《名师学典·数学》学案18.2.3正方形（性质）例题+中考题训练+课时自测（答案详细）

《名题学典·数学》人教版八年级系列第十八章
18.2.3 正方形

1.正方形的定义：
2.正方形的特殊性：正方形即是
，又是 ，也是 .
3.请写出正方形有的性质：
4.请画出正方形的对称轴：
5.请写出以下两种思路正方形的判定方法：
思路1：四边形正方形
思路2：
（1）平行四边形正方形
（2）矩形正方形
（3）菱形正方形
6.判断
（1）正方形一定是矩形.（ ）
（2）正方形一定是菱形.（ ）
（3）菱形一定是正方形.（ ）
（4）矩形一定是正方形.（ ）
（5）正方形、矩形、菱形都是平行四边形.（ ）
正方形的性质：常考查的是正方形既有菱形的特殊性质，也有矩形的特殊性质：（1）四条边相等；（2）四个角都是直角；（3）对角线相等且垂直.21世纪教育网版权所有
【例1】如图所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，则图中共有等腰直角三角形（　　）
A．4个 B．6个 C．8个 D．10个
分析：由正方形ABCD的对角线相交于点O，可得等腰直角三角形有：△ABC，△BCD，△ACD，△ABD，△OAB，△OBC，△OCD，△OAD．21cnjy.com
解：C
练习1
（1）正方形ABCD中，P、Q分别为BC，CD的中点，若∠PAQ=40°，则∠CPQ大小为（　　）
A．50° B．60° C．45° D．70°
（2）如图，一个大正方形被两条线段分割成两个小正方形和两个长方形，如果S1=64cm2，S2=16cm2，那么小正方形的面积是S3= cm2．21·世纪*教育网
【例2】 如图，已知正方形ABCD，BE=BF，∠ABE=∠CBF．
（1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若AE=1，BE=2，CE=3，求∠BFC的度数．
分析：（1）根据正方形的四条边都相等可得AB=BC，然后利用“边角边”证明即可；
（2）连接EF，根据全等三角形对应边相等可得CF=AE，再求出∠EBF=90°，利用勾股定理列式求出EF，再根据勾股定理逆定理判断出△CEF是直角三角形，∠CFE=90°，然后根据∠BFC=∠BFE+∠CFE代入数据计算即可得解．www-2-1-cnjy-com
解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
在△ABE和△CBF中，
（2）解：如图，连接EF，
∵△ABE≌△CBF，
∴CF=AE=1，
∵∠ABE=∠CBF，
∴∠EBF=∠ABC=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF=BE=2，∠BFE=45°，
在△CEF中，CF2+EF2=1+8=9=CE2，
∴△CEF是直角三角形，∠CFE=90°，
∴∠BFC=∠BFE+∠CFE，
=45°+90°，
=135°．
练习2
（1）如图，P为边长为1的正方形ABCD内的一点，△PAB为等边三角形，则S△ADP+S△BPC= ．
（2）如图，将面积为a2的小正方形和面积为b2的大长方形放在一起（a＞0，b＞0），求三角形ABC的面积．2·1·c·n·j·y

（3）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．2-1-c-n-j-y
①求证：EB=GD；
②判断EB与GD的位置关系，并说明理由．
正方形的判定：判定方法有很多种，难点在于选择适合题目实际的判定方法.
【例3】已知：如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为∠ACB的平分线，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F．【来源：21cnj*y.co*
求证：四边形CEDF是正方形．

分析：要证四边形CEDF是正方形，则要先证明四边形DECF是矩形，已知CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，故可根据有三个角是直角的四边形是矩形判定，再根据正方形的判定方法判这四边形CEDF是正方形．
解：∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠DFC=90°，∠DEC=90°，
又∵∠ACB=90°，
∴四边形DECF是矩形，
∵DE=DF，
∴矩形DECF是正方形．
练习3
如图，已知在?ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：四边形ABCD是正方形．

