沪科版数学九年级上册第23章 解直角三角形 学情评估（含答案）

第23章学情评估
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是 (　　)
A．sin A＝ B．cos A＝ C．tan A＝ D．tan B＝
INCLUDEPICTURE"J23.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J23.tif" \* MERGEFORMATINET (第1题)　　　INCLUDEPICTURE"J24.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J24.tif" \* MERGEFORMATINET (第4题)　　　INCLUDEPICTURE"J25.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J25.tif" \* MERGEFORMATINET (第6题)
2．在Rt△ABC中，cos A＝，那么sin A的值是(　　)
A. B. C. D.
3．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为5米，则这个坡面的坡度为(　　)
A．1：2 B．1： C．30° D．60°
4．如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3米．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为(　　)
A．3sin α米 B．3cos α米 C.米 D.米
5．在△ABC中，tan A＝1，cos B＝，则对△ABC的形状描述最准确的是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．锐角三角形
6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，CD⊥AB于点D，设∠ACD＝α，则cos α的值为(　　)
A. B. C. D.
7．如图，P是锐角α的边OA上一点，且点P的坐标为(3，4)，则sin α等于 (　　)
A. B. C. D.
INCLUDEPICTURE"J26.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J26.tif" \* MERGEFORMATINET (第7题)　INCLUDEPICTURE"J27.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J27.tif" \* MERGEFORMATINET (第8题)　INCLUDEPICTURE"J28.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J28.tif" \* MERGEFORMATINET (第9题)
8．某公路在BC路段限速60 km/h(即最高行驶速度不能超过60 km/h)，管理部门在距离公路100 m处设置了一个速度监测点A，假设公路是笔直的，建立如图所示的直角坐标系，∠BAO＝60°，∠CAO＝45°，点A的坐标为(0，－100)，则限速路段BC等于(　　)
A．300 m B．(100 ＋100)m
C．200 m D．100(＋)m
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F.若BC＝4，△AEF的面积为5，则sin∠CEF的值为(　　)
A. B. C. D.
10．如图，在矩形ABCD中，E是边BC的中点，AE⊥BD，垂足为F，则tan∠BDE的值是 (　　)
A. B. C. D.
INCLUDEPICTURE"J29.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J29.tif" \* MERGEFORMATINET (第10题)　INCLUDEPICTURE"J30.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J30.tif" \* MERGEFORMATINET (第12题)　INCLUDEPICTURE"J31.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J31.tif" \* MERGEFORMATINET (第13题)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11．在△ABC中，∠C＝90°，tan A＝2cos 30°，则∠A＝______．
12．如图，我市在建高铁的某段路基横断面为梯形ABCD，DC∥AB，BC＝6米，坡角β＝45°，AD的坡角α＝30°，则AD长为________米(结果保留根号)．
13．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，O都在格点上，则tan∠AOB＝________．
14．如图，把n个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan∠BA1 C＝1，tan∠BA2C＝，tan∠BA3 C＝.
(1)计算tan∠BA4C＝________；
(2)按此规律，写出tan∠BAnC＝________．(用含n的代数式表示)
INCLUDEPICTURE"J32.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J32.tif" \* MERGEFORMATINET (第14题)
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．计算：(π－2 023)0－3tan 30°＋|1－|＋.
16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2 ，b＝6，解这个直角三角形．
INCLUDEPICTURE"J33.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J33.tif" \* MERGEFORMATINET
(第16题)
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100 m，求这栋楼的高度(结果保留根号)．
INCLUDEPICTURE"J34.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J34.tif" \* MERGEFORMATINET
(第17题)
18．在△ABC中，AB＝6，∠B为锐角且cos B＝，tan C＝3 .
INCLUDEPICTURE"J35.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J35.tif" \* MERGEFORMATINET
(第18题)
(1)求∠B的度数；
(2)求BC的长；
(3)求△ABC的面积．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°(点A，D与N在一条直线上)，求电池板离地面的高度MN的长(结果精确到1米；参考数据sin 33°≈0.54，cos 33°≈0.84，tan 33°≈0.65)．
INCLUDEPICTURE"J36.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J36.tif" \* MERGEFORMATINET (第19题)
20．如图，一个人骑自行车由A地到C地途经B地，当他由A地出发时，发现他的北偏东45°方向有一电视塔P.他由A地向正北方向骑行了3 km到达B地，发现电视塔P在他北偏东75°方向，然后他由B地向北偏东15°方向骑行了6 km到达C地．
INCLUDEPICTURE"J37.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J37.tif" \* MERGEFORMATINET
(第20题)
(1)求A地与电视塔P的距离；
(2)求C地与电视塔P的距离．
六、(本题满分12分)
21．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是边BC上的中线，过点A作AE∥BC，过点D作DE∥AB，DE与AC，AE分别交于点O，E，连接EC.
