【解析版】甘肃省武威市凉州区2014届高三下学期第一次诊断考试数学（理）试题

一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）
1.若非空集合A={x|},B={x|3(x(22},则能使A(B,成立的实数a的集合是A.{a|6(a(9} B．{a|1(a(9} C．{a|a(9} D．(
【答案】A
【解析】因为非空集合A={x|},B={x|3(x(22},则能使A(B,所以，解得，所以实数a的集合是{a|6(a(9}。
2.设(是虚数单位),则
A． B． C． D．【答案】B
【解析】因为(是虚数单位),所以.
3.等比数列的前项和为,,则
A．54 B．48 C．32 D．16
【答案】D
【解析】因为数列为等比数列，所以成等比数列，又，即16.
4.已知：均为正数，，则使恒成立的的取值范围是
B． C． D．
【答案】A
【解析】因为均为正数，，所以，当且仅当时等号成立，所以使恒成立的的取值范围是 。
5．执行右面的程序框图，那么输出S的值为
A．9 B．10 C．45 D．55
【答案】D
【解析】第一次循环：，不满足条件，继续循环；
第二次循环：，不满足条件，继续循环；
第三次循环：，不满足条件，继续循环；
第四次循环：，不满足条件，继续循环；
……
第11次循环：，此时满足条件，结束循环，所以输出S的值为55.
6.若，则实数的值为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，。
7．若x，y满足则x＋2y的最大值为
A． B．6 C．11 D．10
【答案】C
【解析】画出约束条件表示的可行域，由可行域知：目标函数z=x＋2y过点(3,4)时取最大值，且其最大值为11.
8．某几何体的三视图如图所示，则它的侧面积为
A．24 B．24 C． 12 D．12
【答案】C
【解析】由三视图知：原几何体为正四棱台，其中正四棱台的上底是边长为2的正方形，下底面是边长为4的正方形，正四棱台的高为2，所以正四棱台的侧高为，所以它的侧面积为。
9、函数（）的图象如右图所示，为了得到 的图象，可以将的图象
A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度
【答案】B
【解析】由图易知：A=1，，把点代入得，所以，所以为了得到的图像，可以将的图象向右平移个单位长度。
10．下列函数中，在上有零点的函数是
A． B．C． D．
【答案】D
【解析】A． ，所以恒成立，且不恒为0，所以
在内单调递减，又，所以在上无零点。
B．，所以函数在先增再减，又，，所以在上无零点。
C．，所以恒成立，且不恒为0，所以在内单调递减，又，所以在上无零点。
D．，所以，所以函数在先减然后增再减，又，，所以在有零点。
11 ．若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由抛物线的定义知：若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,所以抛物线y2=x上一点P到焦点的距离等于它到顶点的距离,所以点P的横坐标，代入得点P的坐标为。
12．已知双曲线的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线
与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是
A.(1,2] B．(1,2) C．[2,+ ) D． (2,+ )
【答案】C
【解析】因为过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,所以，所以，因此选C。
第Ⅱ卷(90分)
二、填空题:（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．在等差数列中,是其前项的和,且,,则数列
的前项的和是__________?
【答案】
【解析】因为数列为等差数列，所以是等差数列，又，所以数列的公差为1，首项为2，所以，所以，所以数列 的前项的和是。
14．已知点O为的外心，且,则____________．
【答案】6
【解析】因为点O为的外心，且,所以

