第三单元因数与倍数必考题检测卷（单元测试）-小学数学五年级下册苏教版（含答案）
文档属性
| 名称 | 第三单元因数与倍数必考题检测卷（单元测试）-小学数学五年级下册苏教版（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1011.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-03-06 17:37:16 | ||
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文档简介
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第三单元因数与倍数必考题检测卷（单元测试）-小学数学五年级下册苏教版
一、选择题
1．15和9的公因数有（ ）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下面的说法中正确的有（ ）句。
（1）最小的质数和最小的合数都是偶数。
（2）5个连续自然数的和一定是5的倍数。
（3）大于1的自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。
（4）一个自然数至少有3个因数。
A．1 B．2 C．3 D．4
3．自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论。哥德巴赫猜想则是皇冠上的明珠。下面的哪一个算式不能表示哥德巴赫猜想的示例（ ）。
A．15＝2＋13 B．8＝3＋5 C．10＝3＋7 D．20＝7＋13
4．两个数的（ ）是无限的。
A．公因数 B．公倍数 C．最小公因数 D．最小公倍数
5．如果，那么A的因数有（ ）个。
A．8 B．3 C．5 D．2
6．把两根长30和45厘米的彩带剪成长度一样且没有剩余的短彩带，每根短彩带最长是（ ）厘米。
A．30 B．15 C．5 D．45
7．、是不为0的自然数，，和的最大公因数是 ，最小公倍数是 。（ ）
A．1；A B．1；B C．1；AB D．AB；1
8．一个合数至少有（ ）个因数。
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．一个数的最大因数是36，这个数的因数有( )个，把这个数分解质因数是( )。
10．在中，8和3是24的( )数，其中3也是24的( )数。
11．两个质数的积是91，它们的差是( )。
12．五个连续奇数的和是105，这五个连续奇数是( )。
13．两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，如果这两个数的差是54，那么这两个数的和是 ( )。
14．a÷b＝5（a、b是非0自然数），那么a和b的最小公倍数是( )。
三、判断题
15．一个连加算式中有251个偶数和108个奇数，和一定是偶数。( )
16．两个数的公因数一定是这两个数的公倍数的因数。( )
17．把42分解质因数：42＝2×3×7。( )
18．乘数都是奇数，积一定是奇数。( )
19．相邻的两个自然数的最大公因数是较大数。( )
四、计算题
20．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
12和48 26和39 13和15
21．把下面各数分解质因数。
27 48 18 51
五、解答题
22．从一张长36厘米、宽27厘米的长方形纸上剪下几个同样大的小正方形后，正好剩下一张长36厘米、宽3厘米的小纸条。算一算，这个小正方形的边长最大是多少厘米？（提示：可以画图思考）
23．丽丽和欢欢都在舞蹈学校学舞蹈，丽丽每6天去一次，欢欢每4天去一次，如果3月1日她们在舞蹈学校相遇，那么下一次在舞蹈学校相遇是几月几日？
24．用若干个长15厘米、宽12厘米的小长方形，按照下图的样子拼成一个大正方形。
（1）这个大正方形的边长最少是多少厘米？
（2）拼成这个大正方形，至少需要多少个这样的小长方形？
25．一个长方形周长是16米，它的长、宽的米数是两个质数，这个长方形面积是多少平方米？
26．男生有36人，女生有48人，男、女生分别排队，要使每排的人数相同，每排最多有多少人？男、女生分别有几排？
27．羊村有一条街道长300米，原来在街道的一旁每隔10米装有一盏路灯（两头都有）。现在换了新型节能灯泡，亮度增强。为了节约电能，要改12米装1盏。安装过程中有多少盏路灯不需要移动？
参考答案：
1．B
【分析】根据题意，分别求出15和9的因数，然后找出共有的因数即可。
【详解】15的因数有：1，3，5，15；
9的因数有：1，3，9；
15和9的公因数有1，3一共2个。
15和9的公因数有2个。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查对公因数的理解与应用。
