教版1989-2003高考数学试题分析课件[下学期]

课件80张PPT。高考数学试题分析高考数学试卷分析一、命题指导思想深化能力立意，积极改革创新优化试卷结构，如四川近几年成绩统计
拓展命题思路
（1）情景新颖,如01年理11、 01年理12、
02年文22；
（2）设问巧妙,如
03年理19、 03年理21；
3.创新试题设计,填空题增加多选，如
02年文16、 03年理16二、试题特点1、选择题、填空题以基础内容为主，减少 计算量，增加思维空间；
考查思维的灵活性、深刻性、创造性；
对运算重在考查算理，有的先推理后计 算，或只推论不计算；
鼓励学生多思、多想，活学活用，减少死记硬背的要求和僵化生硬的套路。如
02年理13、 02年理16、 03年理10
03年理11、 03年理12、 03年理15 二、试题特点2、解答题兼顾基础和能力，强化区分功能；
突出考查思维的灵活性、广阔性、深刻性、批判性和创造性。如
03年理17 03年理22 二、试题特点3、突出对数学的“核心能力”——思维能力的考查。
三大能力的核心，不仅包括逻辑思维能力，还包括探索能力，直觉思维能力、合情推理能力、策略创造能力；
淡化对知识点的刻意覆盖——重点知识重点考查，如函数、不等式；如
01年理20、 01年理22、
02年理21、 03年理19二、试题特点4、突出了对阅读能力，数学应用能力和探索能力的考查；如
01年文21、 01年理21、02年理20、
03年理20、文21
5、在知识网络交汇点设计试题，在高等数学和初等数学结合部设计试题。
01年理20、 03年理21三、解题的策略——从评卷看考生的得分情况1、运用多种方法，快速准确解答选择题；如03年理10
2、提高填空题的准确度，注意规范化；如03年理13
3、解答题：推理论证严谨如03年理18，表述清楚，分类完整，不开天窗；
把问题的条件具体化，明显化，数字化，广泛联想，合理转化；
合理分配时间，易的不要错，难的尽量作；
添卷要注明，错的要划掉。
4、良好的心理素质是制胜的关键！ (2001年理20题)题目：
已知 i , m , n 是正整数,且 1< i ≤ m < n.
(Ⅰ) 证明: ;
(Ⅱ) 证明: .证明 (Ⅰ) 对于 1 < i ≤ m 有

同理
由于 m < n , 对正整数k=1, 2, … , i －1, 有

所以
(Ⅱ) 证法(一): 由二项式定理有

由(Ⅰ)知
而
所以
因此 又因为,

∴ ,即 . (Ⅱ) 证法(三): 首先证明数列 为单调递
减数列.为此仅需证明
即需证
亦即需证
而
故仅需证
而对于j≥1有
所以
于是的单调递减性得证.
所以对 1< i ≤ m < n 有

即关于本问题(Ⅱ)的再思考：
结论，（Ⅱ）的一般情况是：函数 在
[2，+∞）上是单调减函数. 证明: 令 ,则
对方程两边的x求导,结合x∈[2,+∞),得
∴
∴ 在[2，+∞）上是单调减函数.（2001年文21题）题目：
设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画
面的宽与高的比为λ（λ＜1），画面的上、下各留
8cm空白，左右各留5cm空白，怎样确定画面的高与
宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？解法一：设画面高为x cm，宽为 cm,则 .
设纸张面积为S,有

将 代入上式,得
当 时,即 时,
S取得最小值.
此时,高为 ,宽为 .解法二:设画面高为x cm，宽为 cm,则 .
设纸张面积为S,有
将 代入上式,得
当 时,即 x=88 cm时,S取得最小值.
∴ 宽为
（2001年理21题）题目：
从社会效益和经济效益出发，某地投入资 金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少 .本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年比上年增加 .
(Ⅰ)设n年内(本年度为第一年)总投入为 万元,旅游业总收入为 万元.写出 、 的表达式;
(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入 ?解： （Ⅰ）第1年投入为800万元，
第2年投入为 万元，…… ，
第n年投入为 万元.
所以，n年内的总投入为
又第1年旅游业收入为400万元，
第2年旅游业收入为 万元,
…… 第n年旅游业收入为 万元.
所以，n年内旅游业的总收入为
(Ⅱ) 设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投
入,由此
即,
化简得 ,
设 ,代入上式得
解此不等式,得
即
由此得 n≥5 .
答:至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入. （2001年理22题）题目:
设f(x)是定义在R上的偶函数,其图象关于x=1对称,
对任意 都有 .且
f(1)=a>0.
(Ⅰ)求 ;
(Ⅱ)证明 f(x)是周期函数;
(Ⅲ) .
(Ⅰ) 解: 由 知

