【解析版】广东省韶关市2014届高三调研测试数学（理）试题

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第Ⅰ卷（共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2·1·c·n·j·y
1.设集合 ( http: / / www.21cnjy.com ), ( http: / / www.21cnjy.com )，,则 ( http: / / www.21cnjy.com )（ ）
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
2．已知 ( http: / / www.21cnjy.com )是实数， ( http: / / www.21cnjy.com )是纯虚数，则 ( http: / / www.21cnjy.com )等于（ ）
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
3. 若 ( http: / / www.21cnjy.com )，则有（ ）.
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
4. 已知椭圆与双曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为 ( http: / / www.21cnjy.com )，那么椭圆的离心率等于( )【来源：21·世纪·教育·网】
A. ( http: / / www.21cnjy.com ) B. ( http: / / www.21cnjy.com ) C. ( http: / / www.21cnjy.com ) D. ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
5. 函数 ( http: / / www.21cnjy.com )是（ ）
A．最小正周期为 ( http: / / www.21cnjy.com )的奇函数 B．最小正周期为 ( http: / / www.21cnjy.com )的偶函数
C．最小正周期为 ( http: / / www.21cnjy.com )的奇函数 D．最小正周期为 ( http: / / www.21cnjy.com )的偶函数
( http: / / www.21cnjy.com )
6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
【答案】C
( http: / / www.21cnjy.com )
7. 已知向量 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )的夹角为 ( http: / / www.21cnjy.com ),且 ( http: / / www.21cnjy.com ),若 ( http: / / www.21cnjy.com ),且, ( http: / / www.21cnjy.com ),则实数 ( http: / / www.21cnjy.com )的值为( ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
8. 设实数x、y满足 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )的取值范围是( )
A． ( http: / / www.21cnjy.com ) B． ( http: / / www.21cnjy.com ) C． ( http: / / www.21cnjy.com ) D． ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.
（一）必做题（9~13题）
9. 等差数列 ( http: / / www.21cnjy.com )的前 ( http: / / www.21cnjy.com )项和为 ( http: / / www.21cnjy.com )，若 ( http: / / www.21cnjy.com )，则 ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
10. 已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，则曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )在点 ( http: / / www.21cnjy.com )处的切线方程为___________.
( http: / / www.21cnjy.com )
11. 已知实数 ( http: / / www.21cnjy.com )，执行如图所示的程序框图，则输出的 ( http: / / www.21cnjy.com )不小于47的概率为　　．
( http: / / www.21cnjy.com )
12. 不等式 ( http: / / www.21cnjy.com )解集是_____________________.
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13. 已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，且关于x的方程 ( http: / / www.21cnjy.com )有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________.
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14. （几何证明选讲选做题）如图, ( http: / / www.21cnjy.com )是圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的直径,点 ( http: / / www.21cnjy.com )在圆 ( http: / / www.21cnjy.com )上,延长 ( http: / / www.21cnjy.com )到 ( http: / / www.21cnjy.com )使 ( http: / / www.21cnjy.com ),过 ( http: / / www.21cnjy.com )作圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的切线交 ( http: / / www.21cnjy.com )于 ( http: / / www.21cnjy.com ).若 ( http: / / www.21cnjy.com ),, ( http: / / www.21cnjy.com )则 ( http: / / www.21cnjy.com )_________.
( http: / / www.21cnjy.com )
15. （坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的圆心到直线 ( http: / / www.21cnjy.com ) 的距离是
( http: / / www.21cnjy.com )
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. （本小题满分12分）
如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )中， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ), HYPERLINK "http://www.21cnjy.com" EMBED Equation.DSMT4 点 ( http: / / www.21cnjy.com )是 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点, 求
（1）边 ( http: / / www.21cnjy.com )的长；
（2） ( http: / / www.21cnjy.com )的值和中线 ( http: / / www.21cnjy.com )的长
( http: / / www.21cnjy.com )………………. ………………………………………………………………………5分
(2) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
17. （本小题满分12分）
某学校随机抽取部分新生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学路上所需时间的范围是 ( http: / / www.21cnjy.com )，样本数据分组为 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ).21世纪教育网版权所有
（1）求直方图中 ( http: / / www.21cnjy.com )的值；
（2）如果上学路上所需时间不少于60分钟的学生可申请在学校住宿，请估计学校1000名新生中有多少名学生可以申请住宿；21教育网
（3）现有６名上学路上时间小于 ( http: / / www.21cnjy.com )分钟的新生，其中２人上学路上时间小于 ( http: / / www.21cnjy.com )分钟. 从这６人中任选２人，设这２人中上学路上时间小于 ( http: / / www.21cnjy.com )分钟人数为 ( http: / / www.21cnjy.com ),求 ( http: / / www.21cnjy.com )的分布列和数学期望．www.21-cn-jy.com
( http: / / www.21cnjy.com )可以留宿学生的人数.
