2006年高考理科数学摸拟试题解析样本[下学期]

2006年高考理科数学摸拟试题解析样本14
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.集合{x∈N|0＜|x－1|＜3＝(N为含0的自然数集)的真子集个数是
A.16 B.15 C.8 D.7
2.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+4)=f(x)对任意x∈R成立，如果当x∈［0，1］时，f(x)=2x，则f(log23)的值是
A.23 B.－ C. D.－
3.某工厂生产过程中，用传送带将产品送给下一工序，质检人员每隔10分钟在传送带某一位置上取一件产品进行检验，这种抽样方法是
A.简单抽样 B.系统抽样 C.分层抽样 D.以上都不对
4.数列{an}的前n项和Sn=5n－3n2(n∈N*，n≥2)，则有
A.Sn＞na1＞nan B.Sn＜nan＜na1 C.nan＞Sn＞na1 D.nan＜Sn＜na1
5.设=a，=b，=c，当c=λa+μb(λ，μ∈R)，且λ+μ=1时，点C在
A.线段AB上 B.直线AB上
C.直线AB上，但除去点A D.直线AB上，但除去点B
6.已知a，b实数满足ab＞0，则代数式的值
A.有最小值但没有最大值 B.有最大值但没有最小值
C.既有最大值也有最小值 D.没有最大值也没有最小值
7.已知(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，若a1+a2+…+an－1=29－n，则自然数n等于
A.6 B.5 C.4 D.3
8.有以下四个命题，其中正确命题的序号是
①“直线a，b为异面直线”的充分非必要条件是“直线a，b不相交”
②“直线l⊥平面α内的所有直线”的充要条件是“l⊥α”
③“直线a⊥b”的充分非必要条件是“a垂直于b在α内的射影”
④“直线a∥平面β ”的必要非充分条件是“直线a平行于β内的一条直线”
A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④
9.AB为过椭圆=1中心的弦，F(c，0)为椭圆的右焦点，则△AFB的面积最大 值是
A.b2 B.ab C.ac D.bc
10.P是双曲线－=1(a＞0，b＞0)的左支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为
A.－a B.a C.－c D.c
11.不等式①x2＋3＞3x；②a2＋b2≥2(a－b－1)；③+≥2.其中恒成立的是
A.①③ B.②③ C.①②③ D.①②
12.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示某信息经过该段网线所需的时间(单位：毫秒).信息由结点A传递到结点B所需的最短时间为
A.5毫秒 B.4.9毫秒 C.4.8毫秒 D.4.7毫秒
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于_________对称.
14.若关于x的一元二次方程x2－11x+a+30=0的两个根均大于5，则实数a的取值范围是_________.
15.已知向量a与b所成的角为π，且a2= 4，b2=3，而向量c=2a+2b，则|c|=_________.
16.口袋中有大小相同的8个白球，4个红球，从中任意摸出2个球，则两球颜色相同的概率为_________.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
设两个向量e1、e2满足｜e1｜＝2，｜e2｜＝1，e1，e2的夹角为60°.若向量2te1＋7e2与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围.
18.(本小题满分12分)
已知由正数组成的等比数列{an}，若前2n项之和等于它前2n项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{an}的通项公式.
19.(本小题满分12分)
如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，M是侧棱PC上一点，且BM⊥PC.
(1)求证: PC⊥平面BMD；
(2)若二面角B－PC－D的大小为120°，求二面角A－BD－M的大小.
20.(本小题满分12分)
市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析，发现有如下规律:该商品的价格每上涨 x%(x＞0)，销售数量就减少kx% (其中k为正常数).目前，该商品定价为a元， 统计其销售数量为b个.
(1)当k=时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？
(2)在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值范围.
21.(本小题满分12分)
对于抛物线y=x2和实数k(k≠0)，
(1)求证:存在1条不过原点，斜率为k的直线l和1个圆心在原点的圆O，使它们满足: l交圆O于A、C两点，交y=x2于B、D两点，且B是线段AC的中点， C是BD的中点;
(2)当(1)中的k值变化时，求点C纵坐标的最小值.
22.(本小题满分14分)
已知函数f(x)是y=－1(x∈R)的反函数，函数g(x)的图象与函数y=的图象关于直线y=x－1成轴对称图形，记 F(x)=f(x)+g(x).
(1)求函数F(x)的解析式及定义域;
(2)试问在函数F(x)的图象上是否存在两个不同的点A，B，使直线AB恰好与y轴垂直.若存在，求出A，B坐标;若不存在，说明理由.
参 考 答 案
仿真试题(二)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.解析：∵集合为｛－1，0，2，3｝，∴真子集个数为24－1=15.
答案：B
2.解析：利用f(－x)=－f(x)，以及f(x)以4为周期可求出.
答案：B
3.B
4.解析：利用Sn－Sn－1=an，求出an即可.
答案：D
5.B
6.解析：a2+b2≥2|ab|=2ab，∴≥2.
答案：A
7.解析：用x=1代入.
答案：C
8.C
9.解析：∵S△AFB=2S△AOF，∴当点A位于短轴顶点处面积最大.
答案：D
10.A 11.D 12.C
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.直线x=1 14.(0，］ 15.2 16.
三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分)
17.解：e12＝4，e22＝1，e1·e2＝2×1cos60°＝1，
∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te12＋(2t2＋7)e1·e2＋7te22＝2t2＋15t＋7.
∴2t2＋15t＋7＜0，∴－7＜t＜－. 8分
设2te1＋7e2＝λ(e1＋te2)(λ＜0 10分
∴t＝－时，2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π.
∴t的取值范围是(－7，－)∪(－，－). 12分
18.解：∵q=1时，S2n=2na1，S偶数项=na1
又a1＞0，显然2na1≠11na1，q≠1.
∴S2n=，S偶数项=. 6分
依题意=11·，
解之q=. 8分
又a3+a4=a1q2(1+q)，a2a4=a12q4，
依题意a1q2(1+q)=11a12q4，将q=代入得a1=10.
∴an=102-n. 12分
5分
又PC⊥BM，∴∠BMD是二面角B—PC—D的平面角，即∠BMD=120°.
设AC∩BD=O，连OM，∵PC⊥面BMD，MO平面BMD，∴PC⊥OM.
OM是∠BMD的平分线∠BMO=60°.
∠AOM是二面角A—BD—M的平面角. 9分
在Rt△OMC中，cosMOC===cotBMO=.
所以二面角A－BD－M的大小为π－arccos. 12分
20.解:依题意，价格上涨x%后，销售总金额为:
y=a(1+x%)· b(1－kx%)=［－kx2+100(1－k)x+10000］.
(1)取k=，y=［－x2+50x+10000］.
∴x = 50， 即商品价格上涨50%时，
y最大为ab. 6分
(2)因为y=［－kx2+100(1－k)x+10000］，
此二次函数开口向下，对称轴为x=，在适当涨价过程中，销售总金额不断增加，即要求此函数当自变量x在{x|x＞0}的一个子集中增大时，y也增大.
所以＞0，解之0＜k＜1. 12分
21.(1) 证明:设满足条件的圆O与直线l均存在，由B是AC中点知，OB⊥AC.
∴OB:y=－x，与y=x2联立，得B(－，－). 4分
∴l:y－，代入y=x2，得:x2－kx－=0.
∵Δ=k2+＞0，
∴直线l与抛物线的另一个交点D存在，即BD中点C存在. 8分
(2)解:由方程x2－kx－=0，知 xC=，代入l得:yC=+1≥+1.
∴(yC)min=+1. 12分
22.解: (1)由y=－1，得:x=lg.
∴f(x)=lg，由y=，
得y+3=关于y=x－1对称的曲线方程
x－1+3=，得y==g(x). 4分
∴F(x)=lg+，定义域(－1，1). 6分
(2) 设F (x)上不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)连线与y轴垂直，设－1＜x1＜x2＜1，
则有y1=y2，又y1－y2=F(x1)－F(x2)=lg+
=lg()+. 10分
由－1＜x1＜x2＜1，＞1，＞1，x1－x2＞0，(x1+2)(x2+2)＞0，
lg(·)＞0，y1＞y2.
∴不存在直线AB与y轴垂直. ( F(x)在(－1，1)上单调递减) 14分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本2
一. 选择题：( 本大题共12小题，每小题5分，共60分 )
1.已知集合P={(x，y)||x|+|y|=1}，Q={(x，y)|x2+y2≤1}，则 （A）
A.PQ B.P=Q C.PQ D.P∩Q=Q
答： 集合P表示正方形，集合Q表示圆面.
2. 的近似值（精确到小数后第三位）为 （A）
A. 726.089 B. 724.089 C. 726.098 D. 726.908
答：
3. 在中. 若 ，则 （C）
A. B. C. D.
答：
4. 设为平面上以 为顶点的三角形区域( 包括边界 ),则 的最大值和最小值分别为 （A）
A. 14 , -18 B. -14 , -18 C. 18 , 14 D. 18 , -14
答：画出示意图，易知：当动直线过时，取最大值；当动直线过时，取最小值.
5. 给定集合，定义 .若 ，则
集合 中的所有元素之和为 （A）
A. 15 B. 14 C. 27 D. -14
答A※B={3，2，1，4，5}，元素和为15．
6． 已知函数在上是减函数，则实数a的取值范围为 （D）
A. （5，+∞） B. （3，+∞） C. （-∞，3） D.
答 定义域为．而函数在时为增函数，故的单调减区间为，从而 ．
7． 设函数，若，则下列不等式必定成立的是 （B）
A． B． C． D．
答 易知，且当x∈时，为增函数．又由，得
，故 |，于是．
8． 已知等比数列的首项为8，是其前n项的和，某同学经计算得S2=20，S3=36，S4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为 （C）
A． S1 B． S2 C． S3 D． S4
答 显然S1是正确的．假设后三个数均未算错，则a1=8，a2=12，a3=16，a4=29，可知a22≠a1a3，故S2、S3中必有一个数算错了．若S2算错了，则a4=29=a1q3，，显然S3=36≠8(1+q+q2)，矛盾．只可能是S3算错了，此时由a2=12得，a3=18，a4=27，S4=S2+18+27=65，满足题设．
9． 函数的图象如图所示，则导函数的图象大致是 （D）
答 由的图象及的意义知，在x＞0时，为单调递增函数且＜0；在x＜0时，为单调递减函数且＜0．
10. 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点、是它的焦点，长轴长为，焦距为，静放在点的小球（小球的半径不计），从点沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是 （ ）
A． B． C． D．以上答案均有可能
答⑴静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选B；
⑵静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁左顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选C；
⑶静放在点的小球（小球的半径不计）从点沿直线出发，经椭圆壁非左右顶点反弹后第一次回到点时，小球经过的路程是，则选A。
于是三种情况均有可能，故选D。
11. 用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的自然数，把这些自然数从小到大排成一数列，则1230是这个数列的 （ ）
A．第30项 B．第32项 C．第33项 D．第34项
答：用0，1，2，3四个数字组成没有重复数字的自然数,可分为4类：
⑴一位数，有4个（0也是自然数）；⑵两位数，有个；
⑶三位数，有个； ⑷四位数，比1230小的有1023，1032。
于是，1230是这个数列的第34项。 选D．
12．半径为4的球面上有A、B、C、D四点，且满足，，，则的最大值为（为三角形的面积） （C）
A．8 B．16 C．32 D．64
答 易知AB，AC，AD两两互相垂直，进而AB2+AC2+AD2=(2r)2=64．
S△ABC+S△ACD+S△ADB=≤=．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）
13．已知双曲线(a＞0，b＞0)的半焦距为c，若b2-4ac＜0，则它的离心率的取值的范围是___________.
答.(1,2+) 化b2-4ac＜0＜为c2-a2-4ac＜0，从而变为＜，解关于的一元二次不等式，注意＞1.
14．对2×2数表定义平方运算如下：
． 则 ．
答 ．
15．为等差数列的前n项和，若，则= ．
答 由，即 ，得．
，．故=4．
16．若，且，则的值是 11 ．
答 由≥10，得 lg()≥lg10=1，即(lgx)2+(lgy)2≥1= (lgx+lgy)2，于是2lgxlgy≤0，从而lgx与lgy中必有一个为0，即x与y中必有一个为1，因而另一个为10．
三、解答题：（本大题共6小题，共74分．）
17．（本小题满分12分）
已知 ，．
（1）求的值； （2）求的值．
解 （1）将已知两式平方相加得，故．………7分
（2）∵，∴． ∴．………………12分
18．（本小题满分12分）
对某种赌博游戏调查后，发现其规则如下：摊主在口袋中装入8枚黑和8枚白的围棋子，参加者从中随意一次摸出5枚，摸一次交手续费1元，而中彩情况如下：
摸子情况 5枚白 4枚白 3枚白 其它
彩金 20元 2元 纪念品价值5角 无奖同乐一次
现在我们试计算如下问题：
（1）求一次获得20元彩金的概率；（结果用最简分数表示）
（2）分别求一次获2元和纪念奖的概率；（结果用最简分数表示）
（3）如果有1000次摸奖，摊主赔钱还是挣钱？是多少元？（精确到元）
解：（1）一次摸奖中20元彩金的概率，可见可能性很小……4分
（2）一次中2元彩金的概率 ；……6分
……8分
（3）摊主赔钱还是挣钱由其支付完奖金余额决定，1000次收手续费1000元
支付纪念奖需
则余额
答：摊主应挣钱308元。 …………12分
（3）另解：摸奖一次得到奖金ξ元，则随机变量ξ的分布列为：

ξ 20 2 0.5 0
P

19．（本小题满分12分）
． 如图，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面底面ABCD，O是BC中点，AO交BD于E.
（I）求证：；
（II）求二面角的大小；
（III）求证：平面平面PAB.