　　　
∵
∴
∴
∴
(Ⅱ)证明: y=f(x)关于x=1对称,
故 f(x)=f(2-x) (或f(1-x)=f(1+x))
又由f(x)是偶函数知 f(-x)=f(x)
∴ f(-x)=f(x)=f(2-x)
上式中-x以x代换,得
f(x)=f(x+2) , x∈R
∴ f(x)是R上以2为周期的周期函数. (Ⅲ) 解: 由(Ⅰ)知 f(x)≥0 , x∈[0,1]
∵


∴ ∵ f(x)是一个周期为2的周期函数
∴
∴
∴
关于周期函数的一般结论: 结论1:若对任意的x∈R,都有f(x + a)=f(x － a)
其中a>0.则f(x)是以2a为周期的周期函数. 证明: 在 中
用x+a去代换x,得

∴　 f(x)是以2a为周期的周期函数. 结论2:若对任意的x∈R,都有f(a+x)=f(a－x) (或 f(x)=f(2a－x),或f(x)关于x=a对称),且f(b+x)=f(b－x) , 其中b>a>0.则f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数. 证明: 在 中,
用x－a去代换x,得
①
同理,有 ②
由①、②知: 　③
　　用2a－x去代换③中的x,得
∴ f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数. 关于本问题结论的联想： 联想Ⅰ: (柯西(Cauchy)方程）设f(x)是R上的 单调函 数, 对x , y ∈R 有 ,则
联想Ⅱ: 设f(x)是R上的 单调函 数, f(1)=a>0.对任意的 有 ,则 . 下面仅证明联想Ⅱ:由于 ,
以下证明 上式等号不成立 (利用函数的单调性) .
若不然,存在
与f(x)是R上的
单调函数矛盾. 因为f(x)>0,所以可设 ,则g(1)=lna.
易知,g(x)是R上的单调函数且
对任意的 ,
由联想Ⅰ知 ,则
. 联想Ⅲ： 若本问题加强条件——“设f(x)是R上的单调函
数”,则由联想Ⅱ知 .
如图一：

将 由[0,1]偶展拓至[－1,1]得
即
如图二： 又由于f(x)关于x=1对称,
∴ f(x)是以2为周期的周期函数.
在将[－1,1]上 的作周期展拓,则题目中f(x)即是:
于是, .
如图三
(本考题为此特例)(2001年理11、文11题)
一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜.记三种盖法屋顶面积分别为P1、 P2 、 P3.
① ② ③
若屋顶斜面与水平面所成的角都是 ,则
( A ) P3 > P2 > P1 ( B ) P3 > P2 =P1
( C ) P3 = P2 > P1 ( D ) P3 = P2 =P1 (2001年理12、文12）
如图，小圆圈表示网络的结点，结点
之间的连线表示它们有网络相联.连线标注的数字表示
该段网线单位时间内可以通过的最大信息量.现从结点
A向结点B传递信息,信息可以分开沿不同的路线同时传
递.则单位时间内传递的最大信息量为
( A ) 26 ( B ) 24
( C ) 20 ( D ) 19
(2002年理20题)
某城市2001年末汽车保有量为30 万辆，预
计此后每年报废上一年末汽车保有量 的6％，
并且每年新增汽车数量相同。为保护城市环境，
要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每
年新增汽车数量不应超过多少辆？ 解：设2001年末汽车保有量为 万辆，以后各年末汽车保有量依次为 万辆， 万辆，··· ，每年新增汽车 万辆，则
，
对于 ，有

······
∴
当 ，即 时

当 ，即 时

并且数列 逐项增加，可以任意靠近
因此，如果
则 ，即 （万辆）(2002年理21题）
设a为实数，函数 ， 。
(Ⅰ) 讨论 的奇偶性；Ⅱ）求 的最小值。解：（Ⅰ）当 时，函数 ，
此时 为偶函数。
当 时， ， ，
， 。
此时函数既不是奇函数，也不是偶函数。
（Ⅱ）（ⅰ） 当 时，
函数 。
若 ，则函数 在 上单调递减，从而，
函数 在 上的最小值为 。
若 ，则函数 在 上的最小值为

