第 4章 指数函数与对数函数（单元测试）
一．选择题（共8小题）
1．计算＝（ ）
A．20 B．21 C．9 D．11
2．下列函数中定义域与值域相同的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax（k∈R，a＞0且a≠1）的模型的是（ ）
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
4．在下列区间中，函数f（x）＝ex+4x﹣3的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
5．函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）与g（x）＝﹣x+a的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
7．设函数f（x）＝，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）
A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[1，+∞） D．[0，+∞）
8．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．下列各式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
（多选）10．已知正实数a，b满足ba＝4，且a+log2b＝3，则a+b的值可以为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
（多选）11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．f（4）＝﹣3
B．函数y＝f（x）的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f（x）的最小值为﹣4
D．函数y＝f（x）的最大值为4
E．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称
（多选）12．已知函数f（x）＝，下面说法正确的有（ ）
A．f（x）图象关于原点对称
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的值域为（﹣1，1）
D． x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0恒成立
三．填空题（共4小题）
13．若函数f（x）＝xln（x+）为偶函数，则a＝ ．
14．已知函数（a＞0且a≠1）．若a＝3，则f（x）的单调递增区间是 ；若f（x）的值域为R，值a的取值范围是 ．
15．已知函数恰有两个零点，则λ的取值范围为 ．
16．设f（x）＝，若方程f（x）＝m有四个不相等的实根xi（i＝1，2，3，4），则m的取值范围为 ；x12+x22+x32+x42的最小值为 ．
四．解答题（共6小题）
17．计算：
（Ⅰ）log525+lg；
（Ⅱ）．
18．已知函数f（x）＝ax+k（a＞0，且a≠1）的图象过点（﹣1，1），其反函数f﹣1（x）的图象过点（8，2）．
（1）求a，k的值；
（2）若将f﹣1（x）的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，就得到函数g（x）的图象，写出g（x）的解析式．
19．已知函数y＝loga（x+3）﹣（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A也在函数f（x）＝3x+b的图象上，求b的值．
20．声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2）．
（1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2，能听到的最低声强为10﹣12W/m2，求人听觉的声强级范围；
（2）在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？
21．已知函数f（x）＝log9（9x+1）+kx是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）＝x+b有实数根，求b的取值范围；
22．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ax2+bx+c，且f（2）＝f（6）＝﹣12．
（1）若当x∈（0，+∞）时，f（x）min＝﹣16，求实数a，b，c的值；
（2）在（1）条件下，若关于x的方程f（x）﹣m＝0（x≤0）有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．第 4章 指数函数与对数函数（单元测试）
一．选择题（共8小题）
1．计算＝（ ）
A．20 B．21 C．9 D．11
【分析】利用有理数指数幂和对数的运算性质求解．
