校的概率是（ ）
A．0.9 B．0.87 C．0.83 D．0.8
3．（2022春·北京昌平·高二统考期末）已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机，其占有率和优质率的信息如下表所示.
品牌 甲 乙
占有率 60% 40%
优质率 95% 90%
从该专卖店中随机购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）甲袋子中有5个黑球，4个白球，乙袋子中有3个黑球，4个白球．假设这些球除了颜色外其他都相同，分两次从袋子中取球，第一次先从甲袋子中随机取出一球放入乙袋子，分别用事件，表示由甲袋子取出的球是黑球，白球：第二次再从乙袋子中随机取出两球，分别用事件，表示从乙袋子取出的球是“两球都为黑球”，“两球为一黑一白”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022春·湖北·高二统考期末）已知事件，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·江西宜春·高二江西省丰城中学校考期中）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 存在如下关系：.某高校有甲 乙两家餐厅，王同学第一天去甲 乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
三、填空题
8．（2022春·黑龙江大庆·高二大庆中学校考期末）已知某条公路在一段时间内经过的货车和客车的数量之比为1：2，货车中途停车维修的概率为0.02，客车中途停车维修的概率为0.01，则在通行的货车和客车中有一辆中途停车维修的概率为_____．
9．（2022春·重庆·高二统考期末）已知事件，满足，，，则______.
10．（2022春·云南玉溪·高二统考期末）已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是_________．
11．（2023·全国·高二专题练习）盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.则第二次取出的球是白色的概率为______.
12．（2023·全国·高二专题练习）一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是___________.
13．（2022秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）一个袋于中有4个红球，8个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到红球的概率为__________.
14．（2022秋·江西上饶·高二江西省余干中学阶段练习）一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为 __．
15．（2023·全国·高二专题练习）某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100％，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为______．
四、解答题
16．（2023·高二课时练习）据某国的一份资料显示，该国居民患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%的人是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，根据此资料求该国不吸烟者患肺癌的概率．
17．（2022·高二课时练习）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
18．（2022·高二课时练习）某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，且当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.从以上数据可知，当乙球员参加比赛时，求该球队某场比赛不输球的概率.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·全国·高二期末）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（ ）
①事件与相互独立；
②，，是两两互斥的事件；
③；
④；
⑤
A．5 B．4 C．3 D．2
二、多选题
3．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022春·浙江舟山·高二统考期末）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是
B．第二次取到1号球的概率
C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大
D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种
三、填空题
5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为______．
6．（2023·高二课时练习）甲、乙两个箱子，甲箱中装有两个白球，一个黑球；乙箱中装有一个白球，两个黑球．现从甲箱中任取一球放入乙箱，再从乙箱中任取一球，则该球是白球的概率是______．
7．（2023·高二课时练习）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：
①；
②；
③当时，；
④.
其中，所有正确结论的序号是__________.
四、双空题
8．（2022春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”、“冰墩墩”、“雪容融”等．小王有3张“冬梦”，2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”、“冰墩墩”、"雪容融”邮票各1张．小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以表示小王取出的是“冬梦”、“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则____________，___________．
五、解答题
9．（2023秋·山东日照·高二统考期末）某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲 乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．
10．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔．
(1)一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种笔的概率；
(2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率；
(3)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率．
11．（2022春·福建·高二福建师大附中校考期中）有甲、乙、丙三个厂家生产同种规格的产品，甲、乙、丙三个厂家生产的产品的合格率分别为、、，已知甲、乙、丙三个厂家生产的产品数所占比例为，将三个厂家生产的产品混放在一起，从混合产品中任取件．
(1)求这件产品为合格品的概率；
(2)已知取到的产品是合格品，问它是哪个厂生产的可能性最大？
12．（2023·高二课时练习）播种用的一等小麦种子中混有的二等种子，的三等种子，的四等种子，已知一等、二等、三等、四等种子长出的麦穗含有颗以上麦粒的概率分别为、、、，求这批种子所结出的麦穗含有颗以上麦粒的概率．
13．（2022·全国·高二专题练习）假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个分裂成两个）和死亡的概率相同．如果一个种群从这样一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？7.1.2 全概率公式（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2023秋·江西上饶·高二统考期末）某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（ ）
A．0.16 B．0.32 C．0.42 D．0.84
【答案】A
【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案.
