7.1.1 条件概率（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022春·山东济宁·高二期末）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据古典概型概率公式直接计算可得.
【详解】当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率为.
故选：D
2．（2022·高二课时练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件概率的计算公式直接求得.
【详解】由乘法公式，得.
故选：C．
3．（2022春·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个数，事件“有一个数是奇数”，“另一个数也是奇数”，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件概率的定义，可分别求解,即可用条件概率的公式运用个数之比求解.
【详解】任取两个数，则一奇一偶共有种取法，两个都是奇数共有，所以事件包含所取两个数要么为一奇一偶，要么为两个奇数，故,
则事件为所取两个数均为奇数，故,故,
故选：A
4．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（ ）
A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75
【答案】C
【分析】根据条件概率公式求解即可．
【详解】设某射击运动员“第一次击中9环”为事件A，“第二次击中9环”事件B，
则由题意得，，
所以她两次均击中9环的概率为．
故选：C．
5．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）在射击比赛中，甲乙两人对同一目标各进行一次射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先得出目标被击中的概率，再得出甲击中目标的概率，即可得出答案.
【详解】由题意得目标被击中的概率为：，
甲击中目标的概率为：，
则在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为：，
故选：C.
6．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件概率公式求解即可
【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件A，
“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件，
则由题意可得，
则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，
第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为．
故选：．
7．（2022秋·江西上饶·高二江西省余干中学阶段练习）小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由条件概率公式求解即可
【详解】设“小明在第一个红绿灯处遇到红灯”为事件，
“小明在第二个红绿灯处遇到红灯”为事件，
则由题意可得，
则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为
.
故选：.
二、多选题
8．（2022·高二课时练习）设A，B是两个事件，若B发生时A必定发生，且，，给出下列各式，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，结合条件概率公式，即可求解．
【详解】解：发生必定发生，
，，故A，D错误，
，故B错误，
，故C正确．
故选：ABD．
9．（2022春·山东济宁·高二期末）设M、N是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】对A，根据是否互斥判断即可；
对B，举反例判断即可
对CD，根据条件概率的公式判断即可
【详解】对A，当不互斥时，不成立，故A错误；
对B，当为对立事件时，，则不成立，故B错误；
对C，当时，成立，当时，根据条件概率的公式可得成立，故C正确；
对D，根据条件概率的公式，结合C选项可得成立，故D正确；
故选：CD
三、填空题
10．（2022春·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期末）已知A，B是某随机试验中的两个随机事件，，，____________.
【答案】0.75##
【分析】利用条件概率公式即得.
【详解】.
故答案为：0.75.
11．（2023·高二课时练习）春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是，感冒发作的概率是，鼻炎发作且感冒发作的概率是，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是______．
【答案】##0.75
【分析】根据条件概率的计算公式即可求解．
【详解】记事件＝“某人在春季里鼻炎发作”， 事件＝“某人在春季里感冒发作”，
由题意可知，
此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率为 ，
故答案为：
12．（2023·高二课时练习）已知，，那么______．
【答案】
【分析】利用条件概率公式求解.
【详解】解：因为，，
所以.
故答案为：.
13．（2023·高二课时练习）5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率是______．
【答案】##0.5
【详解】设第一次取到新球为事件，第二次取到新球为事件，
则.
故答案为：.
14．（2023·高二课时练习）将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况，记事件A为“至少有一次正面朝上”，事件为“两次掷出同一面”，则在已知事件A已经发生的条件下事件发生的概率是______．
【答案】
【分析】由条件概率公式计算．
【详解】将一枚硬币抛掷两次，按正反面的情况有4个基本事件，正正，正反，反正，反反，事件含有3个基本事件：正反，反正，正正，，
事件与同时发生只有一个基本事件：正正， ，
∴．
故答案为：．
15．（2023·高二单元测试）由组成的三位编号中，若用表示“第二位数字为的事件”，用B表示“第一位数字为的事件”，则___________.
【答案】##
【分析】列举出所有基本事件，从而确定和，根据条件概率公式可求得结果.
【详解】用组成的三位编号有，，，，，，，，共个；
则，，.
故答案为：.
四、解答题
16．（2022春·安徽阜阳·高二安徽省临泉第一中学校考阶段练习）10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求：
(1)甲抽到难签的概率；
(2)甲、乙两人有人抽到难签的概率；
(3)在甲抽到难签后，乙抽到难签的概率；
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）结合古典概型的概率计算公式计算出正确答案.
（2）结合古典概型的概率计算公式、对立事件等知识计算出正确答案.
（3）结合条件概率的计算公式计算出正确答案.
