第 5章 三角函数（单元测试）
一．选择题（共8小题）
1．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第几象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．函数y＝2sin，x∈R的最小正周期为（ ）
A．12 B．6 C． D．
3．下列函数中，既是奇函数又在区间（﹣1，1）上是增函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝tanx C．y＝﹣sinx D．y＝cosx
4．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（ ）
A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米
5．已知cos，sin（α﹣β）＝﹣，α，β∈（0，），则cosβ的值（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数f（x）＝sin（2x﹣）（x∈R）下列结论错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）是偶函数
C．函数f（x）的图象关于直线x＝对称
D．函数f（x）在区间上是增函数
7．函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）＝（ ）
A．1 B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．下列选项中正确的是（ ）
A．sin（α﹣3π）＝sinα B．
C．tan（﹣α﹣π）＝﹣tanα D．
（多选）10．下列各式的值计算正确的是（ ）
A．sin30°cos0°＝0°
B．
C．（tan55°﹣tan25°）﹣tan55° tan25°＝1
D．
（多选）11．已知函数f（x）的定义域是[0，+∞），若f（x）满足2f（x+π）+f（x）＝0，且当x∈[0，π]时，f（x）＝sinx，则（ ）
A． B．
C．f（x）有一单调增区间是（，） D．f（x）≤1
（多选）12．若函数f（x）＝cos（ωx﹣φ）（ω＞0，）的两相邻对称轴之间的距离为，且时，f（x）有最大值，则下列结论成立的是（ ）
A．
B．函数f（x）的一个单调递减区间为
C．函数f（x）的图象关于点对称
D．函数f（x）的图象关于直线对称
三．填空题（共4小题）
13．已知函数，若对一切x∈R恒成立，则实数a的值为 ．
14．已知曲线y＝sin（ωx+）关于直线x＝1对称，则|ω|的最小值为 ．
15．若，则＝ ．
16．关于函数f（x）＝cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列命题：
①y＝f（x）的最大值为；
②y＝f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f（x）在区间（，）上单调递减；
④将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是 ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
四．解答题（共6小题）
17．（1）化简：；
（2）已知sin（α+）＝，求cos（+α）的值．
18．已知cos（+x）＝，求的值．
19．设函数．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若，，，求cosα的值．
20．已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求的最大值和最小值．
21．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数的解析式．
（2）求函数的单调递增区间．
（3）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围．
22．若f（x）＝sin（2ωx﹣）的图象关于直线x＝对称，其中ω∈（）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知x∈[]，求f（x）的增区间；
（Ⅲ）将y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）后得到的y＝g（x）的图象；讨论g（x）＝a，x∈的零点个数．第 5章 三角函数（单元测试）
一．选择题（共8小题）
1．已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在第几象限（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】由题意，推导出，确定α的象限，然后取得结果．
【解答】解：∵P（tanα，cosα）在第三象限，
∴，
由tanα＜0，得α在第二、四象限，
由cosα＜0，得α在第二、三象限
∴α在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．
2．函数y＝2sin，x∈R的最小正周期为（ ）
A．12 B．6 C． D．
【分析】由题意利用函数y＝Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．
【解答】解：函数y＝2sin，x∈R的最小正周期为＝12，
故选：A．
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ωx+φ）的周期性，利用了函数y＝Asin（ωx+φ）的周期为，属于基础题．
3．下列函数中，既是奇函数又在区间（﹣1，1）上是增函数的是（ ）
A．y＝ B．y＝tanx C．y＝﹣sinx D．y＝cosx
【分析】根据奇函数的定义可得y＝tanx是奇函数，又y＝tanx在（﹣，）为增函数可得在（﹣1，1）内也为增函数．
