7.2 离散型随机变量及其分布列（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）设是一个离散型随机变量，其分布列为
则等于（ ）A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分布列的知识列方程来求得.
【详解】依题意，，
解得（大于，舍去）或.
故选：C
2．（2023·全国·高二专题练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
【答案】D
【分析】列举出的所有可能的情况，即得.
【详解】因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
故表示两种情况，即甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．
故选：D．
3．（2022·高二课时练习）设X是一个离散型随机变量，则下列不能作为X的分布列的一组概率取值的数据是（ ）
A．，
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，
D．，，…，
【答案】D
【分析】根据分布列的性质可知，所有的概率和等于1，且，逐一判断选项即可.
【详解】根据分布列的性质可知，所有的概率之和等于1，且，．
对于A，因为，满足，所以A选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于B，因为，且满足，所以B选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于C，因为，且满足，所以C选项能成为X的分布列的一组概率取值的数据；
对于D，因为，所以D选项不能成为X的分布列的一组概率取值的数据．
故选：D．
4．（2022春·江苏常州·高二常州市第一中学校联考期中）下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（ ）
X 3 4 5 6
P
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由随机变量分布列中概率之和为1列出方程即可求出a.
【详解】由，
解得.
故选：C.
5．（2022秋·河南南阳·高二校考阶段练习）已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据分布列的概率求解方式即可得出答案.
【详解】解：由题意得：
．
故选:A
6．（2022春·江西抚州·高二校联考期末）设随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据运算可得，再分析理解得，结合对立事件求概率．
【详解】由题意：
所以，得
所以
故选：C．
二、多选题
7．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（ ）
ξ 1 2 3
P
A．－ B． C． D．
【答案】BC
【分析】由题可知，即得.
【详解】由题可得，
∴或，经检验适合题意.
故选：BC.
8．（2023·全国·高二专题练习）下列变量中，是离散型随机变量的是（ ）．
A．某机场明年5月1日运送乘客的数量
B．某办公室一天中接到电话的次数
C．某地警方明年5月1日到10月1日期间查处酒驾司机的人数
D．一瓶净含量为的果汁的容量
【答案】ABC
【分析】根据离散型随机变量的概念依次分析各选项即可得答案.
【详解】解：某机场明年5月1日运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，而且可以一一列出，是离散型随机变量，故A正确；
某办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，而且可以一一列出，是离散型随机变量，故B正确；
某地警方明年5月1日到10月1日期间查处酒驾司机的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，而且可以一一列出，是离散型随机变量，故C正确；
果汁的容量在498mL～502mL之间波动，虽然是随机变量，但不能一一列出，不是离散型随机变量，故D错误．
故选：ABC．
三、填空题
9．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知随机变量的分布列如下：
则的值为__________．
【答案】##
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质进行求解即可.
【详解】由随机变量的分布列可知，
所以，
故答案为：
10．（2023·高二课时练习）已知下列四个变量：①某高铁候车室中一天的旅客数量；②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数；③某一天中长江的水位；④某次大型车展中销售汽车的数量．其中，所有离散型随机变量的序号为______．
【答案】①②④
【分析】根据离散型随机变量的定义即可解答.
【详解】①②④中的随机变量可能的取值可以按照一定次序一一列出，
因此，它们都是离散型随机变量；
③中的可以取某一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，
故其不是离散型随机变量.
故答案为：①②④.
11．（2023秋·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）设X是一个离散随机变量，其分布列为：
X －1 0 1
P
则实数q的值为______.
【答案】##
【分析】根据概率和为1，结合概率的范围列式求解即可.
【详解】由离散型随机变量分布列的性质，知，故，
因为，解得.
故答案为：
12．（2022·高二课时练习）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比賽，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则表示______.
【答案】所选3人中至多有1名女生
【分析】根据包含或，结合题意分析即可.
【详解】包含两种情况：或.
故表示所选3人中至多有1名女生.
故答案为：所选3人中至多有1名女生.
13．（2023·高二课时练习）离散型随机变量的概率分布规律为，，其中是常数，则______．
【答案】##0.875
【分析】根据所给的概率分布规律，写出6个变量对应的概率，由分布列的性质和为1求出实数，在求出满足条件的概率即可.
【详解】因为，
，
所以，
所以，
所以
，
故答案为：.
四、双空题
14．（2022·高二课时练习）已知X服从参数为0.3的两点分布，则________；若，则________.
