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6.3.2实数的性质及运算
夯基训练
知识点1 实数与数轴上的点的关系
1.在如图所示的数轴上,点B与点C关于点A对称,A,B两点对应的实数分别是和-1,则点C所对应的实数是( )21cnjy.com
A.1+ B.2+
C.2-1 D.2+1
2.下列四个数中,最大的一个数是( )
A.2 B. C.0 D.-2
3.(2016·泰安)如图,四个实数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q,若n+q=0,则m,n,p,q四个实数中,绝对值最大的一个是( )
p B.q C.m D.n
4.若a,b为实数,下列说法中正确的是( )
A.若a>b,则a2>b2 B.若a>|b|,则a2>b2
C.若|a|>b,则a2>b2 D.若a>0,a>b,则a2>b2
知识点3实数的运算
5.有一个数值转换器,原理如图所示.当输入的x为-512时,输出的y是( )
-2 B.- C.- D.-
6.计算下列各式的值：
(1)2－5－(－5)；
|－|＋|1－|＋|2－|.
易错点1 比较大小时不注意分类讨论而出错
7.若x>0,试比较x与的大小.
易错点2 去绝对值符号时,常因考虑问题不全面而出错
8.已知a为实数,化简|a+1|-|a-2|.
题型总结
题型1 利用实数与数轴的关系进行化简
9.实数a在数轴上对应的点的位置如图,化简:|a-π|+|-a|.
10.已知实数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图,化简:-|a-b|+|c-a|+.
题型2 利用实数的运算法则进行计算
11.计算:
(1)(-3)2-|-|+-;
(2) +-(结果精确到0.01).
12.分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
(1)； (2)； (3).
题型3利用数轴上两点之间的距离求值
13.如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B,再直爬向点C停止,已知点A所表示的数为-,点C所表示的数为2,设点B所表示的数为m.版权所有
(1)求m的值;
(2)求BC的长.
题型4利用实数与绝对值的非负性解决方程问题
已知a,b满足+|b-|=0,解关于x的方程(a+2)x+b2=a-1.
拓展培优
拓展角度1利用实数的运算设计方案(数形结合思想)
15.用长48 m的篱笆,在空地上围成一块场地,现有两种设计方案:一种是围成正方形,另一种是围成圆形.试问选用哪种方案围成的场地面积大,并说明理由.21教
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拓展角度2利用实数解决相关问题
16.如图,每个小正方形的边长均为1.
(1)图中阴影部分的面积是多少 它的边长是多少
(2)估计阴影部分的边长在哪两个整数之间
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6.3.2实数的性质及运算
参考答案与试题解析
夯基训练
知识点1 实数与数轴上的点的关系
1.在如图所示的数轴上,点B与点C关于点A对称,A,B两点对应的实数分别是和-1,则点C所对应的实数是( )21cnjy.com
A.1+ B.2+
C.2-1 D.2+1
1.【答案】D
解：由题图可知:点A与点B的距离为-(-1)=+1,而点C与点B关于点A对称,故点A与点C的距离也为+1,所以点C所表示的实数为+1+=2+1.故选D.
知识点2 实数的大小比较
2.下列四个数中,最大的一个数是( )
A.2 B. C.0 D.-2
2.【答案】A
3.(2016·泰安)如图,四个实数m,n,p,q在数轴上对应的点分别为M,N,P,Q,若n+q=0,则m,n,p,q四个实数中,绝对值最大的一个是( )
p B.q C.m D.n
3.【答案】A
4.若a,b为实数,下列说法中正确的是( )
A.若a>b,则a2>b2 B.若a>|b|,则a2>b2
C.若|a|>b,则a2>b2 D.若a>0,a>b,则a2>b2
4.【答案】B
知识点3实数的运算
5.有一个数值转换器,原理如图所示.当输入的x为-512时,输出的y是( )
-2 B.- C.- D.-
5.【答案】D
解：由题图可知输入x=-512,先开立方得-8,-8为有理数,返回继续开立方得-2,-2为有理数,再返回继续开立方得 =-,-为无理数,符合输出条件,所以y=-.
6.计算下列各式的值：
(1)2－5－(－5)；
(2)|－|＋|1－|＋|2－|.