17．方法一：（I）证明：
又平面平面ABCD
平面平面ABCD＝BC，平面ABCD ……2分
在梯形ABCD中，可得
，即
在平面ABCD内的射影为AO， ……4分
（II）解：，且平面平面ABCD
平面PBC 平面PBC，
为二面角P—DC—B的平面角 ……6分
是等边三角形即二面角P—DC—B的大小为 ……8分
（III）证明：取PB的中点N，连结CN
①
，且平面平面ABCD
平面PBC ……10分
平面PAB 平面平面PAB ②
由①、②知平面PAB…………..10分
连结DM、MN，则由MN//AB//CD
，得四边形MNCD为平行四边形
平面PAB
平面PAD 平面平面PAB ……………….12分
方法二：
取BC的中点O，因为是等边三角形，
由侧面底面ABCD 得底面ABCD ……1分
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与
AB平行的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系
O—xyz……2分
（I）证明：，则在直角梯形中，
在等边三角形PBC中，……3分
……4分
，即……6分
（II）解：取PC中点N，则
平面PDC，显然，且平面ABCD
所夹角等于所求二面角的平面角 ……8分
二面角的大小为 ……10分
（III）证明：取PA的中点M，连结DM，则M的坐标为
又 ……12分
即
平面PAB，平面平面PAB ……14分
20．（本小题满分12分）
是以为焦点的双曲线C：（a＞0，b＞0）上的一点，已知，．
（1）试求双曲线的离心率；
（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点，当，= 0，求双曲线的方程．
解 （1）∵，， ∴，．
∵=0，∴(4a)2+(2a)2=(2c)2，∴．………………………………4分
（2）由（1）知，双曲线的方程可设为，渐近线方程为．…5分
设P1(x1，2x1)，P2(x2，-2x2)，P(x，y)．
∵，∴． ∵，∴………8分
∵点P在双曲线上，∴．
化简得，．∴．∴ ． ∴双曲线的方程为．………12分
21．（本小题满分12分）
等比数列的首项为，公比．
（1）设表示该数列的前n项的积，求的表达式；
（2）当n取何值时，有最大值．
解 （1），．………………………………4分
（2）∵，
∴当n≤10时，＞1，∴ | f(11) |＞| f(10) |＞…＞| f(1) |；…6分
当n≥11时，＜1，∴ | f(11) |＞| f(12) |＞…．………………8分
∵，∴的最大值为或中的最大者．10分
∵，
∴ 当n=12时，有最大值为．……………………………12分
22．（本小题满分14分）
设是定义在[-1，1]上的偶函数，的图象与的图象关于直线对称，且当
x∈[ 2，3 ] 时， 222233．
（1）求的解析式；
（2）若在上为增函数，求的取值范围；
（3）是否存在正整数，使的图象的最高点落在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）当x∈[-1，0]时，2-x∈[2，3]，f(x)=g(2-x)= -2ax+4x3；当x∈时，f(x)=f(-x)=2ax-4x3，
∴…………………………………………………4分
（2）由题设知，＞0对x∈恒成立，即2a-12x2＞0对x∈恒成立，于是，a＞6x2，从而a＞(6x2)max=6．…………………………………………………8分
（3）因f(x)为偶函数，故只需研究函数f(x)=2ax-4x3在x∈的最大值．
令=2a-12x2=0，得．…………10分 若∈，即0＜a≤6，则
，
故此时不存在符合题意的；
若＞1，即a＞6，则在上为增函数，于是．
令2a-4=12，故a=8． 综上，存在a = 8满足题设．……………………………14分
x
y
O
x
y
O
A
x
y
O
B
x
y
O
C
x
y
O
D
f(x)
YCY2006年高考理科数学摸拟试题解析样本28
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
球的表面积公式，其中R表示球的半径
球的体积公式，其中R表示球的半径
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设I为全集，M、N、P都是它的子集，则图中阴影部分表示的集合是
A.M∩(N∪P) B.M∩[(CIN)∩P]
C.[(CIM)∩[(CIN)]∩P D.(M∩N)∪(N∩P)
2.奇函数y=f(x)(x≠0)，当x∈(0，+∞)时，f(x)=x-1，则函数f(x-1)的图象为
3.设O、A、B、C为平面上四个点，=a，=b，=c，且a+b+c=0，a、b、c两两数量积都为-1，则|a|+|b|+|c|等于
A.2 B.2 C.3 D.3
4.下列函数中值域是(0，+∞)的函数是
A. B.
C. D.
5.三个数成等差数列，其公差为d，如果最小数的2倍，最大数加7，则三个数成等比数列，且它们的积为1000，此时d为
A.8 B.8或-15
C.±8 D.±15
6.设a＞b＞c，且，则n的最大值为
A.2 B.3 C.4 D.5
7.已知0＜θ＜，则下列各式中正确的是
A.sinθ＜cosθ＜cotθ B.cosθ＜cotθ＜sinθ
C.cotθ＜sinθ＜cosθ D.cosθ＜sinθ＜cotθ
8.如果AC＜0且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.有如下一些说法，其中正确的是
①若直线a∥b，b在面a内且aα，则a∥α；②若直线a∥α，b在面α内，则a∥b；③若直线a∥b，a∥α，则b∥α；④若直线a∥α，b∥α，则a∥b
A.①④ B.①③ C.② D.①
10.甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲答及格的概率为，乙答及格的概率为，丙答及格的概率为，三人各答一次，则三人中只有一人答及格的概率为
A. B.
C. D.以上都不对
11.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为
A.1 B. C.2 D.2
12.已知曲线S：y=3x-x3及点P(2，2)，则过点P可向S引切线的条数为
A.0 B.1 C.2 D.3
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本28
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
题 号 二 三 总 分
17 18 19 20 21 22
分 数
得分 评卷人
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.设有两个命题：①不等式|x|+|x-1|＞m的解集是R；②函数f(x)=-(7-3m)x是减函数.如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是_________.
14.已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则的值等于___________.
15.过底面边长为1的正三棱锥的一条侧棱和高作截面，如果这个截面的面积为，那么这个棱锥的侧面与底面所成角的正切值为___________.
16.设F为椭圆(a＞b＞0)的一个焦点，已知椭圆长轴的两个端点与F的距离分别为5和1，如果点P(a，6)在直线y=kx的上方，则k的取值范围是___________.
得分 评卷人
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知复数z1=x+ai，z2=x+bi(b＞a＞0，x＞0)的辐角主值分别为α、β，求tan(β-α)的最大值及对应的x的值.
18.(本小题满分12分)
如图，α—ι—β是120°的二面角，A、B两点在棱上，AB=2，D在平面α内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°，C在平面β内，三角形ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠ABC=60°.求：
(1)三棱锥D—ABC的体积；
(2)直线BD与平面β所成的角的正弦值；
(3)二面角D—AC—B的平面角的正切值.
19.(本小题满分12分)
一次数学测验共有10道选择题，每题都有四个选择肢，其中有且只有一个是正确的.考生要求选出其中正确的选择肢，只准选一个选择肢.评分标准规定：答对一题得4分，不答或答错倒扣1分.某考生确定6道题是解答正确的；有3道题的各四个选择肢中可确定有1个不正确，因此该考生从余下的三个选择肢中各题分别猜选一个选择肢；另外有1题因为题目根本读不懂，只好乱猜.在上述情况下，试问：
(1)该考生这次测试中得20分的概率为多少
(2)该考生这次测试中得30分的概率为多少
20.(本小题满分12分)
椭圆C1：(a＞b＞0)的左、右顶点分别是A、B，P是双曲线C2：的右支(x轴上方)上的一点，线段AP交椭圆于C，PB的延长线交椭圆于D，且C平分AP.
(1)求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角；
(2)当双曲线C2的离心率e为何值时，直线CD恰过椭圆C1的右焦点
21.(本小题满分12分)
设曲线C：y=x2(x＞0)上的点P0(x0，y0)，过P0作曲线C的切线与x轴交于Q1，过Q1作平行于y轴的直线与曲线C交于P1(x1，y1)，然后再过P1作曲线C的切线交x轴于Q2，过Q2作平行于y轴的直线与曲线C交于P2(x2，y2)，依次类推，作出以下各点：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…，Pn，Qn+1，…，已知x0=2，设Pn(xn，yn)(n∈N*).
(1)求出过点P0的切线方程；
(2)设xn=f(n)，求f(n)的表达式；
(3)设Sn=x0+x1+…+xn，求Sn.
22.(本小题满分14分)
设f(x)的定义域为x∈R且x≠，k∈Z，且，如果f(x)为奇函数，当0＜x＜时，f(x)=3x.
(1)求
(2)当＜x＜2k+1(k∈Z)时，求f(x)；
(3)是否存在这样的正整数k，使得当＜x＜2k+1(k∈Z)时，log3f(x)＞x2-kx-2k有解？
一、选择题
1.B 阴影部分的元素在集合M中而不在集合N中.
2.D 用图象平移或直接求出f(x-1)的解析式即得.
3.C 利用a+b=-c平方得.
4.B 5.C
6.C 用基本不等式≥(a＞0,b＞0)变形得.
7.A 由tan=＞sin得.
8.C 利用AC＜0，BC＜0研究横纵截距.
9.D
10. 分为三种情况计算，再求和.
11.D
12.D 设S的切线方程，令切线过点P可求得.
二、填空题
13.1≤m＜2
14.2 用特值法易得所求值.
15.2
16.k＜ 由题意知a+c=5,a-c=1(c=),从而a=3,c=2,P(3,),做k＜.
三、解答题
17.解：由题设知tanα=，tan=且0＜α＜＜，
∴tan(-α)=. 5分
∴x＞0，＞0且x·=ab为定值，
∴当且仅当x=，即x=时，x+取得最小值2.
此时tan(-α)取最大值. 12分
18.解：(1)过D向平面作垂线，垂足为O，连接OA并延长至E.
∵AB⊥AD，OA为DA在平面内的射影，
∴AB⊥OA.∴∠DAE为二面角的平面角.∴∠DAE=120°.∴∠DAO=60°.
∵AD=AB=2，∴DO=.∵△ABC是有一个锐角为30°的直角三角形，斜边AB=2，
∴S△ABC=.又D到平面的距离DO=，
∴VD-ABC=. 4分
(2)由(1)可知，∠DBO为直线BD与平面所成的角，∴sinDBO=. 8分
(3)过O在平面内作OF⊥AC，交AC的反向延长线于F，连结DF，则AC⊥DF，∴∠DFO为二面角D-AC-B的平面角.又在△DOA中，OA=2cos60°=1，即∠OAF=∠EOC=60°，
∴OF=1·sin60°=.∴tanDFO==2. 12分
19.解：(1)设可确定一个不正确选择肢的试题答对为事件A，乱猜的一题答对为事件B. 1分
则P(A)=，P(B)=，则得分为20分的事件相当于事件A独立重复试验3次没有1次发生而且事件B也不发生. 3分
其概率为(1-)3(1-)=. 6分
答：在这次测试中得20分的概率为.
(2)得分为30分的事件相当于事件A独立重复试验3次有2次发生且事件B不发生或事件A独立重复试验3次只有1次发生而且事件B发生. 8分
其概率为. 11分
答：该考生在这次测试得30分的概率为. 12分
20.解：(1)由已知A(-a,0)、B(a,0)，设P(x0,y0)、C(x1,y1)、D(x2,y2)，x0＞a,y0＞0，则x1=.将C()代入椭圆方程得.
∵，消去y0，得x0=2a或x0=-a(舍)，将x0=2a代入双曲线方程得y0=,
∴P(2a,).∴kPD=kPB=.∴PD的方程为y=(x-a)，代入椭圆方程得2x2-3ax+a2=0,解得x2=或x2=a(舍).∵x1=,∴x1=x2.
∴CD的倾斜角为90°. 6分
(2)当直线CD过椭圆C1的右焦点F2(c,0)时，x1=x2=c，则a=2c，∴b=,即在双曲线中半焦距，这时CD恰过椭圆C1的右焦点. 12分
21.解：(1)∵k0=2x0=4，∴过点P0的切线方程为4x-y-4=0. 3分
(2)∵kn=2xn，∴过Pn的切线方程为
y-xn2=2xn(x-xn). 5分
将Qn+1(xn+1,0)的坐标代入方程得
-xn2=2xn(xn+1-xn).
∴. 7分
故｛xn｝是首项为x0=2，公比为的等比数列.
∴xn=f(n)=2·，即f(n)=. 9分
(3)，
∴=4 12分
22.解：(1)∵f(x+2)=-,
∴f(x)是周期为2的周期函数.
∴. 5分
(2)∵,
∴
0＜2k+1-x.
∴f(2k+1-x)=32k+1-x.
又f(2k+1-x)=f(1-x)=-f(x-1)=-f(x+1)=
∴f(x)= 10分
(3)log3f(x)＞x2-kx-2k,∴x-2k-1＞x2-kx-2k,x2-(k+1)x+1＜0. (*)
∴△=k2+2k-3.
①若k＞1且k∈Z时，
但是.
∴x∈Ф.
②若k=1，则△=0，(*)式无解.
∴不存在满足条件的整数k. 14分
C
B
D
A2006年高考理科数学摸拟试题解析样本15
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.不等式|3x－12|≤9的整数解的个数是
A.7 B.6 C.5 D.4
2.已知：sinα－cosα=sinαcosα，则sin2α的值为
A.－1 B.1－ C.2－2 D.2－2
3.直线L与平面α成45°角，若直线L在α内的射影与α内的直线m成45°角，则L与m所成的角是
A.30° B.45° C.60° D.90°
4.由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4=(x+1)4+b1(x+1)3+b2(x+1)2+b3(x+1)1+b4定义f(a1，a2，a3，a4)?=(b1，b2，b3，b4)，则f(4，3，2，1)等于
A.(1，2，3，4) B.(0，3，4，0)
C.(－1，0，2，－2) D.(0，－3，4，－1)
5.已知圆(x－3)2+(y+4)2=r2上至多有两点到直线4x－3y－4=0的距离为1，则半径r的取值范围是
A.(0，4 B.(0，5) C.(0，5 D.［5，+∞)
6.已知y=f(2x+1)是偶函数，则函数y=f(2x)的图象的对称轴是
A.x=1 B.x=2 C.x=－ D.x=
7.若数列{an}的前8项的值互异，且an+8=an对任意的n∈N都成立，则下列数列中可取遍{an}的前8项值的数列为
A.{a2k+1} B.{a3k+1} C.{a4k+1} D.{a6k+1}
8.在直角坐标系中，到点(1，1)和直线x+2y=3距离相等的点的轨迹是
A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线
9.若地球半径为6370 km，地球表面北纬30°圈上有A、B两个卫星地面站，它们在北纬30°圈上的距离为 km，则这两地间的经度差是
A. B. C. D.
10.如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有六个焊接点A、B、C、D、E、F，如果某个焊接点脱落，整个电路就会不通.现在发现电路不通了，那么焊接点脱落的可能性共有
A.63种 B.64种 C.6种 D.36种
11.设函数f(x)=sinx，则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2003)的值等于
A. B. C. D.0
12.设f(x)(x∈R)为偶函数，且f(x－)=f(x+)恒成立，x∈［2，3］时，f(x)=x，则x∈［－2，0］时，f(x)等于
A.|x+4| B.|2－x| C.3－|x+1| D.2+|x+1|
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f(2)等于___________.
