专题9.51 矩形、菱形、正方形（最值问题）（专项练习）-2022-2023学年八年级数学下册基础知识专项讲练（苏科版）

专题9.51 矩形、菱形、正方形（最值问题）（专项练习）
一、单选题
1．如图，在中，，，，点D在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是（ ）
A．3 B．6 C．8 D．
2．如图，矩形中，点、分别为边、上两动点，且，，沿翻折矩形，使得点恰好落在边（含端点）上，记作点，翻折后点对应点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．2
3．如图，平面内三点A、B、C，，，以为对角线作正方形，连接，则的最大值是（ ）
A．6 B．11 C． D．
4．如图所示，四边形是正方形，边长为6，点分别在轴、轴的正半轴上，点D在OA上，且点的坐标为，是上一动点，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．
5．如图所示，正方形的面积为9，是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点P，使的和最小，则这个最小值为（ ）
A．4.5 B．9 C．2.5 D．3
6．如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，正方形的边长为2，为对角线上一动点，，，当点从点运动到点的过程中，的周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，菱形中，对角线，，、分别是、上的动点，是线段上的一个动点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．5
9．如图，矩形中，，，E为上一点，且，F为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（ ）
A．3 B．3.5 C．4 D．4.5
10．如图，正方形中，，动点在边上，以为直角边向上作正方形，连接，则在运动过程中最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在边长为2的等边中，是上一动点，连接，以、为邻边作平行四边形，则对角线的最小值为__________．
12．如图，在周长为16的菱形中，点E、F分别在边上，，P为上一动点，则线段长度的最小值为____________．
13．如图．在矩形中，，．点P在线段上运动（含B、C两点），连接，以点A为中心，将线段逆时针旋转到，连接，则线段的最小值为________．
14．如图，在菱形中，点是的中点，，，点为上一动点，求的最小值______．
15．如图，在矩形中，，将矩形沿直线折叠，使得点A恰好落在边上的点G处，且点E、F分别在边上（含端点），连接，当取得最小值时，折痕的长为___________．
16．如图，在矩形中，，，点在边上，点在边上，且，连接，则的最小值为______．
17．如图，正方形的边长为8，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为__．
18．如图，正方形的边长为2，点E为正方形内部一点，连接，且，点F是边上一点，连接，则长度的最小值为___________．
19．如图，正方形中，，E是边的中点，F是正方形内一动点，且，连接，，，并将绕点D逆时针旋转得到（点M，N分别为点E，F的对应点）．连接，则线段长度的最小值为_____________．
20．如图，在菱形中，，，，分别是边和对角线上的动点，且，则的最小值为______．
三、解答题
21．如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点G，连接、．
(1) 求证：；
(2) 求的面积；
(3) 在的条件下，求周长的最小值．
22．如图，在正方形中，点E在对角线上，点F在射线上，且四边形是正方形，连接．
(1) 求证：．
(2) ______．
(3) 著，当点E在上移动时，是否有最小值？若有最小值，求出最小值．
23．如图，正方形中，点为边的上一动点，作交、分别于、点，连接．
(1) 若点为的中点，求证：点为的中点；
(2) 若点为的中点，，，求的长；
(3) 若正方形边长为4，直接写出的最小值________．
24．【推理】
如图1，在边长为10的正方形中，点是上一动点，将正方形沿着折叠，点落在点处，连结，，延长交于点，与交于点．
求证：．
【运用】
如图2，在【推理】条件下，延长交于点．若，求线段DH的长．
【拓展】
如图3，在【推理】条件下，连结．则线段的最小值为 ．
参考答案
1．A
【分析】根据点到直线垂线段最短及平行线间距离处处相等，结合勾股定理即可得到答案．
解：∵，，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴当时，最小，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
故选A．
【点拨】本题考查矩形判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理及点到直线垂线段最短，解题的关键是掌握点到直线垂线段最短．
2．C
【分析】连接NG，ND，GD，由翻折可得△CDN≌△HGN，则，要求NH的最小值，即求GN的最小值，以此得出当点G与点B重合时，GN最小，设，则，根据勾股定理即可求解．
解：连接，，，