（1）
依题意，10个考签中有4个难签，
所以甲抽到难签的概率是.
（2）
甲、乙都没抽到难签的概率为，
所以甲、乙两人有人抽到难签的概率为.
（3）
甲抽到难签后，乙抽到难签的概率为.
17．（2023·高二课时练习）在1000张奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中先后买了两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率．
【答案】
【分析】利用条件概率公式及互斥事件概率公式，即可求解.
【详解】设事件表示“第一张中一等奖”， 则，
事件表示“第二张中二等奖”，事件表示“第二张中三等奖”，
则，，
得，，
所以，
所以在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率为．
18．（2023·全国·高二专题练习）盒中装有5个同种产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，求；
(1)取两次，两次都取得一等品的概率；
(2)取两次，第二次取得一等品的概率；
(3)取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用古典概型概率的计算公式，计算出所求答案.
（2）根据概率的知识求得正确答案.
（3）根据条件概率计算公式，计算出所求答案.
【详解】（1）有5个同种产品，其中个一等品，
取两次，两次都取到一等品的概率为.
（2）有5个同种产品，其中个一等品，
根据概率的知识可知：取两次，第二次取得一等品的概率为.
（3）记事件表示“第i次取到一等品”，其中．
取两次，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为．
19．（2022·高二课时练习）一个袋中有大小与质地相同的2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取2个球，记事件A表示“第一次抽到黑球”；事件B表示“第二次抽到黑球”．
(1)分别求事件A、B、发生的概率；
(2)求．
【答案】(1)，，．
(2)
【分析】（1）由独立事件发生的概率求解即可；
（2）由条件概率公式求解即可．
（1）
记“第一次抽到黑球”为事件，则；
“第二次抽到黑球”为事件．则；
表示“第一次和第二次都抽到黑球”，则；
（2）
由（1）得：．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛，则在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分甲第一名，甲第二名，甲第三名，甲第四名，甲第五名五种情况讨论分别求出甲的名次比乙高和甲的名次比乙高且甲乙相邻的基本事件的个数，再根据条件概率公式即可得解.
【详解】甲的名次比乙高，
当甲第一名时，乙有5种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
当甲第二名时，乙有4种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
当甲第三名时，乙有3种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
当甲第四名时，乙有2种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
当甲第五名时，乙有1种位置，其中甲乙相邻有1种情况，
所以甲的名次比乙高共有种情况，
甲的名次比乙高且甲乙相邻有5种情况，
所以在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为.
故选：A.
2．（2022秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设事件表示“从箱中任取2件都是一等品”，事件表示“丢失的为等品”，
由条件概率计算公式可得答案.
【详解】设事件表示“从箱中任取2件都是一等品”，事件表示“丢失的为等品”，
则，
所以.
故选：B.
3．（2022春·全国·高二期末）2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ）
①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据起点走向终点所需要向上、向右走的总步数，并确定向上或向右各走的步数，则最短路径的走法有，再利用古典概率及条件概率求法，求小明到F处和小华会合一起到老年公寓的概率、小明经过F且从F到老年公寓两人的路径没有重叠的概率即可.
【详解】由图知，要使小华、小明到老年公寓的路径最短，则只能向上、向右移动，而不能向下、向左移动，
对于①，小华到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小华共走3步其中1步向上，
所以最短路径条数为条，错误；
对于②，小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路径条数为条，正确；
对于③，小明到的最短路径走法有条，再从F处和小华一起到老年公寓的路径最短有3条，而小明到老年公寓共有条，
所以到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为，正确；
对于④，由题意知：事件的走法有18条即，事件的概率，
所以，错误.
故说法正确的个数是2.
故选：B.
二、多选题
4．（2022春·重庆万州·高二校考阶段练习）在2021年的高考中，数学出现了多项选择题.假设某一道多项选择题有四个选项1 2 3 4，其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均为，且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于
B．1选项是正确选项的概率高于
C．在1选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率为
D．在1选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率为
【答案】BC
【分析】先分别计算出任意一组2个选项、3个选项、4个选项为正确答案的概率，再依次判断4个选项即可.
【详解】若正确选项的个数为2个，则有共6种组合，每种组合为正确答案的概率为，
若正确选项的个数为3个，则有共4种组合，每种组合为正确答案的概率为，
若正确选项的个数为4个，则有共1种组合，这种组合为正确答案的概率为，
对于A，随便选了三个选项，能完全答对这道题的概率为，错误；
对于B，1选项是正确选项的概率为，正确；
对于C，1选项为正确选项为事件A，由B选项知，，正确选项有3个为事件B，则，正确；
对于D，1选项为错误选项为事件C， ，正确选项有2个为事件D，则，错误.