【解答】解：原式＝×2﹣+2﹣2lg2﹣2lg5＝9×2+3+2﹣2（lg2+lg5）＝18+3+2﹣2＝21．
故选：B．
【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了对数的运算性质，是基础题．
2．下列函数中定义域与值域相同的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】结合基本初等函数的定义域及值域分别检验各选项即可判断．
【解答】解：A：x＞0，f（x）＞1，不符合题意；
B：x＞0，函数的值域为R，不符合题意；
C：由2x﹣1≥0得x≥0，定义域[0，+∞）函数的值域[0，+∞），定义域与值域一致，符合题意；
D：由题意得，解得x≥1，即定义域[1，+∞），函数的值域[0，+∞），不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了基本初等函数的定义域及值域的求解，属于基础题．
3．下列函数关系中，可以看作是指数型函数y＝kax（k∈R，a＞0且a≠1）的模型的是（ ）
A．竖直向上发射的信号弹，从发射开始到信号弹到达最高点，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）
B．我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的关系
C．如果某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系
D．信件的邮资与其重量间的函数关系
【分析】依次判断四个选项中的函数模型，即可判断得到答案．
【解答】解：对于A，竖直向上发射的信号弹，信号弹的高度与时间的关系对应的函数模型为二次函数关系，故选项A错误；
对于B，我国人口年自然增长率为1%时，我国人口总数与年份的变化关系，是指数函数关系，故选项B正确；
对于C，如果某人ts内骑车行进了1km，那么此人骑车的平均速度v与时间t的函数关系，是反比例函数关系，故选项C错误；
对于D，信件的邮资与其重量间的函数关系，是正比例函数关系，故选项D错误．
故选：B．
【点评】本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是确定符合条件的函数模型，考查了逻辑推理能力，属于中档题．
4．在下列区间中，函数f（x）＝ex+4x﹣3的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据导函数判断函数f（x）＝ex+4x﹣3单调递增，运用零点判定定理，判定区间．
【解答】解：∵函数f（x）＝ex+4x﹣3，
∴f′（x）＝ex+4＞0，
∴函数f（x）＝ex+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为增函数，
∵f（）＝+1﹣3＜0，
f（）＝+2﹣3＝﹣1＞0，
∴f（） f（）＜0，
∴函数f（x）＝ex+4x﹣3的零点所在的区间为（，）
故选：C．
【点评】本题考查了函数零点的判断方法，借助导数判断函数单调性，属于中档题．
5．函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）与g（x）＝﹣x+a的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，用排除法分析，由g（x）＝﹣x+a的斜率排除CD，又由指数函数的单调性，排除B，即可得答案．
【解答】解：根据题意，用排除法分析：
直线g（x）＝﹣x+a为一次函数，其图象为直线，且其斜率为﹣1，故排除选项C、D，
对于A，g（x）＝﹣x+a与y轴交点在（0，1）上方，则a＞1，f（x）＝ax为增函数，符合题意，
对于B，g（x）＝﹣x+a与y轴交点在（0，1）下方，则0＜a＜1，f（x）＝ax应该为减函数，不符合题意，
故选：A．
【点评】本题考查函数图象的分析，涉及指数函数和一次函数的性质，属于基础题．
6．已知a＝log20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．b＜c＜a
【分析】利用对数函数和指数函数的性质，即可求解．
【解答】解：∵ ，b＝20.2＞20＝1，0＜c＝0.20.3＜0.20＝1，
∴a＜c＜b．
故选：B．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
7．设函数f（x）＝，则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）
A．[﹣1，2] B．[0，2] C．[1，+∞） D．[0，+∞）
【分析】分类讨论：①当x≤1时；②当x＞1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．
【解答】解：当x≤1时，21﹣x≤2的可变形为1﹣x≤1，x≥0，
∴0≤x≤1．
当x＞1时，1﹣log2x≤2的可变形为x≥，
∴x≥1，
故答案为[0，+∞）．
故选：D．