【详解】此人是癌症患者的概率为.
故选：A
2．（2022春·福建莆田·高二统考期末）“保护环境，绿色出行”是现代社会提倡的一种环保理念，李明早上上学的时候，可以乘坐公共汽车，也可以骑单车，已知李明骑单车的概率为0.7，乘坐公共汽车的概率为0.3，而且骑单车与乘坐公共汽车时，李明准时到校的概率分别为0.9与0.8，则李明准时到校的概率是（ ）
A．0.9 B．0.87 C．0.83 D．0.8
【答案】B
【分析】分别求出乘坐公共汽车和骑单车准时到校的概率，然后求和即为准时到校的概率.
【详解】李明上学骑单车准时到校的概率为，乘坐公共汽车准时到校的概率为，因此李明准时到校的概率为：，
故选：B
3．（2022春·北京昌平·高二统考期末）已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机，其占有率和优质率的信息如下表所示.
品牌 甲 乙
占有率 60% 40%
优质率 95% 90%
从该专卖店中随机购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用全概率计算公式求得正确答案.
【详解】买到的是优质品的概率是.
故选：A
4．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）已知甲箱中有6个篮球，2个足球，乙箱中有5个篮球，3个足球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件表示由甲箱取出的球是篮球、足球，再从乙箱中随机取出两球，用事件B表示“由乙箱取出的两球都为篮球”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可求出，根据全概率公式直接求解即可.
【详解】由题意知，，
所以
.
故选:B.
二、多选题
5．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考期末）甲袋子中有5个黑球，4个白球，乙袋子中有3个黑球，4个白球．假设这些球除了颜色外其他都相同，分两次从袋子中取球，第一次先从甲袋子中随机取出一球放入乙袋子，分别用事件，表示由甲袋子取出的球是黑球，白球：第二次再从乙袋子中随机取出两球，分别用事件，表示从乙袋子取出的球是“两球都为黑球”，“两球为一黑一白”，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】AB选项，利用条件概率求解；C选项，利用独立事件概率乘法公式求解；D选项，利用全概率公式进行求解.
【详解】由题意得：，，
，A正确；
，B错误；
，C错误；
，D正确.
故选：AD
6．（2022春·湖北·高二统考期末）已知事件，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【分析】对于A选项，利用概率的乘法公式，即可求解；
对于B、C选项，利用条件概率的性质，即可求解；
对于D选项，利用全概率公式，即可求解.
【详解】对于A选项，，所以A选项正确；
对于B选项，，所以B选项错误；
对于C选项，，所以C选项正确；
对于D选项，，则，所以D选项正确．
故选：ACD．
7．（2022秋·江西宜春·高二江西省丰城中学校考期中）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件 存在如下关系：.某高校有甲 乙两家餐厅，王同学第一天去甲 乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ）
A．第二天去甲餐厅的概率为0.54
B．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
【答案】AC
【分析】根据题中所给的公式进行逐一判断即可.
【详解】设:第一天去甲餐厅，:第二天去甲餐厅，
:第一天去乙餐厅，:第二天去乙餐厅，
所以，，，
因为，
所以，
所以有,
因此选项A正确, ，因此选项B不正确；
因为，所以选项C正确；
，所以选项D不正确，
故选：AC
三、填空题
8．（2022春·黑龙江大庆·高二大庆中学校考期末）已知某条公路在一段时间内经过的货车和客车的数量之比为1：2，货车中途停车维修的概率为0.02，客车中途停车维修的概率为0.01，则在通行的货车和客车中有一辆中途停车维修的概率为_____．
【答案】
【分析】利用全概率公式可求解得出.