14.购买手机的“全球通”卡，使用须付“基本月租费”(每月需交的固定费用)50元，在市内通话时每分钟另收话费0.40元；购买“神州行”卡，使用时不收“基本月租费”，但在市内通话时每分钟话费为0.60元．若某用户每月手机费预算为120元，则它购买_________卡才合算．
15. 袋中有3个5分硬币，3个2分硬币和4个1分硬币，从中任取3个，总数超过8分的概率是_________.
16.已知的展开式中x3的系数为，则实数a的值为_________.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
设e1，e2是两个垂直的单位向量，且a=－(2e1+e2)，b=e1－λe2.
(1)若a∥b，求λ的值；
(2)若a⊥b，求λ的值.
18.(本小题满分12分)
如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F为CD中点．
(1)求证：EF⊥面BCD；
(2)求多面体ABCDE的体积；
(3)求面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值．
19.(本小题满分12分)
已知递增等比数列{an}满足a2+a3+a4=28，且a3+2是a2、a4的等差中项.
(1)求{an}的通项公式an；
(2)若bn=anlogan，Sn=b1+b2+…+bn，求Sn+n·2n+1＞30成立的n的最小值.
20.(本小题满分12分)
因居民住房拆迁的需要，准备在某小区建造总面积为40000 m2完全相同的住房若干栋.已知面积为M的一栋房子，其造价是由地面部分造价和基础部分造价组成，地面部分的造价与M成正比，基础部分的造价与成正比.据统计，一栋面积为1600 m2的住房造价是176.8万元，其中地面部分的费用是基础部分的36%，试确定:建造多少栋房子，可使总费用最少？并求出总费用.
21.(本小题满分12分)
已知动点P与双曲线=1的两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且cosF1PF2的最小值为－．
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若已知D(0，3)，M、N在动点P的轨迹上，且=λ，求实数λ的取值范围．
22.(本小题满分14分)
定义在(－1，1)上的函数f(x)满足：对任意x、y∈(－1，1)都有f(x)+f(y)=f()．
(1)求证：函数f(x)是奇函数；
(2)如果当x∈(－1，0)时，有f(x)＞0，求证：f(x)在(－1，1)上是单调递减函数；
(3)在(2)的条件下解不等式：f(x+)+f()＞0．
参 考 答 案
仿真试题(三)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.解析：∵1≤x≤7.
答案：A
2.解析：两边平方.
答案：D
3.解析：利用公式cosθ=cos45°cos45°=.
答案：C
4.解析：令x=－1，得b4=－1，选D.
答案：D
5.B
6.解析：∵y=f(2x+1)=f(1－2x)，∴对称轴为x=.
答案：D
7.解析：∵2k+1，4k+1，6k+1均为奇数，∴选B.
答案：B
8.解析：∵点(1，1)在直线x+2y=3上.
答案：A
9..D 10.A
11.解析：∵f(x)的周期为12，∴f(1)+f(2)+ f(3)+…+f(2004)=0，又∵f(2004)=0，f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2003)=0.
答案：D
12.解析：根据y=f(x)以2为周期，画出函数图象可得出结论.
答案：C
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.18或11 14.神州行 15. 16.
三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分)
17.解：(1)∵a∥b，∴a=mb，即－2e1－e2=me1－mλe2.
∴解得：m=－2，λ=－. 6分
(2)∵a⊥b，∴a·b=0，(－2e1－e2)·(e1－λe2)=0
即－2(e1)2+2λe1·e2－e2·e1+λ(e2)2=0，－2+λ=0，∴λ=2. 12分
18.(1)证明：取BC中点G，连FG，AG．
∵AE⊥面ABC，BD∥AE，∴BD⊥面ABC，
又AG面ABC，∴BD⊥AG，又AC=AB，G是BC中点，
∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，∵F是CD的中点且BD=2，
∴FG∥BD且FG=BD=1，∴FG∥AE. 2分
又AE=1，∴AE=FG，故四边形AEFG是平行四边形，从而EF∥AG，
∴EF⊥面BCD． 4分
(2)解：设AB中点为H，则由AC=AB=BC=2，可得CH⊥AB且CH=，
又∵BD∥AE，∴BD与AE共面，又AE⊥面ABC，故平面ABDE⊥平面ABC，
∴CH⊥平面ABDE，即CH为四棱锥C－ABDE的高．
故VC－ABDE=SABDE·CH=×(1+2)×2］×=． 8分
(3)解：过C作CK⊥DE于K，连接KH，由三垂线定理的逆定理得KH⊥DE，
∴∠HKC为二面角C—DE—B的平面角. 9分
易知EC=，DE=，CD=2，
由S△DCE=×(2)×=××CK，
可得CK=，在Rt△CHK中，
sinHKC==，故cosHKC=.
∴面CDE与面ABDE所成的二面角的余弦值为． 12分
19.解：(1)设此等比数列为a1q，a1q2，a1q3，
∴ 3分
∴a1=2，q=2，∴an=2·2n-1=2n. 6分
(2)bn=anlogan=2nlog2n=－n·2n，∴Sn=－(n－1)·2n+1－2.
若Sn+n·2n+1＞30，即2n+1＞32，n＞4，n的最小值是5. 12分
20.解：设建造n栋房子，可使总费用最少.则M=.
设面积为M的一栋房子的造价为y=k1M+k2，
∴ 4分
∴k2=.
则总造价W=ny=·y=40000(+)
=40000(k1+)
≥2×40000， 8分
当且仅当M=时取最小值，即=.
∴n=9时，W取最小值.
又k1k2=(k2)2×，
∴Wmin=2×40000××=3900.
∴当建造9栋房子时，总费用最少为3900万元. 12分
21.解：(1)由题意c2=5，设|PF1|+|PF2|=2a(a＞)，由余弦定理
得cosF1PF2==－1．
又|PF1|·|PF2|≤()2=a2， 3分
当且仅当|PF1|=|PF2|时，|PF1|·|PF2|取最大值，
此时cosF1PF2取最小值－1，令－1=－，解得a2=9.
∵c=，∴b2=4，故所求P的轨迹方程为=1. 6分
(2)设N(s，t)，M(x，y)，则由=λ，可得
(x，y－3)=λ(s，t－3)，故x=λs，y=3+λ(t－3)， 8分
∵M、N在动点P的轨迹上，故=1且+=1.
消去s，可得=1－λ2，
解得t=.
又|t|≤2，∴||≤2，解得≤λ≤5.
故实数λ的取值范围是［，5］. 12分
22.(1)证明：令x＝y＝0，则f(0)＋f(0)＝f(0)，故f(0)＝0. 2分
令y＝－x，则f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.
∴f(－x)＝－f(x)，
即函数f(x)是奇函数． 4分
(2)证明：设x1＜x2∈(－1，1)，则
f(x1)－f(x2)=f(x1)+f(－x2)=f().
∵x1＜x2∈(－1，1)，
∴x2－x1＞0，－1＜x1x2＜1.
因此＜0，∴f()＞0，即f(x1)＞f(x2).
∴函数f(x)在(－1，1)上是减函数． 9分
(3)解：不等式f(x+)+f()＞0，化为f(x+)＞f().
∵函数f(x)在(－1，1)上是减函数，
∴ 11分
解得：－＜x＜－1.
∴原不等式的解集为{x|－＜x＜－1． 14分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本21
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设集合M=，N=，则集合M∩N等于
A. B.
C. D.
2.函数f(x)=(x≠0)的反函数f-1(x)等于
A.x(x≠0) B.(x≠0)
C.-x(x≠0) D.(x≠0)
3.已知直线Ax+By+C=0过原点，则一定有
A.A=0 B.B=0
C.AB=0 D.C=0
4.有10名学生，其中4名男生，6名女生，从中任选2名，恰好2名男生或2名女生的概率是
A. B. C. D.
5.已知A、B是圆心为C，半径为的圆上两点，且||=，则等于
A. B. C.0 D.
6.一个单位有职工160人，其中业务人员96人，管理人员40人，后勤人员24人.为了解职工身体情况，要从中抽取一个容量为20的样本，如用分层抽样，由管理人员应抽到的个数为
A.3 B.12 C.5 D.10
7.甲、乙两人独立地解同一道题，甲、乙解对的概率分别是p1、p2，那么至少有一人解对的概率是
A.p1+p2 B.p1·p2
C.1-p1·p2 C.1-(1-p1)·(1-p2)
8.直线a是平面α的斜线，bα，当a与b成60°角且b与a在α内的射影成45°角时，a与α所成的角是
A.60° B.45°
C.90° D.135°
9.展开式的第三项为
A. B.
C. D.
10.已知等差数列{an}的通项公式为an=2n+1，其前n项和为Sn，则数列{}的前10项和为
A.120 B.70 C.75 D.100
11.等于
A. B.0
C. D.不存在
12.利用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·3·…·(2n-1)时，由k到k+1左边应添加的因式是
A.2k+1 B.
C. C.
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本21
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
题 号 二 三 总 分
17 18 19 20 21 22
分 数
得分 评卷人
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.正三棱锥的顶点都在同一个半径为R的球面上，球心到该棱锥底面的距离是球半径的一半，则该棱锥的体积是__________.
14.函数f(x)=3ax+2b-2-a，x∈[-1，1]，若f(x)≥1恒成立，则b的最小值为_________.
15.与双曲线=1有共同的渐近线，且经过点(-3，-2)的双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离是__________.
16.已知函数f(x)=log(x2-ax-a)的值域为R，且f(x)在(-∞，1-)上是增函数，则a的取值范围是__________.
得分 评卷人
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2-c2=ac-bc,求∠A的大小及的值.
18.(本小题满分12分)
已知ABC—A1B1C1为正三棱柱，D是AC的中点(如图所示).
(1)证明：AB1∥平面DBC1.
(2)若AB1⊥BC1，BC=2.
①求二面角D—BC1—C的大小；
②若E为AB1的中点，求三棱锥E—BDC1的体积.
19.(本小题满分12分)
有一批种子，每粒发芽的根率为，播下5粒种子，计算；
(1)其中恰好有4粒发芽的概率；
(2)其中至少有4粒发芽的概率；
(3)其中恰好有3粒没发芽的概率.
(以上各问结果均用最简分数作答)
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=|x-a|，g(x)=x2+2ax+1(a为正常数)，且函数f(x)与g(x)的图象在y轴上的截距相等.
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)+g(x)的单调递增区间；
(3)若n为正整数，证明：10f(n)·()g(n)＜4.
21.(本小题满分12分)
已知△OFQ的面积为S，且.
(1)若＜S＜2，求向量与的夹角θ的取值范围；
(2)设||=c(c≥2)，S=，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当||取得最小值时，求此椭圆的方程.
22.(本小题满分14分)
数列{an}的前n项和为Sn，满足a1=1，3tSn-(2t+3)Sn-1=3t，其中t＞0，n∈N*，n≥2.
(1)求证：数列{an}是等比数列；
(2)设数列{an}的公比为f(t)，数列{bn}满足b1=1，bn=f()(n≥2)，求bn的通项公式；
(3)记Tn=b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1，求证：Tn≤.
参考答案
一、选择题
1．B 解x2-2x-3＜0，得-1＜x＜3.
2.B
3.D 整式方程表示的曲线过原点的充要条件是常数项为零.
4.D .
5.A 6.C
7.D 研究其对立事件的概率.
8.B 设所求角为θ，则cos60°=cosθ·cos45°.
9.A
10.C 可求得Sn=n(n+2),.
11.C 将分子局部有理化，原式=.
12.C 注意观察第一个数及最后一个数的特征.
二、填空题
13.或 此三棱锥的高为或两种情况，底面边长均为.
14. 函数f(x)是一次函数，故由题意得即消去a,得b≥.
15.2 设所求双曲线方程为将点的坐标代入，得，故所求的焦点到渐近线的距离为虚半轴长，为2.
16.0≤a≤2 由题意得
三、解答题
17.解：(1)∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac. 2分
又a2-c2=ac-bc,
∴b2+c2-a2=bc. 4分
在△ABC中，由余弦定理得
cosA=.∴∠A=60°. 6分
(2)在△ABC中，由正弦定理得sinB= 8分
∵b2=ac,∠A=60°，∴. 12分
18.(1)证明：连结CB1交BC1于O，连结OD.
∴OD∥AB1，OD在面DBC1内.∴AB1∥平面DBC1. 4分
(2)解：①OD⊥BC1，又O为BC1中点，∴DO=DC1.∴CC1=.
过O作OM⊥BC1交BC于H，则OH=，∠HOD为所求.
BH=,,∴cosθ=.∴θ45°. 8分
②. 12分
19.解：(1)·()4·()=. 4分
(2). 8分
(3). 12分
20.(1)解：由题意，得f(0)=g(0),|a|=1.又a＞0，所以a=1. 4分
(2)解：f(x)+g(x)=|x-1|+x2+2x+1.
当x≥1时，f(x)+g(x)=x2+3x，它在[1,+]上单调递增； 6分
当x＜1时，f(x)+g(x)=x2+x+2，它在[-，1]上单调递增. 8分
(3)证明：设cn=10f(n)·()g(n)，考查数列｛cn｝的变化规律.
解不等式＜1，由cn＞0，上式化为10·＜1. 10分
解得n＞，因n∈N，得n≥4，于是c1≤c2≤c3≤c4，而c4＞c5＞c6＞…，
所以10f(n)···. 12分
21.解：(1)S=·， 2分
·， 3分
∴S=.
∵，∴1＜tan<>＜4.
又∵θ∈[0,π]∴θ∈[，arctan4]. 6分
(2)yQ=. 8分
∴tan∴.
当c≥2时，c+递增，∴|OQ|取最小值时，c=2,，
∴2a==10
∴b2=a2-c2=52-22=21.
∴a=5.
∴所求椭圆方程为=1. 12分
22.(1)解：3tSn-(2t+3)Sn-1=3t ①
3tSn+1-(2t+3)Sn=3t. ②
②-①得3tan+1-(2t+3)an=0.
∴.∴从第二项起｛an｝为等比数列.又a1=1,3t(a1+a2)-(2t+3)a1=3t. 4分
解得a2=.
∴.∴｛an｝为等比数列. 5分
(2)解：f(t)=. 8分
∴为常数，数列｛bn｝为等差数列.
bn=1+(n-1)·. 10分
(3)证明：Tn=b2(b1-b3)+b4(b3-b5)=+…+b2n(b2n-1-b2n+1) 11分
=-(b2+b4+…+b2n)
=-·
=-(2n2+3n).