2．C
【分析】（1）在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，比如3，只有1和它本身这两个因数，所以3是质数；一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数，即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。
（2）用5个连续自然数的和除以5，能除尽即为5的倍数，据此判断即可。
（3）整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
（4）根据质数和合数的概念进行判断。
【详解】（1）最小的质数是2，最小的合数是4，都是偶数，所以这个说法正确；
（2）假设这5个自然数的中间那个是a，则5个自然数分别是a－2，a－1，a，a＋1，a＋2，则5个数的和为：
（a－2）＋（a－1）＋a＋（a＋1）＋（a＋2）
＝a－2＋a－1＋a＋a＋1＋a＋2
＝5a
5a÷5＝a，所以5个连续自然数的和一定是5的倍数说法正确；
（3）大于1的自然数要么就是2的倍数，要么就不是2的倍数，所以不是奇数就是偶数；1既不是质数也不是合数，大于1也就是把1排除，即大于1的自然数不是质数就是合数，所以大于1的自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数说法正确；
（4）合数至少有3个因数，比如4，有因数1、2、4，所以4是合数；2也是自然数，但是2只有1和它本身两个因数，所以2是质数；由此可得一个自然数至少有3个因数说法错误。
综上所述：（1）、（2）、（3）说法正确，（4）说法错误。
故答案为：C
【点睛】本题考查了质数合数，奇数偶数，5的倍数等概念，要求学生不能光死记硬背概念，而是要把对概念的理解，熟练的运用到题目中来。
3．A
【分析】能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数；
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的叫做合数；
根据哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数都可以表示成两个质数的和，逐项分析解答。
【详解】A．15＝2＋13；15不是偶数，2和13是质数；符合题意；
B．8＝3＋5；8是偶数，3和5是质数，不符合题意；
C．10＝3＋7；10是偶数，3和7是质数，不符合题意；
D．20＝7＋13；20是偶数，2和13是质数，不符合题意。
自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论。哥德巴赫猜想则是皇冠上的明珠。算式不能表示哥德巴赫猜想的示例15＝2＋13。
故答案为：A
【点睛】在自然数中，注意特殊的数2既是偶数，同时也是质数。
4．B
【分析】一个数的因数是有限的，所以两个数的公因数一定是有限的；一个数的倍数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的，但两个数的最小公因数和最小公倍数只有一个，由此解决问题即可。
【详解】A．两个数的公因数是有限的，不符题意；
B．两个数的公倍数的个数是无限的，符合题意；
C．两个数的最小公因数是1，只有1个，不符题意；
D．两个数的最小公倍数只有1个，不符题意。
故答案为：B
【点睛】此题考查两个数的公因数和公倍数的个数：两个数的公因数是有限的；两个数的公倍数的个数是无限的；紧扣定义解答问题。
5．A
【分析】可以先把A的值求出来，即2×2×2×3＝24，找出24的因数，再数出24的因数的个数即可。
【详解】2×2×2×3＝24
24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
所以A的因数有8个。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查因数的找法，熟练掌握因数的找法并灵活运用。
6．B
【分析】根据题意，求每根短彩带最长是多少厘米，就是求30和45的最大公因数，根据求两个数最大公因数的求法：两个数的公有质因数的连乘积，就是两个数的最大公因数，据此解答。
【详解】30＝2×3×5
45＝3×3×5
30和45的最大公因数是：3×5＝15；每根短彩带最长是15厘米。
把两根长30和45厘米的彩带剪成长度一样且没有剩余的短彩带，每根短彩带最长是15厘米。
故答案为：B
【点睛】熟练掌握求两个数的最大公因数的方法是解答本题的关键。
7．C
【分析】、是不为0的自然数，，说明比多1，和是相邻的两个自然数，相邻的两个自然数互质，那么它们最大公因数是1、最小公倍数是这两个数的乘积。据此解答。
【详解】、是不为0的自然数，，所以与互质，所以和的最大公因数是1，最小公倍数是。
