【解析版】甘肃省河西五市部分普通高中2014届高三上学期第一次联合考试（1月）数学（理）试题

2014年1月甘肃省河西五地市普通高中
高三第一次联考数学试卷(理科)
命题学校：嘉峪关市酒钢三中 命题人：朱兮云 杨林世 王玉胜
一、选择题：（每小题5分,共60分）
1．下列推断错误的是(　　)
A. 命题“若则 ”的逆否命题为“若则”
B. 命题p：存在，使得，则非p：任意，都有
C. 若p且q为假命题，则p，q均为假命题
D. “”是“”的充分不必要条件
【答案】C
【解析】A. 命题“若则 ”的逆否命题为“若则”,正确；
B. 命题p：存在，使得，则非p：任意，都有，正确；
C. 若p且q为假命题，则p，q至少有一个假命题；
D. “”是“”的充分不必要条件，正确。
2. 设为虚数单位，则复数等于（ ）
A． B．4－3 C．－4＋3 D．－4－3
【答案】D
【解析】。
3.已知，向量垂直，则实数的值为（ ）
A． B. C. D.
【答案】A
【解析】因为向量垂直，所以。
4．若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示，则这个棱柱的体积为（ ）

A. B. C. D.6
【答案】B
【解析】由三视图知：原几何体为正三棱柱其中三棱柱的底面是边长为6的等边三角形，三棱柱的高为4，所以三棱柱的体积为。
5. 已知F是双曲线的左焦点，E是该双曲线的右顶点，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围为（ ）
A. B.（1,2） C. D.
【答案】B
【解析】若△ABE是锐角三角形，则，整理，得，所以该双曲线的离心率e的取值范围为（1,2）。
6. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（ ）
A.
B.
C.三棱锥的体积为定值
D.
【答案】D
【解析】对于A，可得出AC⊥平面BB'D'D，而BE是平面BB'D'D内的直线，因此AC⊥BE成立，故A项正确；
对于B，因为平面A'B'C'D'∥平面ABCD，EF?平面A'B'C'D'，所以EF∥平面ABCD，故B正确；
对于C，点A到平面BEF的距离也是点A到平面BB'D'D的距离，等于正方体面对角线的一半，而三角形BEF的边，且EF到B点距离为1，所以其面积为定值，故VA-BEF=，故C项正确；
对于D，，，故D项错误．故选D。
7.已知等差数列的前n项和为，又知，且，，则为（ ）
A.33 B.46 C.48 D.50
【答案】C
【解析】，又，且成等差数列，所以=48.
8. 已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，，代入椭圆方程，得，，两式相减，得，由中点坐标公式，，所以，即 ，所以的方程为。
9．若不等式在t∈(0,2]上恒成立，则的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，所以若不等式在t∈(0,2]上恒成立，则的取值范围是。
10、一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5的三角形内爬行，则此蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为（ ）
A． B. C. D.
【答案】B
【解析】三角形的面积为；不满足条件的区域是以三角形顶点为圆心，半径为1的三个扇形的面积。又三角形内角之和为180度，所以三个扇形的面积之和就相当半个半径为1圆的面积，所以蚂蚁距离三角形三个顶点的距离均超过1的概率为。
11．关于的方程的两实根为，
若，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为关于的方程的两实根为，且，所以，即，以a为x轴，b为y轴，画出表示的可行域，由可行域知：的取值范围是。
12. 已知函数若关于的函数有8个不同的零点， 则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】画出函数的图像，如图，若关于的函数有8个不同的零点，则方程有两个不等实根，且两个都在内，所以。
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.若展开式中二项式系数之和为16，则展开式常数项为 .
【答案】24
【解析】因为展开式中二项式系数之和为16，
所以，，所以展开式常数项为。
14．一束光线从点A(－1, 1)出发经x轴反射，到达
圆C： 上一点的最短路程是 .
【答案】4
【解析】点A(－1, 1)关于x轴的对称点B为（-1，-1），圆的圆心O为（2,3），到达圆C： 上一点的最短路程是。
15．如图:程序框图中，若输入，那么输出的= .
【答案】360
【解析】第一次循环：，此时满足，继续循环；
第二次循环：，此时满足，继续循环；
第三次循环：，此时满足，继续循环；
第四次循环：，此时不满足，结束循环，所以输出的=360.
16．已知 是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的 ，都有成立．数列满足，且.则数列的通项公式为 .
【答案】n·2n
【解析】因为数列满足，且，所以，
因为对于任意的 ，都有成立，所以令，则，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列所以。
二、解答题（6道大题，共70分）
17．已知等差数列满足的前项和为.
（1）求及；（2）令，求数列的前项和.
18．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量（单位：万盒）的数据如下表所示：
月份
1
2
3
4
5
（万盒）
4
4
5
6
6
（1）该同学为了求出关于的线性回归方程，根据表中数据已经正确计算出，试求出的值，并估计该厂6月份生产的甲胶囊产量数；
（2）若某药店现有该制药厂今年二月份生产的甲胶囊4盒和三月份生产的甲胶囊5盒，小红同学从中随机购买了3盒甲胶囊，后经了解发现该制药厂今年二月份生产的所有甲胶囊均存在质量问题．记小红同学所购买的3盒甲胶囊中存在质量问题的盒数为，求的分布列和数学期望．
19．已知函数（其中的最小正周期为．
（1）求的值，并求函数的单调递减区间；
（2）在锐角中，分别是角的对边，若 的面积为，求．
20.如图，在长方体，中，，点在棱AB上移动.
（1）证明：；
（2）当为的中点时，求点到面的距离；
（3）等于何值时，二面角的大小为.
21已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与的两个交点为A和B满足（其中O为原点），求k的取值范围.
22．已知函数 函数 有相同极值点.
(1)求函数的最大值；
(2) 求实数 的值；
(3)若?x1，x2∈，不等式≤1恒成立，求实数 的取值范围．
高三第一次联考数学试卷(理科) 参考答案
一、选择题：（每小题5分,共60分）
1．C 2. D 3.A 4．B. 5. B 6. D 7.D 8. D 9．B 10.B 11．D. 12. D
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.24 14．4 15．60 16．n·2n
二、解答题（6道大题，共70分）
17．解：（1）设等差数列的首项为，公差为，
由，解得．
由于，所以．
（2）因为，所以，
因此．
故，
所以数列的前n项和．
18．解：（1），
因线性回归方程过点，∴，
∴6月份的生产甲胶囊的产量数：
（2）

