2022-2023学年北师大版八年级数学下册第一单元三角形的证明解答题（含解析）

北师版八年级第二学期第一单元三角形的证明解答题
1、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的两侧，D在A，E之间，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD＝DE+CE．
2、已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE、CF分别平分∠ACB、∠ACD，EF∥BC，分别交AC、CF于点H、F．求证：EH＝HF．
3、已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB＝2BE．
4、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）求证：∠B＝∠DEF；（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
5、如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）
5、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为高．（从下列两问中任选一问作答）．（1）若∠ABD+∠C＝120°，求∠A的度数．（2）若CD＝3，BC＝5，求△ABC的面积．
6、如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上．求证：（1）CE＝AC+DC；（2）∠ECD＝60°．
7、如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB＝110°．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
8、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象为直线l，已知两点A（0，1）、B（0，3）．
（1）在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得∠CAB＝∠CBA．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）；（2）直接写出点C的坐标为 　 　；（3）点P在x轴上，求PA+PC的最小值．
9、已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．求证：（）．（）．
10、如图，△ABC是等边三角形．（1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形；（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．
11、如图，在中，，，BD是的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）；（2）为等腰三角形.
12、如图，在中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，，．求证：．
13、已知，如图，AD∥BE，C为BE上一点，CD与AE相交于点F，连接AC．∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）求证：AB∥CD；（2）已知AE＝12cm，AB＝5cm，BE＝13cm，求AC的长度．
14、如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，点D是AB上一点，连接DP交AC于点E，连接CP，BD＝PD．（1）求证：PD∥BC；（2）若CE+DE＝BD，∠A＝40°，求∠BPC的度数．
15、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．
如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
北师版八年级第二学期第一单元三角形的证明解答题答案
1、如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B，C在AE的两侧，D在A，E之间，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：BD＝DE+CE．
证明：∵∠CAE+∠BAD＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD．∵∠ADB＝∠AEC＝90°，AB＝AC，
∴△ABD≌△CAE．∴AD＝CE，BD＝AE．∵AE＝AD+DE＝CE+DE，∴BD＝DE+CE．
2、已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，CE、CF分别平分∠ACB、∠ACD，EF∥BC，分别交AC、CF于点H、F．求证：EH＝HF．
证明：∵EF∥BC，∴∠HEC＝∠ECB，∵CE平分∠ACB，∴∠ECB＝∠ECA，∴∠ECA＝∠HEC
∴EH＝HC，同理HC＝HF，∴EH＝HF．
3、已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝3∠C，∠1＝∠2，BE⊥AE．求证：AC﹣AB＝2BE．
证明：延长BE交AC于M∵BE⊥AE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°在△ABE中，∵∠1+∠3+∠AEB＝180°，
∴∠3＝90°﹣∠1同理，∠4＝90°﹣∠2∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4，∴AB＝AM∵BE⊥AE，∴BM＝2BE，
∴AC﹣AB＝AC﹣AM＝CM，∵∠4是△BCM的外角∴∠4＝∠5+∠C∵∠ABC＝3∠C，∴∠ABC＝∠3+∠5＝∠4+∠5∴3∠C＝∠4+∠5＝2∠5+∠C∴∠5＝∠C∴CM＝BM∴AC﹣AB＝BM＝2BE
4、如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）求证：∠B＝∠DEF；（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF，
∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△BDE≌△CEF，∴∠FEC＝∠BDE，∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B（3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B，∴∠DEF＝∠B，∴AB＝AC，∠A＝40°，∴∠DEF＝∠B＝＝70°．
5、如图：E在△ABC的AC边的延长线上，D点在AB边上，DE交BC于点F，DF＝EF，BD＝CE．求证：△ABC是等腰三角形．（过D作DG∥AC交BC于G）
证明：过点D作DG∥AC交BC于点G，如图所示．∵DG∥AC，∴∠GDF＝∠E，∠DGB＝∠ACB．
在△GDF和△CEF中，，∴△GDF≌△CEF（ASA），∴GD＝CE．∵BD＝CE，
∴BD＝GD，∴∠B＝∠DGB＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形．
5、如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为高．（从下列两问中任选一问作答）．（1）若∠ABD+∠C＝120°，求∠A的度数．（2）若CD＝3，BC＝5，求△ABC的面积．
解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，设∠ABD＝x°，则∠A＝（90﹣x）°，∠C＝（120﹣x）°，在△ABC中：∠A+∠C+∠ABC＝180°，即90﹣x+2（120﹣x）＝180，解得x＝50°，则∠A＝90﹣x＝40°；（2）∵BD为高．∴△ADC为直角三角形，∵BD＝4，BC＝5，∴CD＝3，设AD为x，则AB＝AC＝3+x，在直角三角形△ADB中，AD2+BD2＝AB2，即，x2+42＝（x+3）2，解得x＝，S△ABC＝AC×BD×＝．
6、如图，△ABC、△ADE是等边三角形，B、C、D在同一直线上．求证：（1）CE＝AC+DC；（2）∠ECD＝60°．
