2022—2023学年人教版数学九年级下册27.2 相似三角形专项练习 （含解析）
文档属性
| 名称 | 2022—2023学年人教版数学九年级下册27.2 相似三角形专项练习 （含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 365.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-05 20:09:11 | ||
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文档简介
相似三角形
相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
【题模一】若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
【变式训练1】两个相似多边形的面积之比为1：9，则它们的周长之比为（ ）
A．1：3 B．1：9 C．1： D．2：3
【变式训练2】下列多边形一定相似的为（ ）
A．两个矩形 B．两个菱形
C．两个正方形 D．两个平行四边形
【变式训练3】两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为4cm2，则较大多边形的面积为（ ）
A．9cm2 B．16cm2 C．56cm2 D．24cm2
【变式训练4】将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（ ）
A．9倍 B．3倍 C．81倍 D．18倍
【变式训练5】若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A．75° B．60° C．87° D．120°
相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【题模一】已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，已知△ACD∽△BCA，若CD=4，CB=9，则AC等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练2】等腰三角形ABC和DEF相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为（ ）
A．3：4 B．4：3 C．1：2 D．2：1
【变式训练3】两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°、60°．那么另一个三角形的最大角是 度，最小角是 度．
【变式训练4】一个三角形的各边之比为2：3：5，和它相似的另一个三角形的最大边为15cm，则最小边为 cm．
【变式训练5】如图，△ABC∽△ACD，若AD=5，BD=4，则△ACD与△ABC的相似比为 ．
【题模二】如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【变式训练1】若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16
【变式训练2】若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：
【变式训练3】已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【变式训练4】已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为 ．
【变式训练5】将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．
相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【题模一】如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
【变式训练2】如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（ ）
A．△AFD B．△AED C．△FED D．不能确定
【变式训练3】如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为 ．
【题模二】如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】在△ABC和△A′B′C′中，已知∠B=∠B′，AB=6，BC=8，B′C′=4，那么当A′B′= 时，△ABC∽△A′B′C′．
【变式训练2】已知：如图，AB AD=AC AE，求证：△ABC∽△AED．
【变式训练3】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当 时，△AED与△ABC相似．
【变式训练4】如图，BD平分∠ABC，且AB=4，BC=6，则当BD= 时，△ABD∽△DBC．
【变式训练5】如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．
【题模三】如图，已知D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，若∠A=35°，∠C=85°，∠ADE=60°，
（1）请说明：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=4，AE=3，BE=5，求AC长．
【变式训练1】如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【变式训练2】已知：如图，△ABC中，AD=DB，∠1=∠2．求证：△ABC∽△EAD．
【变式训练3】如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E，连接BD．求证：△ABC∽△BDC．
【变式训练4】如图，直线DE经过⊙O上的点C，并且OE=OD，EC=DC，⊙O交直线OD于A、B两点，连接BC，AC，OC．求证：
（1）OC⊥DE；
（2）△ACD∽△CBD．
【题模四】已知：∠ACB=∠ABD=90°，AB=，AC=2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？
【变式训练1】一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形 相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）．
【变式训练2】如图，在边长为9的正三角形ABC中，点D在BC边上且BD=3，点E在AC边上且∠ADE=60°，求AE的长．
【题模五】如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD AC D．=
【变式训练1】如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． D．
【变式训练2】如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练3】在下列说法中，正确的是（ ）
A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似
【变式训练4】如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． B． C．∠B=∠D D．∠C=∠AED
【变式训练5】能使△ABC∽△DEF的条件是（ ）
A．∠C=98°，∠B=98°，
B．AB=1，AC=1.5，BC=2，EF=8，DE=10，FD=16
C．∠A=∠F=90°，AC=5，BC=13，DF=10，EF=26
D．∠A=46°，∠B=54°，∠E=54°，∠F=80°
相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
【题模一】如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（ ）