【解答】解：对于A，y＝是奇函数，但在（﹣1，1）不是增函数，故A错误；
对于B，因为f（﹣x）＝tan（﹣x）＝﹣tanx＝﹣f（x），
所以y＝f（x）＝tanx是（﹣1，1）上的奇函数，
又y＝tanx在（﹣1，1）上是递增函数，故B正确；
对于C，y＝﹣sinx是奇函数，但在（﹣1，1）上不是增函数，故C错误；
对于D，y＝cosx是偶函数，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属基础题．
4．《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著．书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”（一步＝1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为（ ）
A．135平方米 B．270平方米 C．540平方米 D．1080平方米
【分析】根据扇形的面积公式计算即可．
【解答】解：根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为
S＝lr＝×45×＝270（平方米）．
故选：B．
【点评】本题考查了扇形的面积公式应用问题，是基础题．
5．已知cos，sin（α﹣β）＝﹣，α，β∈（0，），则cosβ的值（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知条件，结合三角函数的同角公式，以及余弦函数的两角差公式，即可求解．
【解答】解：∵α，β∈（0，），，
∵cos，
∴＝，
∵α，β∈（0，），sin（α﹣β）＝﹣＜0，
∴，
∴＝，
∴cosβ＝cos[α﹣（α﹣β）]＝cosα cos（α﹣β）+sinα sin（α﹣β）＝．
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的同角公式，以及余弦函数的两角差公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
6．已知函数f（x）＝sin（2x﹣）（x∈R）下列结论错误的是（ ）
A．函数f（x）的最小正周期为π
B．函数f（x）是偶函数
C．函数f（x）的图象关于直线x＝对称
D．函数f（x）在区间上是增函数
【分析】由条件利用诱导公式，余弦函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性，判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：函数f（x）＝sin（2x﹣）＝﹣cos2x，故它的最小正周期为π，故A满足条件；
显然，它是偶函数，故B正确；
当x＝时，求得函数值y＝0，不是最值，故f（x）的图象不关于直线x＝对称，故C错误；
在区间上，f（x）＝﹣cos2x是增函数，故D正确，
故选：C．
【点评】本题主要考查诱导公式，余弦函数的图象和性质，属于基础题．
7．函数y＝2|x|sin2x的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】直接利用函数的图象和性质求出结果．
【解答】解：根据函数的解析式y＝2|x|sin2x，得到：函数的图象为奇函数，
故排除A和B．
当x＝时，函数的值也为0，
故排除C．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：函数的性质和赋值法的应用．
8．函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的部分图象如图所示，若，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），则f（x1+x2）＝（ ）
A．1 B． C． D．
【分析】由图象可得A＝1，由周期公式可得ω＝2，代入点（，0）可得φ值，进而可得f（x）＝sin（2x+），再由题意可得x1+x2＝，代入计算可得．
【解答】解：由图象可得A＝1，＝，解得ω＝2，
∴f（x）＝sin（2x+φ），
代入点（，0）可得sin（+φ）＝0
∴+φ＝kπ，∴φ＝kπ﹣，k∈Z
又|φ|＜，∴φ＝，
∴f（x）＝sin（2x+），
∴sin（2×+）＝1，即图中点的坐标为（，1），
又，且f（x1）＝f（x2）（x1≠x2），
∴x1+x2＝×2＝，
∴f（x1+x2）＝sin（2×+）＝，
故选：D．
【点评】本题考查三角函数的图象与解析式，属基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．下列选项中正确的是（ ）
A．sin（α﹣3π）＝sinα B．
C．tan（﹣α﹣π）＝﹣tanα D．
【分析】由题意利用诱导公式，逐一检验各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：∵sin（α﹣3π）＝sin（α﹣π）＝﹣sin（π﹣α）＝﹣sinα，故A不正确；
∵，故B正确；
∵tan（﹣α﹣π）＝tan（﹣α）＝﹣tanα，故C正确；
∵，故D正确，
故选：BCD．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题．
（多选）10．下列各式的值计算正确的是（ ）
A．sin30°cos0°＝0°
B．
C．（tan55°﹣tan25°）﹣tan55° tan25°＝1
D．
【分析】利用特殊角的三角函数值即可判断A；利用诱导公式，二倍角公式利用判断B；利用两角差的正切公式即可判断C；利用半角公式即可判断D．
【解答】解：因为sin30°cos0°＝sin30°＝，所以A错误；
因为＝cos2﹣sin2＝cos＝，所以B错误；
因为tan30°＝＝，所以（tan55°﹣tan25°）＝1+tan55° tan25°，
所以（tan55°﹣tan25°）﹣tan55°tan25°＝1，所以C正确；
因为＝sin30°＝，所以D正确．
故选：CD．