以翻折后，点与点重合，
，，，
，
四边形为矩形，，
，
当的最小时，最小，
由图可知，当点与点重合时，最小，
设，则，，
在中，
，
，
解得：，
的最小值为．
故选：C．
【点拨】本题主要考查折叠问题、勾股定理，解答本题的关键是能找到点G与点B重合时，NH最小，这是解答本题的突破口．
3．D
【分析】如图将绕点顺时针旋转得到．由旋转不变性可知：，．，得出是等腰直角三角形，推出，当的值最大时，的值最大，根据三角形的三边关系求出的最大值即可解决问题．
解：如图，
将绕点顺时针旋转得到，
由旋转不变性可知：，，，
是等腰直角三角形，
，
当的值最大时，的值最大，
，
，
的最大值为11，
的最大值为．
故选：D．
【点拨】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题．
4．B
【分析】要求和的最小值，，不能直接求，可考虑通过作辅助线转化，的值，从而找出其最小值求解．
解：连接，交于，则就是和的最小值，
∵再直角中，，，，
∴，
∴，
∴和的最小值是，
故选：B．
【点拨】本题考查了最短路径问题，涉及了正方形的性质、轴对称、勾股定理等知识，解题关键是对这些知识的理解与综合应用．
5．D
【分析】由于点B与D关于对称，所以连接，与的交点即为P点．此时最小，而是等边E的边，，由正方形的面积为9，可求出的长，从而得出结果．
解：设BE与交于点，连接，，
∵点B与D关于对称，
∴，
∴最小．
∵正方形的面积为9，
∴，
又∵是等边三角形，
∴．
故选：D
【点拨】本题主要考查正方形的性质，轴对称的性质，等边三角形的性质，找到对称点，添加辅助线是关键．
6．C
【分析】如图作点关于的对称点，连接，，由，推出，又是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值．
解：如图作点关于的对称点，连接，．
在中，
，，
．，
，
，
是定值，
当、、、共线时，定值最小，最小值，
的最小值为，
故选：C．
【点拨】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题，属于中考常考题型．
7．A
【分析】先证明△ADE≌△CDP（SAS），求出AE＝CP，可得当DE⊥AC时，△EPC的周长有最小值，求出DE的最小值为，即可得出答案．
解：正方形的边长为2，
，，
，
中，，，
，
在和中，，
（SAS），
，
，
∴当时，DE有最小值，此时EP有最小值，的周长有最小值，
又，，
，
中，，，
，
周长的最小值．
故选：A．
【点拨】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识．分析得出当DE⊥AC时，△CEP的周长最小是解题的关键．
8．C
【分析】根据勾股定理得到AB=5，过N作NQ⊥AB于Q交BD于P，过P作PM⊥BC于M，则PM+PN=PN+PQ=NQ的值最小，根据菱形的面积公式即可得到结论．
解：设AC与BD交于点O，
∵菱形ABCD中，AC⊥BD，，，
∴OA=3，OB=4，
∴AB==5，
过N作NQ⊥AB于Q交BD于P，过P作PM⊥BC于M，
则PM+PN=PN+PQ=NQ的值最小，
∵，
∴NQ=，
即PM+PN的最小值是，
故选：C．
【点拨】本题考查了轴对称-最短距离问题，菱形的性质，菱形的面积的计算，正确的作出图形是解题的关键．
9．B
【分析】以为边作等边，过点H作于N，于M，可证四边形是矩形，可证，证明，可得，当时，有最小值，即有最小值，即可求解．
解：如图，以为边作等边，过点H作于N，于M，
又∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵是等边三角形，，
∴，，，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，即有最小值，
∴点F与点M重合时，，
故选：B．
【点拨】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
10．B
【分析】过点作，交的延长线于点，根据题意，首先证出，得到，，进而证出为等腰直角三角形，得到，当在上移动时，点在的角平分线上移动，当时，最短．再证得为等腰直角三角形，解这个直角三角形得，进一步再求出的最小值，从而得解．
解：过点作，交的延长线于点，
∵四边形是正方形
∴
∴
∵四边形是正方形，
∴，
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴，，
∴，
∴
∴为等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴当在上移动时，点在的角平分线上移动，当时，最短
∵
∴为等腰直角三角形
∴
∴
∴
∵，，
∴
故选：B．
【点拨】本题主要考查的是线段的最小值的问题，正方形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形，熟练掌握各种图形的性质与判定，确定点的运动轨迹是解本题的关键．
11．
【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当时，线段取最小值．
解：如图，与相交于点，
在中，，
四边形是平行四边形，
，．
当取最小值时，线段最短，此时．
点是的中点，
，
，，，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，以及垂线段最短．解答该题时，利用了“平行四边形的对角线互相平分”的性质．