故选：BC.
三、填空题
5．（2021春·河北唐山·高二开滦第二中学校考阶段练习）投掷3枚骰子，记事件A：3枚骰子向上的点数各不相同，事件B：3枚骰子向上的点数中至少有一个3点，则___________.
【答案】
【分析】分别求出事件和事件所包含的基本事件的个数，再根据条件概率公式求解即可.
【详解】解：投掷3枚骰子，3枚骰子向上的点数共有种情况，
其中3枚骰子向上的点数没有一个3点的有种，
则3枚骰子向上的点数中至少有一个3点有种，
即，
3枚骰子向上的点数中至少有一个3点且3枚骰子向上的点数各不相同有种，
即，
所以.
故答案为：.
6．（2023·高二课时练习）一个盒子中有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中无放回地取产品两次，每次任取一个，则在第一次取出一等品产品的条件下第二次也取出一等品产品的概率是______．
【答案】
【分析】设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”，利用古典概型概率公式计算出和，然后利用条件概率公式可计算出结果．
【详解】设事件为“第一次取到的是一等品”，事件为“第二次取到的是一等品”.
事件前两次取到的都是一等品，由古典概型的概率公式得，
由古典概型的概率公式得，由条件概率公式得，
故答案为：.
7．（2022·高二单元测试）现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第关要抛掷骰子次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是______．
（1）直接挑战第2关并过关的概率为；
（2）连续挑战前两关并过关的概率为；
（3）若直接挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则；
（4）若直接挑战第4关，则过关的概率是．
【答案】（2）
【分析】由古典概型，独立事件的乘法公式，条件概率公式对结论逐一判断
【详解】对于（1），，所以两次点数之和应大于6，
即直接挑战第2关并过关的概率为，故（1）正确；
对于（2），，所以挑战第1关通过的概率，
则连续挑战前两关并过关的概率为，故（2）错误；
对于（3），由题意可知，抛掷3次的基本事件有，
抛掷3次至少出现一个5点的事件共有种，
故，而事件包括：含5，5，5的1种，含4，5，6的有6种，共7种，
故，所以，故（3）正确；
对于（4），当时，，
而“4次点数之和大于20”包含以下35种情况：
含5，5，5，6的有4种，含5，5，6，6的有6种，
含6，6，6，6的有1种，含4，6，6，6的有4种，
含5，6，6，6的有4种，含4，5，6，6的有12种，
含3，6，6，6的有4种，
所以，故（4）正确．
故答案为：（2）
四、解答题
8．（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选.
(1)求女生乙被选中的概率；
(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接用古典概型的概率求解即可.
（2）先算男生甲被选中的概率，再算女生乙被选中，然后根据条件概率求解.
【详解】（1）女生乙被选中事件的概率.
（2）设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，
则
9．（2023秋·河北保定·高二统考期末）甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
(1)求甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；
(2)已知丙机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的，甲机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的2倍，将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取4件检验，求一等品不少于3件的概率．（以事件发生的频率作为相应事件发生的概率）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”分别为A、B、C事件， A、B、C相互独立，由独立事件的概率公式列方程组求解即可；
（2）求出将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取一件零件为一等品的概率，由独立重复试验概率公式即可求.
【详解】（1）根据题意，设“甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品”分别为A、B、C事件，则A、B、C相互独立，设.
则有，解得，故甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率分别为
（2）设乙机床加工的零件数为，则甲、丙机床加工的零件数分别为，则一等品的零件数总数为.
则将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取一件零件为一等品的概率为.
故从中任意抽取4件检验，一等品不少于3件的概率为
10．（2023·高二课时练习）设袋中装有个红球，个白球，每次从袋中任取一个球，观察其颜色，然后放回，并再放入个与所取出的那个球同色的球，若从袋中连续取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三、第四次取到白球的概率．
【答案】
【分析】设事件表示“第次取到红球”，，进而根据独立事件的乘法公式求解即可.
【详解】解：设事件表示“第次取到红球”，，
则所求概率为．
因为，，，，
所以，．
所以，第一、第二次取到红球且第三、第四次取到白球的概率为.