【例4】如图，△ABC中，O为AC上的任意一点（不与A、C重合），过点O作直线l∥BC，直线l与∠BCA的平分线相交于点E，与∠DCA的平分线相交于点F．
（1）OE=OF吗？为什么？
（2）点O在何处时，四边形AECF为矩形？为什么？
（3）△ABC满足什么条件时，（2）中的四边形AECF是正方形？

分析：（1）根据平行线性质和角平分线定义推出∠OEC=∠OCE，∠OFC=∠OCF，根据等腰三角形的判定推出OE=OC，OF=OC即可；
（2）根据平行四边形的判定得出平行四边形AECF，根据对角线相等的平行四边形是矩形推出即可；
（3）根据（2）得出四边形是平行四边形，也是矩形，只要是得到是菱形的条件就行，即得出对角线互相垂直，由∠AOE=90°和矩形即可得出答案．
解：（1）解：理由是：∵直线l∥BC，
∴∠OEC=∠ECB，
∵CE平分∠ACB，
∴∠OCE=∠BCE，
∴∠OEC=∠OCE，
∴OE=OC，
同理OF=OC，
∴OE=OF．
（2）解：O在AC的中点上时，四边形AECF是矩形，
理由是：∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵OE=OF=OC=OA，
∴AC=EF，
∴平行四边形AECF是矩形．
（3）解：当△ACB满足∠ACB=90°时，矩形AECF是正方形，
理由是：∵直线l∥BC，
∴∠AOE=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∵四边形AECF是矩形，
∴矩形AECF是正方形．
练习4
对同一图形，从不同的角度看就会有不同的发现，请根据右图解决以下问题：
（1）如图，△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，分别以AB、AC所在的直线为对称轴，作出△ABD、△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E、F，延长EB、FC相交于G点，试证明四边形AEGF是正方形；
（2）如图，在边长为12cm的正方形AEFG中，点B是边EG上一点，将边AE、AF分别沿AB、AC向内翻折至AD处，则点B、D、C在一条直线上，若EB=4cm，求△ABC的面积．21·cn·jy·com