【点评】本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．
8．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【分析】令t＝﹣x2+x+2，求其减区间，再由复合函数的单调性可得原函数的增区间．
【解答】解：令t＝﹣x2+x+2，则该函数的减区间为（，+∞），
函数y＝是定义域内的减函数，
由复合函数的单调性，可得函数的单调递增区间是（，+∞），
故选：C．
【点评】本题考查复合函数的单调性，对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．下列各式中一定成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据指数幂的原式性质对各个选项分别判断即可．
【解答】解：对于A：原式＝n7 m﹣7，故A错误；
对于B：原式＝＝，故B正确；
对于C：原式＝，故C错误；
对于D：原式＝＝＝＝，故D正确；
故选：BD．
【点评】本题考查了指数幂的原式性质，是一道基础题．
（多选）10．已知正实数a，b满足ba＝4，且a+log2b＝3，则a+b的值可以为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【分析】将ba＝4等号两边取以b为底的对数，结合已知条件，转化为关于a和logb2的方程，求出a和log2b，即可得到所求．
【解答】解：正实数a，b满足ba＝4，
∴a＝logb4＝2logb2，
∵a+log2b＝3，
∴2logb2+log2b＝3，
解得logb2＝，或logb2＝1，
∴b＝4，或b＝2
∴a＝1，或a＝2，
∴a+b＝5，a+b＝4，
故选：BC．
【点评】本题考查了指数式、对数式的互化，考查了对数运算，主要考查计算能力，属于基础题．
（多选）11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．f（4）＝﹣3
B．函数y＝f（x）的图象与x轴有两个交点
C．函数y＝f（x）的最小值为﹣4
D．函数y＝f（x）的最大值为4
E．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称
【分析】对于A，直接计算即可；对于B，令f（x）＝0，求出x的值即可判断；对于CD，；对于E，利用特殊点验证不成立即可．
【解答】解：对于A，，故选项A正确；
对于B，令，则log2x＝3或log2x+1＝0，解得x＝8或，故选项B正确；
对于CD，，则函数f（x）有最小值﹣4，无最大值，故选项C正确，选项D错误；
对于E，若函数f（x）关于直线x＝2对称，则f（0）＝f（4）＝﹣3，但f（x）在x＝0处无意义，故选项E错误．
故选：ABC．
【点评】本题考查对数函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题．
（多选）12．已知函数f（x）＝，下面说法正确的有（ ）
A．f（x）图象关于原点对称
B．f（x）的图象关于y轴对称
C．f（x）的值域为（﹣1，1）
D． x1，x2∈R，且x1≠x2，＜0恒成立
【分析】根据指数幂的运算法则和指数函数的性质，分别判断函数的奇偶性，单调性和值域即可．
【解答】解：A．函数的定义域为R，f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数，图象关于原点对称，故A正确，B错误．
C．f（x）＝＝＝1﹣，
∵2x＞0，∴1+2x＞1，0＜＜1，0＜＜2，﹣2＜﹣＜0，﹣1＜1﹣＜1，
即﹣1＜f（x）＜1，即函数f（x）的值域为（﹣1，1），故C正确，
D．f（x）＝＝＝1﹣，
∵y＝1+2x为增函数，y＝为减函数，y＝﹣为增函数，∴y＝1﹣为增函数，
则 x1，x2∈R，且x1≠x2，＞0恒成立，故D错误，
故正确的是AC，
故选：AC．
【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合函数奇偶性和单调性的定义，利用定义法是解决本题的关键．难度中等．
三．填空题（共4小题）
13．若函数f（x）＝xln（x+）为偶函数，则a＝ 1 ．
【分析】由题意可得，f（﹣x）＝f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．
【解答】解：∵f（x）＝xln（x+）为偶函数，
∴f（﹣x）＝f（x），
∴（﹣x）ln（﹣x+）＝xln（x+），
∴﹣ln（﹣x+）＝ln（x+），
∴ln（﹣x+）+ln（x+）＝0，
∴ln（+x）（﹣x）＝0，
∴lna＝0，
∴a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．
14．已知函数（a＞0且a≠1）．若a＝3，则f（x）的单调递增区间是 （5，+∞） ；若f（x）的值域为R，值a的取值范围是 [2，+∞） ．
【分析】由题意，本题即求即t＝（x﹣1）（x﹣5）在满足t＞0的条件下，函数t的增区间，再利用二次函数的性质得出结论．若函数（a＞0且a≠1）的值域为R，则y＝x2﹣2ax+a+2 能取遍所有的正实数，故t满足△≥0，由此求得a的取值范围．