A．4 B．7 C．3 D．12
【变式训练1】如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练2】如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为 ．
【变式训练4】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5
【题模二】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
【变式训练1】在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【变式训练2】如图， ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则 ABCD的面积为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【变式训练3】如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练4】将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于 ．
【变式训练5】如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
【题模二】如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）
A．60m B．40m C．30m D．20m
【变式训练1】如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．15米
【变式训练2】在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为 2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是（ ）
A．20m B．16m C．18m D．15m
【变式训练3】如图，用两根等长的钢条AC和BD交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度，设，且量得CD=b，则内槽的宽AB等于（ ）
A．mb B． C． D．
【变式训练4】如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（ ）
A．7m B．6m C．5m D．4m
位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
【题 模】如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（ ）
（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
【变式训练1】已知，如图，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，点E的对应点的坐标（ ）
（﹣2，1） B．（2，﹣1）
C．（2，﹣1）或（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【变式训练2】如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【变式训练3】如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（，） D．（2，1）
【变式训练4】如图，△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：2
答案
相似多边形的性质
【题模一】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为=1：2．故选：B．
【变式训练1】解：∵两个相似多边形的面积之比为1：9，
∴两个相似多边形的边长之比是1：3，
∴它们的周长之比为1：3．故选A．
【变式训练2】解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．
矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，A、B、D错误；
而两个正方形，对应角都是90°，对应边的比也都相当，故一定相似，C正确．
故选C．
【变式训练3】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，
∴两个相似多边形的相似比是2：3，
∴两个相似多边形的面积比是4：9，
∵较小多边形的面积为4cm2，
∴较大多边形的面积为9cm2，故选：A．
【变式训练4】解：五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，
即得到的五边形与原来的五边形的面积的比是9：1，
相似形面积的比等于相似比的平方，因而相似比是3：1，
相似形周长的比等于相似比，因而周长扩大为原来的3倍．故选B．
【变式训练5】解：根据相似多边形的特点可知对应角相等，所以∠α=360°﹣60°﹣138°﹣75°=87°．故选C．
相似三角形的性质
【题模一】解：根据题意，易证△ABC∽△A′B′C′，且相似比为：：1，
∴△A′B′C′的第三边长应该是=．故选：A．
【变式训练1】解：∵△ACD∽△BCA，∴=，∴AC2=CD BC=4×9=36，
∴AC=6．故选D．
【变式训练2】解：∵等腰△ABC和△DEF相似，其相似比为3：4，
∴它们底边上对应高线的比等于3：4．故选A．
【变式训练3】解：∵一个三角形的两个内角是40°、60°．
∴另一个内角为：180°﹣40°﹣60°=80°，
∵两个三角形相似，
∴另一个三角形的最大角是80°，最小角是40°．故答案为：80，40．
【变式训练4】解：∵两三角形相似，三边比=2：3：5，
∴另一三角形三边比=2：3：5，
设此三角形各边为2x，3x，5x，∴5x=15，解得x=3，∴2x=6cm．故答案为6．
【变式训练5】解：∵△ABC∽△ACD，AD=5，BD=4，∴=，即AC2=AB AD，
∴AC===3，∴==：3．故答案为：：3．
【题模二】解：△ADE与△ABC的面积比为（1：2）2=1：4．故选B．
【变式训练1】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，
∴它们的相似比为1：2，
∴它们的周长之比为1：2．故选A．
【变式训练2】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．故选B．
【变式训练3】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴其面积之比为1：4．故选B．
【变式训练4】解：因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，
因为S△ABC：S△DEF=4：25=（）2，所以△ABC与△DEF的相似比为2：5．
【变式训练5】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况：
①△B′FC∽△ABC时，=，
又∵AB=AC=3，BC=4，B′F=BF，∴=，解得BF=；
②△B′CF∽△BCA时，=，
AB=AC=3，BC=4，B′F=CF，BF=B′F，而BF+FC=4，即2BF=4，
解得BF=2．故BF的长度是或2．故答案为：或2．
相似三角形的判定
【题模一】解：∵小正方形的边长均为1
∴△ABC三边分别为2，，
同理：A中各边的长分别为：，3，；
B中各边长分别为：，1，；
C中各边长分别为：1、2，；
D中各边长分别为：2，，；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为 故选B．
【变式训练1】解：①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴=，=，即==，
∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．故选C．
