第 2 章一元二次函数、方程和不等式（单元卷）
一．选择题（共8小题）
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0，x∈Z}，B＝{﹣1，1，2，3}，则下列判断正确的是（ ）
A．﹣2∈A B．A B C．A∩B＝{﹣1，1，2} D．A∪B＝{﹣1，1，2}
【分析】先求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0，x∈Z}＝{x|﹣2＜x＜3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2}，
B＝{﹣1，1，2，3}，
∴A∩B＝{﹣1，1，2}．
故选：C．
【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．设集合A＝{﹣2，2，4，6}，B＝{x|x2+x﹣12＜0}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣2，2） B．{﹣2，0，2} C．{2，4} D．{﹣2，2}
【分析】首先化简B＝{x|﹣4＜x＜3}，再求A∩B即可；
【解答】解：B＝{x|x2+x﹣12＜0}＝{x|﹣4＜x＜3}，
又∵A＝{﹣2，2，4，6}，
∴A∩B＝{﹣2，2}，
故选：D．
【点评】本题考查了集合的化简与运算，属于基础题．
3．若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a2＞b2 B． C．a﹣1＞b﹣2 D．a+b＞2
【分析】根据已知条件，结合不等式的可加性和特殊值代入法，即可求解．
【解答】解：令a＝1，b＝﹣2，a＞b，但a2＜b2，故A选项错误，
令a＝2，b＝1，a＞b，但，故B选项错误，
∵a＞b，﹣1＞﹣2，由不等式的可加性，可得a﹣1＞b﹣2，故C选项正确，
令a＝﹣2，b＝﹣3，a＞b，但a+b＞2不成立．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，掌握特殊值代入法是解本题的关键，属于基础题．
4．若命题“2x2﹣3x+1＜0”是命题“x＞a”的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B． C． D．a≤1
【分析】求解一元二次不等式，结合命题“2x2﹣3x+1＜0”是命题“x＞a”的充分不必要条件，转化为两集合间的关系求解．
【解答】解：由2x2﹣3x+1＜0，得＜x＜1，
∵命题“2x2﹣3x+1＜0”是命题“x＞a”的充分不必要条件，
∴（，1） （a，+∞），则a，
故选：C．
【点评】本题考查充分必要条件的判定及应用，考查一元二次不等式的解法，考查化归与转化思想，是基础题．
5．已知a＞0，b＞0，若a+4b＝4ab，则a+b的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】由a+4b＝4ab可得+＝1，所以a+b＝（+）（a+b）＝++，从而结合a＞0，b＞0即可利用基本不等式进行求解．
【解答】解：由a+4b＝4ab，得+＝1，又a＞0，b＞0，
所以a+b＝（+）（a+b）＝++≥+2＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，
所以a+b的最小值为．
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
6．当0＜x＜1时，的最小值为（ ）
A．0 B．9 C． D．10
【分析】由0＜x＜1可得1﹣x＞0，所以+＝（+）（1﹣x+x）＝5++≥5+2，再进一步分析即可得出+的最小值．
【解答】解：由0＜x＜1，得1﹣x＞0，所以+＝（+）（1﹣x+x）＝5++≥5+2＝9，
当且仅当＝，即x＝时等号成立，所以+的最小值为9．
故选：B．
【点评】本题考查利用基本不等式求最值，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
7．设a，b∈R，则“a＞b＞1”是“a﹣b＜a2﹣b2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．
【解答】解：设命题p：a＞b＞1；则a﹣b＞0，
命题q：a﹣b＜a2﹣b2化简得
（a﹣b）＜（a+b）（a﹣b），
又∵a，b∈R，
∴p q，q推不出p，
∴P是q的充分不必要条件，
即“a＞b＞1”是“a﹣b＜a2﹣b2”的充分不必要条件，
故选：A．
【点评】本题重点考查充分条件、必要条件和充要条件的概念及其应用，属于中档题
8．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y≥m2+2m恒成立，则实数m的最小值是（ ）
A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣2
【分析】直接利用基本不等式和函数的恒成立问题的应用求出参数m的取值范围，进一步求出m的最小值．
【解答】解：已知x＞0，y＞0，且，若x+2y＝；
即x+2y≥m2+2m恒成立，
只需8≥m2+2m恒成立，
解得﹣4≤m≤2．
故m的最小值为﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：基本不等式的应用，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．若a＞b＞0，则下列不等式中一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】逐项判断即可．