其分布列为
0
1
2
3

19．解析：（1）由已知得，于是．的单调递减区间为．
20.常规方法（略）
向量法：以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则
（1）
（2）因为为的中点，则，从而，
，设平面的法向量为，则
也即，得，从而，所以点到平面的距离为

（3）设平面的法向量，∴
由 令，∴
依题意
∴（不合，舍去）， .
∴时，二面角的大小为.
21解：（1）设双曲线C2的方程为，
则故C2的方程为
（2）将
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
即 ①
.
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得
②

解此不等式得 ③
由①、②、③得
故k的取值范围为
22．解　(1)f′(x)＝－2x＋＝－2 (x>0)，
由得01.
∴f(x)在(0,1)上为增函数，在(1，＋∞)上为减函数．
∴函数f(x)的最大值为f(1)＝－1.
(2)∵g(x)＝x＋，∴g′(x)＝1－.
由(1)知，x＝1是函数f(x)的极值点．又∵函数f(x)与g(x)＝x＋有相同极值点，
∴x＝1是函数g(x)的极值点．∴g′(1)＝1－a＝0，解得a＝1.
经检验，当a＝1时，函数g(x)取到极小值，符合题意
(3)∵f()＝－－2，f(1)＝－1，f(3)＝－9＋2ln3，
∵－9＋2ln3<－－2<－1，即f(3)∴?x1∈， f(x1)min＝f(3)＝－9＋2ln3，f(x1)max＝f(1)＝－1.
由①知g(x)＝x＋，∴g′(x)＝1－.
故g(x)在时，g′(x)<0；当x∈(1,3]时，g′(x)>0.
故g(x)在上为减函数，在(1,3]上为增函数．
∵g()＝e＋，g(1)＝2，g(3)＝3＋＝，而2∴?x2∈，g(x2)min＝g(1)＝2，g(x2)max＝g(3)＝.
?当k－1>0，即k>1时，对于?x1，x2∈，不等式≤1恒成立
?k－1≥[f(x1)－g(x2)]max?k≥[f(x1)－g(x2)]max＋1.
∵f(x1)－g(x2)≤f(1)－g(1)＝－1－2＝－3，∴k≥－3＋1＝－2，又∵k>1，∴k>1.
?当k－1<0，即k<1时，对于?x1，x2∈，不等式≤1恒成立
?k－1≤[f(x1)－g(x2)]min?k≤[f(x1)－g(x2)]min＋1.
∵f(x1)－g(x2)≥f(3)－g(3)＝－9＋2ln3－＝－＋2ln3，
∴k≤－＋2ln3.又∵k<1，∴k≤－＋2ln3.
综上，所求的实数k的取值范围为∪(1，＋∞)．