专题9.49 图形旋转（最值问题）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）

专题9.49 图形旋转（最值问题）（专项练习）
一、单选题
1．（2022秋·广西南宁·九年级校考期中）如图，边长为的等边三角形中，是对称轴上的动点，连接，将线段绕点逆时旋转等到，连接，则在点运动过程中，的最小值是（ ）
A． B．1．5 C． D．6
2．（2022春·四川南充·九年级专题练习）如图，在中，，，，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接CQ，则线段CQ长度的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
3．（2022秋·安徽阜阳·九年级校考期中）等边三角形的边长为，点是三边垂直平分线的交点，，的两边与分别相交于点，当绕点顺时针旋转时，周长的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期中）如图，在中，，点D为的中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接，当时，的最大值为（　　）
A．2 B． C． D．5
5．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期末）如图，在正方形ABCD中，点O为对角线的交点，点P为正方形外一动点，且满足∠BPC＝90°，连接PO．若正方形边长为4，则△BPC面积的最大值为（ ）
A．4 B．6 C． D．5
6．（2022秋·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习）如图，是边长为1的等边的中心，将AB、BC、CA分别绕点A、点B、点C顺时针旋转，得到、、，连接、、、、．当的周长取得最大值时，此时旋转角的度数为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
7．（2022春·安徽宣城·八年级校考期中）已知等边ABC的边长为8，点P是边BC上的动点，将ABP绕点A逆时针旋转60°得到ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是（ ）
A． B．3 C． D．4
8．（2022春·山东济南·八年级济南育英中学校考期中）如图，平行四边形ABCD中，，．，E是边AD上且，F是边AB上的一个动点，将线段EF绕点E逆时针旋转60°，得到EG，连接BG、CG，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．10
9．（2022·山东济南·统考一模）如图，菱形ABCD中对角线AC与BD相交于点F，且，，若点P是对角线BD上一动点，连接AP，将AP绕点A逆时针旋转使得，连接PE，取AD的中点O，连接OE，则在点P的运动过程中，线段OE的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
10．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）等腰直角三角形和等腰直角三角形中，，，，其中固定，绕点A顺时针旋转一周，在旋转过程中，若直线与直线交点为P，则面积的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
二、填空题
11．（2022秋·湖北黄石·九年级黄石十四中校考期中）在中，，，，分别是，的中点，若等腰绕点逆时针旋转，得到等腰，设旋转角为，记直线与的交点为，与面积和的最大值为______
12．（2022秋·重庆合川·九年级统考期末）如图，是等腰三角形，，，M为所在平面内一动点且，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转120°得线段AN，连接BN，则线段BN长度的最大值为______．
13．（2022秋·江苏宿迁·九年级校考阶段练习）如图，是等边三角形，E是的中点，D是直线上一动点，线段绕点E逆时针旋转，得到线段，当点D运动时，若，则的最小值为______．
14．（2022秋·贵州遵义·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，，将绕点B逆时针旋转得到，连接，当的长取得最大值时，长为_____．
15．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期末）如图，为等边三角形，点P为内一点，且，，，M、N为、上的动点，且，则的最小值为__________．
16．（2022秋·陕西西安·八年级校考阶段练习）如图，点，，作点关于轴的对称点，若点是直线上的动点，连，将绕点逆时针旋转至，则的最小值是_____．
17．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期中）如图，已知，，点P是第一象限内一动点，，点M是点P绕点B顺时针旋转90°的对应点，则AM的最小值是________