【变式训练2】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，
∴AC：BC：AB=：2：=1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选C．
【变式训练3】解：∵AF=4，DF=4，AD=4，AB=2，BC=2，AC=2，
∴===2，∴△AFD∽△ABC，故选：A．
【变式训练4】解：∵AC=4，P是AC的中点，
∴AP=AC=2，
①若△APQ∽△ACB，则，
即，
解得：AQ=3；
②若△APQ∽△ABC，则，
即，
解得：AQ=；
∴AQ的长为3或．
故答案为：3或．
【题模二】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B选项中三角形各角的度数都是60°，
C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选C．
【变式训练1】解：∵∠B=∠B′，
当=时，△ABC∽△A′B′C′，
即，
解得：A′B′=3．
故答案为：3．
【变式训练2】证明：∵AB AD=AC AE，
∴=．
又∵∠BAC=∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
【变式训练3】解：由题意，∠ADE=∠C即可．
证明：∵∠ADE=∠C，∠A为公共角
∴△ADE∽△ACB．
【变式训练4】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵△ABD∽△DBC，
∴=，
∵AB=4，BC=6，
∴=，
解得BD=2．
故答案为：2．
【变式训练5】证明：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠C=60°，BC=AB，
∵AE=BE，
∴CB=2AE，
∵，
∴CD=2AD，
∴==，
而∠A=∠C，
∴△AED∽△CBD．
【题模三】解：（1）∵∠A=35°，∠C=85°
∴∠B=60°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠B，
又∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
（2）由相似知：，
∵AD=4，AE=3，BE=5，
∴AB=8
∴，
∴AC=6．
【变式训练1】解：∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条，故选C．
【变式训练2】证明：∵AD=DB，
∴∠B=∠BAD．
∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE，
又∵∠1=∠2，
∴∠C=∠ADE．
∴△ABC∽△EAD．
【变式训练3】证明：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD．
∵∠BAC=40°，
∴∠ABD=40°，
∵∠ABC=80°，
∴∠DBC=40°，
∴∠DBC=∠BAC，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC．
【变式训练4】证明：（1）∵OE=OD，
∴△ODE是等腰三角形．（1分）
∵EC=DC，
∴C是底边DE上的中点．
∴OC⊥DE．（3分）
（2）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠B+∠BAC=90°．（4分）
∵∠DCA+∠ACO=90°，∠ACO=∠BAC，
∴∠DCA=∠B．
∵∠ADC=∠CDB，（5分）
∴△ACD∽△CBD．（6分）
【题模四】解：∵∠ACB=∠ABD=90°，
∴要使△ACB和△ABD相似，
必须AC：AB=AB：AD或BC：AB=AB：AD，
∵AC=2，AB=，
∴BC==，
∴AD=3或3．
【变式训练1】解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，
∴=，
若两边长分别是直角边，则利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
若此两边是直角边与斜边，则利用直角三角形中直角边与斜边对应成比例，两直角三角形相似，证得．
∴这两个直角三角形一定相似．
故答案为：一定．
【变式训练2】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE，
则，
即=，
解得：CE=2，
故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．
【题模五】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
【变式训练1】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选C．
【变式训练2】解：有三个．
①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故选：C．
【变式训练3】在下列说法中，正确的是（ ）
A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似
解：A、两个钝角三角形不一定相似，例如有一个角是120°与有一个角是150°的三角形，故本选项错误；
B、两个等腰三角形不一定相似，例如顶角是50°与顶角是70°的等腰三角形不相似，故本选项错误；
C、两个直角三角形不一定相似，例如有一个锐角是50°与有一个锐角是60°的直角三角形不相似，故本选项错误；
D、两个等边三角形一定相似，故本选项正确．
故选D．
【变式训练4】解：∵∠1=∠2
∴∠DAE=∠BAC
∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE
选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选B．
【变式训练5】解：A、若△ABC∽△DEF，则=，故本选项错误；
B、若△ABC∽△DEF，则==，
而=≠=，故本选项错误；
C、若△ABC∽△DEF，∠A=90°，则∠D=90°，故本选项错误；
D、若△ABC∽△DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E，由于，∠E=54°，∠F=80°，所以∠D=180°﹣54°﹣80°=46°，
故∠A=∠D=46°，故本选项正确．
故选D．
相似三角形的判定与性质
【题模一】解：∵DE：EA=3：4，
∴DE：DA=3：7
∵EF∥AB，∴，
∵EF=3，∴，解得：AB=7，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=7．故选B．
【变式训练1】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，
∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，
∴△ABD∽△AEF，
∴AB：BD=AE：EF．
同理：△CDF∽△EAF，
∴CD：CF=AE：EF，
∴AB：BD=CD：CF，
即9：3=（9﹣3）：CF，
∴CF=2．
故选：B．
【变式训练2】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴=，=，
∴+=+==1．
∵AB=1，CD=3，
∴+=1，
∴EF=．
故选C．
【变式训练3】解：过点B作BD⊥OD于点D，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠BCD+∠ACO=90°，
∴△BCD∽△COA，
∴=，
设点B坐标为（x，y），
则=，
y=﹣3x﹣9，
∴BC==，
AC==，
∵∠B=30°，
∴==，
解得：x=﹣3﹣，
则y=3．
即点B的坐标为（﹣3﹣，3）．
故答案为：（﹣3﹣，3）．
【变式训练4】解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴OA=OC=2，OB=2，