，且 。 （ⅱ）当 时，
函数
若 ，则函数 在 上的最小值为 ，
且 。
若 ，则函数 在 上单调递增，从而，
函数 在 上的最小值为 。
综上，当 时，函数 的最小值是 。
当 时，函数 的最小值是 。
当 时，函数 的最小值是 。（02年文22）
（Ⅰ）给出两块相同的正三角形纸片（如图1，图2），要求用
其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，另一块剪拼成一个正三棱柱模型，使
它们的全面积都与原三角形的面积相等，请设计一种剪拼方法，分别用虚
线标示在图1、图2中，并作简要说明；
（Ⅱ）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；
（Ⅲ）（附加题） 如果给出的是任意三角形的纸片（如图3），要求剪拼
成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形的面积相等，请设计
一种简拼方法，用虚线标示在图3中，并作简要说明。（图1）（图2）（图3）（Ⅰ）解：如图1，沿正三角形三边中点连线折起，可拼得一个正三棱锥。
如图2，正三角形三个角上剪出三个相同的四边形，其较长的一组邻边边长为三角形边长的 ，有一组对角为直角。余下部分按虚线折起，可成为一个缺上底的正三棱柱，而剪出的三个相同的四边形恰好拼成这个正三棱柱的上底。图 1
图 2
三棱柱的另两种剪拼方法：如图2—1，图2—2。图 2—1
图 2—2
（Ⅱ）解：依上面剪拼的方法，有 。
推理如下：设给出正三角形纸片的边长为2，那么，正三棱锥与正三棱柱的底面都是边长为1的正三角形，其面积为 。
现在计算它们的高：

所以， 。（Ⅲ）如图3，分别连结三角形的内心与各顶点，得到三条线段，再以这三条线段的中点为顶点作三角形。以新作的三角形为直三棱柱的底面，过新三角形的三个顶点向原三角形三边作垂线，沿六条垂线剪下三个四边形，可以拼接成直三棱柱的上底，余下部分按虚线折起，成为一个缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱模型。 图 3
近几年四川数学成绩统计表(2003年理16题)
下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、
N、P分别为其所在的棱的中点，能得出l⊥面MNP的图
形的序号是 ①、④、⑤（写出所有符合要求的图形）.
（2003年理18题）题目:
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB＝900.侧棱AA1＝2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD
的重心G.
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角
的大小（结果用反三角函数值
表示）；
（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.
解：（Ⅰ）连结BG，
∵EG⊥面ABD，∴∠EBG就是AB与平面ABD所成的角。
设F为AB的中点，连结EF、FC、DE。
∵D、E分别是A1A和C1C的中点，
∴ ，
又C1C⊥面ABC，∴CDEF就是矩形。
连结DF，则G在DF上，且DG＝2GF。
在Rt△DEF中，EG是斜边上的高，
∴ ，∴ ，
∴ ， ∴ 同理，
∴ ， ∴ ，∴
则
故
所以，AB与平面ABD所成的角
是 。
（Ⅱ）法一 ∵ED⊥AB，ED⊥EF，
∴ED⊥面A1AB，作AK⊥AE，
则DE⊥A1K，故A1K就是A1到面AED的距离。
在Rt△AA1B1中，A1K是斜边上的高，
∴ 。
（Ⅱ） 法二 连结A1D，有 。
设A1到平面ADE的距离为h。
∵ED⊥AB，ED⊥EF，
∴ED⊥面A1AB，
∴
又
故
（2003年理19题）题目:
已知c>0.设P：函数 在R上单调递减；
Q：不等式 的解集为R.如果P和Q有
且仅有一个正确，求c的取值范围. 解：函数 在R上单调递减等价于 。
不等式的解集为R等价于函数 在R
上恒大于1。
∵
∴函数 在R上的最小值为2c。
∴不等式 的解集为R等价于2c>1，
即 。
如果P正确，则Q不正确，则 。
如果Q正确，则P不正确，故 。
所以c的取值范围为 。
（2003年理20、文21）题目:
在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当
前台风中心位于城市O（如图）的东偏南
（ ）方向
300km的海面P处，并以10km/h
的速度向西偏北方向450移动.台
风侵袭的范围为圆形区域，当前
半径为60km，并以10km/h的速度
不断增大.问几小时后该城市开始
受到台风的侵袭？ 解法一：设在经过时间t（h）后台风中心为Q，此时
台风侵袭的圆形区域半径为10t＋60（km），若在时刻t城
市O开始受到台风的侵袭，则有：OQ≤10t＋60，
在△OPQ中，由余弦定理有：
由于OP＝300， QP＝20t，