故答案为：C
【点睛】明确相邻两个自然数的最大公因数是1、最小公倍数是这两个数的乘积是解答本题的关键。
8．C
【分析】自然数中，除1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外还有别的因数的数为合数，合数至少有3个因数。
【详解】根据分析可知，一个合数至少有3个因数。
故答案为：C
【点睛】熟练掌握合数的意义是解答本题的关键。
9． 9 36＝2×2×3×3
【分析】根据一个数的因数和倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；求出这个数，再根据求1个数的因数方法，求出这个数的因数；
分解质因数利用相乘法：写成几个质数相乘的形式（这些不重复的质数即为质因数），实际运算时可采用逐步分解的方式。
【详解】这个数是36，36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36一共有9个；
36＝2×2×3×3
一个数的最大因数是36，这个数的因数有9个，把这个数分解质因数是36＝2×2×3×3。
【点睛】根据这个数的最大因数求出这个数，并掌握分解质因数的方法是解答题目的关键。
10． 因 质因
【分析】若整数a能被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【详解】在8×3＝24中，8和3是24的因数，其中3也是24的质因数。
【点睛】本题考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
11．6
【分析】把91分解质因数，可确定这两个质数是多少，再求它们的差即可。
【详解】91＝7×13
13－7＝6
它们的差是6。
【点睛】本题的重点是把91分解质因数，求出这两个数是多少，再进行解答。
12．17，19，21，23，25
【分析】中间的奇数是这五个连续奇数的平均数，中间的奇数＝五个连续奇数的和÷奇数的个数，根据相邻两个奇数相差2求出其它的奇数。
【详解】105÷5＝21
21－2＝19
19－2＝17
21＋2＝23
23＋2＝25
五个连续奇数的和是105，这五个连续奇数是17，19，21，23，25。
【点睛】理解连续奇数的特点是本题解题的关键。
13．126
【分析】两个数独有的质因数的乘积是：180÷18＝10，10＝1×10＝2×5，如果是18×1＝18和18×10＝180，180－18＝162，就和这两个数的差是54相矛盾，因此这两个数只能是：18×2＝36，18×5＝90，再相加即可求解。
【详解】因为180÷18＝10
所以两个数独有的质因数的乘积是10
因为10＝2×5＝1×10
这两个数的差是54
所以不可能是1和10
则这两个数只能是：18×2＝36，18×5＝90
36＋90＝126
即这两个数的和是126。
【点睛】本题考查了数的整除性问题，它实际是考查了求最小公倍数方法的逆用，关键理解最小公倍数＝最大公因数×两个数独有的质因数这一关系。
14．a
【分析】由a÷b＝5（a、b是非0自然数），可知a和b是倍数关系，根据倍数关系的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，据此解答。
【详解】a÷b＝5（a、b是非0自然数），可知a和b是倍数关系，所以a和b的最小公倍数的a。
【点睛】本题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，注意倍数关系的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
15．√
【分析】根据偶数＋偶数＝偶数；奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，据此解答即可。
【详解】因为偶数＋偶数＝偶数；奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，所以奇数个奇数相加得奇数，偶数个奇数相加得偶数，即251个偶数相加是偶数，108个奇数相加也是偶数，偶数＋偶数＝偶数；所以最终和一定是偶数；所以原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查偶数与奇数的和的奇偶性。
16．√
【分析】根据公因数和最小公倍数的意义可知；两个数的公有的因数，叫做两个数的公因数，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，可以举例证明。