18．（2022秋·天津·九年级校考期中）在中，，，，将绕点B按逆时针方向旋转，得到，点E为线段中点，点P是线段上的动点，将绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点，
（Ⅰ）如图①，______________；
（Ⅱ）如图②，线段的最大值为___________，最小值为____________．
19．（2022秋·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AC＝2＋2，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到 ，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点，则线段的最大值是________，最小值是________．
20．（2022春·江苏泰州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B为y轴上的一个动点，将点B绕点A顺时针旋转至点C，连接OC，则OC长度的最小值为___________．
三、解答题
21．（2022秋·广东广州·九年级校考期末）如图，是等腰直角三角形，，，B为边上一点，连接，将绕点C旋转到的位置．
(1) 若，求的度数；
(2) 连接，求长的最小值．
22．（2022秋·江苏泰州·八年级统考期中）如图，点D为等腰直角三角形斜边上一动点（点D不与线段两端点重合），将绕点B顺时针方向旋转到，连接．
(1) 求证：；
(2) 若，求的长：
(3) 若，请直接写出的最小值．
23．（2022秋·天津河西·九年级统考期中）在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点，．以点为旋转中心，把顺时针旋转，得．
(1) 如图①，当旋转后满足轴时，求点C的坐标；
(2) 如图②，当旋转后点C恰好落在x轴正半轴上时，求点D的坐标；
(3) 在（2）的条件下，边OB上的一点旋转后的对应点为当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）．
24．（2022秋·湖北武汉·九年级统考阶段练习） 在和中，．
(1) 连接，点分别为的中点，连接，
①如图1，当三点在一条直线上时，与关系是________．
②如图2，当等腰绕点顺时针旋转时，①中的结论还成立吗？如果成立，请证明你的结论；如果不成立，请说明理由．
如图3，当等腰绕点顺时针旋转时，连接，点分别为的中点，连接，若，则的最大值是__________．
参考答案
1．B
【分析】取线段的中点，连接，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出以及，由旋转的性质可得出，由此即可利用全等三角形的判定定理证出，进而即可得出，再根据点为的中点，即可得出的最小值，由此即可求解．
解：取线段的中点，连接，如图所示，
∵为等边三角形，且为的对称轴，
∴，，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
当时，最短，即最短．
∵点为的中点，
∴此时．
故选：．
【点拨】本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出．
2．D
【分析】在AB上取一点E，使，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ=AP，∠PAQ=60°，证明△CAQ≌△EAP，由全等三角形的性质得出CQ=EP，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，由直角三角形的性质即可得出结论．
解：如图，在AB上取一点E，使，连接PE，过点E作EF⊥BC于点F，
根据题意得：AQ=AP，∠PAQ=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠EAC=60°，
∴∠PAQ=∠EAC，
∴∠CAQ=∠EAP，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ=EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF，
∵∠ACB=30°，
∴AB=2AC，BE=2EF，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段CQ长度的最小值为．
故选：D
【点拨】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，找出点P和点F重合时，EQ最小，最小值为EF的长度是解本题的关键．
3．D
【分析】根据等边三角形，点是三边垂直平分线的交点，，如图所示（见详解），连接，可证的周长为，如图所示（见详解），过点作，可知与的关系，找出的最小值，即可求解．
解：如图所示，连接，
∵是等边三角形，点是三边垂直平分线的交点，
∴，，，
∴，即，
∵，即，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵的周长为，且，
∴的周长为，
∴求的周长的最小值，转化为求的最小值，
