2022-2023学年七年级下册数学北师大版1.6 完全平方公式 课培优练 （含解析）

1.6 完全平方公式 课培优练 七年级下册数学北师大版
一、单选题
1．下列各式中，与相等的是（　　）
A． B． C． D．
2．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a＋b）2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知2n＋212＋1（n＜0）是一个有理数的平方，则n的值为（　　）
A．﹣16 B．﹣14 C．﹣12 D．﹣10
4．如图，有A，B，C三种不同型号的卡片，每种各10张.A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是相邻两边长分别为a、b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形.从中取出若干张卡片（每种卡片至少一张），把取出的这些卡片拼成一个正方形，所有符合要求的正方形的个数是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．若 ， ，则 的值是（　　）
A．－2 B．2 C．3 D．±3
6．有两个正方形A，B.现将B放在A的内部得图甲，将A，B构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为1和12，若三个正方形A和两个正方形B得图丙，则阴影部分的面积为（　　）
A．28 B．29 C．30 D．31
二、填空题
7．已知a+b＝8，ab＝15，则a2+b2＝　 　．
8．若，，则　 　 .
9．若x= -1， 则x2+2x+1=　 　.
10．若 ，则代数式 的值是　 　．
11．已知a﹣b=3，则a（a﹣2b）+b2的值为　 　．
12．已知（x+y）2=25，（x﹣y）2=9，则xy=　 　．
13．已知x2+y2+2x-6y+10=0，则x-y=　 　．
14．我国宋朝数学家杨辉在他的著作 解：九章算法 中提出“杨辉三角” 如图 ，此图揭示了 为非负整数 展开式的项数及各项系数的有关规律.
例如： ，它只有一项，系数为1；系数和为1；
，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；
，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；
，它有四项，系数分别为1，3，3，1，系数和为8； ，
则 的展开式共有　 　项，系数和为　 　.
15．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为S1；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为S2．若a+b＝8，ab＝10，则S1+S2=　 　；当S1+S2＝40时，则图3中阴影部分的面积S3=　 　.
三、计算题
16．计算：
（1）（﹣3）2﹣ +（ ）﹣1．
（2）（x+1）2﹣2（x﹣2）．
17．利用完全平方公式计算.
（1）（5-a）2；
（2）（-3m-4n）2；
（3）（-3a+b）2
18．计算：
19．化简： ．
20．已知: ,求代数式 的值
四、解答题
21．已知，，求的值．
22．用图说明公式：（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd．
23．已知a2+b2=1，a﹣b=，求a2b2与（a+b）4的值．
24．若x+y=3，xy=1，试分别求出（x﹣y）2和x2y+xy2的值．
25．
（1）已知a+b=3，a2+b2=5，求ab的值；
（2）若3m=8，3n=2，求32m-3n+1的值．
26．如图，某市有一块长为 米，宽为 米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一个花坛，则绿化的面积是多少平方米（化成多项式）？并求出当 ， 时的绿化面积．
27．附加题：(有兴趣的同学自愿完成)
已知a= +2019，b= +2020，c= +2021，请计算代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值
答案解析部分
1．【答案】B
【解析】【解答】∵（a-1）2=a2-2a+1，
∴与（a-1）2相等的是B.
故答案为：B.
【分析】直接根据完全平方公式进行判断即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】由于大正方形的边长为 ，又大正方形的面积为13，
即 ，而小正方形的面积表达式为 ，而小正方形的面积表达式为
故本题符合题意答案为C．
【分析】观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积-4个直角三角形的面积，利用已知 =21，大正方形的面积为13，可以得以直角三角形的面积，进而求出答案。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：2n是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝212＋2 26＋1＝（26＋1）2，
此时n＝6＋1＝7，
212是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝2n＋2 211＋1＝（211＋1）2，
此时n＝2×11＝22，
1是乘积二倍项时，2n＋212＋1＝（26）2＋2 26 2﹣7＋（2﹣7）2＝（26＋2﹣7）2，
此时n＝﹣14，
综上所述，n可以取到的数是7、22、﹣14.
故答案为：B.
【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可.