【解答】解：对于A，由糖水原理可知选项A一定不成立；
对于B，不妨取a＝2，b＝1，则，故选项B可能成立；
对于C，不妨取a＝2，b＝1，则，故选项C可能成立；
对于D，，故，故选项D一定不成立；
故选：AD．
【点评】本题考查不等式的性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．
（多选）10．下列命题为真命题的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若﹣2＜a＜3，1＜b＜2，则﹣4＜a﹣b＜2
C．若b＜a＜0，m＜0，则
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
【分析】根据不等式的基本性质分别判断即可．
【解答】解：对于A，c＝0时，显然错误，
对于B，∵﹣2＜a＜3，1＜b＜2，
∴﹣2＜a＜3，﹣2＜﹣b＜﹣1，
∴﹣4＜a﹣b＜2，故B正确，
对于C，∵b＜a＜0，m＜0，
∴＜＜0，
∴，故C正确，
对于D，令a＝﹣1，b＝﹣2，c＝2，d＝1，显然错误，
故选：BC．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，是基础题．
（多选）11．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，则 B．若a＞b，则ac2≥bc2
C．若a＞0＞b，则ab＜a2 D．若c＞a＞b，则
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出正误．
【解答】解：A．∵a＞b＞0，∴＞，，正确．
B．∵a＞b，c2≥0，则ac2≥bc2，正确．
C．a＞0＞b，则ab＜a2，正确．
D．c＞a＞b，则0＜c﹣a＜c﹣b，∴＞＞0，但是a，b与0的关系不确定，虽然a＞b，无法判断的正误．
综上可得：ABC正确．
故选：ABC．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
（多选）12．已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则（ ）
A．a2﹣b2≤4
B．a2+≥4
C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0
D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4
【分析】由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得a，b的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A；由基本不等式可判断B；由二次方程的韦达定理可判断C，D．
【解答】解：根据题意，函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，必有a2﹣4b＝0，即a2＝4b，（b＞0），
依次分析选项：
对于A，a2﹣b2﹣4＝4b﹣b2﹣4＝﹣（b2﹣4b+4）＝﹣（b﹣2）2≤0，b＝2时，等号成立，即有a2﹣b2≤4，故A正确；
对于B，a2+＝4b+≥2＝4，当且仅当b＝时，取得等号，故B正确；
对于C，由x1，x2为方程x2+ax﹣b＝0的两根，可得x1x2＝﹣b＜0，故C错误；
对于D，由x1，x2为方程x2+ax+b﹣c＝0的两根，可得x1+x2＝﹣a，x1x2＝b﹣c，
则|x1﹣x2|2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝a2﹣4（b﹣c）＝a2﹣4b+4c＝4c＝16，
解得c＝4，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查二次函数的性质和二次不等式的解集、二次方程的韦达定理的运用，考查方程思想和转化思想、运算能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．已知，，则2α﹣β的取值范围是
【分析】令x＝α+β∈（π，），y＝α﹣β∈（﹣π，﹣），解出α，β后代入到2α﹣β后变成，再利用x，y的范围可求得．
【解答】解：令x＝α+β∈（π，），y＝α﹣β∈（﹣π，﹣），则，β＝，
∴2α﹣β＝x+y﹣＝∈（﹣π，）
故答案为：（﹣π，）．
【点评】本题考查了不等关系与不等式，属基础题．
14．若不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R，则a的范围是 ﹣1＜a≤0 ．
【分析】讨论a＝0和a≠0时，求出不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R时a的取值范围．
【解答】解：a＝0时，不等式ax2+2ax﹣1＜0化为﹣1＜0，解集为R；
a≠0时，不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R时，
应满足，
解得﹣1＜a＜0；
所以实数a的取值范围是﹣1＜a≤0．
故答案为：﹣1＜a≤0．
【点评】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．
15．若＜＜0，则下列不等式：①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③+＞2；④b＞a，正确的有 ①③
【分析】利用不等式的基本性质即可判断出结论．