1．（2013?威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　）
　 A．BC=AC B．CF⊥BF
C．BD=DF D．AC=BF
2．（2013?大庆）已知四边形ABCD的两条对角线AC与BD互相垂直，则下列结论正确的是（　　）
A．当AC=BD时，四边形ABCD是矩形
B．当AB=AD，CB=CD时，四边形ABCD是菱形
C．当AB=AD=BC时，四边形ABCD是菱形
D．当AC=BD，AD=AB时，四边形ABCD是正方形
3．（2009?临夏州）如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠ABC=∠CDA=90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD的面积为8，则BE=（　　）
A. 2 B.3
C. D.2
4．（2011?宁德质检）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AC，DF⊥BC，当△ABC满足条件_________　时，四边形DECF是正方形． （要求：①不再添加任何辅助线，②只需填一个符合要求的条件）
5.（2013?包头市昆都仑区一模）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A，C重合），且保持AE=CF，连接DE，DF，EF．在此运动变化过程中，有下列结论：
①△DEF是等腰直角三角形
②四边形CEDF不可能为正方形
③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化
④点C到线段EF的最大距离为
其中正确的有_________（填上你认为正确结论的所有序号）
6.（2012?南京）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD交于点O，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
（1）求证：四边形EFGH是正方形；
（2）若AD=2，BC=4，求四边形EFGH的面积．
用时 分数
一、选择题（每题4分，共32分）
1．（2012?广州）在平面中，下列命题为真命题的是（　　）
　 A． 四边相等的四边形是正方形
　 B． 对角线相等的四边形是菱形
　 C． 四个角相等的四边形是矩形
　 D． 对角线互相垂直的四边形是平行四边形
2．（2011?巴中）对角线互相平分且相等的四边形是 （　　）
　 A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
3．（2010?宁波模拟）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）【出处：21教育名师】
　 A．AC=BD B．AB=CD
C．AD=BC D．BC=CD
4．（2013?临汾二模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AO=C0=BO=DO，AC⊥BD，则四边形ABCD的形状是（　　）【来源：21·世纪·教育·网】
　 A．平行四边形 B．矩形
C．菱形 D．正方形
7．在正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别任意取点E、F、G、H．这样得到的四边形EFGH中，是正方形的有（　　）
　 A．1个 B．2个
C．4个 D．无穷多个
6．如图，四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°，DE⊥AB，若四边形ABCD面积为16，则DE的长为（　　）www.21-cn-jy.com
　 A． 3 B． 2 C． 4 D． 8
7．△ABC中，∠C=90°，点O为△ABC三条角平分线的交点，OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，则点O到三边AB、AC、BC的距离为（　　）
　 A． 2cm，2cm，2cm
B． 3cm，3cm，3cm
C． 4cm，4cm，4cm
D． 2cm，3cm，5cm
8．如图，在一个大正方形内，放入三个面积相等的小正方形纸片，这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，且未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，则大正方形的面积是（单位：平方厘米）（　　）21教育名师原创作品
A． 40 B．25
C． 26 D．36
二、填空题（每题3分，共18分）
9．（2009?天水）如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是　 　．
10．（2008?鄂尔多斯）要使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为　 　．
11．（2003?天津）要使一个平行四边形成为正方形，则需增加的条件是　 　（填上一个正确的结论即可）．【版权所有：21教育】
12.（2013?莆田）如图，正方形ABCD的边长为4，点P在DC边上且DP=1，点Q是AC上一动点，则DQ+PQ的最小值为
．
13.四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是
A、①④?⑥；B、①③?⑤；C、①②?⑥；D、②③?④
14.（2011?北京房山区一模）如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为　 　；所作的第n个四边形的周长为　 　．
三、解答题（共40）
15.（4分）证明：对角线相等的菱形是正方形．
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16.（6分）如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动．
（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；
（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．
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17．（6分）（2008?上海）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．
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18.（6分）如图，在矩形ABCD中，AE、BE、CG、DG分别是各内角的平分线，E、F、G、H分别为它们的交点．求证：四边形EFGH是正方形．21教育网
19.（10分）（2013?南漳县模拟）如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F
（1）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（2）当点O在边AC上运动到何处且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．
20.（10分）（2012?大连二模）如图，在正方形ABCD中，点M在边AB上，点N在边AD的延长线上，且BM=DN．点E为MN的中点，DE的延长线与AC相交于点F．试猜想线段DF与线段AC的关系，并证你的猜想．