【解答】解：对于函数（a＞0且a≠1），
若a＝3，则f（x）＝＝log3（x﹣1）（x﹣5）的单调递增区间，
即t＝（x﹣1）（x﹣5）在满足t＞0的条件下，函数t的增区间，故它的增区间是（5，+∞）．
若函数（a＞0且a≠1）的值域为R，
则y＝x2﹣2ax+a+2 能取遍所有的正实数，故t满足Δ＝4a2﹣4（a+2）≥0，求得 a≥2，或a≤﹣1 （不满足题意，舍去），
故答案为：（5，+∞）；[2，+∞）．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．
15．已知函数恰有两个零点，则λ的取值范围为 [1，2）∪[3，+∞） ．
【分析】分段求零点，根据恰有两个零点，结合图象可得答案．
【解答】解：令x2﹣2x﹣3＝0，可得x＝﹣1或x＝3，
令ln（x﹣1）＝0，可得x＝2，
∵x﹣1＞0，可得x＞1．
则λ≥1．
作出图象，
结合图象可得1≤λ＜2或λ≥3时，f（x）恰有两零点．
故答案为：[1，2）∪[3，+∞）．
【点评】本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．
16．设f（x）＝，若方程f（x）＝m有四个不相等的实根xi（i＝1，2，3，4），则m的取值范围为 （0，ln3） ；x12+x22+x32+x42的最小值为 50 ．
【分析】由题意可知函数f（x）关于直线x＝3对称，画出函数f（x）的大致图象，因为方程f（x）＝m有四个不相等的实根，所以函数f（x）与y＝m有4个交点，进而求出m的取值范围，由函数f（x）的图象可知：x1+x4＝6，x2+x3＝6，且lnx1＝﹣m，lnx2＝m，所以x12+x22+x32+x42＝2e﹣2m+2e2m﹣12（em+e﹣m）+72，令t＝em+e﹣m，则，且x12+x22+x32+x42＝2t2﹣12t+68，再利用二次函数的性质即可求出x12+x22+x32+x42的最小值．
【解答】解：当3＜x＜6时，∵f（x）＝f（6﹣x），∴函数f（x）关于直线x＝3对称，
画出函数f（x）的图象，如图所示，
∵方程f（x）＝m有四个不相等的实根，
∴函数f（x）与y＝m有4个交点，
∴由函数f（x）的图象可知0＜m＜ln3，
即m的取值范围为：（0，ln3），
由函数f（x）的图象可知：x1+x4＝6，x2+x3＝6，且lnx1＝﹣m，lnx2＝m，
∴，，，，
∴x12+x22+x32+x42＝e﹣2m+e2m+（6﹣em）2+（6﹣e﹣m）2＝2e﹣2m+2e2m﹣12（em+e﹣m）+72，
令t＝em+e﹣m，
∵0＜m＜ln3，∴1＜em＜3，
∴，
又∵x12+x22+x32+x42＝2t2﹣12t+68，
∴当t＝3时，x12+x22+x32+x42的值最小，最小值为50，
故答案为：（0，ln3），50．
【点评】本题考查了函数的零点，同时考查了学生的作图能力，属于中档题．
四．解答题（共6小题）
17．计算：
（Ⅰ）log525+lg；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）利用对数的运算法则求解即可．
（Ⅱ）利用有理指数幂的运算法则求解即可．
【解答】（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）
＝．
（Ⅱ）＝
＝0．
【点评】本题考查导数的运算法则以及有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力．
18．已知函数f（x）＝ax+k（a＞0，且a≠1）的图象过点（﹣1，1），其反函数f﹣1（x）的图象过点（8，2）．
（1）求a，k的值；
（2）若将f﹣1（x）的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，就得到函数g（x）的图象，写出g（x）的解析式．
【分析】（1）由反函数的概念可知函数f（x）的图像过点（2，8），又f（x）的图像过点（﹣1，1），代入解析式列出方程组，即可求出a，k的值．
（2）由f（x）的解析式求出f﹣1（x）的解析式，再根据函数图像平行变换法则，即可求出函数g（x）的解析式．
【解答】解：（1）∵反函数f﹣1（x）的图象过点（8，2），
∴函数f（x）的图像过点（2，8），
∴，解得，
∴a的值为2，k的值为1．
（2）由（1）可知f（x）＝2x+1，∴f﹣1（x）＝log2x﹣1，
将f﹣1（x）的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y＝log2（x+2），
∴g（x）＝log2（x+2）．
【点评】本题主要考查了反函数的概念，考查了函数图像的变换，是基础题．
19．已知函数y＝loga（x+3）﹣（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A也在函数f（x）＝3x+b的图象上，求b的值．
【分析】根据对数的性质求解A的坐标，代入f（x），可得b的值．