【详解】设表示中途停车修理，表示公路上经过的汽车是货车，表示公路上经过的汽车是客车，
则，，，，
则由全概率公式，可知一辆车中途停车修理的概率为.
故答案为：
9．（2022春·重庆·高二统考期末）已知事件，满足，，，则______.
【答案】##
【分析】根据全概率公式计算可得.
【详解】因为互为对立事件且，所以，，所以.
故答案为：.
10．（2022春·云南玉溪·高二统考期末）已知某地市场上供应的灯泡中，甲厂产品占，乙厂产品占，甲厂产品的合格率是，乙厂产品的合格率是，则从该地市场上买到一个合格灯泡的概率是_________．
【答案】##
【分析】根据独立事件和互斥事件概率计算方法计算即可．
【详解】从某地市场上购买一个灯泡，设买到的灯泡是甲厂产品为事件A，买到的灯泡是乙厂产品为事件B，则由题可知P(A)＝，P(B)＝，
从甲厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件C，
从乙厂产品中购买一个，设买到的产品是合格品为事件D，
则由题可知P(C)＝，P(D)＝，
由题可知A、B、C、D互相独立，
故从该地市场上买到一个合格灯泡的概率为：
P(AC)＋P(BD)＝P(A)P(C)＋P(B)P(D)＝．
故答案为：．
11．（2023·全国·高二专题练习）盒子中有大小与质地相同的5个红球和4个白球，从中随机取1个球，观察其颜色后放回，并同时放入与其相同颜色的球3个，再从盒子中取1个球.则第二次取出的球是白色的概率为______.
【答案】
【分析】根据全概率公式求解可得.
【详解】设事件为“第一次抽到白球”，事件为“第二次抽到白球”，
则，所以，
由题可得，，，，
所以.
故答案为：.
12．（2023·全国·高二专题练习）一道单项选择题有4个答案，要求学生将正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是___________.
【答案】##
【分析】由全概率公式求出考生答对的概率，再由条件概率公式求他答对条件下，他确实知道正确答案的概率.
【详解】设表示“考生答对”，表示“考生知道正确答案”，由全概率公式得
故
故答案为：
13．（2022秋·浙江杭州·高二学军中学校考期中）一个袋于中有4个红球，8个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则第二次取到红球的概率为__________.
【答案】
【分析】使用古典概型概率公式或全概率公式进行求解.
【详解】方法一：
由已知，该试验是古典概型，
样本空间中样本点的个数，
设事件“第二次取到红球”，则事件分为“第一次取到绿球，第二次取到红球”和“两次取到的均为红球”两类，
∴，
∴.
方法二：
设事件表示“第次摸到红球”，事件表示“第次摸到绿球”，，
则
.
故答案为：.
14．（2022秋·江西上饶·高二江西省余干中学阶段练习）一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则第二次及格的概率为．若已知他第二次已经及格，则他第一次及格的概率为 __．
【答案】
【分析】由条件概率的性质和全概率公式计算即可.
【详解】设“该学生第i次及格”为事件Ai，i＝1，2，
显然A1，A2为样本空间的一个完备事件组，
且已知P（A1）＝p，P（A2|A1）＝p，P（）＝1﹣p，P（A2|）．
由全概率公式得，P（A2）＝P（A1）P（A2|A1）+P（）P（A2|）（1+p）．
由贝叶斯公式得，P（A1|A2）．
故答案为：．
15．（2023·全国·高二专题练习）某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100％，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为______．
【答案】0.625##
【分析】根据条件概率公式求解即可.
【详解】解：设“考生答对题目”为事件A，“考生知道正确答案”为事件B，
则，，，
．
故答案为：0.625．
四、解答题
16．（2023·高二课时练习）据某国的一份资料显示，该国居民患肺癌的概率约为0.1%，在人群中有20%的人是吸烟者，他们患肺癌的概率约为0.4%，根据此资料求该国不吸烟者患肺癌的概率．
【答案】0.025%
【分析】根据全概率公式列方程，即可求得该国不吸烟者患肺癌的概率．
【详解】设事件表示“从人群中任选一个人，这个人是吸烟者”，事件表示“从人群中任选一个人，这个人是不吸烟者”，事件表示“从人群中任选一人，这个人患肺癌”，
由全概率公式可得，
解得，即该国不吸烟者患肺癌的概率是0.025%．
17．（2022·高二课时练习）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
【答案】(1)
(2)0.25
【分析】（1）设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”，再根据概率的公式求解即可；
（2）同（1），结合条件概率的公式求解即可.