【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，诱导公式，二倍角公式，两角差的正切公式，半角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
（多选）11．已知函数f（x）的定义域是[0，+∞），若f（x）满足2f（x+π）+f（x）＝0，且当x∈[0，π]时，f（x）＝sinx，则（ ）
A．
B．
C．f（x）有一单调增区间是（，）
D．f（x）≤1
【分析】由函数的性质可得f（）＝﹣，f（）＝f（），即可判断A，B；由函数的性质可得函数在（，）上的解析式即可判断C；由函数的性质可得当x∈[nπ，（n+1）π]，n∈N时，f（x）＝sinx，即可判断D．
【解答】解：由2f（x+π）+f（x）＝0，可得f（x+π）＝﹣f（x），
所以f（）＝﹣＝﹣sin＝﹣，故A错误；
f（）＝﹣＝f（）＝sin＝，故B正确；
当x∈（，2π]时，f（x）＝﹣＝﹣sin（x﹣π）＝sinx，
当x∈[2π，）时，f（x）＝﹣＝f（x﹣2π）＝sin（x﹣2π）＝sinx，
所以函数f（x）有一单调增区间是（，），故C正确；
当x∈[0，π]时，f（x）＝sinx，
当x∈[π，2π]时，f（x）＝﹣＝﹣sin（x﹣π）＝sinx，
当x∈[2π，3π]时，f（x）＝﹣＝f（x﹣2π）＝sin（x﹣2π）＝sinx，
…
当x∈[nπ，（n+1）π]，n∈N时，f（x）＝sinx，
所以f（x）≤1，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了函数性质及三角函数的应用，考查了运算求解能力，合理转化条件是解题的关键，属于中档题．
（多选）12．若函数f（x）＝cos（ωx﹣φ）（ω＞0，）的两相邻对称轴之间的距离为，且时，f（x）有最大值，则下列结论成立的是（ ）
A．
B．函数f（x）的一个单调递减区间为
C．函数f（x）的图象关于点对称
D．函数f（x）的图象关于直线对称
【分析】由题意利用余弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）＝cos（ωx﹣φ）（ω＞0，）的两相邻对称轴之间的距离为＝，
∴ω＝2，
∵时，f（x）有最大值，∴2×（﹣）﹣φ＝0，求得φ＝﹣，
故函数f（x）＝cos（2x+）．
故f（）＝cos ＝0，故A正确；
在区间[﹣，]上，2x+∈[﹣，]，函数f（x）没有单调性，故B错误；
令x＝，求得f（x）＝cosπ＝﹣1，为最小值，故函数f（x）的图象关于直线x＝对称，故C错误；
令x＝﹣，求得f（x）＝cos（﹣π）＝﹣1，故函数f（x）的图象关于直线对称，故D正确，
故选：AD．
【点评】本题主要考查余弦函数的图象和性质，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．已知函数，若对一切x∈R恒成立，则实数a的值为 ．
【分析】由题意可得当x＝时，f（x）取得最值，故有a+＝±，由此求得a的值．
【解答】解：函数，若对一切x∈R恒成立，
则当x＝时，f（x）取得最值，∴a+＝±，
则实数a＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查正弦函数的最值，属于中档题．
14．已知曲线y＝sin（ωx+）关于直线x＝1对称，则|ω|的最小值为 ．
【分析】利用y＝sinx的对称轴方程可得已知曲线的对称轴方程，利用整体代换思想可求出ω的关系式，进而求出结果．
【解答】解：因为曲线y＝sin（ωx+）关于直线x＝1对称，
所以ω+＝+kπ（k∈Z），
所以ω＝（k∈Z），
故答案为：．
【点评】本题考查了三角函数的对称性，考查数学运算与逻辑推理的核心素养，属于基础题．
15．若，则＝ 2020 ．
【分析】把化弦为切，展开二倍角正切，整理后结合已知得答案．
【解答】解：∵，
∴＝
＝＝＝2020．
故答案为：2020．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．
16．关于函数f（x）＝cos（2x﹣）+cos（2x+），有下列命题：
①y＝f（x）的最大值为；
②y＝f（x）是以π为最小正周期的周期函数；
③y＝f（x）在区间（，）上单调递减；
④将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位后，将与已知函数的图象重合．
其中正确命题的序号是 ①②③ ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
【分析】利用两角和差的正余弦公式可把f（x）化为，进而利用正弦函数的性质即可判断出答案．
【解答】解：函数f（x）＝cos（2x﹣）+cos（2x+）＝
＝＝＝．
∴函数f（x）的最大值为，因此①正确；
周期T＝，因此②正确；
当时，，因此y＝f（x）在区间（，）上单调递减，因此③正确；
将函数y＝cos2x的图象向左平移个单位后，得到y＝
＝＝＝，因此④不正确．
综上可知：①②③．
故答案为①②③．
【点评】熟练掌握两角和差的正余弦公式、正弦函数的性质是解题的关键．
四．解答题（共6小题）
17．（1）化简：；
（2）已知sin（α+）＝，求cos（+α）的值．
【分析】（1）由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简得解．
（2）由已知利用诱导公式化简即可求解．
【解答】解：（1）＝＝﹣1；
（2）∵sin（α+）＝，
∴cos（+α）＝cos（++α）＝﹣sin（+α）＝﹣．
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
18．已知cos（+x）＝，求的值．
【分析】由已知可得cosx﹣sinx的值，平方可得sinxcosx的值，化简原式，整体代入化简可得．
【解答】解：∵cos（+x）＝，∴（cosx﹣sinx）＝，
∴cosx﹣sinx＝，平方可得1﹣2sinxcosx＝，
∴sinxcosx＝，
∴＝＝2sinxcosx＝．
【点评】本题考查三角函数求值，涉及两角和与差的三角函数公式，属基本知识的考查．