如图所示，过点作，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，则，
∴的周长为，
根据点到直线，垂线段最短可知，当时，的值最小，
如图所示，
∴，，
∴，
∴的周长为，
∴的周长的最小值为，
故选：．
【点拨】本题主要考查等边三角形，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形各边的关系是解题的关键．
4．D
【分析】以点C为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和Q，连接，根据题意可得，根据分析图中即为所求的最大值，在中，根据勾股定理即可求解．
解：如图，以点C为圆心，为半径作圆，连接并延长，交于点和Q，连接，
，
，
∵点D为的中点，
，
∵绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，
∴点Q在以点C为圆心，为半径的圆上，
，
∴点三点共线，
由图可知，Q可能在线段上，也可能在延长线上，
要求的最大值，即求图中的长，
，
，
在中，
由勾股定理得，
∴的最大值为5．
故选：D．
【点拨】本题主要考查勾股定理、旋转的性质、等腰直角三角形，分析出当时，点Q有两种情况，并找出的最大值是解题关键．
5．A
【分析】先画出将△OCP顺时针便转90°到△OBQ的位置的图形，再证Q、B、P在同一条直线上，再利用旋转的性质和正方形的性质，证△POQ是直角三角形，求出△POQ的面积，最后由四边形OBPC的面积等于△OBP和△OBQ的和即△POQ的面积求解即可．
解：如图，
四边形ABCD是正方形，
OC=OB，∠BOC=90°，
将△OCP顺时针旋转90°，到△OBQ的位置，
则△OCP≌△OBQ，
∵∠BPC=90°，
∴∠OCP+∠OBP=360°-90°-90°=180°，
∴∠OCP=∠OBQ，
∴∠OBQ+∠OBP=180°，Q、B、P在同一条直线上，
∵PO=4，△OCP≌△OBQ，
∴QO=PO=4，∠COP=∠BOQ，
∠QOP=∠BOC=90°，
∴△POQ是直角三角形，
∵ ，
∴
故选：B．
【点拨】本题属旋转综合题目，考查了旋转的性质，正方形的性质，利用旋转性质和数形结合思想得出面积的关系是解题关键．
6．D
【分析】连接OA、OB、OC、．由△OA≌△OC推出∠O＝∠O＝120°，则有△O≌△O≌△O，＝＝，△是等边三角形，当O、C、共线时，O＝OC+C＝OC+CA＝+1时，O最长，此时＝ （+1）＝1+，α＝150°．
解：如图，连接OA、OB、OC、．
∵O是等边三角形△ABC是中心，
∴∠BAO＝∠ACO＝30°，OA＝OC，
∵∠BA ＝∠AC＝α，
∴∠OA＝∠OC，
在△OA和△OC中，
，
∴△OA≌△OC（SAS），
∴∠AO＝∠CO，O＝O，
∴∠O＝∠AOC＝120°，
同理可证∠O＝∠O＝120°，O＝O，
则有△O≌△O≌△O，
∴＝＝，
∴△是等边三角形，
在△O中，
∵∠O＝120°，O＝O，
∴当O最长时，最长，
∵O≤OC+C，
∴当O、C、共线时，O＝OC+C＝OC+CA＝+1时，O最长，
此时＝ （+1）＝1+，α＝150°，
∴△的周长的最大值为3+3．
故选：D
【点拨】本题考查旋转变换、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、最大值问题等知识，解题的关键是灵活应用全等三角形的判定，学会利用三角形的三边关系解决最大值问题．
7．C
【分析】根据题意可知当时，的长最小，此时，，再利用勾股定理求解即可．
解：绕点逆时针旋转得到，
，
是边长为8的等边三角形，
，
，
点是边的中点，
，
当时，的长最小，此时，，
，
，
的最小值时，
故选：C．
【点拨】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质、勾股定理，解题的关键是掌握对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前后的两图形全等．
8．A
【分析】如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H．利用全等三角形的性质证明∠GNB=60°，点G的运动轨迹是射线NG，由 “SAS”可证△EGN △BGN，可得GB=GE，推出，求出EC即可解决问题．
解：如图，取AB的中点N，连接EN，EC，GN，作 EH⊥CD交CD的延长线于H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=BD，
∵AE=2DE，
∴AE=4，DE=2，
∵点N是AB的中点，
∴AN=NB=4，
∴AE=AN，
∵∠A=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴∠AEN=∠FEG=60°，
∴∠AEF=∠NEG，
∵EA=EN，EF=EG，
∴△AEF △NEG（SAS)，
∴∠ENG=∠A=60°，
∴∠ANE=60°，
∴∠GNB=180°-60°-60°=60°，
∴点G的运动轨迹是射线NG，
∵BN=EN，∠BNG=∠ENG=60°，NG=NG，
∴△EGN △BGN（SAS)，
∴GB=GE，
