人教版数学八年级下册17.2勾股定理的逆定理 课后练习（含解析）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级下册17.2勾股定理的逆定理 课后练习（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-05 09:06:08 | ||
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文档简介
17.2 勾股定理的逆定理 课后练习
一、单选题
1．已知的三条边分别是、、，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下面四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．1，，2 D．，，
3．在下列四个条件：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ）．
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
4．下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③，，（为正整数）；④，，．其中能组成直角三角形三边长的是（ ）．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
5．在中，、、的对边分别是、、，则下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
6．如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，，，是中线，且，则的面积为（ ）
A．30 B．48 C．24 D．18
8．已知△ABC的三边分别是a，b，c，且满足|a-2|++（c-4）2=0，则以a，b，c为边可构成（ ）
A．以c为斜边的直角三角形 B．以a为斜边的直角三角形
C．以b为斜边的直角三角形 D．有一个内角为的直角三角形
9．已知三角形的三边长为n、n＋1、m(其中m2＝2n＋1)，则此三角形( )．
A．一定是等边三角形 B．一定是等腰三角形 C．一定是直角三角形 D．形状无法确定
10．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有（ ）
①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
11．一个三角形花坛的三边长为，，，则这个花坛的面积是________．
12．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，当a、b、c满足_______时，∠B=90°．
13．如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则______（填“”“”“”中的一个）．
14．如图，在四边形ABCD中，AD=，AB=，BC=10，CD=8，∠BAD=90°，那么四边形ABCD的面积是___________．
15．如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2，)，目标B 的位置为(4，)，现有一个目标C的位置为(3，)，且与目标B的距离为5，则目标C的位置为______．
三、解答题
16．阅读下列内容，并解决问题．
一道习题引发的思考
小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究；
习题再现：
古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数，，，，那么，，为勾股数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
资料搜集：
定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么，，称为一组勾股数．
关于勾股数的研究：我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数是世界上最早发现的一组勾股数，毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究．习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数，世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九幸算术），其勾股数公式为：，，，其中，，是互质的奇数．（注：，，的相同倍数组成的一组数也是勾股数）
问题解答：
（1）根据柏拉图的研究，当时，请直接写出一组勾股数；
（2）若表示大于1的整数，试证明是一组勾股数；
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．
17．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．
(1)线段AB的长度是 ，线段CD的长度是 ．
(2)若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．
18．一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”老师给出了下表（其中m，n为正整数，且）：
m 2 3 3 4 4 …
n 1 1 2 1 2 …
a …
b 4 6 8 …
c …
(1)探究a，b，c与m，n之间的关系并用含m，n的代数式表示：______，______，______．
(2)以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由．
参考答案：
1．D
【详解】解：A、设a=3k，b=4k，c=5k，
∵ ，
即 ，
∴三角形是直角三角形，
正确；
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠C=∠A+∠B，
∴2∠C=180°，
即∠C=90°，
正确；
C、设∠A=x°，∠B=5x°，∠C=6x°，
又三角形内角和定理得x+5x+6x=180,
解得6x=90,
故正确；
D、设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，
又三角形内角和定理得3x+4x+5x=180，
5x=75,
故不是直角三角形，
错误；
故本题选择D．
2．C
【详解】A、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．D
，可求出②③④中分别有一个角等于，所以②③④也能确定是直角三角形．
【详解】①．，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，故①能确定．
②．∵，即，
∴．
∴是直角三角形，故②能确定．
③．∵，，
∴，即．
∴是直角三角形，故③能确定．
④．，设，则，，
∵，即，
解得，
∴，
∴是直角三角形，故④能确定．
故选：D．
4．B
【详解】解：①72+82=113≠92，故不能组成直角三角形；
②92+122=225=152，故能组成直角三角形；
③(5m)2+(12m)2=169m2=(13m)2，故能组成直角三角形；
④(a2)2+(2a2)2=5a4≠(3a2)2, 故不能组成直角三角形．
故选B．
5．D
【详解】解：A、∠C=∠A ∠B，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠A＝90°，是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∠A：∠B：∠C＝5：2：3，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠A＝90°，是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、由，，得a2＋b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；故此选项不符合题意；
D、a:b:c=2:2:4，设a=2k，b=2k，c=4k，a+b=c，不能构成三角形，故此选项符合题意，
故选：D．
6．A
【详解】解：A、三边长分别为，∵，
∴不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、三边长分别为，，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、三边长分别为，∵，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、三边长分别为，∵，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选A．
7．C
【详解】解：延长到，使，连接，如图所示：
为的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
．
又，，
，
，
，
则；
故选：C．
8．B
【详解】解：由题意可得：a=，b=2，c=4，
∵22+42=20，()2＝20，
即b2+c2=a2，
所以△ABC是以a为斜边的直角三角形．
故选B．
9．C
【详解】∵，
∴三角形是直角三角形，且(n＋1)为斜边.