∵QO=OC，
∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2，
∵正方形OABC的边AB∥OC，
∴△BPQ∽△OCQ，
∴=，
即=，
解得BP=2﹣2，
∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2，
∴点P的坐标为（2，4﹣2）．
故答案为：（2，4﹣2）．
【变式训练5】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AB=2BC=4（cm），
∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，
∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），
若∠BED=90°，
当A→B时，∵∠ABC=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=BD=（cm），
∴t=3.5，
当B→A时，t=4+0.5=4.5．
若∠BDE=90°时，
当A→B时，∵∠ABC=60°，
∴∠BED=30°，
∴BE=2BD=2（cm），
∴t=4﹣2=2，
当B→A时，t=4+2=6（舍去）．
综上可得：t的值为2或3.5或4.5．
故选D．
【题模二】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选：B．
【变式训练1】
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵△ADE的面积为4，
∴，
∴S△ABC=16．
故选：C．
【变式训练2】解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴S△DEF：S△BCF=（）2，
又∵E是AD中点，
∴DE=AD=BC，
∴DE：BC=DF：BF=1：2，
∴S△DEF：S△BCF=1：4，
∴S△BCF=4，
又∵DF：BF=1：2，
∴S△DCF=2，
∴S ABCD=2（S△DCF+S△BCF）=12．
故选B．
【变式训练3】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴=（）2=．
∵S△ACD=1，
∴S△ABC=4，S△BCD=S△ABC﹣S△ACD=3．
故选C．
【变式训练4】解：∵∠ABC=90°，∠DCB=90°
∴AB∥CD，
∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，
∴△AOB∽△COD
又∵AB：CD=BC：CD=tan30°=1：
∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．
故答案为：1：3．
【变式训练5】（1）证明：∵DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，
∴F为AD的中点，
∵点E是AB的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BC；
（2）解：∵EF为△ABD的中位线，
∴，EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴S△AEF：S△ABD=1：4，
∴S△AEF：S四边形BDFE=1：3，
∵四边形BDFE的面积为6，
∴S△AEF=2，
∴S△ABD=S△AEF+S四边形BDFE=2+6=8．
相似三角形的应用
【题模二】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△BAE∽△CDE，
∴
∵BE=20m，CE=10m，CD=20m，
∴
解得：AB=40，
故选B．
【变式训练1】解：根据题意，容易得到△ABP∽△PDC．
即CD：AB=PD：BP，
∵AB=6米，BP=9米，PD=15米，
∴CD=×AB=10；
那么该古城墙的高度是10米．
故选C．
【变式训练2】解：∵，
∴，
解得旗杆的高度==18m．
故选C．
【变式训练3】解：∵，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△BOA∴，
又∵CD=b，∴AB=bm．
故选A．
【变式训练4】解：如图；
AD=6m，AB=21m，DE=2m；
由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：
，即 ，
解得：BC=7m，
故树的高度为7m．
故选：A．
位似变换
【题 模】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，
∴B点与D点是对应点，则位似比为：5：2，
∵C（1，2），∴点A的坐标为：（2.5，5）故选：B．
【变式训练1】解：∵E（﹣4，2），以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，
∴点E的对应点的坐标为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故选D．
【变式训练2】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，
∴OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．
故选：B．
【变式训练3】解：∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），
∴BO=1，则AO=AB=，
∴A（，），
∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，
∴点C的坐标为：（1，1）．
故选：B．
【变式训练4】解：∵△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，
∴AC∥DF，
∴△OAC∽△ODF，
∴AC：DF=OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比是1：4．故选C．
相似多边形的性质
（1）如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．
（2）相似多边形对应边的比叫做相似比．
（3）全等多边形的相似比为1的相似多边形是全等形．
（4）相似多边形的性质为：
①对应角相等；
②对应边的比相等．
【题模一】若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1
【变式训练1】两个相似多边形的面积之比为1：9，则它们的周长之比为（ ）
A．1：3 B．1：9 C．1： D．2：3
【变式训练2】下列多边形一定相似的为（ ）
A．两个矩形 B．两个菱形
C．两个正方形 D．两个平行四边形
【变式训练3】两个相似多边形的周长比是2：3，其中较小多边形的面积为4cm2，则较大多边形的面积为（ ）
A．9cm2 B．16cm2 C．56cm2 D．24cm2
【变式训练4】将一个五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的（ ）
A．9倍 B．3倍 C．81倍 D．18倍
【变式训练5】若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是（ ）
A．75° B．60° C．87° D．120°
相似三角形的性质
相似三角形的定义：如果两个三角形的对应边的比相等，对应角相等，那么这两个三角形相似．
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
（2）相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；
相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．
（3）相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