∴GB+GC=GE+GC≥EC，
在Rt△DEH中，
∵∠H=90°，DE=2，∠EDH=60°，
∴DH==1，EH=，
在Rt△ECH中，EC=，
∴GB+GC≥，
∴GB+GC的最小值为
故选：A．
【点拨】本题考查旋转变换，轨迹，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
9．A
【分析】连接DE，通过旋转，可以证明△ABP≌△ADE，即可求出∠ADE的角是定角，OE的最小值即为过O点到DE的垂线长，也就是OD长的一半；
解：如图所示，连接DE
∵四边形ABCD是菱形，且，，
∴AF=4，DF=4，
∴AD=8，
∴∠ADB=∠ABD=30°，
根据旋转的性质，AP=AE，∠BAD=∠PAE，
∴∠BAP=∠DAE，
在△ABP和△ADE中，
∴△ABP≌△ADE，
∴∠ABP=∠ADE=30°，
∴DE是满足∠ADE=30°的线段，
∴OE的最小值为过点O作DE的垂线，
∵O是AD的中点，
所以OD=4，
此时的OE值为OD==2；
故选：A．
【点拨】本题考查旋转的性质，找出全等的三角形，证明∠ADE=30°是解决本题的关键．
10．B
【分析】和都是等腰直角三角形，可证，由全等三角形对应角相等得为底边，则高最小时，三角形面积最小，则当为的切线时，P到的距离最短，求得这个最小点，再得到矩形为正方形，由勾股定理和正方形的边长相等可求得的长，即可求解．
解：∵和都是等腰直角三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴点P在以为直径的圆上，
则当为底边，则高最小时，三角形面积最小，此时最小，
∵绕点A顺时针旋转一周，
∴点D在以点A为圆心，为半径的圆上，
∴当为的切线时，P到的距离最短，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴矩形为正方形，
∴，
∴，
∴， ，
此时的面积为
即面积的最小值为4．
故选：B
【点拨】本题主要考查了图形的旋转，圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，根据题意得到点P的轨迹是解题的关键．
11．
【分析】由旋转得到，推出，，再证明，得到与面积和为，得到共线时，最大，据此即可求解．
解：与的交点记作点G，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
与面积和为，
当最大时，与面积和的最大，
此时共线时，最大，
∵，，分别是，的中点，
∴，
∴最大值为，
∴与面积和的最大值为，
故答案为：．
【点拨】此题主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，证明，得到共线时，最大，是解本题的关键．
12．##
【分析】由BM＝1作以点B为圆心，半径为1的⊙B，由∠BAC＝120°和旋转角为120°得到点M经过旋转后与以点C为圆心，半径为1的⊙C，然后连接BC并延长交⊙C于点N，即可得到BN长度的最大值．
解：如图，以B为圆心、半径为1作⊙B，以点C为圆心、半径为1作⊙C，
∵BM＝1，
∴点M在⊙B上，
∵旋转角为120°，∠BAC＝120°，AB＝AC，
∴点M经过旋转后落在⊙C上，
连接BC，并延长BC交⊙C于点N，过点A作AH⊥BC于点H，则CN＝1，∠AHB＝∠AHC＝90°，此时，BN长度最大，
∵△ABC为等腰三角形，∠ABC＝120°，AB＝2，
∴AC＝AB＝2，∠ABC＝∠ACB＝30°，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了等腰三角形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的三边关系，解题的关键是通过旋转的性质得到点M的运动轨迹和点的轨迹．
13．
【分析】连接，延长到N，使，连接，过点A作于G，过点A作于H，由等边三角形的性质可得，，，，由旋转的性质可得，由可证，可得，可得点F在过点N且平行于的直线上，当时，AF的值最小，由直角三角形的性质可求线段的最小值．
解：如图，连接，延长到N，使，连接，过点A作于G，过点A作于H，
∵是等边三角形，E是的中点，且，
∴，，，
∴，
∵线段绕点E逆时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点F在过点N且平行于的直线上，
∴当时，的值最小，
∵，
∴，
∴线段的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，确定点F的运动轨迹是本题的关键．
14．
【分析】连接，，先证明，得到，在中，，当A点在上时，最大为6，在中，求出，在中，利用勾股定理求出，即可得到答案．
解：连接，，
由题意得：，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，，当A点在上时，最大为6，
此时，
∵，
∴，
∴，
在中，
，
在中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】此题考查了图形的旋转、勾股定理、三角形全等的判定和性质等知识，证明
是解题的关键．
15．