参考答案：
基础为本、掌握新知
1.有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形叫做正方形 2.矩形 菱形 平行四边形
3.四条边相等，两组对边平行；四个角都是直角；对角线相等，且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 4.图略 5.思路1：对角线相等，且互相垂直平分的四边形是正方形；
思路2：（1）对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；（2）有一组邻边相等或对角线互相垂直的矩形是正方形；（3）有一个角是直角或对角线相等的菱形是正方形.
6.对 对 错 错 对
一例一练、活用数学
练习1 （1）C 【解析】 ∵AB=AD，∠ABP=∠ADQ=90°，BP=DQ，
△ABP≌△ADQ，∴∠BAP=∠DAQ==25°，∠APB=90°-25°=65°，
∵P、Q分别为BC、CD的中点，∴AP=AQ，即∠APQ=∠AQP==70°，
∠CPQ=180°-∠APQ-∠APB=45°，故选 C．
（2）4 【解析】S1的边长是：8cm；则S2的长是8cm，设宽是x cm．则2x=16．
解得：x=2cm．则S3=22=4cm2．
练习2 （3）①证明：∵四边形EFGA和四边形ABCD是正方形，∴AG=AE，AB=AD，∠DAB=∠GAE=90°，∴∠GAD=∠EAB，在△GAD和△EAB中， AB＝AD，∠EAB＝∠GAD，AE＝AG，∴△GAD≌△EAB（SAS），∴EB=GD；21*cnjy*com
②解：EB⊥GD．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，∴∠AMB+∠ABM=90°，又∵△AEB≌△AGD，∴∠GDA=∠EBA，∵∠HMD=∠AMB（对顶角相等），
∴∠HDM+∠DMH=∠AMB+∠ABM=90°，∴∠DHM=180°-（∠HDM+∠DMH）=180°-90°=90°，∴EB⊥GD．
练习3 （1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO=AC，∵EA=EC，∴EO⊥AC，
即BD⊥AC，∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）∵∠1=∠EAD+∠AED，∠DAC=∠EAD+∠AED，∴∠1=∠DAC，∴AO=DO，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC=2AO，DB=2DO，∴AC=BD，∴四边形ABCD是正方形．
练习4 （1）∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°．∵△ABE与△ABD关于AB对称，△ACF与△ACD关于AC对称，∴AE=AF，∠E=∠F=90°，∠EAB=∠DAB，∠DAC=∠FAC．∵∠BAD+∠CAD=45°，∴∠BAE+∠FAC=45°，∴∠BAD+∠CAD+∠BAE+∠FAC=90°，∴四边形AEGF是矩形，∵AE=AF，∴矩形AEGF是正方形．
（2）∵四边形AEFG是正方形，∴∠E=∠G=∠F=90°，AE=GE=GF=AF=12，∵BE=4，
∴BG=8，设CF=x，则BC=4+x，GC=12-x，∴64+(12-x)2=(4+x)2，解得x=6，
∴BC=10，∴S△ABC=×10×12=60．
全真考题、能力拓展
1.D 【解析】∵EF垂直平分BC，∴BE=EC，BF=CF，∵BF=BE，∴BE=EC=CF=BF，
∴四边形BECF是菱形；当BC=AC时，∵∠ACB=90°，则∠A=45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A=45°，∠ACB=90°，∴∠EBC=45°∴∠EBF=2∠EBC=2×45°=90°∴菱形BECF是
正方形．故选项A正确，但不符合题意；B、C正确，不符合题意；当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．故选：D．
2.C 【解析】A、对角线AC与BD互相垂直，AC=BD时，无法得出四边形ABCD是矩形，故此选项错误；
B、当AB=AD，CB=CD时，无法得到，四边形ABCD是菱形，故此选项错误；
C、当两条对角线AC与BD互相垂直，AB=AD=BC时，∴BO=DO，AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，∵两条对角线AC与BD互相垂直，∴平行四边形ABCD是菱形，故此选项正确；
D、当AC=BD，AD=AB时，无法得到四边形ABCD是正方形，故此选项错误；
故选C．
3.C 【解析】过B点作BF⊥CD，与DC的延长线交于F点，则有△BCF≌△BAE（AAS），
则BE=BF，S四边形ABCD=S正方形BEDF=8，∴BE==．故选C．
4.AB=BC（答案不唯一）
5.①④ 【解析】①连接CD；∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF；∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；
②当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项错误；
③如图2所示，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，
可以利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积，故面积保持不变；故此
（2）解：连接EG．在梯形ABCD中，∵E、G分别是AB、DC的中点，∴EG是梯形的中位线，∴EG=（AD+BC）=3．在Rt△EHG中，∵EH2+GH2=EG2，EH=GH，
∴EH2=，即四边形EFGH的面积为．
课时自测、认清自我
1.C 【解析】A、四边相等的四边形不一定是正方形，例如菱形，故此选项错误；
B、对角线相等的四边形不是菱形，例如矩形，等腰梯形，故此选项错误；
C、四个角相等的四边形是矩形，故此选项正确；
D、对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形，故此选项错误．
2.B
3.D 【解析】∵四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABCD是矩形，
当一组邻边相等时，矩形ABCD为正方形，这个条件可以是：BC=DC．
4.D 【解析】四边形ABCD的形状是正方形，理由如下：∵AO=C0=BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形，∵AO=C0=BO=DO，
∴AC=DB，∴四边形ABCD是正方形，故选D．
5.D 【解析】无穷多个．如图正方形ABCD：AH=DG=CF=BE，HD=CG=FB=EA，∠A=∠B=∠C=∠D，有△AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE，则EH=HG=GF=FE，
另外 很容易得四个角均为90°则四边形EHGF为正方形．故选D．