【答案】 0.7## 0.3##
【分析】根据两点分布的基本性质即可求解.
【详解】因为服从参数为0.3的两点分布，
所以， .
当时，，所以.
故答案为：0.7，0.3
五、解答题
15．（2022春·重庆荣昌·高二重庆市荣昌永荣中学校校考期中）设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X 1 0 1
P
(1)求q的值；
(2)求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据分布列的性质列方程求得.
（2）结合（1）求得.
【详解】（1）依题意，得，
解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）得，，
所以，.
16．（2023·高二课时练习）设随机变量的概率分布，．
(1)求常数的值；
(2)求和的值．
【答案】(1)
(2)；
【分析】（1）（2）由分布列的性质求解即可；
【详解】（1）解：由，得．
（2）解：由题知：．
．
17．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）2022年冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”备受人们的欢迎，某大型商场举行抽奖活动，活动奖品为冰墩墩玩偶和现金.活动规则：凡是前一天进入商场购物且一次性购物满300元的顾客，第二天上午8点前就可以从若干个抽奖箱（每个箱子装有8张卡片，3张印有“奖”字，5张印有“谢谢参与”，其他完全相同）中选一个箱子并一次性抽出3张卡片，抽到印有“奖”字的卡片才能中奖，抽到1张印有“奖”字的卡片为三等奖，奖励现金10元，抽到2张印有“奖”字的卡片为二等奖，奖励1个冰墩墩玩偶，抽到3张印有“奖”字的卡片为一等奖，奖励2个冰墩墩玩偶.根据以往数据统计，进入商场购物的顾客中一次性购物满300元的约占.
(1)求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率；
(2)设每次参与抽奖活动所得的冰墩墩玩偶个数为X，求X的分布列.
【答案】(1)；
(2)分布列见解析.
【分析】（1）利用古典概型、互斥事件的概率求法求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率.
（2）由题意可能值为，分别求出对应值的概率，即可得分布列.
【详解】（1）由题意，每一个参与抽奖的顾客中奖的概率.
（2）由题设，可能值为，则，，
，
所以的分布列如下：
0 1 2
18．（2022·高二课时练习）写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)一袋中装有只同样大小的白球，编号为、、、、.现从该袋内随机取出只球，被取出的球的最大号码数；
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数.
【分析】（1）最大号码数可取、、，分析可得试验的结果；
（2）呼叫次数可取、、、…、，即得答案.
(1)
最大号码数可取、、，
，表示取出的个球的编号为：、、，
，表示取出的个球的编号为：、、或、、或、、，
，表示取出的个球的编号为：
、、或、、或、、或、、或、、或、、；
(2)
某部电话在单位时间内收到的呼叫次数可取、、、…、，，
表示被呼叫次，其中、、、….
19．（2022春·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）某校为缓解学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现甲先在处投一球，以后都在处投，已知甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为，求他初赛结束后所得总分的分布列．
【答案】分布列见解析.
【分析】判断随机变量的可能取值，根据题意求出分布列即可.
【详解】设甲同学在处投中的事件为，投不中的事件为，在处投中为事件，投不中为事件，
由已知得，，则，，的可能取值为：，，，.
所以，，
，，
所以的分布列为：
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·高二课时练习）已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意,列表求得随机变量及的分布列,可知均为两点分布.由两点分布的均值及方差表示出和,根据比较大小即可得解.
【详解】随机变量满足,,其中.
则随机变量的分布列为:
所以
随机变量,
所以当时,,当时,
所以随机变量的分布列如下表所示(当时,只有一个情况,概率为1):
则
当即,解得.所以A、B错误.
恒成立.
所以C错误,D正确
故选:D
【点睛】本题考查了随机变量的分布列,两点分布的特征及均值和方差求法,属于中档题.
2．（2022春·广东广州·高二广州市第七中学校考期中）若随机变量的分布列为
且，则随机变量的方差等于A． B． C． D．
【答案】D
【详解】分析：先根据已知求出a,b的值，再利用方差公式求随机变量的方差.
详解：由题得
所以
故答案为D.
点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，那么＝＋＋…＋,称为随机变量的均方差，简称为方差，式中的是随机变量的期望．
二、多选题
3．（2022春·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】首先写出两点分布，再根据期望和方差公式求，，再根据，，计算期望和方差.