（1）
设表示“第i台机床加工的零件”（i＝1，2）；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”．
．
（2）
．
18．（2022·高二课时练习）某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，且当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.从以上数据可知，当乙球员参加比赛时，求该球队某场比赛不输球的概率.
【答案】0.68
【分析】利用全概率公式、对立事件的概率计算公式即可得出结论.
【详解】设表示“乙球员担当前锋”，表示“乙球员担当中锋”，表示“乙球员担当后卫”，表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球根据题意，则
，所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为.
【能力提升】
一、单选题
1．（2023秋·湖南长沙·高二长郡中学校考期末）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从放入球的盒子中任取一个球，则第二次抽到3号球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】记第一次抽到第i号球的事件分别为，记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，再利用全概率公式求解即可.
【详解】记第一次抽到第i号球的事件分别为，
则有，，
记第二次在第i号盒内抽到3号球的事件分别为，
而，，两两互斥，和为，，，，
记第二次抽到3号球的事件为B，
．
故选:C．
2．（2022春·全国·高二期末）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球， 乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球(球除颜色外，大小质地均相同)．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（ ）
①事件与相互独立；
②，，是两两互斥的事件；
③；
④；
⑤
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】先判断出，，是两两互斥的事件，且不满足，①错误，②正确，用条件概率求解③⑤，用全概率概率求解④，得出结论.
【详解】显然，，，是两两互斥的事件，且
，，而，①错误，②正确；
，，所以，③正确；
④正确；
，⑤错误，综上：结论正确个数为3.
故选：C
二、多选题
3．（2023秋·辽宁葫芦岛·高二葫芦岛第一高级中学校考期末）甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】计算出，，利用条件概率求出，A正确；同理得到，D错误，利用全概率公式求出，B错误；利用条件概率得到C正确.
【详解】由题意得：，，
故，A正确；
，，D错误；
，，
故，B错误；
，C正确.
故选：AC
4．（2022春·浙江舟山·高二统考期末）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是
B．第二次取到1号球的概率
C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大
D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内，每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种
【答案】CD
【分析】对于A选项利用条件概率公式求解；对于B选项利用全概率公式求解，对于C选项利用贝叶斯公式求解，对于D选项，不同元素的分配问题，先分份再分配即可求解
【详解】对于A选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球, ,则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率，故A错误
对于B选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球, , 依题意 两两互斥, 其和为, 并且
应用全概率公式, 有，故B错误
对于C选项，依题设知, 第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同, 则
故在第二次取到1号球的条件下, 它取自编号为 的口袋的概率最大.故C正确
对于D选项，先将5个不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份，再放入三个不同的口袋，则不同的分配方法有，故D正确
故选：CD
三、填空题
5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）有一批同规格的产品，由甲、乙、丙三家工厂生产，其中甲、乙、丙工厂分别生产3000件、3000件、4000件，而且甲、乙、丙工厂的次品率依次为6%、5%、5%，现从这批产品中任取一件，则取到次品的概率为______．
【答案】##
【分析】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，根据题意求出各自的概率，然后利用全概率公式可求出从中任取一件，取到次品的概率.
【详解】设任取一件产品来自甲厂为事件、来自乙厂为事件、来自丙厂为事件，则彼此互斥，且,
，，，
设任取一件产品，取到的是次品为事件，则
故答案为：
6．（2023·高二课时练习）甲、乙两个箱子，甲箱中装有两个白球，一个黑球；乙箱中装有一个白球，两个黑球．现从甲箱中任取一球放入乙箱，再从乙箱中任取一球，则该球是白球的概率是______．
【答案】
【分析】记事件从甲箱中取出的1个白球，记事件表示从甲箱中取出1个黑球，
记事件表示从乙箱中取出1个白球，分别计算出概率，再利用全概率公式可求得的值.