【详解】最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，例如：4的因数有1、2、4；6的因数有：1、2、3、6。4和6的公因数有1和2。4＝2×2，6＝2×3，4和6的最小公倍数是2×2×3＝12。由以上可知：1和2都是12的因数。所以两个数的公因数一定是这两个数的公倍数的因数的说法是正确的。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查最大公因数和最小公倍数的意义，注意两个数的最大公因数，一定是这两个数的最小公倍数的因数。
17．√
【分析】分解质因数的意义，把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数，据此分析解答。
【详解】42＝2×3×7，所以原题是正确的；
故答案为：√。
【点睛】本题主要考查分解质因数的意义，注意是几个质数相乘的形式。
18．√
【分析】奇数×奇数＝奇数，据此解答即可。
【详解】乘数都是奇数，积一定是奇数；原题说法是正确的；
如：3×5＝15；
故答案为：√。
【点睛】熟练掌握奇偶数的运算性质是解答本题的关键。
19．×
【分析】除0外，相邻的两个自然数是互质数，互质数的最大公因数是1，据此判断。
【详解】除0外，相邻的两个自然数的最大公因数是1，原题说法错误。
故答案为：×。
【点睛】掌握互质两个数的最大公因数是1是解题关键。
20．12和48的最大公因数是12，最小公倍数是48；
26和39的最大公因数是13，最小公倍数是78；
13和15的最大公因数是1，最小公倍数是195
【分析】用分解质因数的方法求两个数的最大公因数、最小公倍数：两个合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。如果两个数是倍数关系，那么它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；如果两个数是互质数，那么最大公因数是1，最小公倍数是它俩的乘积；据此解答。
【详解】12和48
48是12的倍数，所以12和48的最大公因数是12；最小公倍数是48
26和39
26＝2×13
39＝3×13
26和39的最大公因数是：13；最小公倍数是：2×3×13＝78
13和15
13和15是互质数，所以最大公因数是1；最小公倍数是：13×15＝195
21．见详解
【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质因数的连乘积的形式，一般先从较小的质数试着分解。
【详解】27＝3×3×3；
48＝2×2×2×2×3；
18＝2×3×3；
51＝3×17
【点睛】此题主要考查分解质因数的方法，数据大的可以利用短除法分解。
22．12厘米
【分析】根据题意可知，剪下几个同样大的小正方形的长方形的长是36厘米，宽是（27－3＝24）厘米，求出36和24的最大公因数，就是每个正方形的边长，据此解答即可。
【详解】36＝2×2×3×3
27－3＝24（厘米）
24＝2×2×2×3
所以36和24的最大公因数是2×2×3＝12；
即裁出的正方形的边长最大是12厘米。
答：这个小正方形的边长最大是12厘米。
【点睛】本题考查了灵活应用求解最大公因数的方法来解决实际问题。
23．3月13日
【分析】丽丽每6天去一次，时间是6的倍数，欢欢每4天去一次，时间是4的倍数，他们下一次同时去舞蹈学校学舞蹈的时间是3月1日加上4和6的最小公倍数，即可得解。
【详解】
所以4和6的最小公倍数是
（日）
答：下一次在舞蹈学校相遇是3月13日。
【点睛】灵活运用最小公倍数的求解方法来解决实际问题。
24．（1）60厘米
（2）20个
【分析】（1）由题意知：拼成的大正方形的边长既是15的倍数，也是12的倍数。求得15和12的最小公倍数既是大正方形的边长。
（2）在大正方形中，一行可以摆60÷15＝4个小长方形，一共可以摆60÷12＝5行，所以一共可以摆4×5＝20（个）
【详解】（1）15＝3×5
12＝2×2×3
15和12的最小公倍数是：2×2×3×5＝60
答：这个大正方形的边长最少60厘米。
（2）60÷15＝4（个）
60÷12＝5（行）
4×5＝20（个）
答：至少需要20个这样的小长方形。
【点睛】明确大正方形的边长是小长方形长和宽的最小公倍数，再求得大正方形中一行可以摆几个，可以摆几行是解答本题的关键。
25．15平方米
【分析】因为长方形的周长是16厘米，所以长宽米，又因为长、宽均为质数，，所以长应该是5米，宽是3米，再根据长方形的面积公式，即可求出面积。
【详解】（米）；
，
所以长应该是5米，宽是3米；
长方形的面积是：（平方米）。
答：这个长方形的面积是15平方米。
【点睛】关键是根据题意将8分解成两个质数的和，得出符合要求的长和宽，再利用长方形的面积公式解决问题。
26．12人；3排；4排
【分析】由男女生分别排队，要使每排的人数相同，可知每排的人数是男生和女生人数的公因数，要求每排最多有多少人，就是每排的人数是男生和女生人数的最大公因数；求这时男、女生分别有几排，只要用男、女生人数分别除以每排的人数即可。
【详解】48＝2×2×2×2×3
36＝2×2×3×3