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( http: / / www.21cnjy.com )………………………………12分
考点：古典概型 频率分布直方图 频率 分布列 期望
18. （本小题满分14分）
如图所示的多面体中， ( http: / / www.21cnjy.com )是菱形， ( http: / / www.21cnjy.com )是矩形， ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )．
(1) 求证：平面 ( http: / / www.21cnjy.com )平面 ( http: / / www.21cnjy.com )；
(2) 若二面角 ( http: / / www.21cnjy.com )为直二面角，求直线 ( http: / / www.21cnjy.com )与平面 ( http: / / www.21cnjy.com )所成的角 ( http: / / www.21cnjy.com )的正弦值．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )，平面 ( http: / / www.21cnjy.com )的法向量 ( http: / / www.21cnjy.com )， -------12分
( http: / / www.21cnjy.com ). ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )---14分
( http: / / www.21cnjy.com )
19. （本小题满分14分）
已知函数 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
（1）当 ( http: / / www.21cnjy.com )时，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的单调区间；
（2）若 ( http: / / www.21cnjy.com )在 ( http: / / www.21cnjy.com )的最大值为 ( http: / / www.21cnjy.com )，求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值.
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
20. （本小题满分14分）
已知 ( http: / / www.21cnjy.com )为公差不为零的等差数列，首项 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )的部分项 ( http: / / www.21cnjy.com )、 ( http: / / www.21cnjy.com )、…、 ( http: / / www.21cnjy.com )恰为等比数列，且 ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com )， ( http: / / www.21cnjy.com ).
（1）求数列 ( http: / / www.21cnjy.com )的通项公式 ( http: / / www.21cnjy.com )（用 ( http: / / www.21cnjy.com )表示）；
（2）设数列 ( http: / / www.21cnjy.com )的前 ( http: / / www.21cnjy.com )项和为 ( http: / / www.21cnjy.com ), 求证： ( http: / / www.21cnjy.com )（ ( http: / / www.21cnjy.com )是正整数
【答案】（1）
( http: / / www.21cnjy.com )而等比数列 ( http: / / www.21cnjy.com )的公比 ( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com )
∵ ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
∴ ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )……………………………11分
∴当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )，不等式成立；
当 ( http: / / www.21cnjy.com )时， ( http: / / www.21cnjy.com )，不等式成立；
( http: / / www.21cnjy.com )
21. （本小题满分14分）
设抛物线 ( http: / / www.21cnjy.com )的焦点为 ( http: / / www.21cnjy.com )，点 ( http: / / www.21cnjy.com )，线段 ( http: / / www.21cnjy.com )的中点在抛物线上. 设动直线 ( http: / / www.21cnjy.com )与抛物线相切于点 ( http: / / www.21cnjy.com )，且与抛物线的准线相交于点 ( http: / / www.21cnjy.com )，以 ( http: / / www.21cnjy.com )为直径的圆记为圆 ( http: / / www.21cnjy.com )．21cnjy.com
（1）求 ( http: / / www.21cnjy.com )的值；
（2）试判断圆 ( http: / / www.21cnjy.com )与 ( http: / / www.21cnjy.com )轴的位置关系；
（3）在坐标平面上是否存在定点 ( http: / / www.21cnjy.com )，使得圆 ( http: / / www.21cnjy.com )恒过点 ( http: / / www.21cnjy.com )？若存在，求出 ( http: / / www.21cnjy.com )的坐标；若不存在，说明理由．
( http: / / www.21cnjy.com )，通过讨论k的取值范围得到中点到x轴距离与圆半径(PQ为直径)的大小比较即可判断圆与x轴的位置关 ( http: / / www.21cnjy.com )∵ ( http: / / www.21cnjy.com )21·cn·jy·com
( http: / / www.21cnjy.com ) ………………………………………8分
( http: / / www.21cnjy.com )所以平面上存在定点 ( http: / / www.21cnjy.com )，使得圆 ( http: / / www.21cnjy.com )恒过点 ( http: / / www.21cnjy.com ).
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
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