故选C.
10．A
【详解】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①正确；
∴PQ=PB=4，
∵PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②正确；
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB=∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以③正确；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵∠PQC=90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④错误．
所以正确的有①②③．
故选：A．
11．
【详解】解：∵三角形花坛的三边长分别是，，，且
，，
∴，
∴该三角形为直角三角形，直角边分别为，，
∴该花坛的面积是：．
故答案为：．
12．a2+c2= b2
【详解】解：∵a2+c2=b2时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴当a、b、c满足a2+c2=b2时，∠B=90°．
故答案为：a2+c2=b2．
13．=
【详解】解：连接DE，如图
∵点，点，点，点，点，
由勾股定理与网格问题，则
，，
∴△ABC是等腰直角三角形；
∵，，
∴，
∴，
∴△ADE是等腰直角三角形；
∴；
故答案为：=．
14．+24
【详解】解：如图，连结BD，
∵∠BAD=90°，
∴，
∵， ，
∴BD=6，
∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴S△ABD=，S△BDC=，
∴四边形ABCD的面积是= S△ABD+ S△BDC=+24
故答案为： +24．
15．(3，300°)或(3，120°
【详解】解：
如图：设中心点为点O，在中，
，
，
是直角三角形，且
∴C的位置为：(3，)或(3，)．
16．（1）(12，35，37)；（2）见解析；（3）反例：(5，12，13)
【详解】(1)把直接代入，，得
，，，
故答案为：(12，35，37)；
(2)∵表示大于1的整数，
∴，，都是正整数，且是最大边，
∵
，
∴，
即，，为勾股数；
(3)当时，勾股数为(3，4，5)；
当时，勾股数为(8，6，10)；
当时，勾股数为(15，8，17)；
(5，12，13)是勾股数，而柏拉图给出的勾股数公式不能构造出．
17．(1)，2
(2)以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，理由见解析
【详解】（1）解：由图可得，
AB==，CD==2，
故答案为：，2；
（2）解：以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，
理由：∵AB=，CD=2，EF=，
∴CD2+EF2=（2）2+（）2=8+5=13=AB2，
∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形．
18．(1)，，
(2)以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，理由见解析
【详解】（1）解：观察可得，，，
故答案为：，，；
（2）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，理由如下：
，
，
∴，
∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．
一、单选题
1．已知的三条边分别是、、，则下列条件中不能判断是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下面四组线段中，可以构成直角三角形的是（ ）
A．，， B．，， C．1，，2 D．，，
3．在下列四个条件：①，②，③，④中，能确定是直角三角形的条件有（ ）．
A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④
4．下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③，，（为正整数）；④，，．其中能组成直角三角形三边长的是（ ）．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
5．在中，、、的对边分别是、、，则下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A． B．
C．， D．
6．如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，中，，，是中线，且，则的面积为（ ）
A．30 B．48 C．24 D．18
8．已知△ABC的三边分别是a，b，c，且满足|a-2|++（c-4）2=0，则以a，b，c为边可构成（ ）
A．以c为斜边的直角三角形 B．以a为斜边的直角三角形
C．以b为斜边的直角三角形 D．有一个内角为的直角三角形
9．已知三角形的三边长为n、n＋1、m(其中m2＝2n＋1)，则此三角形( )．
A．一定是等边三角形 B．一定是等腰三角形 C．一定是直角三角形 D．形状无法确定
10．如图，P是等边三角形ABC内的一点，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，以BC为边在△ABC外作△BQC≌△BPA，连接PQ，则以下结论中正确有（ ）
①△BPQ是等边三角形；②△PCQ是直角三角形；③∠APB＝150°；④∠APC＝120°．
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题
11．一个三角形花坛的三边长为，，，则这个花坛的面积是________．
12．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，当a、b、c满足_______时，∠B=90°．
13．如图，在直角坐标系中，以点为端点的四条射线，，，分别过点，点，点，点，则______（填“”“”“”中的一个）．
14．如图，在四边形ABCD中，AD=，AB=，BC=10，CD=8，∠BAD=90°，那么四边形ABCD的面积是___________．
