【解析版】甘肃省河西五市部分普通高中2014届高三上学期第一次联合考试（1月）数学（文）试题

2014年1月甘肃省河西五市部分普通高中
高三第一次联合考试 数学试卷（文科）
命题：嘉峪关市酒钢三中 朱兮云 杨林世 王玉胜
一、选择题（每题5分，共60分）
1. 若集合，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】集合
，所以“”是“”的必要不充分条件。
2. 设为虚数单位，则复数等于（ ）
A． B．1－ C．－1＋ D．－1－
【答案】C
【解析】。
3. 已知向量a=(1,2)，向量b=(x, －2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于
A.9 B.－9 C.－3 D. 3
【答案】A
【解析】因为a⊥(a－b)，所以，所以。
4. 在正项等比数列中，，则的值是
A. 10000 B. 1000 C. 100 D. 10
【答案】A
【解析】因为在正项等比数列中，，所以，所以。
5. 执行下面的程序框图，如果输入，那么输出的n的值为
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】判断条件，满足，所以；
判断条件，满足，所以；
判断条件，满足，所以；
判断条件，满足，所以；
判断条件，不满足，结束循环，所以输出的n的值为4.
6.若函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则的最小值是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，把函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数，因为此函数是偶函数，所以，又因为，所以的最小值是。
7. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E，F，且，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C.三棱锥的体积为定值 D.
【答案】D
【解析】对于A，可得出AC⊥平面BB'D'D，而BE是平面BB'D'D内的直线，因此AC⊥BE成立，故A项正确；
对于B，因为平面A'B'C'D'∥平面ABCD，EF?平面A'B'C'D'，所以EF∥平面ABCD，故B正确；
对于C，点A到平面BEF的距离也是点A到平面BB'D'D的距离，等于正方体面对角线的一半，而三角形BEF的边，且EF到B点距离为1，所以其面积为定值，故VA-BEF=，故C项正确；
对于D，，，故D项错误．故选D。
8. 若，则直线与轴、轴围成的三角形的面积小于的概率是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，令x=0得；令y=0得，所以，结合可得，所以故m总的基本事件为长为3的线段，满足题意的基本事件为长为2的线段，所以轴、轴围成的三角形的面积小于的概率是。
9. 设变量满足约束条件且目标函数的最大值为4，且取得最大值的最优解有无穷多个，则的值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】画出约束条件的可行域，由可行域知：目标函数的最大值为4，且取得最大值的最优解有无穷多个，则。
10. 已知椭圆的右焦点为,过点F的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则E的方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，，代入椭圆方程，得，，两式相减，得，由中点坐标公式，，所以，即 ，所以的方程为。
11. 在中，分别为的对边，三边成等差数列，且，则的值为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为三边成等差数列，所以2b=a+c，根据正弦定理得： ，又，
所以
。
12. 对于实数和，定于运算“”：设函数.若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】易知：，由图像可知：当时，函数的图象恰有两个公共点，所以函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是。
二、填空（每题5分，共20分）
13. 某普通高中有3000名学生，高一年级800名，男生500名，女生300名；高二年级1000名，男生600名，女生400名；高三年级1200名，男生800名，女生400名，现按年级比例用分层抽样的方法抽取150名学生，则在高三年级抽取的女生人数为________．
【答案】20
【解析】高三年级应抽取，所以高三女生应抽取人。
14.某三棱锥的侧视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的体积___________.
【答案】
【解析】由三视图知：原几何体为三棱锥，其中三棱锥的底面是直角三角形斜边长为6，斜边的高为2，三棱锥的高为，所以该三棱锥的体积为。
15.已知函数,则___________.
【答案】－2
【解析】。
16.已知函数的定义域为，若存在常数，对，有，则称函数具有性质.给定下列函数①；②；③；④.具有性质的函数的序号是______.
【答案】①④
【解析】对于①④，因为和函数都为R上的增函数，又，所以x+c>x-c，所以，所以①④中的函数有性质；因为不是R上的增函数，所以不满足，故此函数f（x）不具有具有性质；?因为的最小正周期为2π，不是在R上的增函数，所以不满足，故此函数不具有性质．
三、解答题（6道大题，共70分）
17. （本题10分）已知等差数列满足的前项和为.
（1）求及；（2）令，求数列的前项和.
18. （本题12分）某中学甲、乙两班共有25名学生报名参加了一项测试.这25名学生的测试成绩编成如图所示的茎叶图，其中有一个数据因电脑操作员不小心删掉了（这里暂用x来表示），但他清楚地记得两班学生的中位数相同.
(Ⅰ)求这两个班学生的中位数记x的值；
（Ⅱ）如果将这些成绩分为优秀（得分在175分以上，包括175分）和过关，若学校再从这两个班获得优秀成绩的学生中选出3名代表学校参加比赛，求这3人中甲班至多有一人入选的概率.
19. （本题12分）已知函数（其中的最小正周期为．
（1）求的值，并求函数的单调递减区间；
（2）在锐角中，分别是角的对边，若
的面积为，求．
20. （本题12分）在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD底面ABCD，PDCD，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，，
E为AD的中点.
(Ⅰ) 求证：BCPB；
（Ⅱ）判断并说明PD上是否存在点G，使得EG∥平面PBC.
21．（本题12分）设函数为奇函数，其图像在点处的切线与直线垂直，导函数的最小值为－12.
(Ⅰ)求的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间，并求函数在[－1,3]上的最值
22. （本题12分）已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与椭圆及双曲线都恒有两个不同的交点，且与的两个交点为A和B满足（其中O为原点），求的取值范围.
2014年1月甘肃省河西五地市部分普通高中高三第一次联考
数学（文科）参考答案及评分标准
一、选择（每题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
C
A
A
C
D
D
C
A
B
D
B
二、填空（每题5分，共20分）
13. 20 14. 5. －2 16.①④
三、解答题（共计70分）
17.（本题10分）(Ⅰ)设等差数列的首项为，公差为，
由，解得．
由于，所以.………（5分）
（Ⅱ）因为，所以，因此．
故，
所以数列的前n项和． ………………………（5分）
18.（本题12分）
(Ⅰ)甲班参加测试人数为12，中位数.
乙班参加测试人数为13，中位数是150+x，故x=7. ………………………（6分）
（Ⅱ）用A表示事件“甲班至多有一人入选”，设甲班2位优秀学生为，乙班3位优秀学生为,则从5人中选出3人的情况有：共10种；其中至多有一名甲班学生的情况有7中，故.………………………（6分）
19.（本题12分）
解：(Ⅰ)由已知得，于是．的单调递减区间为．……（5分）
………（7分）
20.（本题12分）
(Ⅰ) 如图，
……………………………（6分）
（Ⅱ）PD上存在点G，使得EG∥平面PBC.
.…………………………………………………………………………………（6分）
21.（本题12分）
解　(Ⅰ)∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)，即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c.
∴c＝0，∵f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12.
又直线x－6y－7＝0的斜率为，
因此，f′(1)＝3a＋b＝－6.
∴a＝2，b＝－12，c＝0. ………………（5分）
（Ⅱ）单调递增区间是(－∞，－)和(，＋∞)．
f(x)在[－1,3]上的最大值是18，最小值是－8.………………（7分）
22.（本题12分）
解：(Ⅰ)设双曲线C2的方程为，
则
故C2的方程为………………（4分）
（Ⅱ）将
由直线l与椭圆C1恒有两个不同的交点得
即 ①………………（6分）
.
由直线l与双曲线C2恒有两个不同的交点A，B得
………………（8分）

解此不等式得
③………………（10分）
由①、②、③得
故k的取值范围为
………………………………………………（12分）