因此，
即
解得
答：12小时后该城市开始受到台
风侵袭。 解法二：以O为原点，正东方为x轴的正方向，建立如图坐标系。
设在经过时间t（h）后台风中心 坐标
此时，台风侵袭的区域是
，其中r（t）＝10t＋60。
若在t时刻城市O受到台风的侵袭，则有
，即


整理即得： ，
解得 。
答：12小时后该城市开始受到台风侵袭。（2003年理21题）题目:
已知常数a>0，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝4a，
O为AB的中点，点E、F、G分别在BC、CD、DA上移
动，且 ，P为GE与OF的交点（如图）。
问是否存在两个定点，使P到这两
点的距离的和为定值？若存在，
求出这两点的坐标及此定值；
若不存在，请说明理由。
解：由题意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a).
设
由此有E(2,4ak), F(2-4k,4a), G(-2,4a-4ak).
直线OF的方程为：2ax+(2k-1)y=0,
直线GE的方程为：-a(2k-1)x+y-2a=0.
由以上两直线方程消去k，得点P(x,y)满足的方程
为 ，整理得： 。
当 时，点P的轨迹为圆弧，所以不存在
符合题意的两点。
当 时，点P的轨迹为椭圆的一部分，点
P到该椭圆的焦点的距离的和为定长。
当 时，点P到椭圆的两个焦点
的距离之和为定值 。
当 时，点P到椭圆的两个焦点
的距离之和为定值2a。（2003年理22题）题目:
(Ⅰ)设数列是集合
中所有的数从小到大排列成的数列，即
，……。
将数列 各项按照上小下大，左小右大的
原则写成如下的三角形数表：
（1）写出这个三角形数表的第四行、第五行各数；
（2）求 。
（Ⅱ）设数列 是集合
中所有的数从小到大排列成的数列。 已知 ，
求k。 解： (Ⅰ)（1）第四行：17 18 20 24；
第五行：33 34 36 40 48。
（2）解法一：设 ，只须确定正整数t0
和s0。数列 中小于 的项构成的子集为
其元素的个数为
满足这个式子的最大整数 t0＝14。
因为100－ ，解得s0＝8，
故 。 解法二：n为 的下标，通过观察三角形数表有下面规律：
第一行第一个元素下标为1，第二行第一个元
素下标为 ，……第t行第一个元素下
标为 ，第t行第s个元素下标为 ，
该元素就等于 。据此判断 所在的行。
因为 ，所以 是
三角形数表的第14行的第9个元素，即
。（Ⅱ）解：
令
（其中， ）因

现在求M的元素个数：
其元素的个数为 ；
其元素的个数为 ；
其元素的个数为 。
∴ （2003年理10）题目:
已知长方形四个顶点A(0,0)，B(2,0)，C(2,1)，D(0,1)。
一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为 的方向射到BC上
的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4
（入射角等于反射角）。设P4的坐标为（x4,0）。
若1
（2003年理10）略解:
法一：逆向考虑： 法二：反射

（2003年理11）题目:
( B )

（2003年理12）题目:
一个四面体的所有棱长都为 ，四个顶点在同一球面
上，则此球的表面积为（ A ）

（2003年理12）略解:

（2003年理13）题目:
展开式中的 系数是 对中学教学的启示立足课本，加强“三基”，充分重视教材的基础作用；
树立知识的应用观，重视创新意识的培养；
注重数学思想和方法的浸润和渗透。（2003年理17题）
题目:已知复数z的辐角为600，且|z-1|是|z|和|z-2|的等比中项。求|z|。
本小题主要考查复数模、辐角和等比中项的概念，考查运算能力。（2003年理15题）
（15）如图一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色。现有四种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 72 种（以数字作答）。