【解析版】甘肃省武威市凉州区2014届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知全集，集合，集合，则下列结论中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为全集，集合，集合，则下列结论中成立的是。
2.已知为虚数单位，则在复平面内对应的点位于 ( )
第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】D
【解析】因为，所以在复平面内对应的点位于第四象限。
3.已知命题，命题，则 ( 　)
A.命题是假命题 B.命题是真命题
C.命题是真命题 D.命题是假命题
【答案】C
【解析】命题是真命题，例如x=10时成立；
命题是假命题，例如x=0时就不成立，所以
命题是真命题，因此选C。
4.已知，则的值是 （ ）
A． B． C. D．
【答案】A
【解析】因为，所以，所以。
5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ）
　Ａ．　　　　　 Ｂ．
　Ｃ．　　　　　 Ｄ．
【答案】A
【解析】由三视图知：原几何体为一个正方体，里面挖去一个圆锥，其中正方体的棱长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，所以该几何体的体积为。
6. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】第一次循环：，不满足条件，继续循环；
第二次循环：，不满足条件，继续循环；
第三次循环：，不满足条件，继续循环；
第四次循环：，此时满足条件，结束循环，所以输出的S的值为。
7．函数的图象恒过定点A，若点A
在直线 上，其中m，n均大于0，则的最小
值为 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【解析】易知A(-2，-1),因为A在直线上，所以，又因为m，n均大于0，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为8.
8. 已知等比数列{}的公比,且,,48成等差数列,则{}的前8项和为( )
A．127 B．255 C．511 D．1023
【答案】B
【解析】因为,,48成等差数列,所以，所以{}的前8项和为。
9．已知为的导函数，则的图像是（ ）
【答案】A
【解析】因为所以，易知函数是奇函数，所以排除BD，又，在内成立，所以函数在内单调递减，因此排除C，所以选A。
10.设函数，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所
得的图象与原图象重合，则的最小值等于 (　　)
A.  B．3 C．6 D．9
【答案】C
【解析】要满足函数，将y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则，所以的最小值等于6.
11. 点P在双曲线上，F1，F2是这条双曲线的两个焦点，∠F1PF2
＝90°，且△F1PF2的三条边长成等差数列，则此双曲线的离心率是 (　　)
A．2 B． 3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】不妨设点P在双曲线的右支上，设因为△F1PF2的三条边长成等差数列，所以，，两式联立，得：。
12.定义方程的实数根叫做函数的“新驻点”，若函，的“新驻点”分别为，，，则，，的大小
关系为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以由，，，所以，，的大小关系为。
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在横线上）.
13．若圆的半径为1，圆心在第一象限，且与直线和轴相切，则该圆的标准方程是_______________.
【答案】
【解析】设圆心坐标为，因为圆与直线相切，所以，所以该圆的标准方程为。
14.若向量，满足，，且，则与的夹角为
【答案】
【解析】因为，所以，所以，所以与的夹角为。
15.若函数 的图像上存在点，满足约束条件，则实数的最大值为
【答案】
【解析】画出约束条件的可行域，易知点（3,1）在函数和的图像上，所以直线过点（3,1）时m的值最大，最大为1.
16.在△ABC中，已知a，b，c分别为角A，B，C所对的边，S为△ABC的面积．若向量＝(4，a2＋b2－c2)，＝(，S)，满足∥，则角C＝ .
【答案】
【解析】因为∥，所以，所以，所以。
三、解答题 (解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.共70分)
17.(本题满分12分) 等差数列是递增数列，前n项和为，且a1，a3，a9成等比数列，．
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)若数列满足，求数列的前n项的和．
18.(本小题满分12分)
为了了解甘肃各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了人，回答问题“甘肃省有哪几个著名的旅游景点？”统计结果如下图表．
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数
占本组的频率
第1组
[15，25)
a
0.5
第2组
[25，35)
18
x
第3组
[35，45)
b
0.9
第4组
[45，55)
9
0.36
第5组
[55，65]
3
y
(Ⅰ)分别求出a，b，x，y的值；
(Ⅱ)从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？
(Ⅲ)在(Ⅱ)抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率.
19.（本小题满分12分） 如图，正三棱柱（底面为正三角形，侧棱垂直于底面）
中，是的中点， （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）求证：∥平面； （Ⅲ）求三棱锥的体积.
20.（本小题12分）
已知椭圆C的中心在坐标原点，短轴长为4，且有一个焦点与抛物线的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知经过定点M（2,0）且斜率不为0的直线交椭圆C于A、B两点，试问在x轴上是否另存在一个定点P使得始终平分？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
21. (本小题满分12分)
已知函数在处取得极值.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求函数在上的最小值;
(Ⅲ)求证:对任意,都有.
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB，⊙O交直线OB于E， D，连接EC，CD.
(Ⅰ)求证：直线AB是⊙O的切线；
(Ⅱ)若tan∠CED＝，⊙O的半径为3，求OA的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：极坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，已知曲线C的参数方程为．以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为
(Ⅰ)求直线的直角坐标方程；
(Ⅱ)点P为曲线C上的动点，求点P到直线距离的最大值．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(Ⅰ)当a＝－2时，求不等式f(x)＜g(x)的解集；
(Ⅱ)设a＞－1，且当x∈时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．
凉州区2014届高三年级第一次诊断考试
数 学 试 卷（文）答案
一 、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
C
A
A
B
C
B
A
C
D
B
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