。
15．已知圆C的圆心与点P(-2,1)关于直线y=x+1对称,直线3x+4y-11=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为___________.
【答案】
【解析】易求点P(-2,1)关于直线y=x+1的对称点为（0，-1），点（0，-1）到直线3x+4y-11=0的距离为3，又因为直线3x+4y-11=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,所以圆的半径为，所以圆C的方程为。
16．直三棱柱ABC－A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上．若AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，AA1＝2，则球O的表面积为____________．
【答案】16
【解析】设AC的中点为D，A1C1的中点为D1，连接DD1，BD,OB,则易知：球心O为DD1的中点为球心，OB为球的半径，且OD=，OB=2,所以球O的表面积为16。
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.(本题满分12分)
已知函数．
（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；
（2）的内角的对边长分别为，若
且试判断的形状，并说明理由．
（本小题满分12分）
为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女生比例随机抽取50名学生进行百米测试，学生成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，第二组……第五组，如右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
(Ⅰ) 设表示样本中两个学生的百米测试成绩，已知
求事件“”的概率；
（Ⅱ） 根据有关规定，成绩小于16秒为达标．如果男女生使用相同的达标标准,则男女生达标情况如附表 ：
性别
是否达标
男
女
合计
达标
___
_____
不达标
___
_____
合计
______
______
附表:
根据附表数据，请通过计算说明能否有99%的把握认为“体育达标与性别有关”？
附：
19.（本小题共12分）
如图，是等边三角形， ，，将沿折叠到的位置，使得．
⑴ 求证：；
⑵若，分别是，的中点，求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分）已知圆心为F1的圆的方程为，F2（2，0），C是圆F1上的动点，F2C的垂直平分线交F1C于M．
（1）求动点M的轨迹方程；
（2）设N（0，2），过点P（－1，－2）作直线l，交M的轨迹于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值．
21. （本小题满分12分）已知函数（为参数）
（1）若，求函数单调区间；
（2）当时，求函数的最小值；
请考生在第22—24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
22．（本小题满分10分）如图,AB是⊙O的直径,弦BD、CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.
求证:(1);
(2)AB2=BE?BD-AE?AC.
23.已知直线的参数方程为（为参数），曲线C的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正方向建立直角坐标系，点，直线与曲线C交于A、B两点．
(1)写出直线的极坐标方程与曲线C的普通方程；
(2) 线段MA，MB长度分别记为|MA|，|MB|，求的值．
24．（本小题满分10分）设关于的不等式
(1)当时,解这个不等式;
(2)若不等式解集为,求的取值范围;
凉州区2014届高三年级第一次诊断考试
数 学 试 卷（理）答案
一、选择题 ABDAD BCCBD BC
二、填空题 13． 14.6 15. 16. 16

………………6分
∵， ∴或。
当时，；当时，（不合题意，舍），
所以为直角三角形 ………………12分
性别
是否达标
男
女
合计
达标
a=24
b=6
30
不达标
c=8
d=12
20
合计
32
18
n=50
所以基本事件总数为10，事件“”由6个基本事件组成.
所以．……6分
（Ⅱ）依题意的列联表为：
,由于,故有99%的把握认为“体育达标与性别有关”. ……………12分
（19）（共12分）
（Ⅰ）证明：因为w
所以，
又因为，且，
所以 平面，因为平面，所以 ． ………4分
（Ⅱ）因为△是等边三角形，，，
不防设，则 ，
又因为，分别为，的中点，


又平面的一个法向量为．
所以 ．
所以二面角的余弦值为． ………………………………12分
21.解：（1），定义域为
当时，，令得
所以的单调递增区间为，单调递减区间为------------------------4分
（2）
①当时，对成立，所以在区间上单调递减，所以在区间上的最小值为
②当时，；令
（ⅰ）若，即时，则对成立，所以在区间上单调递减，所以在区间上的最小值为
（ⅱ）若时，在单调递减，在单调递增，在处有极小值。所以在区间上的最小值为
综上，得------------------------------------------12分
22 证明:
(1)连结AD
因为AB为圆的直径,所以∠ADB=90°,又EF⊥AB,∠EFA=90°
则A、D、E、F四点共圆
∴∠DEA=∠DFA-------------------------------5分
(2)由(1)知,BD?BE=BA?BF
又△ABC∽△AEF
∴
即:AB?AF=AE?AC
∴ BE?BD-AE?AC
=BA?BF-AB?AF
=AB(BF-AF)
=AB2
-------------10分
23.解（1）直线的极坐标方程， ……3分
曲线普通方程 ……5分
（2）将代入得，……8分
……10分