当n≥2时，2n2+3n单调递增.
∴Tn≤-. 14分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本30
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题(本大题共12小题，第小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合M={x|x∈Z，且∈N}，则M的非空真子集的个数是
A.30 B.32 C.62 D.64
2.已知x、y∈R，且2x+3y≤2- y+3- x，则x、y满足
A.x+y≥0 B.x+y≤0
C.x-y≥0 D.x-y≤0
3.一机器够每5秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进3步，然后再后退2步的规律移动，如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正的方向，以1步的距离为1单位长，令P(n)表示第n秒时机器狗所在位置的坐标，且P(0)=0，那么下列结论中错误的是
A.P(3)=3 B.P(5)=1
C.P(101)=21 D.P(103)＜P(104)
4.把函数y=x-sinx的图象按向量a=(-m，0)(m＞0)平移m个单位，所得的图象关于y轴对称，则m的最小正值是
A. B. C. D.
5.已知△ABC满足，则△ABC是
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.直角三角形 D.钝角三角形
6.已知函数f(x)=kx3-x2+x-5在R上单调递增，则实数k的取值范围是
A.(，+∞) B.(0，] C.(0，) D.[，+∞)
7.设m和n是一对异面直线，它们所成的角为θ，而0＜θ＜.
①在过m的平面中存在平面α，使n∥α；
②在过m的平面中存在平面β，使n⊥β
③在过m、n的平面中存在平面α、β；使它们所形成的二面角(较小的)的大小为θ；
④在过m的平面中存在平面γ，使n和γ所形成的线面角的大小为θ.
以上四个命题中，正确命题的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
8.一动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相切，则动圆圆心轨迹为
A.圆 B.椭圆
C.双曲线的一支 D.抛物线
9.若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为
A.(3，3) B.(2，2) C.(，1) D.(0，0)
10.5人随意排一排，如果甲不在左端，乙不在右端的概率是
A. B. C. D.
11.若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解，则实数a的取值范围是
A.-∞，-8]∪[0，+∞ B.(-∞，-4)
C.[-8，4 D.-∞，-8]
12.路灯距地平面为8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速率从路灯在地面上的射影点C处，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率为v为
A. B. C. D.
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
题 号 二 三 总分
17 18 19 20 21 22
分 数
得分 评卷人
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.设数列{an}的通项公式为an=n2+λn(n∈N*)且an满足a1＜a2＜a3＜…＜an＜an+1＜…，试写出一个满足条件的λ值，λ=_________.(注：不必写出所有的值)
14.已知函数f(x)的反函数为f-1(x)，则f-1(x-1)=_________.
15.如图，正四面体ABCD的棱长为1，G是底面ABC的重心，点M在线段DG上，且使得∠AMB=90 ，则DM的长等于_________.
16.双曲线(a＞b，b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，P是双曲线右支上任一点，F1关于∠F1PF2的平分线PT的对称点为N，则F1N与PT的交点M的轨迹方程为________.
得分 评卷人
三、解答题(本大题共6小题，共74分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知平面向量a与b不共线，若存在非零实数x、y，使得c=a+2xb，d=-ya+2(2-x2)b.
(1)当c=d时，求x、y的值；
(2)若a=(cos，sin())，b=(sin，cos)，且c⊥d，试求函数y=f(x)的表达式.
18.(本小题满分12分)
(1)一个检验员从10个灯泡(其中有两个坏灯泡)中无放回地随机取出2个进检查，求2个灯泡中至少有一个坏了的概率；
(2)从中无放回地随机抽出检验，最少应检查多少个灯泡才能保证至少发现一个坏灯泡的概率超过.
19.(本小题满分12分)
如图，已知矩形ABCD和矩形CDEF所在平面互相垂直，
(1)如果AB=2，P为AB中点，求点P到平面CDEF的距离及二面角D-EC-P的正切值；
(2)设AB=a，问在线段AB上是否存在点P使得EP⊥C，并说明理由.
20.(本小题满分12分)
已知数列{an}，其中a1=1，an=3n-1·an-1(n≥2，n∈N)，数列{bn}的前n项的和Sn=log3()(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的通项公式.
21.(本小题满分12分)
设F为椭圆的右焦点，O为坐标原点，P为坐标平面上的动点，且.
(1)求点P的轨迹方程，并讨论轨迹是什么曲线？
(2)当t=时，是否存在直线l，l是椭圆与(1)中轨迹的公共切线？
22.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=x3+(b-1)x2+cx(b、c为常数).
(1)若f(x)在x=1和x=3处取极值，试求b、c的值；
(2)若f(x)在x∈(-∞，x1)、(x2，+∞)上单调递增且在x∈(x1，x2)上单调递减，又满足x2-x1＞1，求证：b2＞2(b+2c)；
(3)在(2)的条件下，若t＜x1，试比较t2+bt+c与x1的大小，并加以证明.
一、选择题
1.C M={-1，4，6，7，8，9}，n=26-2=62.
2.B ,
即x+y≤0.
3.D .
4.D cos(+m)=±1.
5.C
∴
6.D 7.C
8.C 利用几何意义以及圆锥曲线定义.
9.B 运用抛物线的准性质.
10．B .
11.D 令=t(t＞0)，则a=.
12.A
二、填空题
13.0 2n+λ≥0
14.
15.
16.
|PF1|-|PF2|=2a=|PN|-|PF2|=|NF2|.
三、解答题
17.解：(1)由条件得：a+2xb=-ya+2(2-x2)b，
∴(1+y)a+(2x-4+2x2)b=0.
∵向量a与b不共线，
∴1+y=0，且2x2-2x-4=0，
解得y=-1，x=-1或x=2. 6分
(2)∵a·b=cossin+sin(-)cos=0，
∴a⊥b.
又∵c⊥d，∴c·d=0.
∵由条件知|a|=1，|b|=1，a·b=0，
∴c·d=(a+2xb)·[-ya+2(2-x2)b]
=-ya2-2xya·b+2(2-x2)a·b+4x(2-x2)b2
=-y+4x(2-x2)=0.
∴y=8x-4x3，即f(x)=8x-4x3. 12分
18.解：(1)P1=1-. 6分
(2)①1-， 8分
x2-19x+90<45， 10分
x2-19x+45<0，2<
∴x=3.∴最少应检查3个灯泡. 12分
19.解：(1)过P作PQ⊥CD于Q，则PQ=AD=1.
∵平面ABCD⊥平面CDEF，
∴PQ⊥平面CDEF.
∴点P到平面CDEF的距离为1. 2分
过P作PR⊥EC于R，连结QR，则QR⊥EC.
∴∠PRQ为二面角D-EC-P的平面角. 4分
∵，△PQR中，PQ⊥QR.
∴tanPRQ=. 6分
(2)假定线段AB上存在点P使得EP⊥PC，
连结PD，由ED⊥平面ABCD知
EP⊥PCPD⊥PC. 8分
设∠BCP=θ，则PB=tanθ，AP=cotθ，
∵AB=AP+PB，∴tanθ+cotθ=a. 10分
∵tanθ+cotθ≥2，
∴当a≥2时，存在点P，使EP⊥PC；
当020.解：(1)∵，累加得=1+2+3+…+(n-1)
=.
∴=，则=.
或者用累乘得. 6分
(2)∵=，
∴.
而b1=S1=-2，当n≥2时，，n=1时也适合，
∴数列{}的通项公式为=n-3. 12分
21.解：(1)F(2，0)，设P(x,y),=(-x,-y)，=(2-x，-y)，(x-2)x+y2=t，
x2-2x+y2=t，(x-1)2+y2=t+1, 3分
当t<-1无轨迹；
当t=-1为点(1，0)；
当t>-1为圆. 6分
(2)(x-1)2+y2=. ①
椭圆上点M()代入①，
5cos2θ-2cosθ+1+sin2θ
=4cos2θ-2cosθ+2=4(cosθ-，
∴M. 8分
∴x2+5y2=5，2x+10yy′=0，
y1′=. 10分
2(x+1)+2yy′=0，y2′=-.
∴y1′=y2′，∴存在直线l. 12分
22.解：(1)f′(x)=x2+(b-1)x+c， 2分
据题意知，1和3是方程x2+(b-1)x+c=0的两根，
∴1-b=1+3=4，c=1×3=3，即b=-3，c=3. 4分
(2)由题意知，当x∈(-∞，x1)，(x2，+∞)时，f′(x)>0；当x∈(x1，x2)时，f′(x)<0.
6分
∴x1、x2是方程x2+(b-1)x+c=0的两根，
则x1+x2=1-b，x1x2=c.
∴b2-2(b+2c)=b2-2b-4c=[1-(x1+x2)]2-2[1-(x1+x2)]-4x1x2=(x1-x2)2-1.
∵x2-x1>1，∴(x1-x2)2-1>0.
b2>2(b+2c). 9分
(3)在(2)的条件下，由上题知x2+(b-1)x+c=(x-x1)(x-x2)，
即x2+bx+c=(x-x1)(x-x2)+x， 11分
∴(t2+bt+c)-x1=(t-x1)(t-x2)+t-x1=(t-x1)(t+1-x2),
∵x2>1+x1>1+t，∴1+t-x2<0.
又0∴(t-x1)(t+1-x2)<0，故t2+bt+c>x1. 14分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本17
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设M和m分别表示函数y＝2sinx－1的最大值和最小值，则M＋m等于
A.1 B.2 C.－2 D.－1
2.设集合M={x|x2－x＜0，x∈R}，N={x||x|＜2，x∈R}，则
A.NM B.M∩N=M
C.M∪N=M D.M∪N=R
3.函数y＝log2(1－x)的图象是
4.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为
A. B. C.2 D.4
5.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则等于
A. B. C. D.
6.曲线y=2x4上的点到直线y=－x－1的距离的最小值为
A. B. C. D.
7.正三棱锥侧棱长与底面边长的比值的取值范围是
A.［，+∞) B.［，+∞)
C.(，+∞) D.(，+∞)
8.双曲线的一条准线恰好与圆x2+y2+2x=0相切，则双曲线的离心率为
A. B.2 C. D.
9.现从某校5名学生中选出4人分别参加高中“数学”“物理”“化学”竞赛，要求每科至少有1人参加，且每人只参加1科竞赛，则不同的参赛方案的种数是
A.180 B.360 C.720 D.120
10.某邮局只有0.90元、0.80元、1.10元三种面值的邮票，现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且邮资恰好为7.50元，则最少要购买邮票
A.7张 B.8张 C.9张 D.10张
11.定义在R上的偶函数f(x)，满足f(x＋1)＝－f(x)，且在［－3，－2］上是增函数，α、β是锐角三角形的两个锐角，则
A.f(sinα)＞f(cosβ) B.f(sinα)＜f(cosβ)
C.f(sinα)＞f(sinβ) D.f(cosα)＞f(cosβ)
12.对于抛物线C：y2＝4x，我们称满足y02＜4x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部.若点M(x0，y0)在抛物线内部，则直线l：y0y=2(x+ x0)与曲线C
A.恰有一个公共点
B.恰有2个公共点
C.可能有一个公共点，也可能有两个公共点
D.没有公共点
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.已知│a│＝3，│b│＝5，且a·b＝12，则a在b的方向上的投影为___________.
14.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样抽取一个样本容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n=___________.
15.在(1－x)(1＋x)10的展开式中，x3的系数为___________.(用数字作答)
16.设函数f(x)=lg(x2+ax－a－1)，给出下列命题：①f(x)有最小值；②当a=0时，f(x)值域为R；③当a＞0时，f(x)在［2，+∞)上有反函数；④若f(x)在区间［2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是a≥－4.其中正确命题的序号为___________.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
甲、乙两人进行围棋赛，每盘比赛均有胜负，若其中一人胜4盘，则比赛结束.假设甲、乙两人获胜的概率都是，求甲4∶2胜的概率.
18.(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ax3+x2+1，x∈(0，1］.
(1)若f(x)在(0，1］上是增函数，求实数a的取值范围；
(2)求f(x)在(0，1］上的最大值.
19.(本小题满分12分)
如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，点M在边BC上，△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形.
(1)求证：点M为边BC的中点；
(2)求点C到平面AMC1的距离；
(3)求二面角M—AC1—C的大小.
20.(本小题满分12分)
一条斜率为1的直线l与离心率为的双曲线=1(a＞0，b＞0)交于P、Q两点，直线l与y轴交于R点，且·=－3， =3，求直线和双曲线的方程.
21.(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝Sn·Sn－1(n≥2，Sn≠0)，a1=.
(1)求证：{}为等差数列；
(2)求满足an>an－1的自然数n的集合.
22.(本小题满分14分)
定义在R上的函数f(x)满足：如果对任意x1，x2∈R，都有f()≤［f(x1)+f(x2)］，则称函数f(x)是R上的凹函数.已知函数f(x)＝ax2+x(a∈R且a≠0)，
(1)求证：当a＞0时，函数f(x)是凹函数；
(2)如果x∈［0，1］时，│f(x)│≤1，求实数a的范围.
参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.解析：M＝2－1＝1，m＝－2－1＝－3，∴M＋m＝1－3＝－2.
答案：C
2.解析：M=(0，1)，N=(－2，2)，M∩N＝(0，1)?＝M?.
答案：B
3.解析：由定义域知x＜1，故排除A、B，由函数单调减，故选C.
答案：C
4.解析：椭圆方程为x2+=1，由题意得＝2×1，∴m＝.
答案：A
5.解析：设S4＝m，则S8＝3m，∴S8－S4＝2m，由等差数列性质知，S12－S8=3m，S16－S12＝4m，∴S16=10m，∴.
答案：A
6.解析：设直线L平行于直线y＝－x－1，且与曲线y＝2x4相切于点P(x0，y0)，则所求最小值d，即点P到直线y=－x－1的距离，y′=8x3=－1.
∴x0=－，y0=，
∴d==.
答案：D
7.解析：设点O是正三棱锥S—ABC底面中心，当SO→0时，→，当SC→＋∞时，→＋∞，故选D.?
答案：D
8.解析：由题意知a＝4，=2，∴c＝8，∴e＝＝2.
答案：B
9.解析：CCA=180.
答案：A
10.解析：6张1.10元和1张0.90元，共7张.
答案：A
11.解析：∵f(x+1)=－f(x)，∴f(x+2)=f［(x+1)+1］= －f(x+1)＝f(x).
∴f(x)周期为2.∵f(x)在［－3，－2］上单调增，∴f(x)在［1，2］上也单调增.