【详解】记事件从甲箱中取出的1个白球，记事件表示从甲箱中取出1个黑球，
记事件表示从乙箱中取出1个白球；
则，且，
，，，，
所以
故答案为：.
7．（2023·高二课时练习）将一枚均匀的硬币连续抛掷n次，以表示没有出现连续3次正面的概率.给出下列四个结论：
①；
②；
③当时，；
④.
其中，所有正确结论的序号是__________.
【答案】①③④
【分析】由的对立事件概率可得和，可判断①②，再由第n次分正反面，依次讨论前n-1的正反及前n-2次，从而得到概率的递推关系，可判断④，由及，可得，从而可判断③.
【详解】当时，，①正确；
当时，出现连续3次正面的情况可能是：正正正反、正正正正、反正正正，
所以，②错误；
要求，即抛掷n次没有出现连续3次正面的概率，
分类进行讨论，
若第n次反面向上，前n-1次未出现连续3此正面即可；
若第n次正面向上，则需要对第n-1进行讨论，依次类推，得到下表：
第n次 n-1次 n-2次 概率
反面
正面 反面
正面 正面 反面
所以，④正确；
由上式可得
，
所以，
又，满足当时，，③正确.
故答案为：①③④.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是找到第n次和第n-1和第n-2次的关系，通过分类讨论及列表格的形式得到，属于难题.
四、双空题
8．（2022春·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”、“冰墩墩”、“雪容融”等．小王有3张“冬梦”，2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”、“冰墩墩”、"雪容融”邮票各1张．小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以表示小王取出的是“冬梦”、“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则____________，___________．
【答案】 ##0.5
【分析】表示在小王送给小李一张“冰墩墩”邮票的情况下小李取到一张“冰墩墩”的概率，可等价于求“小李有4张邮票，其中2张为冰墩墩，从中抽取一张邮票，邮票为冰墩墩”的概率.根据即可计算P(B).
【详解】表示在小王送给小李一张“冰墩墩”邮票的情况下小李取到一张“冰墩墩”的概率，则；
由题可知，，，，
则
.
故答案为：；.
五、解答题
9．（2023秋·山东日照·高二统考期末）某学校为了增进全体教职工对党史知识的了解，组织开展党史知识竞赛活动并以支部为单位参加比赛．现有两组党史题目放在甲 乙两个纸箱中，甲箱有个选择题和个填空题，乙箱中有个选择题和个填空题，比赛中要求每个支部在甲或乙两个纸箱中随机抽取两题作答．每个支部先抽取一题作答，答完后题目不放回纸箱中，再抽取第二题作答，两题答题结束后，再将这两个题目放回原纸箱中．
(1)如果第一支部从乙箱中抽取了个题目，求第题抽到的是填空题的概率；
(2)若第二支部从甲箱中抽取了个题目，答题结束后错将题目放入了乙箱中，接着第三支部答题，第三支部抽取第一题时，从乙箱中抽取了题目．求第三支部从乙箱中取出的这个题目是选择题的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，再根据条件概率和全概率公式求解即可；
（2）设事件为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，再根据 彼此互斥，结合条件概率和全概率公式即可得解.
