人教版数学八年级下册17.1勾股定理 课时练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册17.1勾股定理 课时练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 617.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-05 08:48:50 | ||
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文档简介
17.1 勾股定理 课时练习
一、单选题
1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
2．如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，且，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．2.2 B． C． D．
3．已知，斜坡的坡度i=1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（ ）
A．米 B．20米 C．米 D．米
4．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则的值为（ ）
A．68 B．89 C．119 D．130
5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
6．如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（ ）.
A． B． C．3 D．
7．如图，在矩形中，，点M在边上，若平分，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，．现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．
9．若的两边长，满足，则第三边的长是（ ）
A．5 B． C．5或7 D．5或
10．如图， 中，，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若AC＝3，AB＝5，则BC＝_____，CD＝_____．
12．如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为________．（用含，，的式子表示）
13．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．
14．如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s
15．如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_____ m．
三、解答题
16．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形．
（1）在图1中，画一个等腰三角形（不含直角），使它的面积为8；
（2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积为10．
17．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
18．如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
参考答案
1．A
【详解】解：如图所示：
∵（a+b）2=21，
∴a2+2ab+b2=21①，
∵小正方形的面积为5，
∴（a-b）2= a2-2ab+b2=5②，
①+②得：2a2+2b2=26，
∴大正方形的面积为a2+b2=13，
故选：A．
．
2．D
【详解】解：∵，
∴＝，
∴，
∵以为圆心，为半径画弧，交数轴于点，
∴，
∴点表示的数是：．
故选D．
3．A
【详解】解：如图：
由题意可知：，米，
设米，则米，
由勾股定理可得：，即，
解得：米，米（舍去）．
故选：A
4．B
【详解】解：大正方形的面积为：，
小正方形的面积为：，
由得，
，即，
，
故选B．
5．B
【详解】图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是．
故选B．
6．D
【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，
∴AD=BD=2，
∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，
∴DN=CN，
∴BN=BC-CN=6-DN，
在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，
∴DN2=（6-DN）2+4，
∴DN=，
∴CN=DN=，
故选：D．
7．D
【详解】解：过点A作AE⊥DM于E，如图，
∵矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=1，BC=AD=2，
∵AE⊥DM于E，
∠AEM=∠AED=90°，
∴∠B=∠AEM，
∵平分，
∴∠AMB=∠AME，
∵AM=AM，
∴△ABM≌△AEM(AAS)，
∴AE=AB=1，BM=ME，
在Rt△AED中，由勾股定理，得DE=,
设BM=ME=x，则CM=2-x，DE=+x，
在Rt△CDM中，由勾股定理，得
(+x)2=(2-x)2+12，
解得：x=2-,
∴CM=2-(2-)=,
故选：D．
8．A
【详解】解：在中，由勾股定理得，，
∵将沿折叠，点与点重合，
∴，，
∴
设，
则，，
在中，由勾股定理得，，即
解得，
∴，
故选：A．
9．D
【详解】解：∵
又∵,
∴
∴
设第三边长为x，由则共有以下两种情况：
①当时，
②当时，由所以，
∴第三边长是5或；
故选：D．
10．A
【详解】解：如图：过A作垂足为F
∵
∴
∵，
∴
∴