(1)求证：四边形ADCE是菱形；
(2)若AB＝AO，求tan∠OAD的值．
INCLUDEPICTURE"J38.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J38.tif" \* MERGEFORMATINET
(第21题)
七、(本题满分12分)
22．某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼BC的高度．如图所示，其中观景平台斜坡DE的长是20米，坡角为37°，斜坡DE的底部D与大楼底端C的距离CD为74米，与地面CD垂直的路灯AE的高度是3米，从楼顶B测得路灯AE顶端A处的俯角是42.6°.试求大楼BC的高度．(结果精确到1米；参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 42.6°≈0.68，cos 42.6°≈0.74，tan 42.6°≈0.92)
INCLUDEPICTURE"J39.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J39.tif" \* MERGEFORMATINET
(第22题)
八、(本题满分14分)
23．(1)观察与猜想：已知当0°<α<60°时，下列关系式有且只有一个正确，正确的是________(填序号)；
①2sin (30°＋α)＝sin α＋； ②2sin (30°＋α)＝2sin α＋；③2sin (30°＋α)＝ sin α＋cos α.
(2)探究与证明：如图①，在△ABC中，∠A＝α，∠B＝30°，AC＝1，请利用图①证明(1)中你猜想的结论；
(3)应用新知识解决问题：两块分别含有45°角和30°角的直角三角板如图②方式摆放在同一平面内，BD＝8 ，则S△ABC＝________．
INCLUDEPICTURE"J40.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\J40.tif" \* MERGEFORMATINET
(第23题)
答案
一、1.B　2.B　3.B　4.A　5.C　6.A　7.B　8.B
9．A　【点拨】如图，连接BF.
INCLUDEPICTURE"D-50.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-50.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-50.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-50.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-50.tif" \* MERGEFORMATINET (第9题)
∵CE是斜边AB上的中线，EF⊥AB，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴S△AEF＝S△BEF＝5，BF＝AF，
∴S△AFB＝10＝AF·BC，∠FBA＝∠A.
∵BC＝4，∴AF＝5＝BF，
∴在Rt△BCF中，CF＝＝＝3.
∵CE是Rt△ABC的斜边AB上的中线，
∴CE＝AE＝BE＝AB.∴∠A＝∠ABF＝∠ACE.
又∵∠BCA＝90°＝∠BEF，
∴∠CBF＝90°－∠BFC＝90°－2∠A，
∠CEF＝90°－∠BEC＝90°－2∠A，
∴∠CEF＝∠CBF，
∴sin∠CEF＝sin∠CBF＝＝.
10．A
二、11.60° 　12.6 　13.
14．(1)　(2)
三、15.解：(π－2 023)0－3tan 30°＋|1－|＋＝1－3×＋－1＋4＝1－＋－1＋4＝4.
16．解：∵a＝2 ，b＝6，∠C＝90°，
∴c＝＝＝＝4 .
∵tan A＝＝＝，
∴∠A＝30°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°.
四、17.解：在Rt△ADB中，∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝100 m.
在Rt△ADC中，CD＝AD×tan ∠DAC＝100 m，
∴BC＝BD＋CD＝(100＋100 )m.
答：这栋楼的高度为(100＋100 )m.
18．解：(1)∵∠B为锐角且cos B＝， ∴∠B＝60°.
(2)如图，过点A作AH⊥BC于点H.
∵cos B＝，
∴＝.∵AB＝6，∴BH＝3.
在Rt△ABH中，AH＝＝＝3 .
∵tan C＝3 ，∴＝3 ，即＝3 ，∴CH＝1，
∴BC＝BH＋CH＝3＋1＝4.
(3)S△ABC＝BC·AH＝×4×3 ＝6 .
INCLUDEPICTURE"D-52.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-52.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-52.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-52.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-52.tif" \* MERGEFORMATINET (第18题)
五、19.解：如图，延长BC交MN于点H，AD＝BE＝3.5米．
设MH＝x米．
INCLUDEPICTURE"D-53.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-53.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-53.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-53.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-53.tif" \* MERGEFORMATINET (第19题)
∵∠MEC＝45°，∴EH＝x米．
在Rt△MHB中，tan∠MBH＝＝≈0.65，解得x＝6.5.
