山西省吕梁名师高级中学校2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（含解析）

2022~2023年度下学年高二年级开学考试
数学
共150分.考试时间120分钟.
第I卷
一 选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知直线经过点，则该直线在轴上的截距为（ ）
A. B. C.2 D.-2
2.直线的一个方向向量可以是（ ）
A. B. C. D.
3.已知直线与圆相交于两点，则（ ）
A.2 B.4 C.6 D.8
4.已知椭圆的两个焦点分别为，椭圆上一点与焦点的距离等于6，则的面积为（ ）
A.24 B. C.27 D.36
5.已知直线与平行，则（ ）
A.2 B.3 C.-3 D.2或-3
6.在正项等比数列中，若，则（ ）
A.6 B.12 C.56 D.78
7.已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（ ）
A. B. C. D.
8.中国古代数学名著《算法统宗》记载有这样一个问题：“今有俸粮三百零五石，令五等官（正一品 从一品 正二品 从二品 正三品）依品递差十三石分之，问，各若干？”其大意是，现有俸粮305石，分给正一品 从一品 正二品 从二品 正三品这5位官员，依照品级递减13石分这些俸粮，问，每个人各分得多少俸粮？在这个问题中，正二品分得的俸粮是（ ）
A.35石 B.48石 C.61石 D.74石
9.等比数列的公比为“”是“数列单调递增”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10.已知点，则点到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.5
11.已知抛物线的焦点为，准线为是过焦点的一条弦，已知点，则（ ）
A.焦点到准线的距离为1
B.焦点，准线方程为
C.
D.的最小值是5
12.如图，正方体的棱长为2，线段上有两个动点（在的左边），且.下列说法错误的是（ ）
A.当运动时，不存在点使得
B.当运动时，不存在点使得
C.当运动时，二面角的最大值为
D.当运动时，二面角为定值
第II卷
二 填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13.设公比为2的等比数列的前项和为，若，则__________.
14.写出与圆和圆都相切的一条直线的方程：__________.
15.已知四面体分别是的中点，且，则向量__________（用表示）.
16.双曲线的左 右顶点分别为为上一点，直线与分别交于两点，则的最小值为__________.
三 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步聚.
17.（10分）
设等比数列的前项和为，已知，且.
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：当时，.
18.（12分）
已知椭圆的长轴比短轴长2，椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆交于两点，且线段的中点为，求的方程.
19.（12分）
如图，四边形是边长为2的菱形，且平面，.
（1）证明：平面平面.
（2）求平面与平面夹角的大小.
20.（12分）
如图所示，在四棱锥中，是等边三角形，，记平面与平面的交线为.
（1）证明：l.
（2）若为上一点，求与平面所成角的正弦值的最大值.
21.（12分）
设等差数列的前项和为是等比数列，已知，.
（1）求的通项公式以及；
（2）记，求数列的前项和.
22.（12分）
已知双曲线的离心率为，点在双曲线上.
（1）求的方程；
（2）过的右焦点的直线与双曲线的右支交于两点，与两条渐近线分别交于两点，设，求实数的取值范围.
数学参考答案
1.D 因为直线经过点，所以，解得，所以直线方程为，令，得.
2.C 直线的方向向量为，与共线，故选.
3.A 设圆心到直线的距离为，则，所以.
4.B 点恰好是椭圆短轴的一个端点，因为，所以的面积.
5.A 因为，所以，解得或.当时，与重合.故.
6.D 由等比数列的性质可知，所以.
7.B 设是平面内的一点，则，所以，即，选项满足.
8.C 正一品 从一品 正二品 从二品 正三品这5位官员所分得的俸粮数记为数列，由题意，是以-13为公差的等差数列，且，解得.故正二品分得俸粮的数量为（石）.
9.C 由，可得.
当时，，则数列单调递增；当时，，则数列单调递增.
故“”是“数列单调递增”的充要条件.
10.B 设，
可求得，
所以.
11.D 由题设知错误；抛物线的焦点在轴上，错误；选项可以考虑特殊情形，即与轴垂直，得到错误；作，垂足为（图略），则，D正确.
12.C 建立如图所示的空间直角坐标系，则.因为在上，且，可设，则，
所以，
故恒为正，故正确.
若，则四点共面，与和是异面直线矛盾，故B正确.
设平面的法向量为，
又，所以即取，
则，
平面的法向量为，所以.
设二面角的平面角为，则为锐角，故，
当时，，所以，
当且仅当时，取得最大值，即取最小值，故C错误.
连接（图略）.平面即为平面，而平面即为平面，故当运动时，二面角的大小保持不变，故D正确.
13.33 因为，所以.
14.（答案不唯一，三条切线的方程写出一个即可） 由圆，圆，可知它们外切，所以两圆的方程作差即可得内公切线的方程为.易知直线的方程为，设外公切线的方程为，因为，所以或，即两条外公切线的方程分别为和.
15. ，所以.
16. 易知，设直线的方程为，令，则，
直线的方程为，令，则，所以.
17.（1）解：设数列的公比为，因为，所以.
又，所以，
所以，解得.
故.
（2）证明：由（1）知，
所以.
易知在上单调递增，
当时，，即..
18.解：（1）因为椭圆的离心率为，所以，解得..
又椭圆的长轴比短轴长2，所以，
联立方程组解得
所以椭圆的方程为.
（2）设，因为在椭圆上，所以.
两个方程相减得，所以.
因为线段的中点为，所以，.
所以的方程为，即.
19.（1）证明：连接，设与相交于点，连接.
在菱形中，，
所以.
因为平面，
所以.
又，
所以平面，
所以.
在直角三角形中，由，得.
在直角三角形中，由，得.
在直角梯形中，由，得，
所以，从而.
又，所以平面.
因为平面，所以平面平面..
（2）解：取的中点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则点.
设平面的法向量为，
则取，则.
同理可得平面的法向量为，
所以，
所以平面与平面夹角的大小为.
20.（1）证明：在四棱锥中，，
又因为平面平面，
所以平面.
又因为平面与平面的交线为，
平面，所以.
（2）解：因为，所以.
在直角中，因为，所以.
在直角中，因为，所以.
取的中点，连接，
在等边中，.
在等腰直角中，.
在中，因为，
所以.
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则，易知，设，所以，
所以.
设平面的法向量为，由得
令，得，即，
令，则，当且仅当时，取得最大值，
所以与平面所成角的正弦值的最大值为..
21.解：（1）设数列的公差和公比分别为，
由题意得
相邻两个方程分别相减得.
进一步化简得即
解得.
将代入和，可得，
所以.
（2）由（1）知，.
因为，
所以，
，
..
，
上式相加得.
22.解：（1）因为离心率为，所以，化简得，
把点代入的，解得
又，所以，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）得，设直线的方程为，
与联立消并整理得.
设，则，
，且，得，
所以
又由可得不妨设，
同理由可得，
所以，.
所以，故实数的取值范围为.