【分析】先将绕点顺时针旋转得到，连接、，得到，可证得，然后将绕点逆时针旋转得到，连接，则，，可证得，从而得解．
解：如图1，将绕点顺时针旋转得到，连接、，则， ，
，，
是等边三角形，，，
，
，
，
如图2，将绕点逆时针旋转得到，连接、，则，，
，，
是等边三角形，，
，
，
则的最小值为，
故答案为．
【点拨】本题考查了等边三角形性质、全等三角形的性质、图形的旋转，两次利用旋转构造全等三角形是解题关键．
16．
【分析】过点分别作轴的垂线，垂足分别为，证明，得出的坐标，进而根据的坐标得出点在直线上运动，作关于的对称点，则是等腰直角三角形，则的最小值为的长，根据勾股定理即可求解．
解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，
∵将绕点逆时针旋转至，
则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
设直线的解析式为，
∴，
解得：
∴直线的解析式为，
∵点是直线上的动点，
∵关于轴对称，
∴,
如图所示，
设，则，，
∴，
∴，
∵，
∴点在直线上运动，
设直线与坐标轴的交点为，则是等腰直角三角形，
∴,,
∵是等腰直角三角形，
∴，
作关于的对称点，则是等腰直角三角形（），
∴，
∴
∴，
∴当三点共线时，最小，最小值为的长，
即，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，轴对称求线段和的最值问题，得出的坐标是解题的关键．
17．
【分析】证明，由全等三角形的性质得出，由勾股定理求出，，由题意得出，则可求出答案．
解：连接，将线段绕点B顺时针旋转得到线段，连接，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
的最小值为．
故答案为．
【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
18． ； ； ．
【分析】（Ⅰ）作交与点D，由所对的直角边等于斜边的一半可得，再利用，求出，进一步可得；
（Ⅱ）作交与点D，求出，分情况讨论：当P点运动到点D时，在与的交点处，最小，；当、E 、B三点共线，点P运动到点C时，最大，最大值为．
解：（Ⅰ）作交与点D，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（Ⅱ）作交与点D，
由（Ⅰ）可知：，，
∵E是中点，
∴，
当P点运动到点D时，在与的交点处，此时，最小，最小值为;
当、E 、B三点共线，点P运动到点C时，最大，最大值为
故答案为：；；
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键．
19． ## ##
【分析】过点B作BD⊥AC，D为垂足，根据直角三角形的性质求出BD的长，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，点P的对应点在线段AB上时，最小；当、E 、B三点共线，点P运动到点C时，，最大，．
解：过点B作BD⊥AC，D为垂足，连接BP，，
∵∠BAC=45°，∠ACB=30°，
∴△ABD是等腰直角三角形，BC=2BD，
∴BD=AD，
设BD=AD=x，则BC=2x，
∴，
∵，
∴，
∴，即BD=2，
∴，BC=4，
∵E是AB的中点，
∴，
由旋转的性质可知，
∵，
∴，
∴当、E 、B三点共线，且P运动到点D时，最小，最小值为；
∵，
∴，
∵当、E 、B三点共线，点P运动到点C时，，最大，最大值为；
故答案为：；．
【点拨】本题主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，三角形三边关系的应用等等，熟知相关知识是解题的关键．
20．1
【分析】利用分类讨论的方法，分m≥0，m<0两种情况解答：过点C作CD⊥x轴于点D，通过证明△ABO≌△CAD，得到OA=CD=1，OB=AD，利用勾股定理表示OC的长度，根据非负数的性质求得结论．
解：设点B（0，m），则OB=|m|，
∵点A的坐标为（1，0），
∴OA=1．
当m≥0时，过点C作CD⊥x轴于点D，如图，
由题意：∠BAC=90°，BA=BC，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
∵CD⊥x轴，
∴∠CAD+∠ACD=90°．
∴∠BAO=∠ACD．
在△ABO和△CAD中，
∴△ABO≌△CAD（AAS）．
∴OA=CD=1，OB=AD=m．
∴，
∴当m=0时，OC取最小值为；
当m<0时，过点C作CD⊥x轴于点D，如图，
由题意：∠BAC=90°，BA=BC，
∴∠BAO+∠CAD=90°，
∵CD⊥x轴，
∴∠CAD+∠ACD=90°．
∴∠BAO=∠ACD，
在△ABO和△CAD中，
∴△ABO≌△CAD（AAS）．
∴OA=CD=1，OB=AD=-m．
∴OD=-m-1
∴，
∴当m=-1时，OC取最小值为1．
综上，OC长度的最小值为1．
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了坐标与图形的变化，全等三角形的判定与性质，勾股定理，非负数的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