6.解析：按照实数的混合运算顺序进行计算．
解：(1)2－5－(－5)
＝2－5－＋5
＝(2－)＋(5－5)
＝；
(2)因为－＞0，1－＜0，2－＞0，
所以|－|＋|1－|＋|2－|
＝(－)－(1－)＋(2－)
＝－－1＋＋2－
＝(－)＋(－)＋(2－1)
＝1.
方法总结：进行实数的混合运算时，要注意运算顺序以及正确运用运算律．
易错点1 比较大小时不注意分类讨论而出错
7.若x>0,试比较x与的大小.
7.解:当0
当x=1时,x=;
当x>1时,x>.
分析：此题在比较大小时,对 x的取值范围需分情况讨论. 本题易不分类或分类不全而出错.
易错点2 去绝对值符号时,常因考虑问题不全面而出错
8.已知a为实数,化简|a+1|-|a-2|.
8.解:当|a+1|=0时,a=-1.
当|a-2|=0时,a=2.
因为a为实数,所以需分以下三种情况进行讨论:
当a≤-1时,原式=-(a+1)-[-(a-2)]=-3;
当-1当a≥2时,原式=a+1-(a-2)=3.
分析：本题易错之处在于对a的取值范围考虑不全面,不能正确分类,从而导致漏解.
题型总结
题型1 利用实数与数轴的关系进行化简
9.实数a在数轴上对应的点的位置如图,化简:|a-π|+|-a|.
9.解:由数轴可知23,<2,所以|a-π|+|-a|=π-a+a-=π-.
10.已知实数a,b,c在数轴上对应的点的位置如图,化简:-|a-b|+|c-a|+.
10.解:由数轴可知 a所以a<0,a-b<0,c-a>0,b-a>0,
所以原式=|a|-[-(a-b)]+c-a+|b-a|
=-a+(a-b)+c-a+b-a
=c-2a.
题型2 利用实数的运算法则进行计算
11.计算:
(1)(-3)2-|-|+-;
(2) +-(结果精确到0.01).
11.解:(1)原式=9-+-3=6.
(2)原式≈×1.732+×1.414-×2.236=1.125 8≈1.13.
12.分别求下列各数的相反数、倒数和绝对值：
(1)； (2)； (3).
12.解析：根据实数的相反数、倒数和绝对值的定义写出相应结果．注意(1)(2)中的两个数要先化简为整数．
解：(1)∵＝－4，∴的相反数是4，倒数是－，绝对值是4；
(2)∵＝15，∴的相反数是－15，倒数是，绝对值是15；
(3)的相反数是－，倒数是，绝对值是.
方法总结：在实数范围内，相反数、倒数和绝对值的意义和在有理数范围内的完全相同．
题型3利用数轴上两点之间的距离求值
13.如图,一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位长度到达点B,再直爬向点C停止,已知点A所表示的数为-,点C所表示的数为2,设点B所表示的数为m.版权所有
(1)求m的值;
(2)求BC的长.
13.解:(1)m-(-)=2,所以m=2-.
(2)BC=|2-(2-)|=|2-2+|=.
题型4利用实数与绝对值的非负性解决方程问题
14.已知a,b满足+|b-|=0,解关于x的方程(a+2)x+b2=a-1.
14.解:由+|b-|=0,可知2a+8=0,b-=0,即a=-4,b=.代入方程得-2x+3=-5,解得x=4.
拓展培优
拓展角度1利用实数的运算设计方案(数形结合思想)
15.用长48 m的篱笆,在空地上围成一块场地,现有两种设计方案:一种是围成正方形,另一种是围成圆形.试问选用哪种方案围成的场地面积大,并说明理由.
15.解:围成圆形场地的面积大.理由如下:
设围成的正方形场地的边长为a m,则4a=48,解得a=12.所以围成的正方形场地的面积为a2=144(m2).
设围成的圆形场地的半径为r m,则2πr=48,解得r=.
所以围成的圆形场地的面积为πr2=π·=≈183.4(m2).因为183.4>144,所以围成圆形场地的面积大.
解：当数的范围从有理数扩充到实数后,现实生活中原来许多用有理数无法描述和解决的问题便能得到很好地解决了.
拓展角度2利用实数解决相关问题
16.如图,每个小正方形的边长均为1.
(1)图中阴影部分的面积是多少 它的边长是多少
(2)估计阴影部分的边长在哪两个整数之间
16.解:(1)阴影部分的面积是16-4××3×1=10,它的边长是.
(2)因为<<,即3<<4,所以阴影部分的边长在3与4之间.
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