【解析版】甘肃省天水一中2014届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题

天水一中2011级高三第二学期诊断考试卷
数 学（文科）
一．选择题
1．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“NM”的(　　)．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】若NM ，则 ，所以“a＝1”是“NM”的充分不必要条件。
2．设为实数，若复数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以，所以。
3．已知实数,,构成一个等比数列,则圆锥曲线的离心率为( )
A． B. C． D.
【答案】B
【解析】因为实数,,构成一个等比数列,所以，所以圆锥曲线表示双曲线，所以此圆锥曲线的离心率为。
4． 下列命题错误的是 （ ）
A. 命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为，则”；
B. 若命题，则；
C. 中，若则一定有成立；
D. 若向量满足，则与的夹角为钝角.
【答案】D
【解析】A. 命题“若，则”的逆否命题为“若中至少有一个不为，则”，正确；
B. 若命题，则，正确；
C. 中，若则一定有成立，正确；
D. 若向量满足，则与的夹角为钝角，错误，有可能是平角.
5.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝bx＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为(　　)
A．63.6万元 B．65.5万元 C．67.7万元 D．72.0万元
【答案】B
【解析】,把点代入回归方程＝bx＋a中得，所以x=6时，。
6.执行如图所示的程序框图,输出的S值为（ ）

A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】第一次循环：，不满足条件，继续循环；
第二次循环：，此时满足条件，结束循环，所以输出的S的值为。
7.函的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】易知：，所以，把点代入得：，所以。
8.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是
A．8 B． C.10 D．
【答案】C
【解析】三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，，10，显然面积的最大值为10，故答案为10。
9. 设P为曲线C：上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为（ ）
(A) . (B) . (C) . (D)
【答案】A
【解析】设，则，因为曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为，所以斜率的取值范围为。
10. 直线与圆相交于M,N两点，若，则k的取值范围是
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以圆心到直线的距离。
11. 定义域为R的连续函数，对任意x都有，且其导函数满足，则当时，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为函数对任意x都有，所以函数的对称轴为，又因为满足，所以，所以函数在内单调递减，在单调递增。因为，所以。
12. 已知等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AC，BC的中点分别是D，E，沿DE把该三角形折成直二面角，此时斜边AC被折成折线ADC，则∠ADC等于 （ ）
A．150° B．135° C．120° D．100°
【答案】C
【解析】设等腰直角三角形ABC的直角边为2，在直观图中，连接AE，在三角形AEC中，∠AEC=90°，，在三角形ADC中，，所以由余弦定理得。
二．填空题
13在△ABC中，内角A,B,C的对边分别是a,b,c，若，，则A=____.
【答案】
【解析】因为，所以由正弦定理得：，所以，所以A=。
14．在区域M＝内随机撒一把黄豆，落在区域N＝内的概率是__________．
【答案】
【解析】M＝表示的面积为8，N＝表示的面积为4，所以概率为。
15．抛物线的焦点为，过焦点倾斜角为的直线交抛物线于，两点，点，在抛物线准线上的射影分别是，，若四边形的面积为，则抛物线的方程为____
【答案】
【解析】过A作AC⊥于点C，因为直线倾斜角为，所以，设，直线AB的方程为，与抛物线方程联立消元得：所以，所以，所以。所以抛物线方程为。
16． 如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．
（1）每次只能移动一个金属片；
（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为；
则：（Ⅰ） （Ⅱ）
【答案】7， 2n-1
【解析】：设h（n）是把n个盘子从1柱移到3柱过程中移动盘子之最少次数，
n=1时，h（1）=1；
n=2时，小盘→2柱，大盘→3柱，小柱从2柱→3柱，完成，即h（2）=3=22-1；
n=3时，小盘→3柱，中盘→2柱，小柱从3柱→2柱，[用h（2）种方法把中、小两盘移到2柱，大盘3柱；再用h（2）种方法把中、小两盘从2柱3柱，完成]，
h（3）=h（2）h（2）+1=32+1=7=23-1，
h（4）=h（3）h（3）+1=72+1=15=24-1，
…
以此类推，h（n）=h（n-1）h（n-1）+1=2n-1，故答案为：7；2n-1．
三． 解答题
17.已知∈R，k∈R),
（1）若，且，求x的值；
（2）若，是否存在实数k，使⊥? 若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由。
18．某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.
25周岁以上组 25周岁以下组
（I）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；
（II）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？
0.100
0.050
0.010
0.001
k
2.706
3.841
6.635
10.828