12．
【分析】在上截取，连接，则与的交点为，的长就是的最小值，据此即可求解．
解：∵菱形的周长为，
∴，
在上截取，连接，则与的交点为．
∴，
∴，即的长就是的最小值，
，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形
．
故答案为：．
【点拨】本题考查了轴对称，理解菱形的性质，对角线所在的直线是菱形的对称轴是关键．
13．
【分析】以为边向右作等边三角形，作射线交于点E，过点D作于H，连接，根据矩形的性质得，根据，都是等边三角形得，，，可得，用SAS可证明，得，根据得，根据，，在中，设，则，根据勾股定理得，，进行计算得，，即可得点Q在射线上运动，根据得，根据，，得，根据垂线段最短，即可得当点与点重合时，的值最小，最小值为．
解：如图所示，以为边向右作等边三角形，作射线交于点E，过点D作于H，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，都是等边三角形，
∴，，，
∴，
在和中，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴在中，设，则，根据勾股定理得，
，
，
，
，（舍），
∴，，
∴点Q在射线上运动，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵垂线段最短，
∴当点与点重合时，的值最小，最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了矩形的性质，旋转变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是构造全等三角形，添加辅助线，本题是中考选择题中的压轴题．
14．4
【分析】连接，，，对角线相交于点O，根据菱形的轴对称性可知是的垂直平分线，则，故当点D、E、P三点共线时，的最小值为的长，再根据等边三角形的判定和性质即可求解．
解：连接，，，对角线相交于点O，
∵四边形是菱形，
∴是的垂直平分线，，，
∴，
∴，
∴当点D、E、P三点共线时，的最小值为的长，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∵点E是的中点，
∴，
∴和都是等边三角形的高，
∴，
∴的最小值为4，
故答案为：4．
【点拨】本题主要考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，两点之间，线段最短等知识，将的最小值转化为的长是解题的关键．
15．
【分析】由时的值最小，即此时能取得最小值，显然四边形是正方形，从而根据勾股定理可得答案．
解：由折叠易知：，
∵当时，的值最小，
∴此时能取得最小值，
又∵当时，点E与点B重合，如图所示：
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
根据折叠可知，，
∴四边形是正方形，
∴，
∴折痕．
故答案为：．
【点拨】本题考查了折叠变换的性质、矩形的性质、勾股定理、正方形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
16．
【分析】先连接，将转化为，再利用将军饮马解决问题即可．
解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图，作点关于点的对称点，连接，
即为的最小值，
∵，，
∴，，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查矩形的性质、勾股定理、将军饮马问题、全等三角形的判定与性质等内容，综合性较强，将转化为是解题的关键．
17．5
【分析】由题意分析可知，点F为主动点，G为从动点，所以以点E为旋转中心构造全等关系，得到点G的运动轨迹，之后通过垂线段最短构造直角三角形获得最小值．
解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，于，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，，
，，，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
当时，有最小值，即有最小值，
点与点重合时，，
故答案为5．
【点拨】本题考查了线段极值问题，分清主动点和从动点，通过旋转构造全等，从而判断出点G的运动轨迹，是本题的关键．
18．
【分析】根据正方形的性质得到，推出，得到点E在以为直径的半圆上运动，设点O为的中点，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对称点为M，连接，交于点F，交半圆于E，则线段的长即为的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点E在以为直径的半圆上运动，
如图，设点O为的中点，作正方形关于直线对称的正方形，则点D的对称点为M，连接，交于点F，交半圆于E，则线段的长即为的长度最小值，，
∵，，
∴，
∴长度的最小值为，
故答案为：．
【点拨】此题考查了轴对称—最短路径问题，正方形的性质，勾股定理的综合运用，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决问题，多数情况要作点关于直线的对称点．
19．
【分析】过点M作，垂足为P，连接，由旋转的性质得到，，，根据正方形的性质求出，证明，得到，，利用勾股定理求出，根据即可求出的最小值．