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，
又∵，
∴
在中，由勾股定理得：
∴
∴ ．
故选：A．
11． 4
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝AB×CD＝AC×BC，
∴CD＝ ，
故答案为：4，．
12．
【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积，
∵在中，，，，，
∴，
∴阴影部分的面积等于
．
故答案为：
13．127
【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），
故答案为：127．
14．8
【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵144千米/小时=40米/秒，
∴影响时间应是：320÷40=8秒．
故答案为：8．
15．1
【详解】解：如图，将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，连接A′B，
则A′B为最短距离．
由题意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m，
∴BD＝0.9-0.3+0.2=0.8m，
∴A′B＝
＝
＝1（m）．
故答案为：1．
16．（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）作图见详解．
【详解】（1）如图所示，三角形底为4，高为4，面积为8，符合题意，即为所求；
（2）如图所示，三角形为所求，直角边分别为3，4，根据勾股定理，斜边为5，符合题意；
（3）如图所示，正方形为所求，正方形变长为，
面积为：，符合题意．
17．(1)风筝的高度CE为21.6米；
(2)他应该往回收线8米．
【详解】（1）解：在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=252-152=400，
所以，CD=20（负值舍去），
所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）解：由题意得，CM=12米，
∴DM=8米，
∴BM= （米），
∴BC-BM=25-17=8（米），
∴他应该往回收线8米．
18．（1）见解析；（2）13
【详解】解：（1）∵
∴
在△ABC和△DCE中
∴△ABC≌△DCE
（2）由（1）可得BC=CE=5
在直角三角形ACE中
一、单选题
1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2＝21，小正方形的面积为5，则大正方形的面积为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
2．如图，数轴上点A对应的数是0，点B对应的数是1，，垂足为B，且，以A为圆心，为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数为（ ）
A．2.2 B． C． D．
3．已知，斜坡的坡度i=1：2，小明沿斜坡的坡面走了100米，则小明上升的距离是（ ）
A．米 B．20米 C．米 D．米
4．如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“勾股方圆图”（又称赵爽弦图），它是由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积为11，小正方形的面积为3，则的值为（ ）
A．68 B．89 C．119 D．130
5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
6．如图，中，，将折叠，使点C与的中点D重合，折痕交于点M，交于点N，则线段的长为（ ）.
A． B． C．3 D．
7．如图，在矩形中，，点M在边上，若平分，则的长是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，，．现将按如图那样折叠，使点落在上的点处，折痕为，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．
9．若的两边长，满足，则第三边的长是（ ）
A．5 B． C．5或7 D．5或
10．如图， 中，，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D．若AC＝3，AB＝5，则BC＝_____，CD＝_____．
12．如图是数学史上著名的“希波克拉底月牙问题”：在中，，，，，分别以的各边为直径向外作半圆，则图中两个“月牙”，即阴影部分的面积为________．（用含，，的式子表示）
13．“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．
14．如图，铁路MN和公路PQ在O点处交汇，公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，如果火车行驶时，周围两百米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿ON方向，以144千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间是_______s
15．如图，圆柱形容器的高为0.9m，底面周长为1.2m，在容器内壁离容器底部0.3m处的点B处有一蚊子．此时，一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.2m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为_____ m．
三、解答题
16．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形．
（1）在图1中，画一个等腰三角形（不含直角），使它的面积为8；