∵，∴　 　①
　 ∵ ∴　 　 ②
　　 由①②得：， …………………5分
∴ …………………6分
(Ⅱ) …………………8分
∴
…………………12分

（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，
所以利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：
第2组：人；
第3组：人；
第4组：人 …………………8分

19.（本小题满分12分） （Ⅰ）证明：∵ABC—A1B1C1是正三棱柱， ∴BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AD 在正△ABC中，∵D是BC的中点，∴AD⊥BD，
∴AD⊥平面BB1 CC1,
∵B1D 平面 BB1 CC1, ∴AD⊥B1D …………………4分
（Ⅱ）解：连接A1B，设A1B∩AB1 = E，连接DE. ∵AA1=AB ∴四边形A1ABB1是正方形， ∴E是A1B的中点， 又D是BC的中点， ∴DE∥A1C. ………………………… 7分 ∵DE平面AB1D，A1C平面AB1D， ∴A1C∥平面AB1D. ……………………9分
……12分20.(本题满分12分)
解：（Ⅰ）∵短轴短轴长为4，∴2b=4,解得b=2.
又抛物线的焦点为（，0）
∴c=4,则==9,
∴椭圆方程为：. …………………… 5分
（Ⅱ）设:,代入椭圆方程整理：，
则， …………………… 7分
假设存在定点使得始终平分,
则…… 8分
①，………… 10分
要使得①对于恒成立，则，
故存在定点使得始终平分，它的坐标为．………… 12分
21. (本小题满分12分)
解：(Ⅰ)
由已知得即 解得:
当时,在处函数取得极小值,所以 ……4分
(Ⅱ),
. ………… 5分
-
0
+
减
增
所以函数在递减,在递增 ………… 6分
当时,在单调递增,
，
当时,
在单调递减,在单调递增,.
当时,,
在单调递减,
综上 在上的最小值 ………… 8分
(Ⅲ)由(Ⅰ)知,
.
令 得
因为
所以，
所以,对任意,都有
………… 12分
22．(本题满分10分)
(Ⅰ)证明：连接OC，∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB，又∵OC是圆的半径，∴AB是圆的切线．
(Ⅱ)∵ED是直径，∴∠ECD＝90°.
∴∠EDC＋∠E＝90°，又∠BCD＋∠OCD＝90°，∠OCD＝∠ODC，∴∠BCD＝∠E，又∠CBD＝∠EBC，
∴△BCD∽△BEC，∴＝＝?BC2＝BD·BE，
又tan∠CED＝＝，∴＝＝.
设BD＝x，则BC＝2x，∵BC2＝BD·BE，
∴(2x)2＝x(x＋6)，∴BD＝2，
∴OA＝OB＝BD＋OD＝2＋3＝5.
23．(本题满分10分)
解：(Ⅰ)ρcos＝2 化简为ρcos θ＋ρsin θ＝4，…………3分
∴直线l的直角坐标方程为x＋y＝4. …………5分
(Ⅱ)设点P的坐标为(2cos α，sin α)，
得P到直线l的距离d＝， …………7分
即d＝，其中cos φ＝，sin φ＝ .…………8分
当sin(α＋φ)＝－1时，dmax＝2 ＋. …………10分
24．(本题满分10分)
解：(Ⅰ)当a＝－2时，不等式f(x)设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
其图像如图所示，从图像可知，当且仅当x∈(0，2)时，
y<0，所以原不等式的解集是{x|0(Ⅱ)当x∈时，f(x)＝1＋a.
不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3.
所以x≥a－2对x∈都成立．
故－≥a－2，即a≤.
从而a的取值范围是