∴MN＝1.6＋6.5＝8.1≈8(米)．
答：电池板离地面的高度MN的长约为8米．
20．解：(1)如图，过点B作BD⊥AP于点D.
INCLUDEPICTURE"D-54.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-54.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-54.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-54.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-54.tif" \* MERGEFORMATINET
(第20题)
依题意，得∠BAD＝45°，则∠ABD＝45°.
在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB＝
×3 ＝3(km)．∵∠PBN＝75°，
∴∠APB＝∠PBN－∠PAB＝30°，
∴PD＝＝3 km，PB＝2BD＝6 km，
∴AP＝AD＋PD＝(3＋3 )km，
∴A地与电视塔P的距离为(3＋3 )km.
(2)如图，过点C作CE⊥BP于点E.
∵∠PBN＝75°，∠CBN＝15°，∴∠CBE＝60°.
∵BC＝PB＝6 km，∴△BCP是等边三角形，
∴PC＝BC＝PB＝6 km，
∴C地与电视塔P的距离为6 km.
六、21.(1)证明：∵DE∥AB，AE∥BC，
∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BD且AE＝BD.
又∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，∴AE＝CD，
∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的中线，
∴AD＝BD＝CD.
又∵四边形ADCE是平行四边形，
∴四边形ADCE是菱形．
(2)解：∵四边形ADCE是菱形，
∴AO＝CO，∠AOD＝90°.
又∵BD＝CD，
∴OD是△ABC的中位线，∴OD＝AB.
∵AB＝AO，∴OD＝AO，
∴在Rt△OAD中，tan∠OAD＝＝.
七、22.解：延长AE交CD的延长线于点M，过点A作AN⊥BC于点N，则四边形AMCN是矩形，
∴NC＝AM，AN＝MC.
在Rt△EMD中，∠EDM＝37°，
∵sin∠EDM＝，cos∠EDM＝，
∴EM＝ED×sin 37 °≈20×0.6＝12(米)，
DM＝ED×cos 37°≈20×0.8＝16(米)，
∴AN＝MC＝CD＋DM≈74＋16＝90(米)．
在Rt△ANB中，∠BAN＝42.6°，∵tan∠BAN＝，
∴BN＝AN×tan 42.6°≈90×0.92＝82.8(米)，
∴BC＝BN＋AE＋EM＝82.8＋3＋12≈98(米)．
答：大楼BC的高度约为98米．
八、23.(1)③
(2)证明：如图①，过点A作AM⊥BM，交BC的延长线于点M，过点C作CE⊥AB于点E.
INCLUDEPICTURE"D-55.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-55.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-55.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-55.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-55.tif" \* MERGEFORMATINET (第23题)
∵∠AMB＝90°，∠B＝30°，∴AM＝AB，即AB＝2AM.
∵∠ACM为△ABC的外角，
∴∠ACM＝∠B＋∠BAC＝30°＋α.
在Rt△ACM中，AC＝1，
∴AM＝AC·sin ∠ACM＝sin (30°＋α)，
∴AB＝2sin (30°＋α)．
在Rt△AEC中，CE＝AC·sin α＝sin α，
AE＝AC·cos α＝cos α.
在Rt△BEC中，BE＝＝CE＝sin α.
∴AB＝BE＋AE＝sin α＋cos α，
∴2sin (30°＋α)＝sin α＋cos α.
(3)24＋8 　【点拨】∵∠ABD＝45°，∠CBD＝30°，
∴2sin (30°＋45°)＝sin 45°＋cos 45°＝，
∴sin 75°＝.
如图②，过点A作AE⊥BC于点E.
INCLUDEPICTURE"D-56.tif" INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-56.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-56.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-56.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\课件\\九数HK安徽\\D-56.tif" \* MERGEFORMATINET
(第23题)
在等腰直角三角形ABD中，BD＝8 ，
∴AB＝AD＝8.
在Rt△BCD中，BD＝8 ，
∴CD＝4 ，
∴BC＝＝4 .
在Rt△ABE中，sin 75°＝，
∴AE＝8×＝2 ＋2 ，∴S△ABC＝BC·AE＝×4 ×(2 ＋2 )＝24＋8 .