解：过点M作，垂足为P，连接，
由旋转可得：，，，
在正方形中，，E为中点，
∴，
∵，
∴，又，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵C，M位置固定，
∴，即，
∴，即的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，两点之间线段最短，知识点较多，解题的关键是构造全等三角形，求出的长，得到．
20．
【分析】在的下方作，在上截取，使得，连接，证明，推出，，根据求解即可．
解：如图，在的下方作，在上截取，使得，连接．
∵四边形是菱形，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点拨】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
21．(1) 见分析 (2) (3)
【分析】（1）根据正方形性质证明，根据对折性质得到，从而证明，根据“斜边，直角边”即可证明；
（2）先求出，进而得到，设，则，
根据得到，根据勾股定理求出，从而得到，即可得出，最后求出的面积，根据即可求解；
（3）根据，可得的周长，再根据当点A、F、C三点共线是，最小，根据勾股定理求出，即可求解．
解：（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵沿对折至，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
解得：．
（3）∵沿对折至，
∴，
∴，
∴的周长，
∴当最小时，的周长最小，
如图：当点A、F、C三点共线是，最小，
根据勾股定理得：，
∴，
∴的周长最小值．
【点拨】本题为四边形综合题，考查了正方形的性质，翻折变换，全等三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，综合性较强，熟知相关定理，根据已知条件灵活应用是解题关键．
22．(1) 证明见分析 (2) 90° (3) 有最小值，最小值为8
【分析】（1）证明可得结论；
（2）利用全等三角形的性质，正方形的性质解决问题；
（3）有最小值．连接， 是直角三角形，，推出，求出的最小值即可解决问题．
解：（1）证明：如图1中，
∵四边形，四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
∴，
∴；
（2）；
证明：∵四边形是正方形，
，
，
，
；
（3）解：有最小值．连接 ，
是直角三角形，，
，
∵四边形是正方形，
,
的值最小时， 的值最小，
根据垂线段最短可知，
当 ，时，
的值最小，最小值为．
【点拨】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是正确寻找全等三角形．
23．(1) 见分析 (2) 2 (3)
【分析】（1）由，推出，由，，推出，即可证明F点为的中点；
（2）延长到N，使得，连接，根据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质即可解决问题．
（3）取的中点M，连接，，由直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，当C、P、M共线时，的值最小，则可求出答案．
（1）解：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∵，
∵，
∴，
∴F点为的中点；
（2）延长到，使得，连接，
∵，
∴．
∵点为的中点，
∴由（1）可知，
∵在和中，
，，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
（3）取的中点M，连接，，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴C、P、M共线时，的值最小，最小值为．
故答案为：．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
24．(1) 见分析 (2) (3)
【分析】（1）利用证明，得；
（2）连接，利用等角对等边证明，设，则，由勾股定理得，，解方程即可；
（3）取的中点，连接，，利用勾股定理求出，直角三角形斜边上中线的性质得的长，再利用三角形三边关系可得答案．
解：（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∵正方形沿折叠，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，
∵正方形沿折叠，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，
解得，
∴；
（3）解：取的中点，连接，，
则，，
∵，为的中点，
∴，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
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【点拨】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，翻折的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形三边关系等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键．