由三角形的面积公式和相似三角形对应线段的比等于相似比可以推出相似三角形面积的比等于相似比的平方．
【题模一】已知△ABC的三边长分别为，，2，△A′B′C′的两边长分别是1和，如果△ABC与△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三边长应该是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，已知△ACD∽△BCA，若CD=4，CB=9，则AC等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式训练2】等腰三角形ABC和DEF相似，其相似比为3：4，则它们底边上对应高线的比为（ ）
A．3：4 B．4：3 C．1：2 D．2：1
【变式训练3】两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角是40°、60°．那么另一个三角形的最大角是 度，最小角是 度．
【变式训练4】一个三角形的各边之比为2：3：5，和它相似的另一个三角形的最大边为15cm，则最小边为 cm．
【变式训练5】如图，△ABC∽△ACD，若AD=5，BD=4，则△ACD与△ABC的相似比为 ．
【题模二】如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE与△ABC的面积比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【变式训练1】若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：16
【变式训练2】若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的周长比为（ ）
A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：
【变式训练3】已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
【变式训练4】已知△ABC与△DEF相似且面积比为4：25，则△ABC与△DEF的相似比为 ．
【变式训练5】将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=3，BC=4，若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．
相似三角形的判定
（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．
（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；
（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
【题模一】如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
【变式训练2】如图，在正方形网格上，与△ABC相似的三角形是（ ）
A．△AFD B．△AED C．△FED D．不能确定
【变式训练3】如图所示，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过P点的直线交AB于点Q，若以A、P、Q为顶点的三角形和以A、B、C为顶点的三角形相似，则AQ的长为 ．
【题模二】如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练1】在△ABC和△A′B′C′中，已知∠B=∠B′，AB=6，BC=8，B′C′=4，那么当A′B′= 时，△ABC∽△A′B′C′．
【变式训练2】已知：如图，AB AD=AC AE，求证：△ABC∽△AED．
【变式训练3】如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当 时，△AED与△ABC相似．
【变式训练4】如图，BD平分∠ABC，且AB=4，BC=6，则当BD= 时，△ABD∽△DBC．
【变式训练5】如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．
【题模三】如图，已知D、E分别是△ABC的边AC、AB上的点，若∠A=35°，∠C=85°，∠ADE=60°，
（1）请说明：△ADE∽△ABC；
（2）若AD=4，AE=3，BE=5，求AC长．
【变式训练1】如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【变式训练2】已知：如图，△ABC中，AD=DB，∠1=∠2．求证：△ABC∽△EAD．
【变式训练3】如图，在△ABC中，∠ABC=80°，∠BAC=40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E，连接BD．求证：△ABC∽△BDC．
【变式训练4】如图，直线DE经过⊙O上的点C，并且OE=OD，EC=DC，⊙O交直线OD于A、B两点，连接BC，AC，OC．求证：
（1）OC⊥DE；
（2）△ACD∽△CBD．
【题模四】已知：∠ACB=∠ABD=90°，AB=，AC=2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？
【变式训练1】一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形 相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）．
【变式训练2】如图，在边长为9的正三角形ABC中，点D在BC边上且BD=3，点E在AC边上且∠ADE=60°，求AE的长．
【题模五】如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD AC D．=
【变式训练1】如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． D．
【变式训练2】如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③；④AC2=AD AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练3】在下列说法中，正确的是（ ）
A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似
【变式训练4】如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A． B． C．∠B=∠D D．∠C=∠AED
【变式训练5】能使△ABC∽△DEF的条件是（ ）
A．∠C=98°，∠B=98°，
B．AB=1，AC=1.5，BC=2，EF=8，DE=10，FD=16
C．∠A=∠F=90°，AC=5，BC=13，DF=10，EF=26
D．∠A=46°，∠B=54°，∠E=54°，∠F=80°
相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．
（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
【题模一】如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE：EA=3：4，EF=3，则CD的长为（ ）
A．4 B．7 C．3 D．12
【变式训练1】如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练2】如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB=1，CD=3，那么EF的长是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练3】如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A、C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO=OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P．则点P的坐标为 ．