又∵f(x)是偶函数，∴f(x)在［－2，－1］上单调减，∴f(x)在［0，1］也是单调减.
又∵α、β是锐角三角形的两个锐角，
∴α＋β＞，α＞－β，且－β也是锐角，
∴sinα＞sin(－β)，又∵sinα、cosβ∈(0，1)，
∴f(sinα)＜f(cosβ).
答案：B
12.解析：由l与C联立方程消x得y2－2y0y+4x0=0(※)，Δ＝4y02－16x0＝4(y02－4x0)＜0.
∴方程(※)无实根，∴l与C无公共点.
答案：D
二、填空题(每小题4分，共16分)
13. 14.200 15.75 16.②
三、解答题(17、18、19、20、21题12分，22题14分，共74分)
17.解：甲4∶2胜必定前5盘甲胜3盘，且第6盘甲胜，
故概率为C()3(1－)2·=. 12分
18.解：(1)f′(x)=3ax2+2x，
∵f(x)在(0，1］上是增函数，
∴x∈(0，1］时，f′(x)=3ax2+2x＞0恒成立，
即a＞－对x∈(0，1]恒成立.
∵－在(0，1]上单调增，
∴x＝1时，－取最大值－，
∴a＞－即为所求. 6分
(2)①当a＞－时，f(x)在(0，1］上单调增，
∴f(x)max= f(1)=a+2.
②当a≤－时，令f′(x)= 3ax2+2x=0，由x≠0，得x＝－.
当0＜x＜－时，f′(x)＞0;当－＜x＜1时， f′(x)＜0，
∴x＝－时，f(x)取得极大值＋1.
又f(1)＝a+2≤＋1. 10分
∴f(x)在(0，1]上的最大值为+1. 12分
19.(1)证明：∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，
∴AM⊥C1M，且AM＝C1M，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，CC1⊥底面ABC.
∴C1M在底面内的射影为CM，AM⊥CM.
∵底面ABC为边长为a的正三角形，∴点M为BC边的中点. 4分
(2)解：过点C作CH⊥MC1于H.
由(1)知AM⊥C1M且AM⊥CM，
∴AM⊥平面C1CM.
∵CH在平面C1CM内，∴CH⊥AM，∴CH⊥平面C1AM.
由(1)知，AM＝C1M＝a，CM＝a且CC1⊥BC.
∴CC1＝.
∴CH＝.
∴点C到平面AMC1的距离为. 8分
(3)解：过点C作CI⊥AC1于I，连HI，
∵CH⊥平面C1AM，∴HI为CI在平面C1AM内的射影，
∴HI⊥AC1，∠CIH是二面角M—AC1—C的平面角.
在直角三角形ACC1中，
CI=，
sinCIH=，
∴∠CIH=45°，∴二面角M—AC1—C的大小为45°. 12分
20.解：∵e=，∴b2=2a2，∴双曲线方程可化为2x2－y2=2a2.
设直线方程为y＝x＋m，
由，得x2－2mx－m2－2a2＝0. 2分
∵Δ＝4m2+4(m2+2a2)＞0，∴直线一定与双曲线相交.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，x1x2＝－m2－2a2.
∵=3，∴xR==0，∴x1=－3x2. 6分
∴x2＝－m，－3x22=－m2－2a2，消去x2得m2=a2.
·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)
=2 x1x2+m(x1+ x2)+m2
= m2－4 a2＝－3.
∴m＝±1，a2＝1，b2=2，
直线方程为y＝x±1，双曲线方程为x2－=1. 12分
21.(1)证明：n≥2时，an=SnSn－1，即Sn －Sn－1＝SnSn－1，
∴=－1.
∴{}是公差为－1的等差数列. 6分
(2)解：=＋(n－1)·(－1)=－n+，
∴Sn=.
a1=S1=，a2=S2－S1=.
∴a2＜a1. 8分
n≥3时，令an－an－1＝Sn－Sn－1－Sn－1＋Sn－2
=＞0，解得n＜或＜n＜，
∴满足an＞an－1的自然数n的集合为{3，4，5，7}. 12分
22.(1)证明：对任意x1、x2∈R，∵a＞0，
∴f(x1)+f(x2)－2f()
=ax12+x1+ax22+x2－2［a()2+］
=a(x1－x2)2≥0.
∴f()≤［f(x1)+f(x2)］，
∴f(x)是凹函数. 6分
(2)解：由│f(x)│≤1－1≤f(x)≤1－1≤ax2＋x≤1.( * )
当x＝0时，a∈R; 7分
当x∈(0，1)时，由( * )得
恒成立. 10分
当x∈(0，1]时，≥1.当=1时，－(+)2+取最大值－2;
同时(－)2－取最小值0，∴－2≤a≤0.
∵a≠0，∴－2≤a＜0. 14分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本35
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设全集为实数集R，集合A={x|x<2}，B={x|x≥3x}，则
A.AU=R B.U=R C.A= D.=
2.0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.直线2x-y+3=0的倾斜角所在的区间是
A.(0，) B.(，) C.(，) D.(，π)
4.已知点A(1，2)，过点D(5，-2)的直线与抛物线y2=4x交于B、C两点，则△ABC的形状是
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.无法确定
5.若二项式的展开式中系数最大的项恰是常数项，则正整数的值为
A.2 B.4 C.6 D.5
6.已知tan+cot=,则cos2的值为
A. B.- C. D.-
7.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y=x2,值域为{1，4}的“同族函数”共有
A.7个 B.8个 C.9个 D.10个
8.设F1、F2为曲线C1∶的焦点，P是曲线C2∶与C1的一个交点，则的值为
A. B. C. D.-
9.右图是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x12+x22等于
A. B. C. D.
10.某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选择5个进行游览.如果A、B为必选城市，并且在游览过程中必须按先A后B的次序经过A、B两城市(A、B两城市可以不相邻)，则不同的旅览线路有
A.120种 B.240种 C.480种 D.600种
11.期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N为
A. B.1 C. D.2
12.新区新建有5个住宅区(A、B、C、D、E)，现在铺设连通小区的自来水管道，如果它们两两之间铺设的线路长如下表：
A B C D E
A 5 7 8 5
B 3 5 2
C 5 4
D 4
E
请问最短的管线总长为
A.13 B.14 C.15 D.17
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
题号 二 三 总分
17 18 19 20 21 22
分数
得分 评卷人
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0，则公差d的取值范围为_______.
14.已知点A(1，1)、B(2，3)O为坐标原点，=+，∈R，若点P在第四象限内，则实数的取值范围是____________.
15.某乡镇现有人口1万，经长期贯彻国家计划生育政策，目前每年出生人数与死亡人数分别为年初人口的0.8%和1.2%，则经过2年后，该镇人口数应为_______万.(结果精确到0.01)
16.三棱锥O-ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1，OA=x，OB=y，x+y=4，当三棱锥O-ABC的体积最大时，异面直线AB和OC的距离等于_____________.
得分 评卷人
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知向量m=(2sinx,cosx)，n=(cosx，2cosx)，定义函数f(x)=loga (m·n-1)(a>0，a≠1)，求函数f(x)的最小正周期、单调递增区间.
18.(本小题满分12分)
甲、乙、丙三人分别独立解一道题，已知甲做对这道题的概率是，甲、丙两人都做错的概率是，乙、丙两人都做对的概率是.
(1)求乙、丙两人各自做对这道题的概率.
(2)求甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率.
19.(本小题满分12分)
如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为3，侧棱AA1=，D是CB延长线上一点，且BD=BC.
(1)求证：直线BC1∥平面AB1D；
(2)求二面角B1-AD-B的大小；
(3)求三棱锥C1-ABB1的体积.
20.(本小题满分12分)
某一电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第一次播放了1条和余下的y-1条的，第2次播放了2条以及余下的，第3次播放了3条以及余下的，以后每次按此规律插播广告，在第x次播放了余下最后的x条(x>1)，
(1)设第k次播放后余下ak条，这里a0=y，ax=0，求ak与ak-1的递推关系式；
(2)求这家电视台这一天播放广告的时段x与广告的条数y.
21.(本小题满分12分)
已知x、y∈R，i、j为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，若向量a=xi+(y+2)j，b=xi+(y-2)j，且|a|+|b|=8.
(1)求点M(x，y)的轨迹C的方程；
(2)过点(0，3)作直线l与曲线C交于A、B两点，=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
22.(本小题满分14分)
已知f(x)是定义在R上的单调函数，f(1)=，当x，y∈R时，恒有f(x+y)=f(x)·f(y)成立.
(1)求f-1(3)的值；
(2)证明：f(x)的反函数f-1(x)满足f-1(xy)=f-1(x)+f-1(y)；
(3)若an-an-1=f-1(3n)+c(n≥2，c∈R)，a1=-36，则n为何值时，{}的项取得最大值，并求出最大值.
一、选择题
1.B
2.A ∵|x-2|＜4-2＜x＜6，0＜x＜5-2＜x＜6.
3.B
4.B 令lBC：x-5=k(y+2)，又y2=4x，
∴y2-4ky-8k-20=0.
∴y1+y2=4k，y1·y2=-8k-20.
∴kAB·kAC=.
∴AB⊥AC.
5.A ∵＜，＜，
∴＜＜，∴正整数=2.
6.A 7.C 8.B
9.C ∵f(x)=x(x-1)(x-2)=x3-3x2+2x，
f′(x)=3x2-6x+2.
∴x1+x2=2，x1·x2=.
∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=.
10.D .
11.B N=.
12.B AB∶5，BE∶2，BC∶3，ED∶4，
∴最短的管线总长为5+2+3+4=14.
二、填空题
13.＜d＜-3
即
又a3=12，∴a1=12-2d.
代入①，②得＜d＜-3.
14.(-1，) 令P(x，y)，
则x=1+λ＞0，y=1+2λ＜0，∴-1＜λ＜.
15.0.99
16. ∵V=≤，当且仅当x=y时取最大值，此时AB与OC的距离为.
三、解答题
17.解：∵m·n=+2cos2x=+cos2x+1. 2分
∴f(x)=loga(+cos2x)
=loga[2sin(2x+)]. 4分
故T=. 5分
令g(x)=2sin(2x+)，则g(x)的单调递增的正值区间(kπ-，kπ+)(k∈Z).
单调递减的正值区间是(kπ+，kπ+)(k∈Z). 9分
当0＜a＜1时，函数f(x)的单调递增区间为(kπ+，kπ+)(k∈Z)；
当a＞1时函数f(x)的单调递增区间为(kπ-，kπ+)(k∈Z). 12分
18.解：(1)记甲、乙、丙三人独立做对这道题的事件依次为A、B、C，则由已知条件得P(A)=，
∵P()=[1-P(A)][1-P(C)]=[1-P(C)]=， 2分
又P(BC)=P(B)P(C)=， 4分
解得P(B)=，P(C)=.
∴乙、丙两人各自做对这道题的概率分别为，. 6分
(2)甲、乙、丙三人中恰好有两人做对这道题的概率为P(++)P(A)P(B)[1-P(C)]+P(B)P(C)[1-P(A)]+P(A)P(C)[1-P(B)]=××+××+××=； 8分
甲、乙、丙三人都做对这道题的概率为P(A)P(B)P(C)××=； 10分
∴甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率为
P(++)+P(A)P(B)P(C)=. 12分
另解：甲、乙、丙三人中至少有两人做对这道题的概率为
1-P()-P()++)=.
19.(1)证明：CD∥C1B1，又BD=BC=B1C1，
∴四边形BDB1C1是平行四形，∴BC1∥DB1.
又DB1平面AB1D，BC1平面AB1D，
直线BC1∥平面AB1D. 3分
(2)解：过B作BE⊥AD于E，连结EB1，
∵BB1⊥平面ABD，∴B1E⊥AD.
∴∠B1EB是二面角B1-AD-B的平面角. 5分
∵BD=BC=AB，
∴E是AD的中点，BE=. 6分
在Rt△B1BE中，
tanB1BE=.
∴∠B1EB=60°，
即二面角B1-AD-B的大小为60°. 8分
(3)解法一：过A作AF⊥BC于F，
∵B1B⊥平面ABC，∴平面ABC⊥平面BB1C1C.
∴AF⊥平面BB1C1C，且AF=.
∴()×
即三棱锥C1-ABB1的体积为， 12分
解法二：在三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵=，∴·AA1=()×=，
即三棱锥C1-ABB1的体积为.
20.解：(1)依题意有第k次播放了k+(ak-1-k)=ak-1+k. 1分
因此ak=ak-1-(ak-1+k)ak-1=k+ak. 3分
(2)a0=1+a1=1+(2+a2)= 4分
1+2×+()2a2=……=
1+2×+3×()2+…+x×()x-1()xax.
∵ax=0，∴y=1+2×()+3×()2+…+x×()x-1. 8分
用错位相减法求和得y=49+(x-7). 10分
∵y∈N，∴x-7=0，即 12分
21.解：(1)由题设得.
由椭圆定义知，轨迹方程为. 3分
(2)∵直线l过点(0，3)，若直线l的斜率不存在，则A、B为椭圆的顶点.
∵，∴O、P重合与OAPB是矩形矛盾. 5分
∴直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，代入，得(4+3k2)x2+18kx-21=0，则有Δ=(18k)2-4(4+3k2)(-21)＞0，且x1+x2=-，x1x2=-(*) 7分
∵，∴四边形OAPB是平行四边形，
假设存在直线l使得四边形OAPB是矩形，则有， 9分
即有·=x1x2+y1y2=0(1+k2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0.
将(*)代入，解得k=±均适合Δ≥0. 11分
∴存在直线l：y=±x+3，使得四边形OAPB是矩形. 12分
22.解：(1)令x=1，y=0，得f(1)= f(1)·f(0)，
∴f(0)=1. 2分
令x=1，y=-1，得f(1-1)=f(1)·f(-1)，
即f(0)=f(1)·f(-1).
∴f(-1)=3.∴f-1(3)=-1. 4分
(2)设f-1(x1)=y1，f-1(x2)=y2，则x1=f(y1)，x2=f(y2). 5分
∴x1x2=f(y1)·f(y2)=f(y1+y2).
∴y1+y2=f-1(x1x2). 6分
又y1+y2=f-1(x1)+f-1(x2), 7分
∴对任意实数x，y恒有f-1(xy)=f-1(x)+f-1(y)成立. 8分
(3)∵f-1(3n)=-n， 9分
∴当n≥2时，
an-an-1=-n+c，
an-1-an-2=-(n-1)+c
……
a2-a1=-2+c.