【详解】因为随机变量服从两点分布，且，所以，
，所以，故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
，故D不正确.
故选：ABC
【点睛】本题考查两点分布的期望和方差，以及期望和方差的性质，属于基础题型.
4．（2022春·全国·高二期末）设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，随机变量Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，记表示，同时发生的概率，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当（且）时，
D．当时，Y的均值为
【答案】BCD
【分析】此题考查条件概率、概率的乘法公式以及随机变量的分布列与均值，本题要注意两个随机变量X，Y的取值范围.
【详解】对于A：当时，，，则，选项A错误；
对于B，当时，由，，可得，或，，
所以，选项B正确；
对于C，当（且）时，，，则，选项C正确；
对于D，当时，Y的可能取值为1，2，
则，
，则Y的均值为，选项D正确．
故选：BCD
三、解答题
5．（2022春·山东德州·高二校考期末）某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测．若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁．某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示．
(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品的概率；
(2)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到8∶2，根据样本估计总体的思想，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理．
【答案】(1)
(2)该次升级方案合理
【分析】（1）通过频率得出概率，然后计算两次都不是一级品的概率，然后用1减即可
（2）列出今年和明年的分布列，分别计算期望，然后计算利润，比较大小即可判断
【详解】（1）抽取的100件产品是一级品的频率是，
则从生产的所有产品中任取1件，是一级品的概率是，
设从生产的所有产品中随机选2件，至少有一件是一级品的事件为，则，
所以至少有一件产品是一级品的概率是．
（2）依题意，设今年每件产品的利润为X，所以X的分布列为：
X 500 －200 －1200
0.7 0.2 0.1
所以每件产品的期望为
所以今年的利润为：（万元）
设明年每件产品的利润为Y，所以Y的分布列为：
Y 500 －200
0.8 0.2
所以每件产品的期望为
所以明年预计的利润为：（万元）
显然有，
所以该次升级方案合理
6．（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）一个袋中装有黑球，白球和红球共个， 这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出个球， 得到黑球的概率是. 现从袋中任意摸出个球.
(1)用含的代数式表示摸出的球都是黑球的概率， 并写出概率最小时的值. （直接写出的值）
(2)若， 且摸出的个球中至少有个白球的概率是， 设表示摸出的个球中红球的个数， 求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1)；时，取得最小值.
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由题知袋中共有黑球，进而根据超几何模型求解概率，并结合单调性求得取得最小值时的值；
（2）由题知，袋子中有黑球个，设袋中有白球个，，，进而根据题意得，故袋子中有红球个，再根据超几何分布求分布列，期望.
(1)
解：因为从袋中任意摸出个球， 得到黑球的概率是.
所以，袋中共有黑球.
记“摸出的球都是黑球”为事件，
则，
由于函数在上单调递增，
所以，当时，取得最小值.
(2)
解：当时，袋子中有黑球个，
设袋中有白球个，，，
记“从袋中摸出的个球中至少有个白球”为事件，
因为摸出的个球中至少有个白球的概率是
所以，，整理得，解得或（舍）
所以，袋子中有红球个，有白球个，黑球个.
所以，随机变量的取值为，
，，，
所以，随机变量的分布列为：
所以，
7．（2022·高二课时练习）某高校对该校学生进行了一次“身体素质测试”，包括铅球、50米跑、立定跳远三项．现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示优良，再用综合指标的值评定身体素质等级，若测为一级；若，则为二级，若，则为三级．为了了解该校学生身体素质的情况，随机抽取了10人的测试成绩，得到如下表所示结果：
编号
编号
(1)在这10人中任取2人，求抽取的2人指标z相同的概率；
(2)从等级是一级的人中任取1人，其综合指标记为m，从等级不是一级的人中任取1人，其综合指标记为n，记随机变量，求X的均值和方差．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）利用组合知识得到抽取的2人指标z相同的情况种数，及这10人中任取2人，所有的情况种数，利用古典概型求概率公式求解；（2）求出X的所有可能情况及相应的概率，得到分布列，计算出均值与方差.
