沪科版九年级数学第一学期期末学情评估（含答案）

第一学期期末学情评估
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1.cos 30°的值是(　　)
A. B. C. D.
2．下列函数中，是反比例函数的是(　　)
A．y＝－2x－1 B．y＝kx －1
C．y＝ D．y＝
3．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位所得抛物线对应的函数表达式为(　　)
A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1
C．y＝(x＋2)2－1 D．y＝(x－2)2－1
4．如图，在△ABC中，D是AB边上一点，下列条件中，能使△ABC与△BDC相似的是(　　)
A．∠B＝∠ACD B．∠ACB＝∠ADC
C．AC2＝AD·AB D．BC2＝BD·AB
INCLUDEPICTURE"J41.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J41.tif" \* MERGEFORMATINET (第4题)　　INCLUDEPICTURE"J42.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J42.tif" \* MERGEFORMATINET (第6题)　　INCLUDEPICTURE"J43.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J43.tif" \* MERGEFORMATINET (第7题)
5．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在反比例函数y＝的图象上，且x1<0A．y1＋y2<0 B．y1＋y2>0 C．y1y2
6．如图，△ABC∽△ADE，且BC＝2DE，则S四边形BEDC：S△ABC的值为(　　)
A．1：4 B．3：4 C．2：3 D．1：2
7．如图，在△ABC中，∠C＝45°，tan B＝，AD⊥BC于点D，AC＝2 .若E，F分别为AC，BC的中点，则EF的长为(　　)
A. B．2 C．3 D．2
8.已知二次函数y＝ax2＋bx－2(a≠0)的图象的顶点在第三象限，且过点(1，0)，设t＝a－b－2，则t的取值范围是(　　)
A．－2＜t＜0 B．－3＜t＜0
C．－4＜t＜－2 D．－4＜t＜0
9．由12个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝…＝∠LOM＝30°.若S△AOB＝1，则图中与△AOB位似的三角形的面积为(　　)
A. 3 B. 7 C. 6 D. 6
INCLUDEPICTURE"J44.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J44.tif" \* MERGEFORMATINET (第9题)　　INCLUDEPICTURE"卷+60.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\卷+60.tif" \* MERGEFORMATINET (第10题)　　INCLUDEPICTURE"J47.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J47.tif" \* MERGEFORMATINET (第14题)
10．如图，正方形ABCD的边长为3 cm，动点P从点B出发，以3 cm/s的速度沿着边BC－CD－DA运动，到达点A停止运动；另一动点Q同时从点B出发，以1 cm/s的速度沿着边BA向点A运动，到达点A停止运动．设点P的运动时间为x(s)，△BPQ的面积为y(cm2)，则y关于x的函数图象是(　　)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．已知舞台AB长10 m，如果报幕员从点A出发站在舞台的黄金分割点P处，且AP＞BP，那么报幕员应走________m报幕．(结果保留根号)
12.已知＝，则的值是________．
13．若α是锐角，且sin α＝cos 20°，则α＝________°.
14．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c交x轴于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C，D为抛物线的顶点．
(1)点D的坐标为________；
(2)若点C关于抛物线对称轴的对称点为点E，M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，则点M的坐标为________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：＋－3tan 60°＋(π－)0.
16．已知：如图，△ABD∽△ACE.求证：
(1)∠DAE＝∠BAC；
(2)△DAE∽△BAC.
INCLUDEPICTURE"卷+69.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\卷+69.tif" \* MERGEFORMATINET
(第16题)
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，在12×12的正方形网格中，△CAB 的顶点坐标分别为点C(1，1)，A(2，3)，B(4，2)．
(1)以点C(1，1)为位似中心，按2：1在位似中心的同侧将△CAB放大为△CA′B′，放大后点A，B的对应点分别为A′，B′，画出△CA′B′，并写出点A′，B′的坐标；
(2)在(1)中，若P(a，b)为线段AB上任一点，请直接写出变化后点P的对应点P′的坐标．
INCLUDEPICTURE"卷+68.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\卷+68.tif" \* MERGEFORMATINET
(第17题)
18．《九章算术》中有一道这样的题，原文如下：今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？大意为：今有一座长方形小城(如图)，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门，走出东门15里处有棵大树，问：走出南门多少步恰好能望见这棵树？(注：1里＝300步)
INCLUDEPICTURE"J48.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J48.tif" \* MERGEFORMATINET (第18题)
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c与x的一些对应值如表：
x … －1 0 1 2 3 4 …
y＝ax2＋bx＋c … 3 －1 3 …
(1)根据表格中的数据，该二次函数的表达式为__________；
(2)填齐表格中空白处的对应值，并利用五点作图法画出该二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象(不必重新列表)；
(3)根据图象回答：
①当1≤x≤4时，y的取值范围是________________；
②当x取什么值时，y＞0
(第19题)
20．如图，一次函数y＝kx＋2(k≠0)的图象与反比例函数 y＝(m≠0，x＞0)的图象交于点A(2，n)，与y轴交于点B，与x轴交于点C(－4，0)．
(1)求k，m的值；
(2)若P(a，0)为x轴上的一动点，当△APB的面积为时，求a的值．
INCLUDEPICTURE"J49.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J49.tif" \* MERGEFORMATINET
(第20题)
六、(本题满分12分)
21.“山地自行车速降赛”是一种新兴的极限运动，深受青年人的喜爱，赛道需全部是下坡骑行路段．如图是某一下坡赛道，由AB，BC，CD三段组成，在同一平面内，其中AB段的俯角是30°，长为2 m，BC段与AB，CD段都垂直，长为1 m，CD段长为3 m，求此下坡赛道的垂直高度．(结果保留根号)
INCLUDEPICTURE"卷+71.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\卷+71.tif" \* MERGEFORMATINET
(第21题)
七、(本题满分12分)
22.某电子科技公司开发一种新产品，公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次．在1～12月中，公司前x个月累计获得的总利润y(万元)与销售时间x(月)之间满足二次函数表达式y＝a(x－h)2＋k，二次函数 y＝a(x－h)2＋k的一部分图象如图所示，点A为抛物线的顶点，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12，点A，B的纵坐标分别为－16，20.