所以48和36的最大公因数是：2×2×3＝12，即每排最多有12人。
男生排数：36÷12＝3（排）
女生排数；48÷12＝4（排）
答：每排最多有12人，这时男有3排，女生有4排。
【点睛】本题考查了公因数应用题，解答本题关键是理解：每排的人数是男生和女生人数的公因数，要求每排最多有多少人，就是每排的人数是男生和女生人数的最大公因数。
27．6盏
【分析】根据题意，不需要重新安装的是10米与12米的公倍数的路灯杆，即60米倍数的路灯杆不移动，也就是求出每隔60米路灯杆的根数，加上开头的那一根即可。
【详解】由分析可知：10和12的最小公倍数是60。
300÷60＋1
＝5＋1
＝6（盏）
答：安装过程中有6盏路灯不需要移动。
【点睛】本题主要考查公倍数的应用，找准最小公倍数是解题的关键。
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第三单元因数与倍数必考题检测卷（单元测试）-小学数学五年级下册苏教版
一、选择题
1．15和9的公因数有（ ）个。
A．1 B．2 C．3 D．4
2．下面的说法中正确的有（ ）句。
（1）最小的质数和最小的合数都是偶数。
（2）5个连续自然数的和一定是5的倍数。
（3）大于1的自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数。
（4）一个自然数至少有3个因数。
A．1 B．2 C．3 D．4
3．自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论。哥德巴赫猜想则是皇冠上的明珠。下面的哪一个算式不能表示哥德巴赫猜想的示例（ ）。
A．15＝2＋13 B．8＝3＋5 C．10＝3＋7 D．20＝7＋13
4．两个数的（ ）是无限的。
A．公因数 B．公倍数 C．最小公因数 D．最小公倍数
5．如果，那么A的因数有（ ）个。
A．8 B．3 C．5 D．2
6．把两根长30和45厘米的彩带剪成长度一样且没有剩余的短彩带，每根短彩带最长是（ ）厘米。
A．30 B．15 C．5 D．45
7．、是不为0的自然数，，和的最大公因数是 ，最小公倍数是 。（ ）
A．1；A B．1；B C．1；AB D．AB；1
8．一个合数至少有（ ）个因数。
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
9．一个数的最大因数是36，这个数的因数有( )个，把这个数分解质因数是( )。
10．在中，8和3是24的( )数，其中3也是24的( )数。
11．两个质数的积是91，它们的差是( )。
12．五个连续奇数的和是105，这五个连续奇数是( )。
13．两个数的最大公因数是18，最小公倍数是180，如果这两个数的差是54，那么这两个数的和是 ( )。
14．a÷b＝5（a、b是非0自然数），那么a和b的最小公倍数是( )。
三、判断题
15．一个连加算式中有251个偶数和108个奇数，和一定是偶数。( )
16．两个数的公因数一定是这两个数的公倍数的因数。( )
17．把42分解质因数：42＝2×3×7。( )
18．乘数都是奇数，积一定是奇数。( )
19．相邻的两个自然数的最大公因数是较大数。( )
四、计算题
20．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
12和48 26和39 13和15
21．把下面各数分解质因数。
27 48 18 51
五、解答题
22．从一张长36厘米、宽27厘米的长方形纸上剪下几个同样大的小正方形后，正好剩下一张长36厘米、宽3厘米的小纸条。算一算，这个小正方形的边长最大是多少厘米？（提示：可以画图思考）
23．丽丽和欢欢都在舞蹈学校学舞蹈，丽丽每6天去一次，欢欢每4天去一次，如果3月1日她们在舞蹈学校相遇，那么下一次在舞蹈学校相遇是几月几日？
24．用若干个长15厘米、宽12厘米的小长方形，按照下图的样子拼成一个大正方形。
（1）这个大正方形的边长最少是多少厘米？
（2）拼成这个大正方形，至少需要多少个这样的小长方形？
25．一个长方形周长是16米，它的长、宽的米数是两个质数，这个长方形面积是多少平方米？
26．男生有36人，女生有48人，男、女生分别排队，要使每排的人数相同，每排最多有多少人？男、女生分别有几排？
27．羊村有一条街道长300米，原来在街道的一旁每隔10米装有一盏路灯（两头都有）。现在换了新型节能灯泡，亮度增强。为了节约电能，要改12米装1盏。安装过程中有多少盏路灯不需要移动？
参考答案：
1．B
【分析】根据题意，分别求出15和9的因数，然后找出共有的因数即可。
【详解】15的因数有：1，3，5，15；
9的因数有：1，3，9；
15和9的公因数有1，3一共2个。
15和9的公因数有2个。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查对公因数的理解与应用。