4．【答案】C
【解析】【解答】解：∵每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张拼成正方形，
∴正方形的边长可以为：（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）六种情况；
（注意每一种卡片至少用1张，至多用10张）
即：（a+b）2＝a2+2ab+b2，需要A卡片1张，B卡片2张，C卡片1张；
（a+2b）2＝a2+4ab+4b2，需要A卡片1张，B卡片4张，C卡片4张；
（a+3b）2＝a2+6ab+9b2，需要A卡片1张，B卡片6张，C卡片9张；
（2a+b）2＝4a2+4ab+b2，需要A卡片4张，B卡片4张，C卡片1张；
（2a+2b）2＝4a2+8ab+4b2，需要A卡片4张，B卡片8张，C卡片4张；
（3a+b）2＝9a2+6ab+b2，需要A卡片9张，B卡片6张，C卡片1张；
故答案为：C.
【分析】每一种卡片10张，并且每种卡片至少取1张，根据完全平方公式的特点可确定拼成的正方形的边长可以为（a+b），（a+2b），（a+3b），（2a+b），（2a+2b），（3a+b）共六种情况.
5．【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得（a2+b2）2=5+a2b2，
因为ab=2，所以a2+b2= =3．
故答案为：C．
【分析】根据完全平方公式分解因式进而求解即可．
6．【答案】B
【解析】【解答】解：设正方形 A、B的边长分别为 （ ），由图甲可得
由图乙可得：
即
，
，
图丙的阴影部分面积为：
.
故答案为：B.
【分析】设正方形A、B的边长分别为 （ ），由图甲可得 ，由图乙可得： ，从而求出，，，图丙的阴影部分面积为，然后整体代入计算即可.
7．【答案】34
【解析】【解答】解：∵a+b＝8，ab＝15，
∴，
∴，
故答案为：34.
【分析】先将a+b两边同时平方，再用完全平方公式展开式子，接着代入ab的值即可求出答案.
8．【答案】11
【解析】【解答】解：因为，，
则，
故答案为：11
【分析】先根据完全平方公式把原式化为，然后代值计算即可.
9．【答案】2
【解析】【解答】∵x= -1，
∴x2+2x+1=(x+1)2=( -1+1)2=2，
故答案为：2.
【分析】先利用完全平方公式对所求式子进行变形，然后代入x的值进行计算即可.
10．【答案】2017
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ .
11．【答案】9
【解析】【解答】解：∵a﹣b=3，∴原式=a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2=9．
故答案为：9
【分析】将所求式子去括号后，利用完全平方公式变形，把a﹣b的值代入计算，即可求出值．
12．【答案】4
【解析】【解答】解：∵（x+y）2=x2+y2+2xy=25，（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=9，
∴两式相减得：4xy=16，
则xy=4．
故答案为：4
【分析】已知两式左边利用完全平方公式展开，相减即可求出xy的值．
13．【答案】-4
【解析】【解答】解：将10拆成1+9，然后1和x2及2x三项组成完全平方式，剩余三项组成完全平方式
故对原等式变形后有：x2 +2x+1+y2-6y+9=0
故有：(x+1) +(y-3) =0
∴x+1=0且y-3=0
∴x=-1,y=3
故x-y=-1-3=-4.
故答案为：-4
【分析】根据题意可得(x+1) +(y-3) =0，再求出x=-1,y=3，最后代入代数式进行计算求解即可。
14．【答案】n+1；2n
【解析】【解答】解：根据规律可得，（a+b）n共有（n+1）项，
∵1=20
1+1=21
1+2+1=22
1+3+3+1=23
∴（a+b）n各项系数的和等于2n
故答案为 ：n+1，2n
【分析】本题通过阅读理解寻找规律，观察可得（a+b）n（n为非负整数）展开式的各项系数的规律：首尾两项系数都是1，中间各项系数等于（a+b）n-1相邻两项的系数和.因此根据项数以及各项系数的和的变化规律，得出（a+b）n的项数以及各项系数的和即可.
15．【答案】34；20
【解析】【解答】解：如图1，S1=a2-b2；
图2：S2=2b2-ab；
∴ S1+S2= a2-b2+2b2-ab=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab=82-3×10=34；
图3：S3=a2+b2-a2-b（a+b）=(a2+b2-ab)=（S1+S2）=×40=20；
故答案为：34，20.