证明：（1）∵△ABC、△ADE是等边三角形，∴AE＝AD，BC＝AC＝AB，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即：∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE，∴BD＝EC，∵BD＝BC+CD＝AC+CD，∴CE＝BD＝AC+CD；（2）由（1）知：△BAD≌△CAE，∴∠ACE＝∠ABD＝60°，∴∠ECD＝180°﹣∠ACB﹣∠ACE＝60°，∴∠ECD＝60°．
7、如图，点O是等边△ABC内一点．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．已知∠AOB＝110°．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．
（1）证明：∵CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形；（2）解：当α＝150°，即∠BOC＝150°时，△AOD是直角三角形．∵△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，又∵△COD是等边三角形，
∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝90°，即△AOD是直角三角形；（3）解：①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO．∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴190°﹣α＝α﹣60°∴α＝125°；
②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO．∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°，∴α﹣60°＝50°∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD．∵190°﹣α＝50°∴α＝140°．
综上所述：当α的度数为125°，或110°，或140°时，△AOD是等腰三角形．
8、如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象为直线l，已知两点A（0，1）、B（0，3）．
（1）在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得∠CAB＝∠CBA．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）；（2）直接写出点C的坐标为 　 　；（3）点P在x轴上，求PA+PC的最小值．
解：（1）作线段AB的垂直平分线交直线l于点C即为所求，∵CD是线段AB的垂直平分线，∴CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA；（2）∵CD是线段AB的垂直平分线，∴点D是线段AB的中点，CD∥x轴，∵A（0，1）、B（0，3）．∴D（0，2），将y＝2代入y＝x得x＝4，∴点C的坐标为（4，2），故答案为：（4，2）；
（3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，∴，
∴要使最小，即最小，∴当、，三点共线时，最小，最小值为，
∵A（0，1），∴（0，﹣1），∵C（4，2），∴，∴PA+PC的最小值是5．
9、已知：如图，为的角平分线，且，为延长线上的一点，，过作，为垂足．求证：（）．（）．
解：证明：（）∵为的角平分线，∴，∴在和中，
，∴≌，∴，∵，
，，∴，∴为等腰三角形，
∴，∵≌，∴，∴．
（）过点作于点，∵是上的点，，，
∴，∵在和中，，∴≌，
∴，∵在和中，，≌，
∴，∴，，∴．
10、如图，△ABC是等边三角形．（1）如图①，DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．求证：△ADE是等边三角形；（2）如图②，△ADE仍是等边三角形，点B在ED的延长线上，连接CE，判断∠BEC的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠C＝60°，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝60°，∠AED＝∠C＝60°，∴△ADE是等边三角形；
（2）解：AE+CE＝BE．∵∠BAD+∠DAC＝60°，∠CAE+∠DAC＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，
∴BE＝BD+DE＝AE+CE，∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝60°．
11、如图，在中，，，BD是的平分线，交AC于点D，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF，求证：（1）；（2）为等腰三角形.
证明：（1），，.又BD是的平分线，，
，，又E是AB的中点，，即.
（2），，FE垂直平分AB，，.
又，.又，，
，，即为等腰三角形.
12、如图，在中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，，．求证：．
证明：连接AE，∵，，∴，
∴．∵点D为线段CE的中点，∴，∴AD垂直平分线段CE，
∴，∵EF垂直平分AB，∴，∴．
13、已知，如图，AD∥BE，C为BE上一点，CD与AE相交于点F，连接AC．∠1＝∠2，∠3＝∠4．
（1）求证：AB∥CD；（2）已知AE＝12cm，AB＝5cm，BE＝13cm，求AC的长度．
（1）证明：∵AD∥BE，∴∠DAC＝∠3，即∠2+∠EAC＝∠3，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴∠1+∠EAC＝∠4，即∠BAE＝∠4，∴AB∥CD；
（2）解：在△ABE中，AE＝12cm，AB＝5cm，BE＝13cm，∴AE2+AB2＝BE2，
∴△ABE为直角三角形，∠BAE＝90°，由（1）得：∠4＝∠BAE＝90°，∴∠3＝∠4＝90°，
∴AC⊥BE，∵S△ABE＝AE AB＝BE AC，∴AC＝＝＝（cm）．
14、如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，点D是AB上一点，连接DP交AC于点E，连接CP，BD＝PD．（1）求证：PD∥BC；（2）若CE+DE＝BD，∠A＝40°，求∠BPC的度数．
（1）证明：∵BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠FBP，∵BD＝PD，∴∠ABP＝BPD，∴∠BPD＝∠FBP，
∴PD∥BC；
（2）解：∵PD∥BC，∴∠EPC＝∠PCF，∵DP＝DE+EP＝BD＝CE+DE，∴CE＝EP，
∴∠EPC＝∠ECP，∴∠PCE＝∠PCF，∴∠BPC＝∠PCF﹣∠BPD，＝＝
＝＝20°．
15、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E，若△ABC为等边三角形，AD⊥AB，AD＝DC＝4．
如图①，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，∠A＝α．（1）如图①，若∠A＝50°，求∠BOC的度数．
（2）如图②，连接OA，求证：OA平分∠BAC．（3）如图③，若射线BO与∠ACB的外角平分线交于点P，求证OC⊥PC．
（1）解：∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝130°，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，
∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝65°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°；
（2）证明：过点O作OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，垂足分别为D，E，F，∵∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC，OE⊥AB，OF⊥AC，∴OD＝OE，OD＝OF，∴OE＝OF，∴OA平分∠BAC；
（3）证明：∵OC平分∠ACB，CP平分∠ACD，∴∠ACO＝∠ACB，∠ACP＝∠ACD，
∴∠OCP＝∠ACO+∠ACP＝∠ACB+∠ACD＝∠BCD＝×180°＝90°，∴OC⊥CP．