2．C
【分析】（1）在自然数中，除了1和它本身外，没有别的因数的数为质数，比如3，只有1和它本身这两个因数，所以3是质数；一个大于1的自然数，除了1和它自身外，还能整除其他自然数的数，即除了1和它本身以外还有其他因数，这样的数叫合数。
（2）用5个连续自然数的和除以5，能除尽即为5的倍数，据此判断即可。
（3）整数中，是2的倍数的数叫偶数，不是2的倍数的数叫奇数。
（4）根据质数和合数的概念进行判断。
【详解】（1）最小的质数是2，最小的合数是4，都是偶数，所以这个说法正确；
（2）假设这5个自然数的中间那个是a，则5个自然数分别是a－2，a－1，a，a＋1，a＋2，则5个数的和为：
（a－2）＋（a－1）＋a＋（a＋1）＋（a＋2）
＝a－2＋a－1＋a＋a＋1＋a＋2
＝5a
5a÷5＝a，所以5个连续自然数的和一定是5的倍数说法正确；
（3）大于1的自然数要么就是2的倍数，要么就不是2的倍数，所以不是奇数就是偶数；1既不是质数也不是合数，大于1也就是把1排除，即大于1的自然数不是质数就是合数，所以大于1的自然数不是奇数就是偶数，不是质数就是合数说法正确；
（4）合数至少有3个因数，比如4，有因数1、2、4，所以4是合数；2也是自然数，但是2只有1和它本身两个因数，所以2是质数；由此可得一个自然数至少有3个因数说法错误。
综上所述：（1）、（2）、（3）说法正确，（4）说法错误。
故答案为：C
【点睛】本题考查了质数合数，奇数偶数，5的倍数等概念，要求学生不能光死记硬背概念，而是要把对概念的理解，熟练的运用到题目中来。
3．A
【分析】能被2整除的数为偶数，不能被2整除的数为奇数；
一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的叫做合数；
根据哥德巴赫猜想：任何大于2的偶数都可以表示成两个质数的和，逐项分析解答。
【详解】A．15＝2＋13；15不是偶数，2和13是质数；符合题意；
B．8＝3＋5；8是偶数，3和5是质数，不符合题意；
C．10＝3＋7；10是偶数，3和7是质数，不符合题意；
D．20＝7＋13；20是偶数，2和13是质数，不符合题意。
自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论。哥德巴赫猜想则是皇冠上的明珠。算式不能表示哥德巴赫猜想的示例15＝2＋13。
故答案为：A
【点睛】在自然数中，注意特殊的数2既是偶数，同时也是质数。
4．B
【分析】一个数的因数是有限的，所以两个数的公因数一定是有限的；一个数的倍数是无限的，两个数的公倍数的个数也是无限的，但两个数的最小公因数和最小公倍数只有一个，由此解决问题即可。
【详解】A．两个数的公因数是有限的，不符题意；
B．两个数的公倍数的个数是无限的，符合题意；
C．两个数的最小公因数是1，只有1个，不符题意；
D．两个数的最小公倍数只有1个，不符题意。
故答案为：B
【点睛】此题考查两个数的公因数和公倍数的个数：两个数的公因数是有限的；两个数的公倍数的个数是无限的；紧扣定义解答问题。
5．A
【分析】可以先把A的值求出来，即2×2×2×3＝24，找出24的因数，再数出24的因数的个数即可。
【详解】2×2×2×3＝24
24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24
所以A的因数有8个。
故答案为：A
【点睛】本题主要考查因数的找法，熟练掌握因数的找法并灵活运用。
6．B
【分析】根据题意，求每根短彩带最长是多少厘米，就是求30和45的最大公因数，根据求两个数最大公因数的求法：两个数的公有质因数的连乘积，就是两个数的最大公因数，据此解答。
【详解】30＝2×3×5
45＝3×3×5
30和45的最大公因数是：3×5＝15；每根短彩带最长是15厘米。
把两根长30和45厘米的彩带剪成长度一样且没有剩余的短彩带，每根短彩带最长是15厘米。
故答案为：B
【点睛】熟练掌握求两个数的最大公因数的方法是解答本题的关键。
7．C
【分析】、是不为0的自然数，，说明比多1，和是相邻的两个自然数，相邻的两个自然数互质，那么它们最大公因数是1、最小公倍数是这两个数的乘积。据此解答。
【详解】、是不为0的自然数，，所以与互质，所以和的最大公因数是1，最小公倍数是。
故答案为：C
【点睛】明确相邻两个自然数的最大公因数是1、最小公倍数是这两个数的乘积是解答本题的关键。
8．C
【分析】自然数中，除1和它本身外，没有别的因数的数为质数；除了1和它本身外还有别的因数的数为合数，合数至少有3个因数。
【详解】根据分析可知，一个合数至少有3个因数。
故答案为：C
【点睛】熟练掌握合数的意义是解答本题的关键。
9． 9 36＝2×2×3×3
【分析】根据一个数的因数和倍数的特征：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数；一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身；求出这个数，再根据求1个数的因数方法，求出这个数的因数；