【变式训练4】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（ ）
A．2 B．2.5或3.5 C．3.5或4.5 D．2或3.5或4.5
【题模二】如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）
A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1
【变式训练1】在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【变式训练2】如图， ABCD中，E为AD的中点．已知△DEF的面积为1，则 ABCD的面积为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【变式训练3】如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD=∠B，AD=1，AC=2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式训练4】将一副三角板按图叠放，则△AOB与△DOC的面积之比等于 ．
【变式训练5】如图．在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF．
（1）求证：EF∥BC；
（2）若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
相似三角形的应用
（1）利用影长测量物体的高度．①测量原理：测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．②测量方法：在同一时刻测量出参照物和被测量物体的影长来，再计算出被测量物的长度．
（2）利用相似测量河的宽度（测量距离）．①测量原理：测量不能直接到达的两点间的距离，常常构造“A”型或“X”型相似图，三点应在一条直线上．必须保证在一条直线上，为了使问题简便，尽量构造直角三角形．②测量方法：通过测量便于测量的线段，利用三角形相似，对应边成比例可求出河的宽度．
（3）借助标杆或直尺测量物体的高度．利用杆或直尺测量物体的高度就是利用杆或直尺的高（长）作为三角形的边，利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度．
【题模二】如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）
A．60m B．40m C．30m D．20m
【变式训练1】如图是孔明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知 AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=6米，BP=9米，PD=15米，那么该古城墙的高度是（ ）
A．6米 B．8米 C．10米 D．15米
【变式训练2】在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5m的测竿的影长为 2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是（ ）
A．20m B．16m C．18m D．15m
【变式训练3】如图，用两根等长的钢条AC和BD交叉构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度，设，且量得CD=b，则内槽的宽AB等于（ ）
A．mb B． C． D．
【变式训练4】如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点距离相距6m，与树相距15m，则树的高度是（ ）
A．7m B．6m C．5m D．4m
位似变换
（1）位似图形的定义：
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；
③对应边平行．
（2）位似图形与坐标
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．
【题 模】如图，线段CD两个端点的坐标分别为C（1，2）、D（2，0），以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB，若点B坐标为（5，0），则点A的坐标为（ ）
（2，5） B．（2.5，5） C．（3，5） D．（3，6）
【变式训练1】已知，如图，E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1）．以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，点E的对应点的坐标（ ）
（﹣2，1） B．（2，﹣1）
C．（2，﹣1）或（﹣2，﹣1） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）
【变式训练2】如图，以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF．若AD=OA，则△ABC与△DEF的面积之比为（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：5 D．1：6
【变式训练3】如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD．若B（1，0），则点C的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（1，1） C．（，） D．（2，1）
【变式训练4】如图，△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，则△ABC与△DEF的面积比是（ ）
A．1：6 B．1：5 C．1：4 D．1：2
答案
相似多边形的性质
【题模一】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，
∴周长之比为=1：2．故选：B．
【变式训练1】解：∵两个相似多边形的面积之比为1：9，
∴两个相似多边形的边长之比是1：3，
∴它们的周长之比为1：3．故选A．
【变式训练2】解：要判断两个多边形是否相似，需要看对应角是否相等，对应边的比是否相等．
矩形、菱形、平行四边形都属于形状不唯一确定的图形，即对应角、对应边的比不一定相等，故不一定相似，A、B、D错误；
而两个正方形，对应角都是90°，对应边的比也都相当，故一定相似，C正确．
故选C．
【变式训练3】解：∵两个相似多边形的周长比是2：3，
∴两个相似多边形的相似比是2：3，
∴两个相似多边形的面积比是4：9，
∵较小多边形的面积为4cm2，
∴较大多边形的面积为9cm2，故选：A．
【变式训练4】解：五边形改成与它相似的五边形，如果面积扩大为原来的9倍，
即得到的五边形与原来的五边形的面积的比是9：1，
相似形面积的比等于相似比的平方，因而相似比是3：1，
相似形周长的比等于相似比，因而周长扩大为原来的3倍．故选B．
【变式训练5】解：根据相似多边形的特点可知对应角相等，所以∠α=360°﹣60°﹣138°﹣75°=87°．故选C．
相似三角形的性质
【题模一】解：根据题意，易证△ABC∽△A′B′C′，且相似比为：：1，
∴△A′B′C′的第三边长应该是=．故选：A．
【变式训练1】解：∵△ACD∽△BCA，∴=，∴AC2=CD BC=4×9=36，
∴AC=6．故选D．
【变式训练2】解：∵等腰△ABC和△DEF相似，其相似比为3：4，
∴它们底边上对应高线的比等于3：4．故选A．
【变式训练3】解：∵一个三角形的两个内角是40°、60°．
∴另一个内角为：180°﹣40°﹣60°=80°，
∵两个三角形相似，
∴另一个三角形的最大角是80°，最小角是40°．故答案为：80，40．
【变式训练4】解：∵两三角形相似，三边比=2：3：5，
∴另一三角形三边比=2：3：5，