15．如图是一台雷达探测相关目标得到的结果，若记图中目标A的位置为(2，)，目标B 的位置为(4，)，现有一个目标C的位置为(3，)，且与目标B的距离为5，则目标C的位置为______．
三、解答题
16．阅读下列内容，并解决问题．
一道习题引发的思考
小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究；
习题再现：
古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果表示大于1的整数，，，，那么，，为勾股数.你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
资料搜集：
定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.一般地，若三角形三边长，，都是正整数，且满足，那么，，称为一组勾股数．
关于勾股数的研究：我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数是世界上最早发现的一组勾股数，毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究．习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数，世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九幸算术），其勾股数公式为：，，，其中，，是互质的奇数．（注：，，的相同倍数组成的一组数也是勾股数）
问题解答：
（1）根据柏拉图的研究，当时，请直接写出一组勾股数；
（2）若表示大于1的整数，试证明是一组勾股数；
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．
17．如图，网格中每个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上．
(1)线段AB的长度是 ，线段CD的长度是 ．
(2)若EF的长为，那么以AB、CD、EF三条线段为边能否构成直角三角形，并说明理由．
18．一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直角三角形”，这三个整数叫做一组“勾股数”老师给出了下表（其中m，n为正整数，且）：
m 2 3 3 4 4 …
n 1 1 2 1 2 …
a …
b 4 6 8 …
c …
(1)探究a，b，c与m，n之间的关系并用含m，n的代数式表示：______，______，______．
(2)以a，b，c为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由．
参考答案：
1．D
【详解】解：A、设a=3k，b=4k，c=5k，
∵ ，
即 ，
∴三角形是直角三角形，
正确；
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，
∠C=∠A+∠B，
∴2∠C=180°，
即∠C=90°，
正确；
C、设∠A=x°，∠B=5x°，∠C=6x°，
又三角形内角和定理得x+5x+6x=180,
解得6x=90,
故正确；
D、设∠A=3x°，∠B=4x°，∠C=5x°，
又三角形内角和定理得3x+4x+5x=180，
5x=75,
故不是直角三角形，
错误；
故本题选择D．
2．C
【详解】A、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
B、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
C、，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意；
D、，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
3．D
，可求出②③④中分别有一个角等于，所以②③④也能确定是直角三角形．
【详解】①．，由勾股定理逆定理可知是直角三角形，故①能确定．
②．∵，即，
∴．
∴是直角三角形，故②能确定．
③．∵，，
∴，即．
∴是直角三角形，故③能确定．
④．，设，则，，
∵，即，
解得，
∴，
∴是直角三角形，故④能确定．
故选：D．
4．B
【详解】解：①72+82=113≠92，故不能组成直角三角形；
②92+122=225=152，故能组成直角三角形；
③(5m)2+(12m)2=169m2=(13m)2，故能组成直角三角形；
④(a2)2+(2a2)2=5a4≠(3a2)2, 故不能组成直角三角形．
故选B．
5．D
【详解】解：A、∠C=∠A ∠B，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠A＝90°，是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∠A：∠B：∠C＝5：2：3，又∠A＋∠B＋∠C＝180°，则∠A＝90°，是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、由，，得a2＋b2＝c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；故此选项不符合题意；
D、a:b:c=2:2:4，设a=2k，b=2k，c=4k，a+b=c，不能构成三角形，故此选项符合题意，
故选：D．
6．A
【详解】解：A、三边长分别为，∵，
∴不是直角三角形，故本选项符合题意；
B、三边长分别为，，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、三边长分别为，∵，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、三边长分别为，∵，
∴是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选A．
7．C
【详解】解：延长到，使，连接，如图所示：
为的中点，
，
在与中，
，
，
，
，
．
又，，
，
，
，
则；
故选：C．
8．B
【详解】解：由题意可得：a=，b=2，c=4，
∵22+42=20，()2＝20，
即b2+c2=a2，
所以△ABC是以a为斜边的直角三角形．
故选B．
9．C
【详解】∵，
∴三角形是直角三角形，且(n＋1)为斜边.