(1)
由表可知，指标z为0的有A1，
指标z为1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10，指标z为2的有A4，A6，A7．
在这10人中任取2人，所有的情况种数为，抽取的2人指标z相同包含的情况种数为，所以抽取的2人指标z相同的概率．
(2)
由题意得10人的综合指标如下表：
编号 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10
综合指标 1 4 4 6 2 4 5 3 5 3
其中等级是一级的有A2，A3，A4，A6，A7，A9，共6个，等级不是一级的有A1，A5，A8，A10，共4个．
随机变量X的取值范围为，
，，，，，
所以X的分布列为
X 1 2 3 4 5
P
则．
．
8．（2022春·全国·高二专题练习）为进一步加强未成年人心理健康教育，如皋市教育局决定在全市深入开展“东皋大讲堂”进校园心理健康教育宣讲活动，为了缓解高三学生压力，高三年级某班级学生在开展“东皋大讲堂”过程中，同座两个学生之间进行了一个游戏，甲盒子中装有2个黑球1个白球，乙盒子中装有3个白球，现同座的两个学生相互配合，从甲、乙两个盒子中各取一个球，交换后放入另一个盒子中，重复进行n次这样的操作，记甲盒子中黑球的个数为，恰好有2个黑球的概率为，恰好有1个黑球的概率为.
(1)求第二次操作后，甲盒子中没有黑球的概率；
(2)求的概率分布和数学期望.
【答案】(1)；
(2)答案见解析，
【分析】（1）由题意得，然后分析第二次操作后，甲盒子中没有黑球的情况，从而求解出对应概率；（2）先计算，判断的取值为，分别计算对应的概率，列出分布列，利用期望公式求解.
(1)
由题意知，，两次后甲盒子没有黑球时，必须第一次甲盒子中取出一个黑球，第二次甲盒子（黑1白2）再取出一个黑球，乙盒子中（黑1白2）取出一个白球，则
(2)
，，由题意，的取值为，则，，
所以的分布列为
所以
【点睛】求解分布列的问题时，一般需要先判断变量的可能取值，然后分析题目中的情况计算每个取值对应的概率，从而列出分布列，代入期望公式求解期望.
9．（2022春·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，设点集={(i，j)|i=0，1，2，…，n；j=0，1，2；n∈N*}．从集合中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．
(1)当n=1时，求X的概率分布；
(2)对给定的正整数n(n≥3)，求概率(用n表示)．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】(1)当n=1时，求出X的所有可能值，并求出各个值对应的概率即可作答.
(2)在中任取两点和，分别讨论b，d的取值确定事件所含结果数，再借助对立事件概率公式计算即得.
(1)
当n=1时，为1，，2，，
当n=1时，点集中有6个点，任取两点共有种方法，它们等可能，
，，，，
所以X的概率分布为：
X 1 2
P
(2)
点集中有个点，设和是从中取出的两个点，共有种取法，它们等可能，
的事件的对立事件是的事件，
若b=d，则，当且仅当这两点为或或取“=”，即有3种；
若b=0，d=1，则，当且仅当a=0，c=n或a=n，c=0时取“=”，
当时，，此时，而，，
即不存在，则的事件为，有2种；
若b=0，d=2，则，当且仅当a=0，c=n或a=n，c=0时取“=”，
当时，，此时，而，，
即不存在，则的事件为，有2种；
若b=1，d=2，则，当且仅当a=0，c=n或a=n，c=0时取“=”，
同理，的事件为，有2种，
当时，X的所有值是或或，且，，，
于是得，
所以.
10．（2022春·全国·高二专题练习）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如下频率分布直方图．
（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，求恰好取到一级口罩个数为的概率；
（2）在2020年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A、B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在A、B两店订单“秒杀”成功的概率分别为，，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为，．
①求的分布列及数学期望；
②求当的数学期望取最大值时正整数的值．
【答案】（1）；（2）①分布列见解析，数学期望；②6．
【分析】（1）根据分层抽样可得二级、一级口罩个数，然后计算即可.
（2）①写出写出的所有可得取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得结果.
②根据，使用换元法并构造函数，然后利用导数判断函数单调性，进一步可得取最大值的条件.
【详解】（1）按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为6、2，
所以恰好取到一级口罩个数为2的概率．
（2）①由题知，X的可能取值为0，1，2，
；
；
．
所以X的分布列为
0 1 2
．
②因为，所以．
令，设，则，
因为
所以当时，，
所以在区间上单调递增；
当时，，
所以在区间上单调递减；
所以当即时取最大值，所以．
所以取最大值时，n的值为6．
【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望，牢记公式，细心计算，本题难点在于之间的关系，同时导数在概率中的应用，考验分析能力以及计算能力，属难题.