19．如图，PA平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=，AD=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
(I)求三棱锥E—PAD的体积；
(II)试问当点E在BC的何处时，有EF//平面PAC；
(1lI)证明：无论点E在边BC的何处，都有PEAF．
20. 已知函数，
（I）求的单调区间；
（II）求在区间上的最小值。
21.已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆长轴上的一个动点，过作方向向量的直线交椭圆于、两点，求证：为定值．
22. 如图,垂直于于,垂直于,连接.证明:
(I) (II)
23.在直角坐标系中以为极点,轴正半轴为极轴建立坐标系.圆,直线的极坐标方程分别为
(I)求与交点的极坐标;
(II)设为的圆心,为与交点连线的中点.已知直线的参数方程为
,求的值.
24.已知函数=,=.
(Ⅰ)当=2时,求不等式<的解集;
(Ⅱ)设>-1,且当∈[,)时,≤,求的取值范围.
天水一中2011级高三第二学期诊断考试
数 学（文科）答案
1A 2 A 3 B 4D 5B 6 C 7A 8C 9A 10A 11D 12C
13 14 15 16 7 2n-1;
17【答案】（1）
（2）k∈
【解析】（1），，
，………………………4
（2），
若，则
即，
，……………………7
∵，∴.
∴k∈
存在k∈使………………………………….10
（I）（II）没有把握
18.【解析】 （Ⅰ）由已知得，样本中有周岁以上组工人名，周岁以下组工人名
所以，样本中日平均生产件数不足件的工人中，周岁以上组工人有（人），
记为，，；周岁以下组工人有（人），记为，
从中随机抽取名工人，所有可能的结果共有种，他们是：，，，，，，，，，
其中，至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种，它们是：，，，，，，.故所求的概率：
（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的名工人中，“周岁以上组”中的生产能手（人），“周岁以下组”中的生产能手（人），据此可得列联表如下：
生产能手
非生产能手
合计
周岁以上组
周岁以下组
合计
所以得：
因为，所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”
19【解析】
试题解析：（Ⅰ）由已知PA平面ABCD，所以的长即为三棱锥的高，三棱锥的体积等于的体积
= = ．
（Ⅱ）当点为的中点时，与平面平行．
∵在中，分别为的中点，连结
，又平面，而平面，
∴∥平面．
（Ⅲ）证明：因为，所以等腰三角形中，
∵平面，平面，
∴
又因为 且，?平面，
∴平面，又平面，
∴．
又∵， ∴平面．PB，BE?平面PBE，∵平面，∴，即无论点E在边的何处，都有．
考点：几何体的体积，垂直关系，平行关系.
20解：（I），令；所以在上递减，在上递增；
（II）当时，函数在区间上递增，所以；
当即时，由（I）知，函数在区间上递减，上递增，所以；
当时，函数在区间上递减，所以。
21.
试题解析：（1） 因为的焦点在轴上且长轴为，
故可设椭圆的方程为（）， （1分）
因为点在椭圆上，所以， （2分）
解得， 所以，椭圆的方程为． （2分）
（2）设（），由已知，直线的方程是， （1分）
由 （*） （2分）
设，，则、是方程（*）的两个根，
所以有，， （1分）
所以，
（定值）． （3分）
所以，为定值． （1分）
22.略
23.（1） （2）
24. （1） （2）