【详解】（1）设表示“第次从乙箱中取到填空题”，，
，，，
由全概率公式得：第次抽到填空题的概率为：
；
（2）设事件为“第三支部从乙箱中抽1个选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是选择题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出1个选择题1个填空题”，
事件为“第二支部从甲箱中取出2个题都是填空题”，
则 彼此互斥，且，
， ，，
， ， ，
．
10．（2023春·河南焦作·高二统考开学考试）某同学买了7个盲盒，每个盲盒中都有一支笔，有4支钢笔和3支圆珠笔．
(1)一次取出2个盲盒，求2个盲盒为同一种笔的概率；
(2)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第1次、第2次取到的都是钢笔盲盒的概率；
(3)依次不放回地从中取出2个盲盒，求第2次取到的是圆珠笔盲盒的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）设事件“2个盲盒都是钢笔盲盒”，事件“2个盲盒都是圆珠笔盲盒”，根据古典概型的概率公式求出，，又与为互斥事件，根据和事件的概率公式计算可得；
（2）设事件“第次取到的是钢笔盲盒”，，求出，，再根据条件概率的概率公式计算可得；
（3）设事件“第次取到的是圆珠笔盲盒”，，求出，，，再根据全概率的概率公式计算可得.
【详解】（1）解：设事件“2个盲盒都是钢笔盲盒”，事件“2个盲盒都是圆珠笔盲盒”，则与为互斥事件，
∵，
∴2个盲盒为同一种笔的概率．
（2）解：设事件“第次取到的是钢笔盲盒”，．
∵，，
∴，
即第次、第次取到的都是钢笔盲盒的概率为．
（3）解：设事件“第次取到的是圆珠笔盲盒”，．
∵，，，
∴由全概率公式，可知第次取到的是圆珠笔盲盒的概率为
．
11．（2022春·福建·高二福建师大附中校考期中）有甲、乙、丙三个厂家生产同种规格的产品，甲、乙、丙三个厂家生产的产品的合格率分别为、、，已知甲、乙、丙三个厂家生产的产品数所占比例为，将三个厂家生产的产品混放在一起，从混合产品中任取件．
(1)求这件产品为合格品的概率；
(2)已知取到的产品是合格品，问它是哪个厂生产的可能性最大？
【答案】(1)
(2)这件产品由丙厂生产的可能性最大
【分析】（1）设事件表示取到的产品为合格品，、、分别表示产品由甲、乙、丙厂生产，由题意可得出以及的值，再利用全概率公式可求得所求事件的概率；
（2）计算出、、的值，比较大小后可得出结论.
【详解】（1）解：设事件表示取到的产品为合格品，、、分别表示产品由甲、乙、丙厂生产．
则，且、、两两互斥，
由已知，，，
，，，
由全概率公式得.
（2）解：由贝叶斯公式得，
．
．
所以，，故这件产品由丙厂生产的可能性最大．
12．（2023·高二课时练习）播种用的一等小麦种子中混有的二等种子，的三等种子，的四等种子，已知一等、二等、三等、四等种子长出的麦穗含有颗以上麦粒的概率分别为、、、，求这批种子所结出的麦穗含有颗以上麦粒的概率．
【答案】
【分析】设“从这批种子中任选一颗，这颗种子是一等、二等、三等和四等种子”分别为事件、、、，设“从这批种子中任选一颗，这颗种子所结出的麦穗含有颗以上麦粒”为事件，利用全概率公式可求得的值.
【详解】解：设“从这批种子中任选一颗，这颗种子是一等、二等、三等和四等种子”分别为事件、、、，
它们构成样本空间的一个划分，则，，，，
再设设“从这批种子中任选一颗，这颗种子所结出的麦穗含有颗以上麦粒”为事件，
由题意知，，，，
根据全概率公式可得.
13．（2022·全国·高二专题练习）假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个分裂成两个）和死亡的概率相同．如果一个种群从这样一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？
【答案】
【分析】求出不分裂就灭绝，分裂1次，2次和3次灭绝的概率，4次以上，概率很小忽略不计，把不分裂和分裂前3次加起来作为这个种群最终灭绝的概率，需要用到条件概率
【详解】由题意得：该细胞分裂和死亡的概率均为，设这个种群最终灭绝是事件A，其中没有分裂就灭绝为事件，分裂一次后灭绝为事件，分裂两次后灭绝为事件，分裂三次后灭绝为事件，……，其中，，
若分裂n次后种群最终灭绝，则
故当时，，随着的增大，变得特别小，可忽略不计，故