【解答】解：函数y＝loga（x+3）﹣（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，
令x+3＝1，可得x＝﹣2，
则y＝，
∴A（﹣2，）；
点A也在函数f（x）＝3x+b的图象上，
则＝3﹣2+b，
可得：b＝﹣1．
【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
20．声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：W/m2）．
（1）一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2，能听到的最低声强为10﹣12W/m2，求人听觉的声强级范围；
（2）在一演唱会中，某女高音的声强级高出某男低音的声强级20dB，请问该女高音的声强是该男低音声强的多少倍？
【分析】（1）根据已知条件，结合对数函数的公式，即可求解．
（2）该女高音的声强级为L1，声强为I1，该男低音的声强及为L2，声强为I2，由某女高音的声强级高出某男低音的声强级20dB，可得L1﹣L2＝20，即，再结合对数函数的公式，即可求解．
【解答】解：（1）∵一般正常人听觉能忍受的最高声强为1W/m2，能听到的最低声强为10﹣12W/m2，
∴10﹣12≤I≤1，
∴，
∴，
∴0≤L≤120，
故人听觉的声强级范围为[0，120]．
（2）设该女高音的声强级为L1，声强为I1，该男低音的声强及为L2，声强为I2，
∵某女高音的声强级高出某男低音的声强级20dB，
∴L1﹣L2＝20，即，
∴，解得I1＝100I2，
故该女高音的声强是该男低音声强的100倍．
【点评】本题主要考查函数的实际应用，掌握对数函数的公式是解本题的关键，属于中档题．
21．已知函数f（x）＝log9（9x+1）+kx是偶函数．
（1）求k的值；
（2）若方程f（x）＝x+b有实数根，求b的取值范围；
【分析】（1）因为f（x）为偶函数所以f（﹣x）＝f（x）代入求得k的值即可；
（2）函数与直线有交点即log9（9x+1）﹣＝有解，令g（x）＝log9（9x+1）﹣x，则函数y＝g（x）的图象与直线y＝b有交点．求出b的取值范围．
【解答】解：（1）因为y＝f（x）为偶函数，
所以 x∈R，f（﹣x）＝f（x），
即log9（9﹣x+1）﹣kx＝log9（9x+1）+kx对于 x∈R恒成立．
即2kx＝log9（9﹣x+1）﹣log9（9x+1）＝log9（ ）＝log9（9﹣x）＝﹣x恒成立，即（2k+1）x＝0恒成立，
而x不恒为零，所以k＝﹣．
（2）函数与直线有交点即log9（9x+1）﹣＝有解，令g（x）＝log9（9x+1）﹣x，
则函数y＝g（x）的图象与直线y＝b有交点g（x）＝log9（）＝log9（1+），
任取x1、x2∈R，且x1＜x2，
则0＜9x1＜9x2，
，则log9（1+）＞log9（1+），
即g（x1）＞g（x2），
所以g（x）在（﹣∞，+∞）是单调减函数，
∵＞1，
∴g（x）＞0，若函数y＝g（x）的图象与直线y＝b有交点，则b＞0．
【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．
22．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝ax2+bx+c，且f（2）＝f（6）＝﹣12．
（1）若当x∈（0，+∞）时，f（x）min＝﹣16，求实数a，b，c的值；
（2）在（1）条件下，若关于x的方程f（x）﹣m＝0（x≤0）有两个不同的实数根，求实数m的取值范围．
【分析】（1）根据x＞0时，f（x）＝ax2+bx+c，且f（2）＝f（6）＝﹣12．可得对称轴x＝4，当x＝4，可得f（x）min＝﹣16，
即可求解实数a，b，c的值；
（2）由题意f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）＝0，f（﹣x）＝﹣f（x），即可求解x＜0时的解析式，关于x的方程f（x）﹣m＝0（x≤0）有两个不同的实数根，根据二次函数的图像及性质，数形结合，可得实数m的取值范围．
【解答】解：（1）当x＞0时，f（x）＝ax2+bx+c，且f（2）＝f（6）＝﹣12．
可得4a+2b+c＝36a+6b+c＝﹣12……①
可得对称轴x＝4，即……②；
当x＝4，可得f（x）min＝﹣16，即16a+4b+c＝﹣16……③
由①②③解得a＝1，b＝﹣8，c＝0，
∴当x＞0时，f（x）＝x2﹣8x，
（2）∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（0）＝0，且f（﹣x）＝﹣f（x），
当x＜0时，则﹣x＞0，那么f（﹣x）＝x2+8x，
即﹣f（x）＝x2+8x，
∴f（x）＝﹣x2﹣8x，
关于x的方程f（x）﹣m＝0（x≤0）有两个不同的实数根，即f（x）＝m有两个交点，
根据二次函数的图像及性质，当x＝﹣4，取得最大值为16，
∴实数m的取值范围是[0，16）．
【点评】本题考查奇函数的定义，解析式的求法，函数值的计算，转化的能力，分析解决问题的能力，二次函数的图像及性质，属于中档题．