11．（2022·全国·高二期中）北京时间2021年11月7日凌晨1点，来自中国赛区的EDG战队，捧起了英雄联盟S11全球总决赛的冠军奖杯．据统计，仅在bilibili平台，S11总决赛的直播就有3.5亿人观看．电子竞技作为正式体育竞赛项目已经引起越来越多的年轻人关注．已知该项赛事的季后赛后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：
第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组．
第二轮：胜者组两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮落入败者组两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组．
第三轮：败者组两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军);获胜队伍成为败者组第一名．
第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军．假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5，每场比赛之间相互独立．问：
(1)若第一轮队伍A和队伍D对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？
(2)已知队伍B在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B获得亚军的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分析得到获胜队伍需要赢得比赛3的胜利，失败队伍需要赢得比赛4和比赛5的胜利，从而求出相应的概率；（2）合理设出事件，利用条件概率公式进行求解.
【详解】（1）由题意可知，第一轮队伍A和队伍D对阵，则获胜队伍需要赢得比赛3的胜利，失败队伍需要赢得比赛4和比赛5的胜利，他们才能在决赛中对阵，
所以所求的概率为
（2）设表示队伍B在比赛i中胜利，表示队伍B在比赛i中失败，
设事件E：队伍B获得亚军，事件F：队伍B所参加的所有比赛中败了两场，
则事件F包括，，，，，且这五种情况彼此互斥，进而
事件包括，且这两种情况互斥，
进而
所以所求事件的概率为7.1.1 条件概率（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022春·山东济宁·高二期末）在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回的从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·高二课时练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考阶段练习）从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取两个数，事件“有一个数是奇数”，“另一个数也是奇数”，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）经统计，某射击运动员进行两次射击时，第一次击中9环的概率为0.6，在第一次击中9环的条件下，第二次也击中9环的概率为0.8.那么她两次均击中9环的概率为（ ）
A．0.24 B．0.36 C．0.48 D．0.75
5．（2023秋·辽宁营口·高二统考期末）在射击比赛中，甲乙两人对同一目标各进行一次射击，甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，在目标被击中的情况下，甲击中目标的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023秋·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考期末）小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022秋·江西上饶·高二江西省余干中学阶段练习）小明每天上学途中必须经过2个红绿灯，经过一段时间观察发现如下规律：在第一个红绿灯处遇到红灯的概率是，连续两次遇到红灯的概率是，则在第一个红绿灯处小明遇到红灯的条件下，第二个红绿灯处小明也遇到红灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
8．（2022·高二课时练习）设A，B是两个事件，若B发生时A必定发生，且，，给出下列各式，其中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2022春·山东济宁·高二期末）设M、N是两个随机事件，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
10．（2022春·安徽安庆·高二安庆市第二中学校考期末）已知A，B是某随机试验中的两个随机事件，，，____________.
11．（2023·高二课时练习）春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率是，感冒发作的概率是，鼻炎发作且感冒发作的概率是，则此人在鼻炎发作的条件下感冒的概率是______．
12．（2023·高二课时练习）已知，，那么______．
13．（2023·高二课时练习）5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回地取两次，则在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率是______．
14．（2023·高二课时练习）将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况，记事件A为“至少有一次正面朝上”，事件为“两次掷出同一面”，则在已知事件A已经发生的条件下事件发生的概率是______．
15．（2023·高二单元测试）由组成的三位编号中，若用表示“第二位数字为的事件”，用B表示“第一位数字为的事件”，则___________.
四、解答题
16．（2022春·安徽阜阳·高二安徽省临泉第一中学校考阶段练习）10个考签中有4个难签，3人参加抽签（不放回），甲先，乙次之，丙最后．求：
(1)甲抽到难签的概率；
(2)甲、乙两人有人抽到难签的概率；