分解质因数利用相乘法：写成几个质数相乘的形式（这些不重复的质数即为质因数），实际运算时可采用逐步分解的方式。
【详解】这个数是36，36的因数有：1，2，3，4，6，9，12，18，36一共有9个；
36＝2×2×3×3
一个数的最大因数是36，这个数的因数有9个，把这个数分解质因数是36＝2×2×3×3。
【点睛】根据这个数的最大因数求出这个数，并掌握分解质因数的方法是解答题目的关键。
10． 因 质因
【分析】若整数a能被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数，因数与倍数是相互依存的，据此解答。
【详解】在8×3＝24中，8和3是24的因数，其中3也是24的质因数。
【点睛】本题考查因数与倍数的意义，注意因数与倍数是相互依存的。
11．6
【分析】把91分解质因数，可确定这两个质数是多少，再求它们的差即可。
【详解】91＝7×13
13－7＝6
它们的差是6。
【点睛】本题的重点是把91分解质因数，求出这两个数是多少，再进行解答。
12．17，19，21，23，25
【分析】中间的奇数是这五个连续奇数的平均数，中间的奇数＝五个连续奇数的和÷奇数的个数，根据相邻两个奇数相差2求出其它的奇数。
【详解】105÷5＝21
21－2＝19
19－2＝17
21＋2＝23
23＋2＝25
五个连续奇数的和是105，这五个连续奇数是17，19，21，23，25。
【点睛】理解连续奇数的特点是本题解题的关键。
13．126
【分析】两个数独有的质因数的乘积是：180÷18＝10，10＝1×10＝2×5，如果是18×1＝18和18×10＝180，180－18＝162，就和这两个数的差是54相矛盾，因此这两个数只能是：18×2＝36，18×5＝90，再相加即可求解。
【详解】因为180÷18＝10
所以两个数独有的质因数的乘积是10
因为10＝2×5＝1×10
这两个数的差是54
所以不可能是1和10
则这两个数只能是：18×2＝36，18×5＝90
36＋90＝126
即这两个数的和是126。
【点睛】本题考查了数的整除性问题，它实际是考查了求最小公倍数方法的逆用，关键理解最小公倍数＝最大公因数×两个数独有的质因数这一关系。
14．a
【分析】由a÷b＝5（a、b是非0自然数），可知a和b是倍数关系，根据倍数关系的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数，据此解答。
【详解】a÷b＝5（a、b是非0自然数），可知a和b是倍数关系，所以a和b的最小公倍数的a。
【点睛】本题主要考查求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法，注意倍数关系的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数。
15．√
【分析】根据偶数＋偶数＝偶数；奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，据此解答即可。
【详解】因为偶数＋偶数＝偶数；奇数＋奇数＝偶数，偶数＋奇数＝奇数，所以奇数个奇数相加得奇数，偶数个奇数相加得偶数，即251个偶数相加是偶数，108个奇数相加也是偶数，偶数＋偶数＝偶数；所以最终和一定是偶数；所以原题说法正确。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查偶数与奇数的和的奇偶性。
16．√
【分析】根据公因数和最小公倍数的意义可知；两个数的公有的因数，叫做两个数的公因数，最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，可以举例证明。
【详解】最小公倍数是两个数公有的质因数和各自独有的质因数的乘积，例如：4的因数有1、2、4；6的因数有：1、2、3、6。4和6的公因数有1和2。4＝2×2，6＝2×3，4和6的最小公倍数是2×2×3＝12。由以上可知：1和2都是12的因数。所以两个数的公因数一定是这两个数的公倍数的因数的说法是正确的。
故答案为：√
【点睛】本题主要考查最大公因数和最小公倍数的意义，注意两个数的最大公因数，一定是这两个数的最小公倍数的因数。
17．√
【分析】分解质因数的意义，把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数，据此分析解答。
【详解】42＝2×3×7，所以原题是正确的；
故答案为：√。
【点睛】本题主要考查分解质因数的意义，注意是几个质数相乘的形式。
18．√
【分析】奇数×奇数＝奇数，据此解答即可。
【详解】乘数都是奇数，积一定是奇数；原题说法是正确的；
如：3×5＝15；
故答案为：√。