【解答】解：＜＜0，∴b＜a＜0．
则下列不等式：①a+b＜0＜ab，正确；
②|a|＞|b|，不正确；
③+＞2＝2，正确；
④b＞a，不正确．
正确的有①③．
故答案为：①③．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y＝2，则x2+4y2+xy的最小值是 ．
【分析】先利用基本不等式可求xy的最大值，然后即可求解．
【解答】解：因为x，y满足x＞0，y＞0，x+2y＝2，
由基本不等式可得，xy＝x （2y）＝，
当且仅当x＝2y＝1即x＝1，y＝时取等号，
则x2+4y2+xy＝（x+2y）2﹣3xy＝
故答案为：
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．
四．解答题（共6小题）
17．已知方程ax2﹣3x+2＝0的解为1、b．
（1）求a、b的值．
（2）求的最小值．
【分析】（1）由x＝1代入可得a，b的值；
（2）利用基本不等式即可求解的最小值．
【解答】解：（1）方程ax2﹣3x+2＝0的解为1、b．
即x＝1时，可得a﹣3+2＝0，可得a＝1，
那么方程x2﹣3x+2＝0的解为1和2，
可得b＝2，
（2）由＝4x+，当且仅当x＝时，取等号．
∴的最小值为12．
【点评】本题考查一元二次方程的计算和基本不等式的应用，属于基础题．
18．已知x，y都是正数，且x+y＝1．
（1）求+的最小值；
（2）求的最小值．
【分析】（1）利用“1”的代换将式子变形，再利用基本不等式求出最小值即可；
（2）先将所求式子中的1用x+y代换，展则+＝+＝1++，从而利用基本不等式求出最小值即可．
【解答】解：（1）由x＞0，y＞0，x+y＝1，得+＝（x+y）（+）＝5++≥5+2＝9，
当且仅当x＝，y＝时等号成立，所以+的最小值为9．
（2）+＝+＝1++，又x＞0，y＞0，所以+≥2＝2，
所以+≥1+2＝3，当且仅当x＝，y＝时等号成立，
所以+的最小值为3．
【点评】本题考查基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
19．已知三个集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+（a﹣1）＝0}，C＝{x|x2﹣bx+2＝0}，则同时满足B A，C A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b所有的值；若不存在，请说明理由．
【分析】首先求得A＝{1，2}，利用B A，再根据1∈B得出a的值，由C A对集合C分情况讨论，即可求出b的值．
【解答】解：集合A＝{1，2}，
∵x＝1是方程x2﹣ax+（a﹣1）＝0的解，
∴B≠ ，
而B A，∴B＝{1}，
∴Δ＝（﹣a）2﹣4（a﹣1）＝0，解得a＝2，
由C A，分情况讨论：
①若C＝ ，则Δ＜0，
∴（﹣b）2﹣8＜0，
解得：；
②若C＝{1}或{2}时，Δ＝0，∴b＝，
此时C＝{}或{﹣}，不符合题意，舍去；
③若C＝{1，2}时，
由韦达定理得，解得b＝3，
综上所述：实数a的值为2，实数b的值为3或；
【点评】本题主要考查了集合间的基本关系，是基础题．
20．解下列不等式：
（1）﹣x2+4x﹣4＜0；
（2）x2+（a﹣1）x﹣a＞0．
【分析】（1）先将不等式进行变形，然后由一元二次不等式的解法求解即可；
（2）先将不等式进行变形，然后分a＞﹣1，a＝﹣1，a＜﹣1三种情况，由一元二次不等式的解法求解即可．
【解答】解：（1）不等式﹣x2+4x﹣4＜0可变形为x2﹣4x+4＞0，即（x﹣2）2＞0，解得x≠2，
所以不等式的解集为{x|x≠2}；
（2）不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0可变形为（x﹣1）（x+a）＞0，
当a＞﹣1时，解得x＜﹣a或x＞1，
当a＝﹣1时，解得x≠1，
当a＜﹣1时，解得x＜1或x＞﹣a．
综上所述，当a＞﹣1时，不等式的解集为{x|x＜﹣a或x＞1}；
当a＝﹣1时，不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＜﹣1时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞﹣a}．
【点评】本题考查了一元二次不等式解法的应用，解题的关键是将一元二次不等式进行变形，确定对应方程的根，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
21．（1）已知0＜x＜1，求x（4﹣3x）取得最大值时x的值？
（2）已知x＜，求f（x）＝4x﹣2+的最大值？
（3）函数y＝（x＞1）的最小值为多少？
【分析】（1）x（4﹣3x）＝，然后结合基本不等式即可求解；
（2）由f（x）＝4x﹣2+＝4x﹣5++3＝﹣（5﹣4x+）+3，然后结合基本不等式可求；
（3）先进行分离，y＝＝＝（x﹣1）++2，然后结合基本不等式可求．
【解答】解：（1）因为0＜x＜1，
所以x（4﹣3x）＝＝，
当且仅当3x＝4﹣3x，即x＝时取等号；
（2）因为x＜，
所以4x﹣5＜0，
所以f（x）＝4x﹣2+＝4x﹣5++3＝﹣（5﹣4x+）+3≤3﹣2＝1，
当且仅当5﹣4x＝，即x＝1时取等号，此时f（x）的最大值1；
（3）因为x＞1，所以x﹣1＞0，
所以y＝＝＝（x﹣1）++2，
当且仅当x﹣1＝，即x＝1+时取等号，此时函数取得最小值2+2．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题中要注意应用条件的配凑及检验，属于中档题．