(3)在甲抽到难签后，乙抽到难签的概率；
17．（2023·高二课时练习）在1000张奖券中，设有1个一等奖，5个二等奖，10个三等奖，从中先后买了两张，求在第一张中一等奖的条件下，第二张中二等奖或三等奖的概率．
18．（2023·全国·高二专题练习）盒中装有5个同种产品，其中3个一等品，2个二等品，不放回地从中取产品，每次取1个，求；
(1)取两次，两次都取得一等品的概率；
(2)取两次，第二次取得一等品的概率；
(3)取两次，已知第二次取得一等品的条件下，第一次取得的是二等品的概率．
19．（2022·高二课时练习）一个袋中有大小与质地相同的2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取2个球，记事件A表示“第一次抽到黑球”；事件B表示“第二次抽到黑球”．
(1)分别求事件A、B、发生的概率；
(2)求．
【能力提升】
一、单选题
1．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）有6名选手（含选手甲、乙）参加了男子100米赛跑决赛，则在甲的名次比乙高的条件下，甲、乙两人名次相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河南南阳·高二南阳中学校考阶段练习）装有10件某产品（其中一等品5件，二等品3件，三等品2件）的箱子中丢失一件产品，但不知是几等品，今从箱中任取2件产品，结果都是一等品，则丢失的也是一等品的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022春·全国·高二期末）2021年高考结束后小明与小华两位同学计划去老年公寓参加志愿者活动．小明在如图的街道E处，小华在如图的街道F处，老年公寓位于如图的G处，则下列说法正确的个数是（ ）
①小华到老年公寓选择的最短路径条数为4条
②小明到老年公寓选择的最短路径条数为35条
③小明到老年公寓在选择的最短路径中，与到F处和小华会合一起到老年公寓的概率为
④小明与小华到老年公寓在选择的最短路径中，两人并约定在老年公寓门口汇合，事件A：小明经过F事件B；从F到老年公寓两人的路径没有重叠部分（路口除外），则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多选题
4．（2022春·重庆万州·高二校考阶段练习）在2021年的高考中，数学出现了多项选择题.假设某一道多项选择题有四个选项1 2 3 4，其中正确选项的个数有可能是2个或3个或4个，这三种情况出现的概率均为，且在每种情况内，每个选项是正确选项的概率相同.根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．某同学随便选了三个选项，则他能完全答对这道题的概率高于
B．1选项是正确选项的概率高于
C．在1选项为正确选项的条件下，正确选项有3个的概率为
D．在1选项为错误选项的条件下，正确选项有2个的概率为
三、填空题
5．（2021春·河北唐山·高二开滦第二中学校考阶段练习）投掷3枚骰子，记事件A：3枚骰子向上的点数各不相同，事件B：3枚骰子向上的点数中至少有一个3点，则___________.
6．（2023·高二课时练习）一个盒子中有4个产品，其中3个一等品，1个二等品，从中无放回地取产品两次，每次任取一个，则在第一次取出一等品产品的条件下第二次也取出一等品产品的概率是______．
7．（2022·高二单元测试）现有一款闯关游戏，共有4关，规则如下：在第关要抛掷骰子次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算闯过第关，，2，3，4．假定每次闯关互不影响，则下列结论错误的序号是______．
（1）直接挑战第2关并过关的概率为；
（2）连续挑战前两关并过关的概率为；
（3）若直接挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则；
（4）若直接挑战第4关，则过关的概率是．
四、解答题
8．（2022春·安徽滁州·高二校考阶段练习）某班从6名班干部（其中男生4人，女生2人）中选3人参加学校学生会的干部竞选.
(1)求女生乙被选中的概率；
(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.
9．（2023秋·河北保定·高二统考期末）甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为．
(1)求甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率；
(2)已知丙机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的，甲机床加工的零件数等于乙机床加工的零件数的2倍，将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意抽取4件检验，求一等品不少于3件的概率．（以事件发生的频率作为相应事件发生的概率）
10．（2023·高二课时练习）设袋中装有个红球，个白球，每次从袋中任取一个球，观察其颜色，然后放回，并再放入个与所取出的那个球同色的球，若从袋中连续取球四次，试求第一、第二次取到红球且第三、第四次取到白球的概率．
11．（2022·全国·高二期中）北京时间2021年11月7日凌晨1点，来自中国赛区的EDG战队，捧起了英雄联盟S11全球总决赛的冠军奖杯．据统计，仅在bilibili平台，S11总决赛的直播就有3.5亿人观看．电子竞技作为正式体育竞赛项目已经引起越来越多的年轻人关注．已知该项赛事的季后赛后半段有四支战队参加，采取“双败淘汰赛制”，对阵表如图，赛程如下：
第一轮：四支队伍分别两两对阵（即比赛1和2），两支获胜队伍进入胜者组，两支失败队伍落入败者组．
第二轮：胜者组两支队伍对阵（即比赛3），获胜队伍成为胜者组第一名，失败队伍落入败者组；第一轮落入败者组两支队伍对阵（即比赛4），失败队伍（已两败）被淘汰（获得殿军），获胜队伍留在败者组．
第三轮：败者组两支队伍对阵（即比赛5），失败队伍被淘汰（获得季军);获胜队伍成为败者组第一名．
第四轮：败者组第一名和胜者组第一名决赛（即比赛6），争夺冠军．假设每场比赛双方获胜的概率均为0.5，每场比赛之间相互独立．问：
(1)若第一轮队伍A和队伍D对阵，则他们仍能在决赛中对阵的概率是多少？
(2)已知队伍B在上述季后赛后半段所参加的所有比赛中，败了两场，求在该条件下队伍B获得亚军的概率．