以上各式相加得，an-a1=，
an=. 11分
∴()+c-≤.
当且仅当，
即n=时，上式取等号. 12分
∵n≥2且n∈N*.
当n≤9时，数列{}单调递增，
当n≥10时，数列{}单调递增，
当n=9或10时，有最大值为c-10. 14分
距离（km）
地
名
地
名2006年高考理科数学摸拟试题解析样本3
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．设全集U=R，B）是 （ ）
（A） （B）
（C） （D）
2．由“p：8＋7＝16，q：π>3”构成的复合命题，下列判断正确的是 （ ）
（A）p或q为真，p且q为假 ，非p为真 （B）p或q为假，p且q为假 ，非p为真
（C）p或q为真，p且q为假 ，非p为假 （D）p或q为假，p且q为真 ，非p为真
3．已知向量a＝（3,4），b＝（sinα，cosα），且a∥b，则tanα等于 （ ）
（A） （B） （C） （D）
4．已知等差数列｛an｝的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于 （ ）
（A）－4 （B）－6 （C）－8 （D）－10
5．不等式的解集是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
6．设f：x→x2是集合A到集合B的映射，如果B＝｛1,2｝，则A∩B等于 （ ）
（A）Φ （B）｛1｝ （C）Φ或｛2｝ （D）Φ或｛1｝
7．曲线和直线在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为P1，P2，P3，…，则|P2P4|等于 （ ）
（A） （B）2 （C）3 （D）4
8．若的内角满足则角的取值范围是 （ ）
（A） 　　　（B） （C） 　　　（D）
9．已知函数f (x)（0≤x≤1）
的图象的一段圆弧（如图所示）若，则 （ ）
（A）（B）
（C）（D）前三个判断都不正确
10．给定实数，定义为不大于的最大整数，则下列结论不正确的是　　　 （ ）
（A）　（B） （C）是周期函数　（D）是偶函数
1 2
0.5 1
a
b
c
11．在如图的表格中，
每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵行成等比
数列，则a＋b＋c的值为（ A ）
（A）1 （B）2
（C）3 （D）4
12．过△ABC的重心任作一直线分别交AB，AC于点D、E．若，，，则的值为 （ ）
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13． a、b、c、d均为实数，使不等式和都成立的一组值（a，b，c，d）是 ．（只要写出适合条件的一组值即可）
14．设有两个命题：①关于x的不等式的解集是R，②函数是减函数．如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是 ．
15．是奇函数，它们的定义域均为，且它们在上的图象如图所示，则不等式 ．
16．定义运算为:例如，,则函数f(x)=的值域为 ．
三、解答题
17．（本题满分12分）
已知实数满足不等式，试判断方程有无实根，并给出证明．
18．（本题满分12分）
已知函数的定义域为，值域为．
试求函数（）的最小正周期和最值．
19．（本题满分12分）
已知向量．
（1）若点A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值．
20．（本题满分12分）
某厂家拟在2004年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元（）（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2004年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．
（1）将2004年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
（2）该厂家2004年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？
21．（本题满分12分）
数列{}的前项和满足：．
（1）求数列{}的通项公式；
（2）数列{}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．
22．（本题满分14分）
已知函数：．
（1）证明：f(x)+2+f(2a－x)=0对定义域内的所有x都成立；
（2）当f(x)的定义域为[a+,a+1]时，求证：f(x)的值域为[－3，－2]；
（3）设函数g(x)=x2+|(x－a)f(x)| ,求g(x) 的最小值 ．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B A A B B D A C C D A B
1．，，∴A∩＝｛x<-2或x≥3｝．选B．
2．∵P假q为真，∴p或q为真，p且q为假 ，非p为真．选A．
3．∵a∥b，∴sinα＝3k，cosα＝4k，∴，选A．
4．由题意，设，∴，解得，选B．
5．不等式等价于，解得．选B．
6．集合A中只要含有1或即可满足题意，此时A∩B为｛1｝或Φ．选D．
7．∵＝，
∴根据题意作出函数图象即得．选A．
8．由的内角满足，易得cosA<0，∴A为钝角，取代入，显然满足．选C．
9．∵可视为曲线上两点、的斜率，作图易得．选C．
10．∵，f(0.2)＝0.2，f(-0.2)＝－0.2＋1＝0.8，显然f(0.2)≠f(-0.2)，∴不是偶函数．选D．
11．由题意，易求得，∴a＋b＋c＝1．选A．
12．取△ABC为正三角形易得＝3．选B．
二、填空题
13．（2，1，－3，2） ；14．m＝0或m≥1 ； 15． ； 16．；
13．注：本题为开放题，只要写出一个正确的即可，如（2，1，－3，2）．
14．提示 若①为真，②为假，则且，∴；若②为真，①为假，则m<0且015．作图即得解集为．
16．由题意可得函数在一个周期内的表达式．即：，
作出图象易得函数的值域为．
三、解答题
17．解：（1）等价于　…………………………3’
解得．…………6’
　　方程的判别式．…………8’
　　∵　，∴．即．
　　∴　．
　　由此得方程无实根． ………………………………………12’
18．解： ……2’
…………………………4’
当＞0时，，
解得，………………………………………………………………6’
从而， ，
T=，最大值为5，最小值为－5；………………………………………………8’
当m＜0时， 解得，………………………………………………10’
从而，，T=，最大值为，
最小值为．……………………………………………………………………12’
19．解（1）已知向量
若点A、B、C能构成三角形，则这三点不共线，
故知．
∴实数时，满足的条件．………………………………………………6’
（2）若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，则，
∴，解得．………………………………………12’
20．解（1）由题意可知当……3’
每件产品的销售价格为，
∴2004年的利润
．…………………………6’
（2），
（万元）……11’
答：（略）…………………………………………………………………………………12’
21．解 （1）当时有：
两式相减得：，…………………………2’
∴，又，∴ ．
∴数列{}是首项6，公比为2的等比数列．
从而，∴．………………………………………………6’
（2）假设数列{}中存在三项，它们可以构成等差数列，
只能是，………………………………………………8’
，
即．∴……………………………………………10’
、、均为正整数，
∴（*）式左边为奇数右边为偶数，不可能成立. 因此数列{}中不存在可以构成等差数列的三项．……………………………………………………………………………………12’
22．解（1）证明：
．
∴结论成立 ………………………………………………………………………………4’
（2）证明：
当，，
，，
∴．
即．………………………………………………………………8’
（3）
①当．
如果 即时，则函数在上单调递增，
∴ ．
如果．
当时，最小值不存在．……………………………………………………10’
②当 ，
如果．
如果．
当．
．……………………………………………12’
综合得：当时， g（x）最小值是；当时， g（x）最小值是 ；当时， g（x）最小值为；当时， g（x）最小值不存在．
………………………………………………14’
xX
y
OxX
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当前第 页共10页2006年高考理科数学摸拟试题解析样本27
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集I，M、N是I的子集，若I=M∪N，M∩N≠ ，则下列关系中不正确的是
A.CINM B.CIMN
C.CIM∩CIN= D.CIM∪CIN=I
2.原命题“在空间没有公共点的两条直线是异面直线”，则下列说法正确的是
A.原命题是真命题 B.逆命题是假命题
C.否命题是假命题 D.逆命题是真命题
3.某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程.下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合学生走法的是
4.将曲线f(x,y)=0按向量a=(h,k)平移后得到曲线的方程是
A.f(x－h,y＋k)=0 B.f(x－h,y－k)=0
C.f(x＋h,y＋k)=0 D.f(x＋h,y－k)=0
5.在三角形ABC中“cosA＋sinA=cosB＋sinB”是“C=90°”的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.非充分非必要条件
6.双曲线的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是
A.(－3,0) B.(0,12)
C.(－12,0) D.(－60,－12)
7.已知函数f(x)=log2(x－1)，则
A.f(3x)＜f(32x) B.f(3x)＞f(32x)
C.f(3x)=f(32x) D.不能确定f(3x)与f(32x)的大小关系
8.函数y=2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上最大值和最小值分别是
A.5,－15 B.5,－4
C.－4,－15 D.5,－16
9.某种细菌开始有两个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个…….按照这个规律，10小时后细胞存活数是
A.1023 B.1025
C.1535 D.1537
10.已知θ∈[0,π]，f(θ)=sin(cosθ)的最大值为a，最小值为b,g(θ)=cos(sinθ)的最大值为c，最小值为d，则
A.b＜d＜a＜c B.d＜b＜c＜a
C.b＜d＜c＜a D.d＜b＜a＜c
11.点P在曲线y=x3－x＋上移动，设点P处切线倾斜角为α，则α的取值范围是
A.[0,] B.0,∪[,π
C.[,π D.(,
12.已知x1是方程x＋1gx=3的根，x2是方程x＋10x=3的根，那么x1＋x2的值为
A.6 B.3 C.2 D.1
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本27
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
题号 二 三 总分
17 18 19 20 21 22
分数
得分 评卷人
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.某校有初中学生1200人，高中学生900人，老师120人，现用分层抽样方法从所有师生中抽取一个容量为N的样本进行调查，如果应从高中学生中抽取60人，那么N=____________.
14.在经济学中，定义Mf(x)=f(x＋1)－f(x)，称Mf(x)为函数f(x)的边际函数，某企业的一种产品的利润函数P(x)=－x3＋30x2＋1000(x∈[10,25]且x∈N*)，则它的边际函数MP(x)=__________________________________.(注：用多项式表示)
15.已知a、b、c分别为△ABC的三边，且3a2＋3b2－3c2＋2ab=0，则tanC=______________.
16.已知下列四个函数：①y=(x＋2)；②y=3－2x＋1；③y=1－x2；④y=3－(x＋2)2.其中图象不经过第一象限的函数有____________.(注：把你认为符合条件的函数的序号都填上)
得分 评卷人
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
解关于x的不等式(1)lg(3－x)＋lg(x－)≤lg(2x－)；
(2)lg(3－x)＋lg(x－)≤lg(x－2mx－)，其中1＜m＜.
18.(本小题满分12分)
设数列｛an｝是公差不为零的等差数列，Sn是数列｛an｝的前n项和，且S32=9S2，S4=4S2，求数列｛an｝的通项公式.
19.(本小题满分12分)
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，BB1=BC=1，E为D1C1的中点，连结ED、EC、EB和DB.
(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；
(2)求二面角E－DB－C的正切值；
(3)求异面直线EB和DC的距离.
20.(本小题满分12分)
某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的二级污水处理池(平面图如图所示)，池的深度一定，池的外圈周壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚度忽略不计).求：
(1)污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低；
(2)如果受地形限制，污水处理池的长、宽都不能超过14.5米，那么此时污水处理池的长设计为多少米时，可使总造价最低？
21.(本小题满分12分)
P为椭圆C：(a＞b＞0)上除A1(-a，0)、A2(a，0)两点外的一点.
(1)求直线A1P与A2P斜率的乘积；
(2)设P(x，y)，求证：∠A1PA2=x-arctan；
(3)设∠A1PA2=α，求证：.
22.(本小题满分14分)
已知函数f(n)，n∈N*，满足条件：
①f(2)=2；②f(xy)=f(x)·f(y)；③f(n)∈N*；④当x＞y时，有f(x)＞f(y).
(1)求f(1)、f(3)的值；
(2)由f(1)、f(2)、f(3)的值，猜想f(n)的解析式；
(3)证明你猜想的f(n)的解析式的正确性.
一、选择题
1.D
2.D 异面直线无交点，逆命题为真命题；B、C等价均错.
3.D 由速度快慢知直线的倾斜程度.
4.B
5.B 由题意得A=B或A+B=。故选B.
6.C 由题意得k＜0且1＜＜4，解之即得.
7.A 3x＞1，x＞0，2x＞x，32x＞3x，又f(x)单调递增.
8.A 由(x)=6(x+1)(x-2)知f(x)在[0，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增.
9.B 设n小时个数为an，则an+1=2an-1，则{an-1}为等比数列，可得an=2n+1.
10.A a=sin1，b=sin(-1)＜0，c=1，d=cos1.
11.B =3x2-1≥-1，故选B.
12.B 利用图象，直线y=3-x关于直线y=x对称，两函数y=10x，y=lgx的图象也关于直线y=x对称.设y=3-x与y=lgx的交点坐标为(x1，3-x1).则y=3-x与y=10x的交点坐标为(3-x1，x1)，则x2=3-x1，从而选B.
二、填空题
13.148
14.-3x2+57x+29(x∈[10，25]且x∈N*)(未标定义域扣1分)
15.-2 用余弦定理可求得cosC=，从而sinC=.
16.①④ (多填少填均不给分)
三、解答题
17.解：(1)1g(3-x)+1g(x-)≤1g(2x-)
2分
4分
∵x2-x+1=(x-)2+＞0，
原不等式的解集为. 6分
(2)1g(3-x)+1g(x-)≤1g()(1＜m＜)，等价于
2m≤x+(x∈(，3)，m∈(1，)). 8分
令直线l：y=2m(1＜m＜)，曲线C：y=x+，x∈(，3)，作出直线l与曲线C的图象.
(1)当2＜2m＜，即1＜m＜时，直线l与曲线C有两个公共点，公共点的横坐标是x1=m-，x2=m+，此时不等式的解集为x∈(，m-)∪[m+，3]. 10分
(2)当≤2m≤，即≤x＜时，直线l与曲线C有一个公共点，公共点的横坐标是x=m+，此时不等式的解集为x∈[m+，3]. 12分
18.解：设等差数列{an}的公差为d，由Sn=na1+及已知条件得(3a1+3d)2=9(2a1+d)，①
4a1+6d=4(2a1+d).② 6分
由②得d=2a1，代入①有，
解得a1=0或a1=.当a1=0时，d=0，舍去.
因此a1=，d=.
故数列{an}的通项公式an=+(n-1)·=(2n-1). 12分
19.(1)证明：在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BB1=BC=1，E为D1C1的中点.
∴△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED=45°.
同理∠C1EC=45°.
∴∠DEC=90°，即DE⊥EC. 2分
在长方体ABCD—A1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，又DE平面D1DCC1，
∴BC⊥DE. 3分
又EC∩BC=C，
∴DE⊥平面EBC.
∵平面DEB过DE，
∴平面DEB⊥平面EBC. 4分
(2)解：如图，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.
在长方体ABCD—A1B1C1D1中，
∵面ABCD⊥面D1DCC1，
∴EO⊥面ABCD.
过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连结EF，
∴EF⊥BD.