22．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ac；
（Ⅱ）++≥1．
【分析】（Ⅰ）利用基本不等式可知a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，利用（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）＝1计算即得结论．
（Ⅱ）利用基本不等式可知+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，利用a+b+c＝1相加计算即得结论
【解答】证明：（Ⅰ）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，当且仅当a＝b＝c＝取等号，
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca，
又∵（a+b+c）2＝1，即a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）＝1，
∴3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤；
（Ⅱ）∵+b≥2a，+c≥2b，+a≥2c，当且仅当a＝b＝c＝取等号，
∴+++（a+b+c）≥2（a+b+c），
即++≥a+b+c＝1．
【点评】本题考查不等式的证明，注意解题方法的积累，属于中档题．第 2 章一元二次函数、方程和不等式（单元卷）
一．选择题（共8小题）
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0，x∈Z}，B＝{﹣1，1，2，3}，则下列判断正确的是（ ）
A．﹣2∈A B．A B C．A∩B＝{﹣1，1，2} D．A∪B＝{﹣1，1，2}
2．设集合A＝{﹣2，2，4，6}，B＝{x|x2+x﹣12＜0}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣2，2） B．{﹣2，0，2} C．{2，4} D．{﹣2，2}
3．若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a2＞b2 B． C．a﹣1＞b﹣2 D．a+b＞2
4．若命题“2x2﹣3x+1＜0”是命题“x＞a”的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ）
A．a≥1 B． C． D．a≤1
5．已知a＞0，b＞0，若a+4b＝4ab，则a+b的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
6．当0＜x＜1时，的最小值为（ ）
A．0 B．9 C． D．10
7．设a，b∈R，则“a＞b＞1”是“a﹣b＜a2﹣b2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知x＞0，y＞0，且，若x+2y≥m2+2m恒成立，则实数m的最小值是（ ）
A．2 B．﹣4 C．4 D．﹣2
二．多选题（共4小题）
（多选）9．若a＞b＞0，则下列不等式中一定不成立的是（ ）
A． B．
C． D．
（多选）10．下列命题为真命题的是（ ）
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若﹣2＜a＜3，1＜b＜2，则﹣4＜a﹣b＜2
C．若b＜a＜0，m＜0，则
D．若a＞b，c＞d，则ac＞bd
（多选）11．对于实数a，b，c，下列说法正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，则 B．若a＞b，则ac2≥bc2
C．若a＞0＞b，则ab＜a2 D．若c＞a＞b，则
（多选）12．已知函数y＝x2+ax+b（a＞0）有且只有一个零点，则（ ）
A．a2﹣b2≤4
B．a2+≥4
C．若不等式x2+ax﹣b＜0的解集为（x1，x2），则x1x2＞0
D．若不等式x2+ax+b＜c的解集为（x1，x2），且|x1﹣x2|＝4，则c＝4
三．填空题（共4小题）
13．已知，，则2α﹣β的取值范围是
14．若不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R，则a的范围是 ．
15．若＜＜0，则下列不等式：①a+b＜ab；②|a|＞|b|；③+＞2；④b＞a，正确的有
16．已知实数x，y满足x＞0，y＞0，x+2y＝2，则x2+4y2+xy的最小值是 ．
四．解答题（共6小题）
17．已知方程ax2﹣3x+2＝0的解为1、b．
（1）求a、b的值．
（2）求的最小值．
18．已知x，y都是正数，且x+y＝1．
（1）求+的最小值；
（2）求的最小值．
19．已知三个集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x2﹣ax+（a﹣1）＝0}，C＝{x|x2﹣bx+2＝0}，则同时满足B A，C A的实数a，b是否存在？若存在，求出a，b所有的值；若不存在，请说明理由．
20．解下列不等式：
（1）﹣x2+4x﹣4＜0；
（2）x2+（a﹣1）x﹣a＞0．
21．（1）已知0＜x＜1，求x（4﹣3x）取得最大值时x的值？
（2）已知x＜，求f（x）＝4x﹣2+的最大值？
（3）函数y＝（x＞1）的最小值为多少？
22．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝1，证明：
（Ⅰ）ab+bc+ac；
（Ⅱ）++≥1．