设此三角形各边为2x，3x，5x，∴5x=15，解得x=3，∴2x=6cm．故答案为6．
【变式训练5】解：∵△ABC∽△ACD，AD=5，BD=4，∴=，即AC2=AB AD，
∴AC===3，∴==：3．故答案为：：3．
【题模二】解：△ADE与△ABC的面积比为（1：2）2=1：4．故选B．
【变式训练1】解：∵两个相似三角形的面积之比为1：4，
∴它们的相似比为1：2，
∴它们的周长之比为1：2．故选A．
【变式训练2】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比为1：2．故选B．
【变式训练3】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，
∴其面积之比为1：4．故选B．
【变式训练4】解：因为△ABC∽△DEF，所以△ABC与△DEF的面积比等于相似比的平方，
因为S△ABC：S△DEF=4：25=（）2，所以△ABC与△DEF的相似比为2：5．
【变式训练5】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应关系，有两种情况：
①△B′FC∽△ABC时，=，
又∵AB=AC=3，BC=4，B′F=BF，∴=，解得BF=；
②△B′CF∽△BCA时，=，
AB=AC=3，BC=4，B′F=CF，BF=B′F，而BF+FC=4，即2BF=4，
解得BF=2．故BF的长度是或2．故答案为：或2．
相似三角形的判定
【题模一】解：∵小正方形的边长均为1
∴△ABC三边分别为2，，
同理：A中各边的长分别为：，3，；
B中各边长分别为：，1，；
C中各边长分别为：1、2，；
D中各边长分别为：2，，；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为 故选B．
【变式训练1】解：①和③相似，
∵由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、、；
由勾股定理求出③的各边长分别为2、2、2，
∴=，=，即==，
∴两三角形的三边对应边成比例，∴①③相似．故选C．
【变式训练2】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，
∴AC：BC：AB=：2：=1：：，
A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；
C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；
D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．
故选C．
【变式训练3】解：∵AF=4，DF=4，AD=4，AB=2，BC=2，AC=2，
∴===2，∴△AFD∽△ABC，故选：A．
【变式训练4】解：∵AC=4，P是AC的中点，
∴AP=AC=2，
①若△APQ∽△ACB，则，
即，
解得：AQ=3；
②若△APQ∽△ABC，则，
即，
解得：AQ=；
∴AQ的长为3或．
故答案为：3或．
【题模二】解：∵由图可知，AB=AC=6，∠B=75°，
∴∠C=75°，∠A=30°，
A选项中三角形各角的度数分别为75°，52.5°，52.5°，
B选项中三角形各角的度数都是60°，
C选项中三角形各角的度数分别为75°，30°，75°，
D选项中三角形各角的度数分别为40°，70°，70°，
∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等，
故选C．
【变式训练1】解：∵∠B=∠B′，
当=时，△ABC∽△A′B′C′，
即，
解得：A′B′=3．
故答案为：3．
【变式训练2】证明：∵AB AD=AC AE，
∴=．
又∵∠BAC=∠EAD，
∴△ABC∽△AED．
【变式训练3】解：由题意，∠ADE=∠C即可．
证明：∵∠ADE=∠C，∠A为公共角
∴△ADE∽△ACB．
【变式训练4】解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD，
∵△ABD∽△DBC，
∴=，
∵AB=4，BC=6，
∴=，
解得BD=2．
故答案为：2．
【变式训练5】证明：∵△ABC为正三角形，
∴∠A=∠C=60°，BC=AB，
∵AE=BE，
∴CB=2AE，
∵，
∴CD=2AD，
∴==，
而∠A=∠C，
∴△AED∽△CBD．
【题模三】解：（1）∵∠A=35°，∠C=85°
∴∠B=60°，
∵∠ADE=60°，
∴∠ADE=∠B，
又∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC；
（2）由相似知：，
∵AD=4，AE=3，BE=5，
∴AB=8
∴，
∴AC=6．
【变式训练1】解：∵截得的三角形与△ABC相似，
∴过点M作AB的垂线，或作AC的垂线，或作BC的垂线，所得三角形满足题意
∴过点M作直线l共有三条，故选C．
【变式训练2】证明：∵AD=DB，
∴∠B=∠BAD．
∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE，
又∵∠1=∠2，
∴∠C=∠ADE．
∴△ABC∽△EAD．
【变式训练3】证明：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD．
∵∠BAC=40°，
∴∠ABD=40°，
∵∠ABC=80°，
∴∠DBC=40°，
∴∠DBC=∠BAC，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC．
【变式训练4】证明：（1）∵OE=OD，
∴△ODE是等腰三角形．（1分）
∵EC=DC，
∴C是底边DE上的中点．
∴OC⊥DE．（3分）
（2）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠B+∠BAC=90°．（4分）
∵∠DCA+∠ACO=90°，∠ACO=∠BAC，
∴∠DCA=∠B．
∵∠ADC=∠CDB，（5分）
∴△ACD∽△CBD．（6分）
【题模四】解：∵∠ACB=∠ABD=90°，
∴要使△ACB和△ABD相似，
必须AC：AB=AB：AD或BC：AB=AB：AD，
∵AC=2，AB=，
∴BC==，
∴AD=3或3．
【变式训练1】解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，
∴=，
若两边长分别是直角边，则利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；
若此两边是直角边与斜边，则利用直角三角形中直角边与斜边对应成比例，两直角三角形相似，证得．
∴这两个直角三角形一定相似．
故答案为：一定．
【变式训练2】解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，AB=BC；
∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6；
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE，
则，
即=，
解得：CE=2，
故AE=AC﹣CE=9﹣2=7．
【题模五】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
【变式训练1】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选C．
【变式训练2】解：有三个．
①∠B=∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
②∠ADC=∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；
③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不正确
④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故选：C．
【变式训练3】在下列说法中，正确的是（ ）
A．两个钝角三角形一定相似 B．两个等腰三角形一定相似