∠EFO为二面角E—DB—C的平面角. 6分
利用平面几何知识可得
OF=，OE=1，tanEFO=. 8分
(3)解：E在D1C1上，B在AB上，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥D1C1，
∴EB在平面ABC1D1内.又∵DC∥AB，
∴DC∥平面ABC1D1.
直线DC到平面ABC1D1的距离就等于异面直线DC和EB的距离. 10分
在长方体ABCD—A1B1C1D1中.平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，连结BC1，在平面BCC1中，过C作CH⊥BC1.
∴CH⊥平面ABC1D1，CH为所求的距离.
∴CH=. 12分
20.解：(1)设污水处理池的长为x米，则宽为米. 2分
总造价f(x)=400×(2x+2×)+100×+60×200
=800×(x+)+12000
≥1600+12000
=36000(元). 4分
当且仅当x=(x＞0)时，即x=15时等号成立.
答：当污水处理池的长为15米(宽为米)时，总造价最低. 6分
(2)依(1)有总造价f(x)=800×(x+)+12000≥36000，当x=15时等号成立，15＞14.5，从而考虑条件：
即x∈[13，14]. 8分
下面研究f(x)在[13，14]上的单调性.
设x1、x2∈[13，14]且x1＜x2.
由于f(x2)-f(x1)=800×[(x2-x1)+225()]=800(x2-x1)(1-). 10分
∵x1＜x2，且x1，x2∈[13，14]，
∴x2-x1＞0，x2x1＜(14)2＜152=225.
∴f(x2)-f(x1)＜0.∴f(x2)＜f(x1).
∴f(x)在[13，14]上的单调递减.
∴f(x)≥f(14).∴当长为14米时总造价最低. 12分
21.(1)解：设点P(x，y)，则有
，， 2分
由
变形为 3分
k=-，即·=. 4分
(2)证明：①当点P在x轴的上方时，y＞0.
tanA1PA2=，
＜0 6分
②当点P在x轴的下方时，y＜0,同理可得tanA1PA2=.
∴∠A1PA2是钝角，
∠A1PA2=π-arctan 8分
(3)证明：由三角形的面积公式得
·2a·|y|=a|y|. 9分
.
∴tanα=tan[].
得|y|=-，
. 12分
22.(1)解：∵f(2)=f(2×1)=f(2)·f(1)，又f(2)=2，
∴f(1)=1. 3分
又∵f(4)=f(2·2)=f(2)·f(2)=4, 4分
2=f(2)＜f(3)f＜(4)，且f(3)∈N.
∴F(3)=3. 5分
(2)解：由f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3，猜想f(n)=n(n∈N). 8分
(3)证明：用数学归纳法证明：
①当n=1时，f(1)=1，函数解析式成立；
②假设n≤k时，f(k)=k，函数解析式成立；
1°若k+1=2m(m∈N)，
f(k+1)=f(2m)=f(2)·f(m)=2m=k+1. 10分
2°若k+1=2m+1(m∈N)，
f(2m+2)=f[2(m+1)]=f(2)·f(m+1)=2(m+1)=2m+2,
2m=f(2m)＜f(2m+1)＜f(2m+2)=2m+2.
∴f(2m+1)=2m+1=k+1. 12分
即n=k+1时，函数解析式成立.
综合①②可知，f(n)=n(n∈N)成立. 14分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本6
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设全集I={1，3，5，7，9}，集合A={1，9，|a－5|}，IA={5，7}，则a的值为
A.2 B.8
C.－2或8 D.2或8
2.已知函数f(x)=3x－1，则它的反函数y=f－1(x)的图象是
3.若点P(x,y)在曲线(为参数)上，则使x2+y2取得最大值的点P的坐标是
A.(6，－8) B.(－6，8)
C.(3，－4) D.(－3，4)
4.复数的共轭复数为
A.－i B.－
C.1－2i D.1+2i
5.下列命题中，使命题M是命题N成立的充要条件的一组命题是
A.M：a＞b N:ac2＞bc2
B.M:a＞b,c＞d N:a－d＞b－c
C.M:a＞b＞0,c＞d＞0 N:ac＞bd
D.M:|a－b|=|a|+|b| N:ab≤0
6.已知a2=2a·b，b2=2a·b，则a与b的夹角为
A.0° B.30°
C.60° D.180°
7.生物学中指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约有10%~20%的能量能够流动到下一个营养级(称为能量传递率)，在H1→H2→H3→H4→H5→H6这条生物链中，若使H6获得10 kJ的能量，则需要H1最多提供的能量是
A.104 kJ B.105 kJ
C.106 kJ D.107 kJ
8.一个凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为
A.5400° B.6480°
C.7200° D.7920°
9.2路公共汽车始发站，停放着两辆公共汽车，有3名司机和4名售票员，准备上车执行运营任务，每部汽车需要1名司机和2名售票员，其中1名售票员为组长，那么不同分工方法总数是
A.36 B.72
C.144 D.288
10.已知F1、F2是椭圆=1(5＜a＜10)的两个焦点，B是短轴的一个端点，则△F1BF2的面积的最大值是
A. B.
C.100(3－2) D.a2
11.△ABC边上的高线为AD，BD=a，CD=b，且a＜b，将△ABC沿AD折成大小为的二面角B—AD—C.若cos=，则三棱锥A—BDC的侧面△ABC是
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.形状与a、b的值有关的三角形
12.数列{an}中，a1=1,Sn是其前n项和.当n≥2时，an=3Sn，则的值是
A.－ B.－2
C.1 D.－
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.把一个函数的图象按向量a=(3,－2)平移，得到的图象的解析式为y=log2(x+3)+2，则原来的函数的解析式为___________.
14.在(x2+－4)5的展开式中含x4项的系数是___________.
15.以椭圆=1的右焦点为圆心，且与双曲线=1的渐近线相切的圆的方程为___________.
16.有下列四个命题：
①若平面的两条斜线段PA、QB在平面内的射影相等，则PA、QB的长度相等 ②已知PO是平面的斜线，AO是PO在平面内的射影，若OQ⊥OP，则必有OQ⊥OA ③与两条异面直线都平行的平面有且只有一个 ④平面内有两条直线a、b都与另一个平面平行，则必有∥
其中不正确命题的序号为___________.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
讨论函数f(x)=cos(2x－2)+cos2－2cos(x－)cosxcos的值域、周期性、奇偶性及单调性.
18.(本小题满分12分)
在正方体AC1中，E、F分别为BB1、CD的中点.
(1)求证：AD⊥D1F；
(2)求AE与D1F所成角的大小；
(3)求证：平面AED⊥平面A1FD1.
19.(本小题满分12分)
甲乙两人参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲乙两人依次抽一题.
(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？
(2)甲乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x5+ax3+bx+1.当x=－1，x=1时，取极值，且极大值比极小值大4.
(1)求a,b的值；
(2)求f(x)的极大值和极小值.
21.(本小题满分12分)
已知：a=(cos,sin),b=(cos,sin)(0＜＜＜).
(1)求证：a+b与a－b互相垂直；
(2)若ka+b与a－kb大小相等,求－ (其中k为非零实数).
22.(本小题满分14分)
已知等比数列{an}的各项均为正数，且公比不等于1，数列{bn}对任意自然数n，均有(bn+1－bn+2)log2a1+(bn+2－bn)log2a3+(bn－bn+1)log2a5=0成立，又b1=t,b7=13t(t∈R,且t≠0).
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)设cn=，若Sn表示数列{bn}的前n项和，Tn表示数列{cn}的前n项和，求.
参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.D
2.解析：根据f－1(x)的定义域及值域观察可得.
答案：D
3.解析：化参数方程为普通方程后得.
答案：A
4.D 5.D
6.解析：利用cos=.
答案：C
7.C
8.解析：运用欧拉公式及多边形的内角和公式可得.
答案：B
9.C 10.B 11.C
12.解析：由题意得Sn－Sn－1=3Sn,
∴,S1=a1=1.
∴Sn=S1(－)n－1=(－)n－1，
=0.
答案：A
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.y=log2(x+6)+4 14.－960
15.(x－5)2+y2=16 16.①②③④
三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分)
17.解：利用三角函数公式可化得
f(x)=－cos2x. 4分
∴f(x)的值域为：［－，］;周期T=；f(x)为偶函数. 9分
当x∈［k,k+］(k∈Z)时 ,f(x)为增函数，
当x∈［k－,k］(k∈Z)时，f(x)为减函数. 12分
18.解：(1)略 4分
(2) 8分
(3)通过证明FD1⊥平面AED得到平面AED⊥平面A1FD1. 12分
19.解：(1)它是等可能性事件，基本事件总数为CC种，所述事件包含的基本事件数为CC，故所求概率为=. 6分
(2)可直接算也可用求其对立事件的概率来算，结果为. 12分
20.解：(1)f′(x)=5x4+3ax2+b,因x=1时有极值，则5+3a+b=0,反代入得：
f′(x)=(x+1)(x－1)(5x2+3a+5).
由题意有5x2+3a+5≠0恒成立，故3a+5＞0,a＞－.
故当x=－1时取极大值，x=1时取得极小值,
且f(－1)－f(1)=4，再由b=－3a－5可解得a=－1,b=－2. 7分
(2)f(－1)=3为极大值，f(1)=－1为极小值. 12分
21.解：(1)只要证明(a+b)·(a－b)=0，而(a+b)·(a－b)=a2－b2； 6分
(2)由|ka+b|=|a－kb|知2kcos(－)
=－2kcos(－).又k≠0,
故cos(－)=0，又0＜＜＜，所以－=. 12分
22.解：(1)设{an}的公比为q(0＜q且q≠1).
则a3=a1q2,a5=a1q4,代入已知等式并化简得：
(bn+2+bn－2bn+1)log2q=0,因为log2q≠0，
所以bn+2+bn=2bn+1，所以{bn}为等差数列.
由b1=t,b7=13t得bn=(2n－1)t. 6分
(2)由于， 8分
所以Tn=
而Sn=·n=n2t. 10分
所以. 14分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本13
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知A={x|x+1≥0}，B={y|y2－2>0}，全集I=R，则A∩IB为
A.{x|x≥或x≤－} B.{x|x≥－1或x≤}
C.{x|－1≤x≤} D.{x|－≤x≤－1}
2.不等式log (x－1)>－1的解集为
A.{x|x>4} B.{x|x<4}
C.{x|13.下列函数中，图象与函数y=4x的图象关于y轴对称的是
A.y=－4x B.y=4-x C.y=－4-x D.y=4x+4-x
4.在以下关于向量的命题中，不正确的是
A.若向量a=(x，y)，向量b=(－y，x)(x、y≠0)，则a⊥b
B.四边形ABCD是菱形的充要条件是=，且||=||
C.点G是△ABC的重心，则++=0
D.△ABC中，和的夹角等于180°－A
5.已知函数y=x3－3x，则它的单调增区间是
A.(－∞，0) B.(0，+∞)
C.(－1，1) D.(－∞，－1)及(1，+∞)
6.已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，公比q≠1，那么
A.a32+a72>a42+a62 B.a32+a72C.a32+a72=a42+a62 D.大小不确定
7.曲线y=x3+x－2的一条切线平行于直线y=4x－1，则切点P0的坐标为
A.(0，－2)或(1，0) B.(1，0)或(－1，－4)
C.(－1，－4)或(0，－2) D.(1，0)或(2，8)
8.函数y=f(x+1)与y=f(1－x)的图象关于
A.y轴对称 B.原点对称
C.直线x=1对称 D.关于y轴对称且关于直线x=1对称
9.已知(－ax+b)=2，则b的值为
A.0 B.4 C.－4 D.不确定
10.设f(x)、g(x)在［a，b］上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有
A.f(x)＞g(x) B.f(x)＜g(x)
C.f(x)+g(a)＞g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)＞g(x)+f(b)
11.如图，圆C：(x－1)2+(y－1)2=1在直线l:y=x+t下方的弓形(阴影部分)的面积为S，当直线l由下而上移动时，面积S关于t的函数图象大致为
12.函数f(x)=，如果方程f(x)=a有且只有一个实根，那么a满足
A.a<0 B.0≤a<1 C.a=1 D.a>1
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.北京市某中学要把9台型号相同的电脑送给西部地区的三所希望学校，每所小学至少得到2台，不同送法的种数共有__________种.
14.已知f(x)=|log3x|，当0f(2)，则a的取值范围是__________.
15.已知无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围为__________.
16.设有四个条件：
①平面γ与平面α、β所成的锐二面角相等；
②直线a∥b，a⊥平面α，b⊥平面β；
③a、b是异面直线，aα，bβ，且a∥β，b∥α；
④平面α内距离为d的两条直线在平面β内的射影仍为两条距离为d的平行线.
其中能推出α∥β的条件有__________.(填写所有正确条件的代号)
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边.已知tanA+tanB+=tanA·tanB·，
(1)求∠C的大小；
(2)若c=，△ABC的面积S△ABC=，求a+b的值.
18.(本小题满分12分)
已知a，b都是非零向量，且a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
19.(本小题满分12分)
已知曲线C：x2－y2=1及直线L：y=kx－1.
(1)若L与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
(2)若L与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△OAB的面积为，求实数k的值.
20.(本小题满分12分)
如图，已知三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC.
(1)求三棱锥P—ABC的体积V；
(2)作出点A到平面PBC的垂线段AE，并求AE的长；
(3)求二面角A—PC—B的大小.
21.(本小题满分12分)
某水库水位已超过警戒水位(设超过的水量为P)，由于上游仍在降暴雨，每小时将流入水库相同的水量Q，为了保护大坝的安全，要求水库迅速下降到警戒水位以下，需打开若干孔泄洪闸(每孔泄洪闸泄洪量都相同).要使水位下降到警戒水位，经测算，打开两孔泄洪闸，需40小时；打开4孔泄洪闸，需16小时.现要求在8小时内使水位下降到警戒水位以下，问：至少需打开几孔泄洪闸？
22.(本小题满分14分)
函数f(x)=loga(x－3a)(a>0且a≠1)，当点P(x，y)是函数y=f(x)图象上的点时，Q(x－2a，－y)是函数y=g(x)图象上的点.
(1)写出函数y=g(x)的解析式；
(2)当x∈［a+2，a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试确定a的取值范围.
参 考 答 案
仿真试题(一)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.解析：由已知得A={x|x≥－1}，B={y|y＞或y＜－，IB={y|－≤y≤}，则A∩IB={x|－1≤x≤}，选C.
答案：C
2.解析：由已知得得1＜x＜4，选C.