(1)试确定该二次函数的表达式y＝a(x－h)2＋k；
(2)分别求出前9个月公司累计获得的利润以及10月一个月内所获得的利润；
(3)在1～12月中，哪个月该公司一个月内所获得的利润最多？最多利润是多少万元？
INCLUDEPICTURE"卷+72.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\卷+72.tif" \* MERGEFORMATINET
(第22题)
八、(本题满分14分)
23．如图①，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，延长BC至点E，使DE＝DB，延长ED交AB于点F.
(1)如图②，当∠BAC＝60°时，求的值；
(2)如图①，证明(1)中的结论仍然成立；
(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，D是AC的中点，G是边BC上一点，＝(n＜2)，延长BC至点E，使DE＝DG，延长ED交AB于点F，直接写出的值(用含n的式子表示)．
INCLUDEPICTURE"J50.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J50.tif" \* MERGEFORMATINET
(第23题)
答案
一、1.C　2.C　3.B　4.D　5.C　6.B　7.B　8.D 9．C
10．C　【点拨】由题意可得BQ＝x cm.
①当0≤x≤1时，点P在BC边上，BP＝3x cm，
则S△BPQ＝BP·BQ，得y＝·3x·x＝x2，故A选项错误；
②当1则S△BPQ＝BQ·BC，得y＝·x·3＝x，故B选项错误；
③当2则S△BPQ＝AP·BQ，得y＝·(9－3x)·x＝x－x2，故D选项错误．故选C.
二、11.(5 －5)　12.－7　13.70
14．(1)(1，4)　(2)(1，－2)或　【点拨】(1)因为抛物线y＝－x2＋2x＋c交x轴于点A(－1，0)，
所以－1－2＋c＝0，解得c＝3，所以抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，所以D(1，4)．
(2)如图，过点D作DF⊥x轴于点F.
因为y＝－(x－1)2＋4，
所以抛物线的对称轴为直线x＝1，
所以OF＝1，DF＝4.令x＝0，则y＝3，
所以C(0，3)，E(2，3)，所以OC＝3，CE＝2.
令y＝0，则－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.
所以B(3，0)，所以OB＝3，所以OB＝OC，
所以∠OCB＝∠OBC＝45°.
因为CE∥OB，所以∠ECB＝∠OBC＝45°.
M是抛物线对称轴上一点，且△DMB和△BCE相似，此时有两种情况：在DF上取点M，M′，连接BM，BM′，如图．
INCLUDEPICTURE"D-58.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-58.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-58.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-58.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-58.tif" \* MERGEFORMATINET (第14题)
当△DMB∽△BCE时，∠BMD＝∠ECB＝45°.
因为FM⊥OB，所以BF＝FM.
因为BF＝OB－OF＝2，所以FM＝2，所以M(1，－2)．
此时易得MB＝2 ，DM＝6，CE＝2，CB＝3 ，
则＝＝，故结论成立；
当△DM′B∽△BEC时，＝，
因为DB＝＝2 ，BC＝3 ，
所以＝，即＝，所以BM′＝，
所以M′F＝＝，所以M′.
此时DM′＝4－＝，BE＝，
＝＝，所以＝＝，故结论成立．
综上，点M的坐标为(1，－2)或.
三、15.解：原式＝3 ＋4－3 ＋1＝5.
16．证明：(1)∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD＋∠BAE＝∠CAE＋∠BAE，
∴∠DAE＝∠BAC.
