乌鲁木齐 八年级 第13讲 等腰三角形的判定[上学期]

等腰三角形的判定
有信心不一定能赢，但没有信心是一定要输的，要记住，每一天都是一个阶梯，是新的一步———向着既定的目标。
知识纵横
由于等腰三角形有丰富的性质，这些性质为我们解几何题提供了新的理论依据，所以寻找发现等腰三角形是解一些几何题的关键，判定一个三角形为等腰三角形的基本方法是：从定义人手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等．
实际解题中的一个常用技巧是，构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有：
1．“角平分线+平行线”构造等腰三角形；
2．“角平分线+垂线”构造等腰三角形；
3．用“垂直平分线”构造等腰三角形；
4．用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形．
【例1】如图，一个六边形的6个内角都是1200，其连续四边的长依次是1、9、
9、5(cm)，那么这个六边形的周长是_______cm．
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
思路点拨 设法将六边形的问题转化为三角形或四边形的问题加以解决，六边形的外角都为600，利用600构造等边三角形是解本例的关键．
【例21】如图，已知Rt△ABc中，∠C＝900，∠A=300，在直线BC或Ac上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有( )．
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
(第17届江苏省竞赛题)
思路点拨 AB既可作等腰△PAB的腰，也可作为等腰△PAB的底，故要思考全面，才能正确地得出符合条件的P点的个数．
【例3】 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：AB十BD＝CD．
(天津市竞赛题)
思路点拨 如何利用条件∠B=2∠C 又怎样得到AB＋BD 不同的思考方向，会找到解题的不同方法．
【例4】如图甲，点C为线段AB上一点，△ACM、△CBN是等边三角形，直线AN、MC交于点E，直线BM、CN交于点F
(1)求证：AN=BM；
(2)求证：△CEF是等边三角形；
(3)将△ACM绕点C按逆时针方向旋转900，其他条件不变，在图乙中补出符合要求的图形，并判断第(1)、(2)两小题结论是否仍然成立(不要求证明)．
（荆门市中考题)
… n一一
思路点拨 图甲中有多对全等三角形，这是解(1)、(2)问的基础．
【例5】 如图，在△ABC中，∠C＝900，∠CAD＝300，AC=BC=AD．求证：CD=BD．
(2004年重庆市竞赛题)
思路点拨 图中有300、600等特殊角，联想到相应的知识方法，就打开了解决本例的不同思路．
基础夯实
1．如图，△ABC中，BC=8cm，AB的垂直平分线交AB于D点，交AC于E点，△BCE的周长为18cm，则AC的长为_____________。
(2004年南通市中考题)
2．如图，△ABC中，AB=AC，∠B＝360，D、E是BC上两点，使∠ADE＝∠AED＝2∠BAD，则图中等腰三角形共有_____个．
3．如图，△ABC中，AD 平分∠BAC，AB+BD=AC，则∠B：∠C的值_______。
(“五羊杯”竞赛题)
4．如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分∠DAB，且AB＝AE，AC＝AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC＝DE；③．∠DBC＝∠DAB；④△ABE是等边三角形．请写出正确结论的序号_______(把你认为正确结论的序号都填上)．
(天津市中考题)
5．如图，在△ABC中，∠BAC=1060，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、M在BC上，则么EAM等于( )．
A ．580 B．320 C．360 D．340
6．如图，在△ABC中，∠B==2∠C，则AC与2AB之间的关系是( )．
A．AC>2AB B．AC=2AB C．AC≤2AB D．AC<2AB
(山东省竞赛题)
7．在下列三角形中，若AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是( )．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④
(2004年宿迁市中考题)
8．在直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(1，1)，在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P的个数共有( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
(2005年山东省中考题)
9．如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图中找出三对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．
(2005年宁波市中考题)
10。如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF．
11．如图，已知等边三角形ABC，在AB上取点D，在AC上取点E，使得AD=AE，作等边三角形PCD、QAE和RAB，求证：P、Q、R是等边三角形的三个顶点．
(第16届江苏省竞赛题)
能力拓展：
12．在一个房间内，有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为am，此时梯子的倾斜角为750，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm，梯子的倾斜角为450，则这问房子的宽AB是_______m·
(2004年河南省中考题)
13．如图，△ABC中，AB＝AC，BC=BD=ED=EA，则∠A＝_____ 。
14．已知正△ABC的面积是1，P是平面上一点，并且△PAB、△PBC、△PCA的面积相等，那么满足条件的点P共有_____个，△PAB的面积是_______
(第16届“希望杯”邀请赛试题)
15．有一个等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的顶角为_____度．
(第15届江苏省竞赛题)
16．在等边△ABC所在的平面内求一点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有( )．
A．1个 B．4个 C．7个D．10个
17．如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD’的位置，则∠ADD’的度数是( ).
A．250 B．300 C．350 D．450
(2004年聊城市中考题)
18．如图，已知边长为5的等边△ABC的纸片，点E在边AC上，点F在边AB上，沿着EF折叠，使点A落在边BC上的点D位置，且ED⊥BC，则CE的长是( )．
A． B. C． D．
(2004牟镇江市中考题)
19．如图，在△ABC内，∠BAC=600，∠ACB=400，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线．求证：BQ十AQ=AB+BP．
(全国初中数学竞赛题)
20．如图，已知O是等边△ABC内的一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC的角度之比为6：5：4，求在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三边所对的角度之比．
(2005年太原市竞赛题)
(第19题) (第20题)
21．如图，在△ABC中，∠BAC=900，AB＝AC，D是△ABC内一点，且∠DAC=
∠DCA＝150，求证：BD=BA．
22．在平面内确定四点，连接每两点，使任意三点构成等腰三角形(包括等边三角形)，且每两点之问的线段长只有两个数值，则这四点的取法有多少种 画图说明． ．
(潍坊市中考题)
综合创新
23．如图，在五边形ABCDE中，∠B＝E，∠C＝∠D，BC=DE，M为CD的中点，求证：AM⊥CD．
(武汉市选拔赛试题)
24．已知△ABC中，∠B为锐角，从顶点A向边BC或它的延长线引垂线交BC于H点，又从项点C向边AB或它的延长线引垂线交AB于K．试问：当、是整数时，△ABC是怎样的三角形 并证明你的结论．
(“智能杯”通讯赛试题)
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