11．（2022·高二课时练习）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
【答案】（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）.
【分析】（1）首先确定所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i）求解出的取值，可得，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合和的值可求得；再次利用累加法可求出.
【详解】（1）由题意可知所有可能的取值为：，，
；；
则的分布列如下：
（2），
，，
（i）
即
整理可得：
是以为首项，为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
，，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.7.2 离散型随机变量及其分布列（分层作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022春·山西吕梁·高二校联考期中）设是一个离散型随机变量，其分布列为
则等于（ ）A．1 B． C． D．
2．（2023·全国·高二专题练习）甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局输两局
C．甲、乙平局二次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
3．（2022·高二课时练习）设X是一个离散型随机变量，则下列不能作为X的分布列的一组概率取值的数据是（ ）
A．，
B．0.1，0.2，0.3，0.4
C．p，
D．，，…，
4．（2022春·江苏常州·高二常州市第一中学校联考期中）下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（ ）
X 3 4 5 6
P
A． B． C． D．
5．（2022秋·河南南阳·高二校考阶段练习）已知随机变量X的分布列为，，则等于（ ）
A． B． C． D．
6．（2022春·江西抚州·高二校联考期末）设随机变量的分布列为，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2022春·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨工业大学附属中学校校考期末）已知随机变量ξ的分布如下：则实数a的值为（ ）
ξ 1 2 3
P
A．－ B． C． D．
8．（2023·全国·高二专题练习）下列变量中，是离散型随机变量的是（ ）．
A．某机场明年5月1日运送乘客的数量
B．某办公室一天中接到电话的次数
C．某地警方明年5月1日到10月1日期间查处酒驾司机的人数
D．一瓶净含量为的果汁的容量
三、填空题
9．（2022秋·广西钦州·高二校考阶段练习）已知随机变量的分布列如下：
则的值为__________．
10．（2023·高二课时练习）已知下列四个变量：①某高铁候车室中一天的旅客数量；②某次学术讲座中学员向主讲教授提问的次数；③某一天中长江的水位；④某次大型车展中销售汽车的数量．其中，所有离散型随机变量的序号为______．
11．（2023秋·山东德州·高二德州市第一中学校考期末）设X是一个离散随机变量，其分布列为：
X －1 0 1
P
则实数q的值为______.
12．（2022·高二课时练习）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比賽，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则表示______.
13．（2023·高二课时练习）离散型随机变量的概率分布规律为，，其中是常数，则______．
四、双空题
14．（2022·高二课时练习）已知X服从参数为0.3的两点分布，则________；若，则________.
五、解答题
15．（2022春·重庆荣昌·高二重庆市荣昌永荣中学校校考期中）设X是一个离散型随机变量，其分布列为：
X 1 0 1
P
(1)求q的值；
(2)求．
16．（2023·高二课时练习）设随机变量的概率分布，．
(1)求常数的值；
(2)求和的值．
17．（2022秋·辽宁沈阳·高二沈阳市第三十一中学校考阶段练习）2022年冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”备受人们的欢迎，某大型商场举行抽奖活动，活动奖品为冰墩墩玩偶和现金.活动规则：凡是前一天进入商场购物且一次性购物满300元的顾客，第二天上午8点前就可以从若干个抽奖箱（每个箱子装有8张卡片，3张印有“奖”字，5张印有“谢谢参与”，其他完全相同）中选一个箱子并一次性抽出3张卡片，抽到印有“奖”字的卡片才能中奖，抽到1张印有“奖”字的卡片为三等奖，奖励现金10元，抽到2张印有“奖”字的卡片为二等奖，奖励1个冰墩墩玩偶，抽到3张印有“奖”字的卡片为一等奖，奖励2个冰墩墩玩偶.根据以往数据统计，进入商场购物的顾客中一次性购物满300元的约占.
(1)求每一个参与抽奖的顾客中奖的概率；
(2)设每次参与抽奖活动所得的冰墩墩玩偶个数为X，求X的分布列.
18．（2022·高二课时练习）写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果.
(1)一袋中装有只同样大小的白球，编号为、、、、.现从该袋内随机取出只球，被取出的球的最大号码数；
(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数.