【点睛】熟练掌握奇偶数的运算性质是解答本题的关键。
19．×
【分析】除0外，相邻的两个自然数是互质数，互质数的最大公因数是1，据此判断。
【详解】除0外，相邻的两个自然数的最大公因数是1，原题说法错误。
故答案为：×。
【点睛】掌握互质两个数的最大公因数是1是解题关键。
20．12和48的最大公因数是12，最小公倍数是48；
26和39的最大公因数是13，最小公倍数是78；
13和15的最大公因数是1，最小公倍数是195
【分析】用分解质因数的方法求两个数的最大公因数、最小公倍数：两个合数分解质因数后，把公有的相同质因数乘起来就是最大公因数；把公有的质因数与每个数独有质因数乘起来，就是最小公倍数。如果两个数是倍数关系，那么它们的最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；如果两个数是互质数，那么最大公因数是1，最小公倍数是它俩的乘积；据此解答。
【详解】12和48
48是12的倍数，所以12和48的最大公因数是12；最小公倍数是48
26和39
26＝2×13
39＝3×13
26和39的最大公因数是：13；最小公倍数是：2×3×13＝78
13和15
13和15是互质数，所以最大公因数是1；最小公倍数是：13×15＝195
21．见详解
【分析】分解质因数就是把一个合数写成几个质因数的连乘积的形式，一般先从较小的质数试着分解。
【详解】27＝3×3×3；
48＝2×2×2×2×3；
18＝2×3×3；
51＝3×17
【点睛】此题主要考查分解质因数的方法，数据大的可以利用短除法分解。
22．12厘米
【分析】根据题意可知，剪下几个同样大的小正方形的长方形的长是36厘米，宽是（27－3＝24）厘米，求出36和24的最大公因数，就是每个正方形的边长，据此解答即可。
【详解】36＝2×2×3×3
27－3＝24（厘米）
24＝2×2×2×3
所以36和24的最大公因数是2×2×3＝12；
即裁出的正方形的边长最大是12厘米。
答：这个小正方形的边长最大是12厘米。
【点睛】本题考查了灵活应用求解最大公因数的方法来解决实际问题。
23．3月13日
【分析】丽丽每6天去一次，时间是6的倍数，欢欢每4天去一次，时间是4的倍数，他们下一次同时去舞蹈学校学舞蹈的时间是3月1日加上4和6的最小公倍数，即可得解。
【详解】
所以4和6的最小公倍数是
（日）
答：下一次在舞蹈学校相遇是3月13日。
【点睛】灵活运用最小公倍数的求解方法来解决实际问题。
24．（1）60厘米
（2）20个
【分析】（1）由题意知：拼成的大正方形的边长既是15的倍数，也是12的倍数。求得15和12的最小公倍数既是大正方形的边长。
（2）在大正方形中，一行可以摆60÷15＝4个小长方形，一共可以摆60÷12＝5行，所以一共可以摆4×5＝20（个）
【详解】（1）15＝3×5
12＝2×2×3
15和12的最小公倍数是：2×2×3×5＝60
答：这个大正方形的边长最少60厘米。
（2）60÷15＝4（个）
60÷12＝5（行）
4×5＝20（个）
答：至少需要20个这样的小长方形。
【点睛】明确大正方形的边长是小长方形长和宽的最小公倍数，再求得大正方形中一行可以摆几个，可以摆几行是解答本题的关键。
25．15平方米
【分析】因为长方形的周长是16厘米，所以长宽米，又因为长、宽均为质数，，所以长应该是5米，宽是3米，再根据长方形的面积公式，即可求出面积。
【详解】（米）；
，
所以长应该是5米，宽是3米；
长方形的面积是：（平方米）。
答：这个长方形的面积是15平方米。
【点睛】关键是根据题意将8分解成两个质数的和，得出符合要求的长和宽，再利用长方形的面积公式解决问题。
26．12人；3排；4排
【分析】由男女生分别排队，要使每排的人数相同，可知每排的人数是男生和女生人数的公因数，要求每排最多有多少人，就是每排的人数是男生和女生人数的最大公因数；求这时男、女生分别有几排，只要用男、女生人数分别除以每排的人数即可。
【详解】48＝2×2×2×2×3
36＝2×2×3×3
所以48和36的最大公因数是：2×2×3＝12，即每排最多有12人。
男生排数：36÷12＝3（排）
女生排数；48÷12＝4（排）
答：每排最多有12人，这时男有3排，女生有4排。
【点睛】本题考查了公因数应用题，解答本题关键是理解：每排的人数是男生和女生人数的公因数，要求每排最多有多少人，就是每排的人数是男生和女生人数的最大公因数。
27．6盏
【分析】根据题意，不需要重新安装的是10米与12米的公倍数的路灯杆，即60米倍数的路灯杆不移动，也就是求出每隔60米路灯杆的根数，加上开头的那一根即可。
【详解】由分析可知：10和12的最小公倍数是60。
300÷60＋1
＝5＋1
＝6（盏）
答：安装过程中有6盏路灯不需要移动。
【点睛】本题主要考查公倍数的应用，找准最小公倍数是解题的关键。
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