【分析】根据拼图可用a、b的代数式表示S1， S2；进而根据a+b=8， ab=10，求出S1+S2的值即可；
由第一问可知，当S1+S2=40时，就是a2+b2- ab=40，再利用a、b的代数式表示S3， 变形后再整体代入计算即可求出答案.
16．【答案】（1）解：原式=9﹣2+2=9
（2）解：原式=x2+2x+1﹣2x+4
=x2+5
【解析】【分析】（1）根据实数运算法则即可求出答案．（2）根据整式运算的法则求出答案．
17．【答案】（1）解：（5-a）2=25-10a+a2
（2）解：（-3m-4n）2=9m2+24mn+16n2
（3）解：（-3a+b）2=9a2-6ab+b2
【解析】【分析】利用完全平方公式，即可求解。
18．【答案】解：
=
=
【解析】【分析】利用完全平方公式计算即可。
19．【答案】解：
．
【解析】【分析】先利用平方差公式和完全平方公式展开，再利用合并同类项计算即可。
20．【答案】解：因为|x 4|+(2y x)2=0，
所以x 4=0，2y x=0，
解得：x=4，y=2，
x2 2xy+y2=(x y)2，
把x=4，y=2代入得：
(4 2)2=4，
所以代数式x2 2xy+y2的值为：4.
【解析】【分析】此题首先可根据任何数的绝对值具有非负性及任何数的偶次方具有非负性可得x-4=0，2y-x=0，求出x、y，然后将代数式运用差的平方公式因式分解再代入求值．
21．【答案】解：∵，，
∴
．
【解析】【分析】将代数式变形为，再将，代入计算即可。
22．【答案】解：依题意，画一个边长是a+b+c+d的正方形，
则（a+b+c+d）2
=a2+ab+ac+ad+ab+b2+bc+bd+ac+bc+c2+cd+ad+bd+cd+d2
=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
【解析】【分析】画一个边长是a+b+c+d的正方形，分别用两种方法求出正方形的面积，即可得出答案．
23．【答案】解：a2+b2=1，a﹣b=，
∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab，
∴ab=[（a﹣b）2﹣（a2+b2）]=×（﹣1）=，
∴a2b2=（ab）2=（）2=；
∵（a+b）2=（a﹣b）2+4ab=+4×=，
∴（a+b）4=[（a+b）2]2=．
【解析】【分析】
由（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab，可求得ab的值，又由（a+b）2=（a﹣b）2+4ab，即可求得a2b2与（a+b）4的值．
本题主要考查完全平方公式的变形．注意熟记公式结构是解题的关键．完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
24．【答案】解：∵x+y=3，xy=1，
∴（x+y）2=9，
∴x2+y2+2xy=9，
则x2+y2=9﹣2=7，
∴（x﹣y）2=x2+y2﹣2xy=7﹣2=5，
x2y+xy2=xy（x+y）=1×3=3．
【解析】【分析】直接利用完全平方公式将已知变形进而得出x2+y2的值求出即可，再将x2y+xy2分解因式得出即可．
25．【答案】（1）解: [（a+b）2-（a2+b2）]÷2
=[9-5]÷2
=2；
（2）解: ∵3m=8，3n=2
∴32m-3n+1=（3m）2÷（3n）3×3=64÷8×3=24．
【解析】【分析】（1）运用完全平方公式求解；（2）利用同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方化成含有3m，3n的式子求解．
26．【答案】解：
=
当 ， 时
=63
【解析】【分析】先依据阴影部分的面积=矩形的面积-正方形的面积列出代数式，然后，利用多项式乘多项式法则、完全平方公式进行计算，接下来，再进行化简，最后，将a、b的值代入计算即可.
27．【答案】解：因为a= +2019， b= +2020，c= +2021
所以a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1
则原式= (2a2 +2b2+2c2 -2ab-2ac-2bc)
= [(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]
= (1+4+1)
=3
【解析】【分析】关键是完全平方式的灵活应用，给代数式扩大2倍，则恰好得到a、b、c三个字母两两之差的完全平方，结合已知即可计算出其结果，最后再给结果除以2就可以了。