8.B 【解析】设小正方形的边长为a，大正方形的边长为b，由这三张纸片盖住的总面积是24平方厘米，可得ab+a（b﹣a）=24 ①，由未盖住的面积比小正方形面积的四分之一还少3平方厘米，可得（b﹣a）2=a2﹣3，②将①②联立解方程组可得：a=4，b=5，
∴大正方形的边长为5，∴面积是25．
9.AC=BD或AB⊥BC 【解析】∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA
∴四边形ABCD是菱形，∴要使四边形ABCD是正方形，则还需增加一个条件是：AC=BD或AB⊥BC．　　21*cnjy*com
10.有一个角是直角或对角线相等
11.对角线相等且互相垂直（答案不唯一）
12.5 【解析】如图，连接BP，∵点B和点D关于直线AC对称，∴QB=QD，
则BP就是DQ+PQ的最小值，∵正方形ABCD的边长是4，DP=1，∴CP=3，
∴BP= 42+32 =5，∴DQ+PQ的最小值是5．
13.C 【解析】A、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；
B、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；
C、由①②不能判断四边形是正方形；
D、由③得，四边形是平行四边形，再由②，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正确．
14. 4（）n 【解析】根据三角形中位线定理得，第一个四边形的边长为，=，周长为2，第二个四边形的周长为=4，第三个四边形的周长是：4=，第n个四边形的周长为4（）n.
15. 证明：连接AC、BD相交于O，∵菱形ABCD∴OA=OC=AC，OB=OD=BD
∵AC=BD∴OA=OB∵OA⊥OB（菱形的对角线互相垂直）∴∠OAB=∠OBA=45°
同理∠OBC=∠OCB=45°∴∠OBA+∠OBC=90°∴∠ABC=90°∴ABCD是正方形．
16.解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，∴BP=QC=ED=FA．
又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．∴FP=PQ=QE=
EF，∠APF=∠PQB．∴四边形PQEF是菱形，∵∠FPQ=90°，∴四边形PQEF为正方形．
（2）连接AC交PE于O，∵AP平行且等于EC，∴四边形APCE为平行四边形．
∵O为对角线AC的中点，∴对角线PE总过AC的中点
17.证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．又∵△ACE是等边三角形，
∴EO⊥AC，即AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO．又∵△ACE是等边三角形，∴EO平分∠AEC，∴∠AED=∠AEC=×60°=30°，又∵∠AED=2∠EAD∴∠EAD=15°，
∴∠ADO=∠DAE+∠DEA=15°+30°=45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ADC=2∠ADO=90°，
∴平行四边形ABCD是正方形．
18.证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=∠BAD=90°，AD=BC，
∵在矩形ABCD中，AE、BE、CG、DG分别是各内角的平分线，
∴∠ADF=∠AFD=45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴AD=DF，∠AFD=90°，AF=DF，
∴∠EFG=90°，
同理：∠FEH=∠EHG=90°，AG=CG，BC=CH，
∴四边形EFGH是矩形，且DF=CH，
∴FG=HG，
∴四边形EFGH是正方形．
（2）点O是AC的中点且∠ACB=90°，理由：∵O为AC中点，∴OA=OC，∵由（1）知OE=OF，∴四边形AECF为平行四边形；∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，∴?AECF为矩形，又∵AC⊥EF．∴?AECF是正方形．
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．
20.猜想：线段DF垂直平分线段AC，且DF=AC，证明：过点M作MG∥AD，与DF的延长线相交于点G．则∠EMG=∠N，∠BMG=∠BAD，∵∠MEG=∠NED，ME=NE，
∴△MEG≌△NED，∴MG=DN．∵BM=DN，∴MG=BM．
作GH⊥BC，垂足为H，连接AG、CG． ∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠BAD=∠B=∠ADC=90°，∵∠GMB=∠B=∠GHB=90°，∴四边形MBHG是矩形．
∵MG=MB，∴四边形MBHG是正方形，∴MG=GH=BH=MB，∠AMG=∠CHG=90°，
∴AM=CH，∴△AMG≌△CHG．∴GA=GC．又∵DA=DC，∴DG是线段AC的垂直平分线．∵∠ADC=90°，DA=DC，∴DF=AC即线段DF垂直平分线段AC，且DF=AC．