（2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；
（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积为10．
17．长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．
(1)求风筝的垂直高度CE；
(2)如果小明想风筝沿CD方向下降12米，则他应该往回收线多少米？
18．如图，在△ABC和△DCE中，AC＝DE，∠B＝∠DCE＝90°，点A，C，D依次在同一直线上，且AB∥DE．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）连结AE，当BC＝5，AC＝12时，求AE的长．
参考答案
1．A
【详解】解：如图所示：
∵（a+b）2=21，
∴a2+2ab+b2=21①，
∵小正方形的面积为5，
∴（a-b）2= a2-2ab+b2=5②，
①+②得：2a2+2b2=26，
∴大正方形的面积为a2+b2=13，
故选：A．
．
2．D
【详解】解：∵，
∴＝，
∴，
∵以为圆心，为半径画弧，交数轴于点，
∴，
∴点表示的数是：．
故选D．
3．A
【详解】解：如图：
由题意可知：，米，
设米，则米，
由勾股定理可得：，即，
解得：米，米（舍去）．
故选：A
4．B
【详解】解：大正方形的面积为：，
小正方形的面积为：，
由得，
，即，
，
故选B．
5．B
【详解】图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是．
故选B．
6．D
【详解】解：∵D是AB中点，AB=4，
∴AD=BD=2，
∵将△ABC折叠，使点C与AB的中点D重合，
∴DN=CN，
∴BN=BC-CN=6-DN，
在Rt△DBN中，DN2=BN2+DB2，
∴DN2=（6-DN）2+4，
∴DN=，
∴CN=DN=，
故选：D．
7．D
【详解】解：过点A作AE⊥DM于E，如图，
∵矩形，
∴∠B=∠C=90°，CD=AB=1，BC=AD=2，
∵AE⊥DM于E，
∠AEM=∠AED=90°，
∴∠B=∠AEM，
∵平分，
∴∠AMB=∠AME，
∵AM=AM，
∴△ABM≌△AEM(AAS)，
∴AE=AB=1，BM=ME，
在Rt△AED中，由勾股定理，得DE=,
设BM=ME=x，则CM=2-x，DE=+x，
在Rt△CDM中，由勾股定理，得
(+x)2=(2-x)2+12，
解得：x=2-,
∴CM=2-(2-)=,
故选：D．
8．A
【详解】解：在中，由勾股定理得，，
∵将沿折叠，点与点重合，
∴，，
∴
设，
则，，
在中，由勾股定理得，，即
解得，
∴，
故选：A．
9．D
【详解】解：∵
又∵,
∴
∴
设第三边长为x，由则共有以下两种情况：
①当时，
②当时，由所以，
∴第三边长是5或；
故选：D．
10．A
【详解】解：如图：过A作垂足为F
∵
∴
∵，
∴
∴
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，
又∵，
∴
在中，由勾股定理得：
∴
∴ ．
故选：A．
11． 4
【详解】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝，
∵CD⊥AB，
∴S△ABC＝AB×CD＝AC×BC，
∴CD＝ ，
故答案为：4，．
12．
【详解】解：根据题意得：阴影部分的面积等于两个小半圆的面积之和加上直角三角形ABC的面积减去大半圆的面积，
∵在中，，，，，
∴，
∴阴影部分的面积等于
．
故答案为：
13．127
【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），
第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），
第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），
.....．
∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），
故答案为：127．
14．8
【详解】解：如图：过点A作AC⊥ON，AB=AD=200米，
∵公路PQ上A处点距离O点240米，距离MN 120米，
∴AC=120米，
当火车到B点时对A处产生噪音影响，此时AB=200米，
∵AB=200米，AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，即BD=320米，
∵144千米/小时=40米/秒，
∴影响时间应是：320÷40=8秒．
故答案为：8．
15．1
【详解】解：如图，将容器侧面展开，作点A关于EF的对称点A′，连接A′B，
则A′B为最短距离．
由题意知，A′D＝0.6m，A′E＝AE=0.2m，
∴BD＝0.9-0.3+0.2=0.8m，
∴A′B＝
＝
＝1（m）．
故答案为：1．
16．（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）作图见详解．
【详解】（1）如图所示，三角形底为4，高为4，面积为8，符合题意，即为所求；
（2）如图所示，三角形为所求，直角边分别为3，4，根据勾股定理，斜边为5，符合题意；
（3）如图所示，正方形为所求，正方形变长为，
面积为：，符合题意．
17．(1)风筝的高度CE为21.6米；
(2)他应该往回收线8米．
【详解】（1）解：在Rt△CDB中，
由勾股定理得，CD2=BC2-BD2=252-152=400，
所以，CD=20（负值舍去），
所以，CE=CD+DE=20+1.6=21.6（米），
答：风筝的高度CE为21.6米；
（2）解：由题意得，CM=12米，
∴DM=8米，
∴BM= （米），
∴BC-BM=25-17=8（米），
∴他应该往回收线8米．
18．（1）见解析；（2）13
【详解】解：（1）∵
∴
在△ABC和△DCE中
∴△ABC≌△DCE
（2）由（1）可得BC=CE=5
在直角三角形ACE中