(2)∵△ABD∽△ACE，
∴＝，∴＝，而∠DAE＝∠BAC，
∴△DAE∽△BAC.
四、17.解：(1)如图，△CA′B′即为所求．
其中A′(3，5)，B′(7，3)．
INCLUDEPICTURE"答卷+24.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\答卷+24.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\答卷+24.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\答卷+24.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\答卷+24.tif" \* MERGEFORMATINET (第17题)
(2)P′(2a－1，2b－1)．
18．解：如图，由题意，得AB＝15里，AC＝4.5里，CD＝3.5里．
INCLUDEPICTURE"D-59.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-59.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-59.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-59.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-59.tif" \* MERGEFORMATINET (第18题)
∵DE⊥CD，AC⊥CD，∴AC∥DE，∴△ACB∽△DEC，
∴＝，即＝，
解得DE＝1.05里＝315步．
故走出南门315步恰好能望见这棵树．
五、19.解：(1)y＝x2－4x＋3　
(2)
x … －1 0 1 2 3 4 …
y＝ax2＋bx＋c … 8 3 0 －1 0 3 …
函数图象如图所示：
INCLUDEPICTURE"答卷+23.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\答卷+23.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\答卷+23.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\答卷+23.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\答卷+23.tif" \* MERGEFORMATINET (第19题)
(3)①－1≤y≤3
②当x<1或x>3时，y>0.
20．解：(1)把点C(－4，0)的坐标代入y＝kx＋2，得k＝，
所以y＝x＋2.把A(2，n)的坐标代入y＝x＋2，
得n＝3，所以A(2，3)．
把点A(2，3)的坐标代入y＝，得m＝6.
所以k＝，m＝6.
(2)易知B(0，2)．
因为P(a，0)为x轴上的一动点，
所以PC＝|a＋4|，
所以S△CBP＝PC·OB＝×|a＋4|×2＝|a＋4|，
S△CAP＝PC·yA＝×|a＋4|×3＝|a＋4|.
因为S△CPA＝S△ABP＋S△CBP，
所以|a＋4|＝＋|a＋4|，
解得a＝3或－11.
六、21.解：如图，延长AB与直线l2交于点E，过点D作DF⊥BE，过点A作AG⊥DE于点G，易得DF＝BC＝1 m，
BF＝CD＝3 m，∠FED＝30°.
在Rt△DEF中，＝tan 30°，即EF＝ m，
∴AE＝AB＋BF＋EF＝2＋3＋＝(5＋)m.
在Rt△AGE中，AG＝AE＝ m，
故此下坡赛道的垂直高度为 m.
INCLUDEPICTURE"答卷+25.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\答卷+25.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\答卷+25.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\答卷+25.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\答卷+25.tif" \* MERGEFORMATINET (第21题)
七、22.解：(1)根据题意，得y＝a(x－4)2－16，当x＝10时，y＝20，所以a(10－4)2－16＝20，解得a＝1.
所以该二次函数的表达式为y＝(x－4)2－16.
(2)当x＝9时，y＝(9－4)2－16＝9，所以前9个月公司累计获得的利润为9万元；当x＝10时，y＝(10－4)2－16＝20.
因为20－9＝11(万元)，
所以10月一个月内所获得的利润为11万元．
(3)设在1～12月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s万元，则有s＝(n－4)2－16－[(n－1－4)2－16]＝2n－9.因为s是关于n的一次函数，且2>0，所以s随n的增大而增大，而n的最大值为12，所以当n＝12时，s＝15，所以12月该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是15万元．
八、23.解：(1)取AB的中点G，连接DG.
∵D是AC的中点，∴DG是△ABC的中位线，
∴DG∥BC.∵AB＝AC，∠BAC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°.∵D是AC的中点，∴∠DBC＝30°.
∵DB＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°，
∴∠EFB＝90°，∴DF⊥AB.
易得△ADG是等边三角形，
∴AF＝AG.∵AG＝AB，∴AF＝AB，∴＝.
(2)取BC的中点H，连接DH.∵D为AC的中点，
∴DH∥AB，DH＝AB.
∵AB＝AC，∴DH＝DC，
∴∠DHC＝∠DCH.
∵BD＝DE，∴∠DBH＝∠DEC，
∴∠BDH＝∠EDC，∴△DBH≌△DEC(ASA)，∴BH＝EC，
∴＝.∵DH∥AB，∴△EDH∽△EFB，
∴＝＝，∴＝，∴＝.
(3)＝.　【点拨】取BC的中点H，连接DH.
由(2)同理可证明△DGH≌△DEC(ASA)，
∴GH＝CE，∴HE＝CG.
∵＝，∴＝，∴＝，∴＝.
∵DH∥BF，∴△EDH∽△EFB，∴＝＝.
∵DH＝AB，∴＝，∴＝.