19．（2022春·山东青岛·高二青岛二中校考阶段练习）某校为缓解学生压力，举办了一场趣味运动会，其中有一个项目为篮球定点投篮，比赛分为初赛和复赛．初赛规则为：每人最多投3次，每次投篮的结果相互独立．在处每投进一球得3分，在处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用表示，如果的值不低于3分就判定为通过初赛，立即停止投篮，否则应继续投篮，直到投完三次为止．现甲先在处投一球，以后都在处投，已知甲同学在处投篮的命中率为，在处投篮的命中率为，求他初赛结束后所得总分的分布列．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·高二课时练习）已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022春·广东广州·高二广州市第七中学校考期中）若随机变量的分布列为
且，则随机变量的方差等于A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022春·黑龙江七台河·高二勃利县高级中学校考期中）若随机变量服从两点分布，其中，，分别为随机变量的均值与方差，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022春·全国·高二期末）设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，随机变量Y表示从1到X这X个整数中随机抽取的一个整数，记表示，同时发生的概率，则（ ）
A．当时，
B．当时，
C．当（且）时，
D．当时，Y的均值为
三、解答题
5．（2022春·山东德州·高二校考期末）某企业生产流水线检测员每天随机从流水线上抽取100件新生产的产品进行检测．若每件产品的生产成本为1200元，每件一级品可卖1700元，每件二级品可卖1000元，三级品禁止出厂且销毁．某日检测抽取的100件产品的柱状图如图所示．
(1)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．若从生产的所有产品中随机取出2件，求至少有一件产品是一级品的概率；
(2)已知该生产线原先的年产量为80万件，为提高企业利润，计划明年对该生产线进行升级，预计升级需一次性投入2000万元，升级后该生产线年产量降为70万件，但产品质量显著提升，不会再有三级品，且一级品与二级品的产量比会提高到8∶2，根据样本估计总体的思想，若以该生产线今年利润与明年预计利润为决策依据，请判断该次升级是否合理．
6．（2022春·江苏镇江·高二江苏省镇江中学校考期末）一个袋中装有黑球，白球和红球共个， 这些球除颜色外完全相同. 已知从袋中任意摸出个球， 得到黑球的概率是. 现从袋中任意摸出个球.
(1)用含的代数式表示摸出的球都是黑球的概率， 并写出概率最小时的值. （直接写出的值）
(2)若， 且摸出的个球中至少有个白球的概率是， 设表示摸出的个球中红球的个数， 求随机变量的分布列和数学期望.
7．（2022·高二课时练习）某高校对该校学生进行了一次“身体素质测试”，包括铅球、50米跑、立定跳远三项．现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示合格，2表示优良，再用综合指标的值评定身体素质等级，若测为一级；若，则为二级，若，则为三级．为了了解该校学生身体素质的情况，随机抽取了10人的测试成绩，得到如下表所示结果：
编号
编号
(1)在这10人中任取2人，求抽取的2人指标z相同的概率；
(2)从等级是一级的人中任取1人，其综合指标记为m，从等级不是一级的人中任取1人，其综合指标记为n，记随机变量，求X的均值和方差．
8．（2022春·全国·高二专题练习）为进一步加强未成年人心理健康教育，如皋市教育局决定在全市深入开展“东皋大讲堂”进校园心理健康教育宣讲活动，为了缓解高三学生压力，高三年级某班级学生在开展“东皋大讲堂”过程中，同座两个学生之间进行了一个游戏，甲盒子中装有2个黑球1个白球，乙盒子中装有3个白球，现同座的两个学生相互配合，从甲、乙两个盒子中各取一个球，交换后放入另一个盒子中，重复进行n次这样的操作，记甲盒子中黑球的个数为，恰好有2个黑球的概率为，恰好有1个黑球的概率为.
(1)求第二次操作后，甲盒子中没有黑球的概率；
(2)求的概率分布和数学期望.
9．（2022春·全国·高二专题练习）在平面直角坐标系xOy中，设点集={(i，j)|i=0，1，2，…，n；j=0，1，2；n∈N*}．从集合中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．
(1)当n=1时，求X的概率分布；
(2)对给定的正整数n(n≥3)，求概率(用n表示)．
10．（2022春·全国·高二专题练习）在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：，，，，，得到如下频率分布直方图．
（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，求恰好取到一级口罩个数为的概率；
（2）在2020年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A、B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在A、B两店订单“秒杀”成功的概率分别为，，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为，．
①求的分布列及数学期望；
②求当的数学期望取最大值时正整数的值．
11．（2022·高二课时练习）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