21．(1) (2)
【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的性质得到然后根据三角形内角和定理得到，最后根据全等三角形的性质求解即可；
（2）首先根据题意得到是等腰直角三角形，然后证明出当的长度最小时，取得最小值，最后根据等腰直角三角形的性质求解即可．
解：（1）∵是等腰直角三角形，
∴
∵
∴
∵将绕点C旋转到的位置
∴
∴；
（2）∵
∴，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴当的长度最小时，取得最小值，
∵B为边上一点，
∴点时，的长度最小，
∴此时，
∴．
∴长的最小值为．
【点拨】此题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，点到直线的距离等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
22．(1) 见分析 (2) ；(3) 的最小值为10．
【分析】（1）利用证明，得；
（2）由（1）得，则，再根据勾股定理可得的值，从而得出的长；
（3）由（2）知，，则点E在直线上运动，作点B关于的对称点，连接，交于E，此时最小，再根据勾股定理求的长即可．
解：（1）证明：∵将绕点B顺时针方向旋转到，
∴，，
∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知，，
则点E在直线上运动，
作点B关于的对称点，连接，交于E，此时最小，
∵，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴的最小值为10．
【点拨】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理，轴对称最短路线问题，确定点E的运动路径是解题的关键．
23．(1) (2) （） (3)
【分析】（1）如图1中，作轴于H．只要证明四边形是矩形，利用矩形的性质即可解决问题；
（2）如图2中，作轴于M．在中，求出即可解决问题；
（3）连接，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，由题意，推出，根据两点之间线段最短，可知当点P与点重合时，的值最小．只要求出直线的解析式即可解决问题．
（1）解：过点C作轴于H，
∵，，
∴，，
由旋转的性质，可得，
∴，，，
又∵轴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∴点C的坐标为；
（2）过点D作轴于M，
由面积知，
在中，由勾股定理得 AB，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴点D的坐标为（）；
（3）连接，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，
由题意可得，
根据轴对称的性质可得，
∴，
∵，D的坐标为（），
∴设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为．
【点拨】本题考查了轴对称 最短路线问题、勾股定理解直角三角形，两点之间线段最短等知识，解题的关键是会利用两点之间线段最短解决最短路径问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
24．(1) ①；②结论还成立，证明见分析 (2) 8.5
【分析】（1）①延长交于，连接，证明，得，从而 是等腰直角三角形，可得；②过作交延长线于，连接，证明，得，可得，从而，即得，可求出是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，故；
（2）连接并延长至，使，连接，证明，得中，，即知，故当等腰绕点顺时针旋转至共线时，最大，最大值为．
解：（1）①延长交于，连接，如图：
∵，
∴ ，
∴，
∵是中点，
∴，
在和中
，
∴ ，
∴，
∵．
∴，即，
而，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵为中点，
∴；
故答案为：；
②结论还成立，证明如下：
过作交延长线于，连接，如图：
∵，
∴，
∵是中点，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
而，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵是中点，
∴；
（2）连接并延长至，使，连接，如图：
∵是中点，，
∴，
∵是中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
中，，
∴，即，
∴，
当等腰绕点E顺时针旋转至共线（不能构成）时，如图：
此时最大，最大值为，
故答案为：
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【点拨】本题考查旋转变换中的全等三角形，涉及等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．