【解析版】江苏省苏、锡、常、镇四市2014届高三教学情况调查（一）数学试题

2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
一、填空题：
1.【题文】已知集合，，若，则 ．
【结束】
2.【题文】若复数z =（为虚数单位），则 | z | = ．
3.【题文】已知双曲线的离心率为，则实数m的值为 ．
4.【题文】一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：，2；
，3；，4；，5；，4；，2．则样本在上的频率是 ．
5.【题文】执行如图所示的算法流程图，则最后输出的等于 ．
【结束】
6.【题文】设函数，若，则的值为 ．
【答案】2
【解析】
【结束】
7.【题文】四棱锥P ( ABCD 的底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥底面ABCD
且PA = 4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为 ．
【结束】
8.【题文】从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 ．
【结束】
9.【题文】已知，，则的值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：因为，所以.
考点：两角和与差正切
【结束】
10.【题文】设等差数列的前项和为，若，，，则正整数= ．
【结束】
11.【题文】已知正数满足，则的最小值为 ．
【结束】
12.【题文】如图，在△ABC中，BO为边AC上的中线，，设∥，若，则的值为 ．
【结束】
13.【题文】已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 ．
【结束】
14.【题文】在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若△ABC的面积的最大值为，则实数的取值范围为 ．
【结束】
二、解答题
15.【题文】（本小题满分14分）
设函数．
（1）求的最小正周期和值域；
（2）在锐角△中，角的对边分别为，若且，，求和．
【结束】
16.【题文】（本小题满分14分）
如图，在三棱柱中，侧面为菱形， 且，，是的中点．
（1）求证：平面平面；
（2）求证：∥平面．
【结束】
17.【题文】（本小题满分14分）
一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．
（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．
（2）．
令，得，或（舍）．
∵，∴． …………………5分
当时，，为增函数；
当时，，为减函数． …………………7分
【结束】
18.【题文】（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系中，已知，，是椭圆上不同的三点，，，在第三象限，线段的中点在直线上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值．
【解析】
试题分析：（1）,（2）,（3）.
试题解析：（1）由已知，得 解得 …………………2分
所以椭圆的标准方程为． …………………3分
（2）设点，则中点为．
由已知，求得直线的方程为，从而．①
又∵点在椭圆上，∴．②
由①②，解得（舍），，从而． …………………5分
所以点的坐标为． …………………6分
（3）设，，．
∵三点共线，∴，整理，得．…………………8分
【结束】
19.【题文】（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列的前n项和为Sn,已知，且对一切都成立．
（1）若λ = 1，求数列的通项公式；
（2）求λ的值，使数列是等差数列．
∴当时，．②
【结束】
20.【题文】（本小题满分16分）
已知函数，其中m，a均为实数．
（1）求的极值；
（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；
（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得 成立，求的取值范围．
【答案】（1）极大值为1，无极小值．（2）3 (．（3）．
【解析】
列表如下：
x
（(∞，1）
1
（1，(∞）
(
0
(
g(x)
↗
极大值
↘
∵g(1) = 1，∴y =的极大值为1，无极小值． …………………3分
（2）当时，，．
∵在恒成立，∴在上为增函数． …………………4分
设，∵> 0在恒成立，
∴在上为增函数． …………………5分
设，则等价于，
由①②，得． …………………13分
∵，∴成立． …………………14分
下证存在，使得≥1．
取，先证，即证．③
设，则在时恒成立．
∴在时为增函数．∴，∴③成立．
再证≥1．
∵，∴时，命题成立．
综上所述，的取值范围为． …………………16分
考点：函数极值，不等式恒成立
【结束】
附加题
21．【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
21.【题文】A．选修4—1：几何证明选讲
如图，⊙为四边形的外接圆，且，是延长线上一点，直线与圆相切．
求证：．
考点：圆内接四边形性质
【结束】
21.【题文】B．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵，，计算．
【结束】
21.【题文】C．选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半
轴为极轴建立极坐标系．求：
（1）圆的直角坐标方程；
（2）圆的极坐标方程．
【答案】（1）．（2）．
【结束】
21.【题文】D．选修4—5：不等式选讲
已知函数，若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围．
【结束】
22.【题文】（本小题满分10分）
甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响．甲
同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次．
（1）求甲同学至少有4次投中的概率；
（2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望．
【答案】（1），（2）
1
2
3
4
5
，.
的分布表为
1
2
3
4
5
…………………8分
的数学期望． …………………10分
考点：概率分布，数学期望值
【结束】
23.【题文】（本小题满分10分）
设，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，．
（1）证明：当，时，；
（2）记，求的值．
∴当为奇数时，成立． …………………5分
同理可证，当为偶数时， 也成立． …………………6分
（2）由，得
=
=
=． …………………9分
又由，得，
所以，． …………………10分
考点：组合数性质
【结束】
2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）
数学Ⅱ（附加题） 参考答案
21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分．
解：（1）圆的直角坐标方程为． …………………5分
（2）把代入上述方程，得圆的极坐标方程为．…………………10分
D．选修4—5：不等式选讲
解：的最小值为， …………………5分
由题设，得，解得． …………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．
的数学期望． …………………10分
23．解：（1）当为奇数时，为偶数，为偶数，
∵，，
，
∴
=．
∴当为奇数时，成立． …………………5分
同理可证，当为偶数时， 也成立． …………………6分
（2）由，得
=
=
=． …………………9分
又由，得，
所以，． …………………10分