19．设函数．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若，，，求cosα的值．
【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递减区间．
（2）利用同角三角函数的基本关系，求得sinβ 和cos（α+β）的值，再利用两角差的余弦公式求得cosα＝cos[（α+β）﹣β]的值．
【解答】解：（1）函数＝cos2xcos﹣sin2xsin+＝﹣sin2x．
当，即，k∈Z时，sin2x递增，f（x）递减．
所以，函数f（x）的单调递减区间为．
（2）由，，得，，
∵，则α+β∈（，），∴．
．
故cosα＝cos[（α+β）﹣β]＝cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ＝﹣ （﹣）+ ＝．
【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．
20．已知函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）当时，求的最大值和最小值．
【分析】（1）利用二倍角的三角函数公式和诱导公式，对f（x）的分子分母进行化简整理，约分可得f（x）＝2cos2x，由此即可算出的值；
（2）由（1）的结论，得，再根据x的取值范围，结合正弦函数的图象与性质，即可得到g（x）的最大值为，最小值为1．
【解答】解：（Ⅰ）∵cos2x＝，cos22x＝，sin（）＝cos（）
∴
＝…（4分）
因此，…（6分）
（Ⅱ）∵f（x）＝2cos2x，
∴…（8分）
，可得…（10分）
∴当时，，当x＝0时．gmin（x）＝1
即的最大值为，最小值为1．…（12分）
【点评】本题给出三角函数表达式，要求我们将其化简成最简形式并求函数g（x）的最大、最小值．着重考查了三角函数的诱导公式、二倍角的三角函数公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．
21．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）在一个周期内的图象如图所示．
（1）求函数的解析式．
（2）求函数的单调递增区间．
（3）当x∈[0，]时，求f（x）的取值范围．
【分析】（1）由函数f（x）的图象求得A、T和ω、φ的值，即可写出函数的解析式；
（2）由三角函数的图象与性质，即可求f（x）的单调递增区间；
（3）根据三角函数的图象与性质，求出x∈[0，]时f（x）的取值范围即可．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝Asin（ωx+φ）的图象知，
A＝2，T＝2×（﹣）＝π，
所以＝π，解得ω＝2；
由函数图象过点（，0），
得2sin（+φ）＝0，
则+φ＝kπ，k∈Z，
因为|φ|＜，所以φ＝，
所以函数的解析式为f（x）＝2sin（2x+）；
（2）由函数f（x）的解析式，令﹣+2kπ≤2x+≤+2kπ，k∈Z；
解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z；
所以f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z；
（3）当x∈[0，]时，2x∈[0，π]，
则（2x+）∈[，]，
所以sin（2x+）∈[﹣，1]，
则f（x）＝2sin（2x+）的取值范围是[﹣1，2]．
【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
22．若f（x）＝sin（2ωx﹣）的图象关于直线x＝对称，其中ω∈（）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）已知x∈[]，求f（x）的增区间；
（Ⅲ）将y＝f（x）的图象向右平移个单位，再将得到的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）后得到的y＝g（x）的图象；讨论g（x）＝a，x∈的零点个数．
【分析】（Ⅰ）由题意可得2ω ﹣＝kπ+（k∈Z），求得ω的值，可得函数f（x）的解析式．
（Ⅱ）根据三角函数的单调递增的性质进行求解即可．
（Ⅲ）根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得函数g（x）的解析式，结合x的范围，利用正弦函数的图象和性质即可得解．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝sin（2ωx﹣）的图象关于直线x＝对称，
∴2ω ﹣＝kπ+，（k∈Z），
解得ω＝+1（k∈Z）．
又∵ω∈（），
∴k＝0，ω＝1，
∴f（x）＝sin（2x﹣）．
（Ⅱ）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈Z，
得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，
∵x∈[﹣，π]，
当k＝0时，﹣≤x≤，
当k＝1时，≤x≤，此时≤x≤π，
即函数的单调递增区间为，[，π]，[﹣，]．
（Ⅲ）将f（x）＝sin（2x﹣）的图象向右平移个单位后，
得到的图象的函数解析式为y＝sin（2x﹣），
再将得到的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）后得到的y＝g（x）的图象，
所以g（x）＝2sin（2x﹣），
∵x∈[，]，
∴2x﹣∈[，]，g（x）＝2sin（2x﹣）∈[1，2]，
∴由正弦函数的图象可得：
当a＞2或a＜1时，无零点；
当a＝2，或1≤a＜时，只有一个零点；
当≤a＜2时，有2个零点．
【点评】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的对称性，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．