C．两个直角三角形一定相似 D．两个等边三角形一定相似
解：A、两个钝角三角形不一定相似，例如有一个角是120°与有一个角是150°的三角形，故本选项错误；
B、两个等腰三角形不一定相似，例如顶角是50°与顶角是70°的等腰三角形不相似，故本选项错误；
C、两个直角三角形不一定相似，例如有一个锐角是50°与有一个锐角是60°的直角三角形不相似，故本选项错误；
D、两个等边三角形一定相似，故本选项正确．
故选D．
【变式训练4】解：∵∠1=∠2
∴∠DAE=∠BAC
∴A，C，D都可判定△ABC∽△ADE
选项B中不是夹这两个角的边，所以不相似，故选B．
【变式训练5】解：A、若△ABC∽△DEF，则=，故本选项错误；
B、若△ABC∽△DEF，则==，
而=≠=，故本选项错误；
C、若△ABC∽△DEF，∠A=90°，则∠D=90°，故本选项错误；
D、若△ABC∽△DEF，则∠A=∠D，∠B=∠E，由于，∠E=54°，∠F=80°，所以∠D=180°﹣54°﹣80°=46°，
故∠A=∠D=46°，故本选项正确．
故选D．
相似三角形的判定与性质
【题模一】解：∵DE：EA=3：4，
∴DE：DA=3：7
∵EF∥AB，∴，
∵EF=3，∴，解得：AB=7，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB=7．故选B．
【变式训练1】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，
∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，
∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，
∴△ABD∽△AEF，
∴AB：BD=AE：EF．
同理：△CDF∽△EAF，
∴CD：CF=AE：EF，
∴AB：BD=CD：CF，
即9：3=（9﹣3）：CF，
∴CF=2．
故选：B．
【变式训练2】解：∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴=，=，
∴+=+==1．
∵AB=1，CD=3，
∴+=1，
∴EF=．
故选C．
【变式训练3】解：过点B作BD⊥OD于点D，
∵△ABC为直角三角形，
∴∠BCD+∠ACO=90°，
∴△BCD∽△COA，
∴=，
设点B坐标为（x，y），
则=，
y=﹣3x﹣9，
∴BC==，
AC==，
∵∠B=30°，
∴==，
解得：x=﹣3﹣，
则y=3．
即点B的坐标为（﹣3﹣，3）．
故答案为：（﹣3﹣，3）．
【变式训练4】解：∵四边形OABC是边长为2的正方形，
∴OA=OC=2，OB=2，
∵QO=OC，
∴BQ=OB﹣OQ=2﹣2，
∵正方形OABC的边AB∥OC，
∴△BPQ∽△OCQ，
∴=，
即=，
解得BP=2﹣2，
∴AP=AB﹣BP=2﹣（2﹣2）=4﹣2，
∴点P的坐标为（2，4﹣2）．
故答案为：（2，4﹣2）．
【变式训练5】解：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，
∴AB=2BC=4（cm），
∵BC=2cm，D为BC的中点，动点E以1cm/s的速度从A点出发，
∴BD=BC=1（cm），BE=AB﹣AE=4﹣t（cm），
若∠BED=90°，
当A→B时，∵∠ABC=60°，
∴∠BDE=30°，
∴BE=BD=（cm），
∴t=3.5，
当B→A时，t=4+0.5=4.5．
若∠BDE=90°时，
当A→B时，∵∠ABC=60°，
∴∠BED=30°，
∴BE=2BD=2（cm），
∴t=4﹣2=2，
当B→A时，t=4+2=6（舍去）．
综上可得：t的值为2或3.5或4.5．
故选D．
【题模二】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC=3：1，
∴DE：DC=3：4，
∴DE：AB=3：4，
∴S△DFE：S△BFA=9：16．
故选：B．
【变式训练1】
解：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵△ADE的面积为4，
∴，
∴S△ABC=16．
故选：C．
【变式训练2】解：如图所示，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴S△DEF：S△BCF=（）2，
又∵E是AD中点，
∴DE=AD=BC，
∴DE：BC=DF：BF=1：2，
∴S△DEF：S△BCF=1：4，
∴S△BCF=4，
又∵DF：BF=1：2，
∴S△DCF=2，
∴S ABCD=2（S△DCF+S△BCF）=12．
故选B．
【变式训练3】解：∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴=（）2=．
∵S△ACD=1，
∴S△ABC=4，S△BCD=S△ABC﹣S△ACD=3．
故选C．
【变式训练4】解：∵∠ABC=90°，∠DCB=90°
∴AB∥CD，
∴∠OCD=∠A，∠D=∠ABO，
∴△AOB∽△COD
又∵AB：CD=BC：CD=tan30°=1：
∴△AOB与△DOC的面积之比等于1：3．
故答案为：1：3．
【变式训练5】（1）证明：∵DC=AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，
∴F为AD的中点，
∵点E是AB的中点，
∴EF为△ABD的中位线，
∴EF∥BC；
（2）解：∵EF为△ABD的中位线，
∴，EF∥BD，
∴△AEF∽△ABD，
∴S△AEF：S△ABD=1：4，
∴S△AEF：S四边形BDFE=1：3，
∵四边形BDFE的面积为6，
∴S△AEF=2，
∴S△ABD=S△AEF+S四边形BDFE=2+6=8．
相似三角形的应用
【题模二】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴△BAE∽△CDE，
∴
∵BE=20m，CE=10m，CD=20m，
∴
解得：AB=40，
故选B．
【变式训练1】解：根据题意，容易得到△ABP∽△PDC．
即CD：AB=PD：BP，
∵AB=6米，BP=9米，PD=15米，
∴CD=×AB=10；
那么该古城墙的高度是10米．
故选C．
【变式训练2】解：∵，
∴，
解得旗杆的高度==18m．
故选C．
【变式训练3】解：∵，∠COD=∠AOB，
∴△COD∽△BOA∴，
又∵CD=b，∴AB=bm．
故选A．
【变式训练4】解：如图；
AD=6m，AB=21m，DE=2m；
由于DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，得：
，即 ，
解得：BC=7m，
故树的高度为7m．
故选：A．
位似变换
【题 模】解：∵以原点O为位似中心，在第一象限内，将线段CD放大得到线段AB，
∴B点与D点是对应点，则位似比为：5：2，
∵C（1，2），∴点A的坐标为：（2.5，5）故选：B．
【变式训练1】解：∵E（﹣4，2），以O为位似中心，按比例尺1：2把△EFO缩小，
∴点E的对应点的坐标为：（﹣2，1）或（2，﹣1）．
故选D．
【变式训练2】解：∵以点O为位似中心，将△ABC放大得到△DEF，AD=OA，
∴OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积之比为：1：4．
故选：B．
【变式训练3】解：∵∠OAB=∠OCD=90°，AO=AB，CO=CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为（1，0），
∴BO=1，则AO=AB=，
∴A（，），
∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，
∴点C的坐标为：（1，1）．
故选：B．
【变式训练4】解：∵△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心且OA=AD，
∴AC∥DF，
∴△OAC∽△ODF，
∴AC：DF=OA：OD=1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比是1：4．故选C．