故选C.
10．A
【详解】解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵△BQC≌△BPA，
∴∠CBQ=∠ABP，PB=QB=4，PA=QC=3，∠BPA=∠BQC，
∴∠PBQ=∠PBC+∠CBQ=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPQ是等边三角形，
所以①正确；
∴PQ=PB=4，
∵PQ2+QC2=42+32=25，
PC2=52=25，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∴△PCQ是直角三角形，
所以②正确；
∵△BPQ是等边三角形，
∴∠PQB=∠BPQ=60°，
∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°，
所以③正确；
∠APC=360°-150°-60°-∠QPC=150°-∠QPC，
∵∠PQC=90°，PC≠2QC，
∴∠QPC≠30°，
∴∠APC≠120°．
所以④错误．
所以正确的有①②③．
故选：A．
11．
【详解】解：∵三角形花坛的三边长分别是，，，且
，，
∴，
∴该三角形为直角三角形，直角边分别为，，
∴该花坛的面积是：．
故答案为：．
12．a2+c2= b2
【详解】解：∵a2+c2=b2时，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，
∴当a、b、c满足a2+c2=b2时，∠B=90°．
故答案为：a2+c2=b2．
13．=
【详解】解：连接DE，如图
∵点，点，点，点，点，
由勾股定理与网格问题，则
，，
∴△ABC是等腰直角三角形；
∵，，
∴，
∴，
∴△ADE是等腰直角三角形；
∴；
故答案为：=．
14．+24
【详解】解：如图，连结BD，
∵∠BAD=90°，
∴，
∵， ，
∴BD=6，
∵BD2=36，CD2=64，BC2=100，BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴S△ABD=，S△BDC=，
∴四边形ABCD的面积是= S△ABD+ S△BDC=+24
故答案为： +24．
15．(3，300°)或(3，120°
【详解】解：
如图：设中心点为点O，在中，
，
，
是直角三角形，且
∴C的位置为：(3，)或(3，)．
16．（1）(12，35，37)；（2）见解析；（3）反例：(5，12，13)
【详解】(1)把直接代入，，得
，，，
故答案为：(12，35，37)；
(2)∵表示大于1的整数，
∴，，都是正整数，且是最大边，
∵
，
∴，
即，，为勾股数；
(3)当时，勾股数为(3，4，5)；
当时，勾股数为(8，6，10)；
当时，勾股数为(15，8，17)；
(5，12，13)是勾股数，而柏拉图给出的勾股数公式不能构造出．
17．(1)，2
(2)以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，理由见解析
【详解】（1）解：由图可得，
AB==，CD==2，
故答案为：，2；
（2）解：以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形，
理由：∵AB=，CD=2，EF=，
∴CD2+EF2=（2）2+（）2=8+5=13=AB2，
∴以AB、CD、EF三条线段为边能构成直角三角形．
18．(1)，，
(2)以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，理由见解析
【详解】（1）解：观察可得，，，
故答案为：，，；
（2）以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形，理由如下：
，
，
∴，
∴以a，b，c为边长的三角形一定为直角三角形．