答案：C
3.解析：关于y轴对称的规律是以－x代x，y代y，得所求函数为y=4-x，选B.
答案：B
4.解析：若点G是△ABC的重心，则有++=0，而C的结论是++=0，显然是不成立的，选C.
答案：C
5.解析：由y=x3－3x，得y′=3x2－3.令y′=0，得x=±1.列表:
y (－∞，－1) (－1，1) (1，+∞)
y′ ＞0 ＜0 ＞0
所以函数y=x3－3x的单调增区间为(－∞，－1)及(1，+∞)，选D.
答案：D
6.解析：取特殊数列验证：
根据题意取数列1，2，4，8，16，32，64(q＞1)，易证a32+a72>a42+a62；取数列64，32，16，8，4，2，1(0＜q＜1)，易证a32+a72>a42+a62，故选A.
答案：A
7.解析：由y=x3+x－2，得y′=3x2+1，由已知得3x2+1=4，解之得x=±1.当x=1时，y=0;当x=－1时，y=－4.
∴切点P0的坐标为(1，0)或(－1，－4)，选B.
答案：B
8.解析：根据对称关系验证D正确，选D.
答案：D
9.解析：－ax+b
=
=.
∵(－ax+b)=2，
得得选B.
答案：B
10.解析：令F(x)=f(x)－g(x)，x∈［a，b］，
则F′(x)=f′(x)－g′(x)＞0.∴F(x)在［a，b］上是增函数.
又a＜x＜b，得F(a)＜F(x)＜F(b)，
即f(a)－g(a)＜f(x)－g(x)＜f(b)－g(b).
得f(x)+g(a)＞g(x)+f(a)，选C.
答案：C
11.解析：当t=－时，S=0;当t≥时，S=π;
当t=0时，S=.对照图象知B符合题意，故选B.
答案：B
12.解析：由图知a=1时，图象只有一个交点，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.解析：分为三种情况：①每所学校得3台电脑；②有两所学校各得2台电脑，一所学校得5台电脑；③有一所学校得2台电脑，一所学校得3台电脑，一所学校得4台电脑.
答案：10
14.解析：由f(a)＞f(2)，得|log3a|＞log32.
log3a＞log32或log3a＜－log32=log，
得a＞2或0＜a＜，又0＜a＜2，
∴0＜a＜.
答案：0＜a＜
15.解析：由已知S=，得q=.又－1＜q＜0得－1＜＜0.解之得1＜S＜2.
答案：1＜S＜2
16.解析：
① 不正确
② 正确
③ 正确
④ 不正确
故②③正确.
答案：②③
三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分)
17.解：(1)tanC=－tan(A+B)
=－
=－
=.
∵0°＜C＜180°，∴C=60°. 6分
(2)由c=及余弦定理，
得a2+b2－2abcos60°
=()2.
又由S△ABC=absin60°=，
整理得
∴(a+b)2=，即a+b=. 12分
18.解：∵a+3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，
∴(a+3b)·(7a－5b)=0，(a－4b)·(7a－2b)
=0. 4分
即
两式相减：a·b=|b|2，代入①得|a|2=|b|2. 8分
∴cosα==.∴α=60°，即a与b的夹角为60°. 12分
19.解：(1)曲线C与直线L有两个不同交点，则方程组有两个不同的解.
代入整理得：(1－k2)x2+2kx－2=0. 2分
此方程必有两个不等的实根x1，x2，
∴
解得－＜k＜且k≠±1时，曲线C与直线L有两个不同的交点. 6分
(2)设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线L与y轴交于点D(0，－1)，
∴
∵S△OAB=S△OAD+S△OBD
=|x1|+|x2|
=(|x1|+|x2|) (∵x1·x2＜0 8分
=|x1－x2|=，
∴(x1－x2)2=(2)2，即()2+=8.解得k=0或k=±.
∵－＜k＜，
∴k=0或k=±时，△OAB面积为. 12分
20.解：(1)∵PA⊥平面ABC，PB=PC，由射影定理得，AB=AC=4.
∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AC.
在Rt△PAC中，可求出PC=5，则PB=BC=5.
取BC中点D，连AD.在等腰△ABC中，求出底边上的高AD=.
∴V=··5··3=. 4分
(2)连PD，则PD⊥BC，又AD⊥BC，
∴BC⊥平面PAD.又BC平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC.
作AE⊥PD于E，则AE⊥平面PBC，AE为点A到平面PBC的垂线段.
在Rt △PAD中，由PA·AD=AE·PD，即3·=AE·，求出AE=.8分
(3)作AF⊥PC于F，连EF，由三垂线逆定理，得EF⊥PC.
∠AFE为二面角A—PC—B的平面角.
在Rt△PAC中，由PA·AC=PC·AF，即3·4=5·AF，求出AF=，
∴sinAFE==·=. 12分
即二面角A—PC—B为arcsin.
21.解：设应打开n孔泄洪闸，每孔泄洪闸每小时的泄洪量为R，则有
7分
∴8n＞.从而n＞≈7.3.
答：至少要打开8孔泄洪闸. 12分
22.解：(1)设P(x0，y0)是y=f(x)图象上的点，Q(x，y)是y=g(x)图象上的点，则
∴∴－y=loga(x+2a－3a).
∴y=loga(x＞a)，即y=g(x)=loga(x＞a). 5分
(2)∵ ∴x＞3a.
∵f(x)与g(x)在［a+2，a+3］上有意义，∴3a＜a+2.∴0＜a＜1. 8分
∵|f(x)－g(x)|≤1恒成立，∴|loga(x－3a)(x－a)|≤1恒成立.
∴a≤(x－2a)2－a2≤.
对x∈［a+2，a+3］时恒成立，令h(x)=(x－2a)2－a2，其对称轴x=2a，2a＜2，2＜a+2，
10分
∴当x∈［a+2，a+3］时，h(x)min=h(a+2)，h(x)max=h(a+3).
∴0＜a≤. 14分
① ②2006年高考理科数学摸拟试题解析样本33
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
参考公式：
如果事件A、B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立，那么P(AB)=P(A)P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率Pn(k)=pk(1-p)n-k
正棱锥、圆锥的侧面积公式S锥侧=cl，其中c表示底面周长，l表示斜高或母线长
球的表面积公式S=4πR2，其中R表示球的半径
球的体积公式V=πR3，其中R表示球的半径
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知向量a=(x，y)，其中x∈{1，2，4，5}，y∈{2，4，6，8}，则满足条件的不共线的向量共有
A.16个 B.13个 C.12个 D.9个
2.已知一个简单多面体的每一个面都是三角形，以每个顶点为一端点都有5条棱，则此多面体的棱数为
A.30 B.32 C.20 D.18
3.若a=1-，则1-a+a2-…-a15+a16的值为
A.-28 B.28 C.()16 D.()16
4.已知集合A={x|x2-2x-3=0}，B={x|ax=1}，则a=-1或是A∪B=A的
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若f(x)=ax3+3x2+2，且f′(-1)=4，则a等于
A. B. C. D.
6.偶函数y=f(x)，奇函数y=g(x)的定义域均为[-4，4]；f(x)在[-4，0]，g(x)在[0，4]上的图象如图，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集为
A.[2，4] B.(-2，0)∪(2，4)
C.(-4，-2)∪(2，4) D.(-2，0)∪(0，2)
7.设椭圆，双曲线，抛物线y2=2(m+n)x(其中m＞n＞0)的离心率分别为e1、e2、e3，则
A.e1e2＞e3 B.e1e2＜e3
C.e1e2=e3 D.e1e2与e3大小不确定
8.已知函数f(x)=的图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2+y2=k2上，则f(x)的最小正周期是
A.1 B.2 C.3 D.4
9.一个容量为20的样本，数据的公组及各组的频数如下表：
分/组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70)
频 数 2 x 3 y 2 4
则样本在区间[10，50]上的频率为(其中x，y∈N*)
A.0.5 B.0.7 C.0.25 D.0.05
10.给出下列四个命题：
①各侧面都是正方形的棱柱是正棱柱；
②若一个简单多面体的各面都是三角形，则它的顶点V和面数F的关系是2V-F=4；
③若直线l⊥平面α，l∥平面β，则α⊥β；
④“几何体的各个面都是三角形”是“几何体是三棱锥”的充要条件.
其中，正确的命是
A.②③ B.①④
C.①②③ D.②③④
11.在某次数学考试中，学号为i(i=1，2，3，4)的同学的考试成绩f(i)∈{85，87，88，90，93}，且满足f(1)＜f(2)≤f(3)＜f(4)，则这四位同学的考试成绩的所有情况的种数为
A.5 B.10 C.15 D.30
12.已知f(x)=2x3-6x2+a(a为常数)在[-2，2]上有最大值3，那么在[-2，2]上f(x)的最小值是
A.-5 B.-11 C.-29 D.-37
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
题 号 二 三 总分
17 18 19 20 21 22
分 数
得分 评卷人
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于______对称.
14.若关于x的一元二次方程x2-11x+a+30=0的两个根均大于5，则实数a的取值范围是______.
15.已知向量a与b所成的角为，且a2=4，b2=3，而向量c=2a+2b，则｜c|=______.
16.口袋中有大小相同的8个白球，4个红球，从中任意摸出2个球，则两球颜色相同的概率为______.
得分 评卷人
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知向量a=(ωx，cosωx)，b=(cosωx，cosωx)，其中ω＞0，记函数f(x)=a·b，已知f(x)的最小正周期为π.
(1)求ω；
(2)当0＜x≤时，试求f(x)的值域.
18．(本小题满分12分)
对5副不同的手套进行不放回抽取，甲先任取一只，乙再任取一只，然后甲又任取一只，最后乙再任取一只.
(1)求下列事件的概率：
①A：甲正好取得两只配对手套；
②B：乙正好取得两只配对手套；
(2)A与B是否独立？请证明你的结论.
19.(本小题满分12分)
如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.
(1)PA与BD是否相互垂直，请证明你的结论；
(2)求二面角P-BD-C的大小；
(3)求证：平面PAD⊥平面PAB.
20.(本小题满分12分)
设命题p：函数f(x)=lg(ax2-x+a)的定义域为R；命题q：不等式＜1+ax对一切正实数均成立.如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围.
21.(本小题满分12分)
过抛物线C：y=x2上两点M、N的直线l交y轴于点P(0，b).
(1)若∠MON是钝角(O为坐标原点)，求实数b的取值范围；
(2)若b=2，曲线C在点M、N处的切线的交点为Q.证明：点Q必在一条定直线上运动.
22.(本小题满分14分)
设二次函数f(x)=x2+x，当x∈[n，n+1](n∈N*)时，f(x)的所有整数值的个数为g(n).
(1)求g(n)的表达式；
(2)设an=(n∈N*)，Sn=a1-a2+a3-a4+…+(-1)n-1an，求Sn；
(3)设bn=，Tn=b1+b2+…+bn.若Tn＜l(l∈Z)，求l的最小值.
一、选择题
1.C 4×4-4=12.
2.A ∵3F=2E，5V=2E，V+F-2=E，
∴，E=30.
3.B
4.A 当B= 时也成立，此时a=0.
5.D f′(x)=3ax2-6x,f(-1)=3a+6=4,
a=.
6.B
7.B =
=1，.
8.D 由题知，当即x=时，y=，
即(，)在圆x2+y2=k2上.
9.B =0.7.
10.A (1)错，排除B、C，(4)错，排除D.
11.C C.
12.D f(-2)=-40+a，f(0)=a，f(2)=-8+a.
二、填空题
13.直线x=1 ∵f(x+1)=f(-x+1)，
∴f(x)关于直线x=1对称.
14.(0，
15.2 |c|=|2a+2b|=2|a+b|=2.
16. .
三、解答题
17.解：(1)f(x)=sinωxcosωx+cos2ωx 2分
=
=. 4分
∵ω＞0，∴T=π=.∴ω=1. 6分
(2)由(1)，得f(x)=sin(2，
∵0＜x≤，∴＜2x+≤. 9分
∴f(x)∈[1，]. 12分
18.解：(1)①P(A)=. 4分
②P(B)=. 8分
(2)P(AB)=，P(A)P(B)=.
∴P(A)P(B)≠P(AB)，故A与B是不独立的. 12分
19.(1)证明：PA与BD相互垂直.证明如下：
取BC的中点O，连结AO，交BD于点E，连结PO.
∵PB=PC，∴PO⊥BC.
又∵平面PBC⊥平面ABCD，
平面PBC∩平面ABCD=BC，
∴PO⊥平面ABCD.
在梯形ABCD中，可得Rt△ABO≌Rt△BCD，
∴∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90°，即AO⊥BD.
∴PA⊥BD. 4分
(2)解：连结PE，由PO⊥平面ABCD，AO⊥BD，可得PE⊥BD，
∴∠PEO为二面角P—BD—C的平面角.
设AB=BC=PB=PC=2CD=2a，则在Rt△PEO中，PO=a，OE=PEO=.
∴二面角P—BD—C为arctan. 8分
(3)解：取PB的中点N，连结CN，由题意知：平面PBC⊥平面PAB，则同“(1)”可得CN⊥平面PAB.
取PA的中点M，连结DM、MN，
则由MN∥AB∥DC，MN=AB=DC，得四边形MNCD为平行四边形.
∴CN∥DM.
∴DM⊥平面PAB.
∴平面PAD⊥平面PAB. 12分
20.解：命题p为真命题函数f(x)=lg(ax2-x+a)的定义域为R对任意数x均成立 2分
a=0时，-x＞0解集为R；
或者 4分
a＞2.
命题p为真命题a＞2. 5分
命题q为真命题对一切正实数均成立
a＞对一切正实数x均成立. 7分
由于x＞0，∴＞1.∴＞2.
∴＜1. 8分
∴命题q为真命题a≥1. 11分
根据题意知，命题p与q有且只有一个是真命题，当命题p为真命题且命题q为假命题时a不存在；
当命题p为假命题且命题q为真命题时a的取值范围[1，2].
综上，命题p或q为真命题，命题p且q为假命题时，实数a的取值范围是[1，2].
12分
21.解：(1)设点M、N的坐标分别为(x1,x12)，(x2，x22)(x1≠x2)，
则=(x1,x12)，=(x2，x22).
由题意可设直线l方程为y=kx+b，
由消去y，得x2-kx-b=0，
∴ 3分
∵∠MON是钝角，
∴cosMON=，
且cosMON≠-1. 4分
由=x1x2++x12x22=-b+b2＜0，
得0＜b＜1.
此时O、M、N三点不共线，cosMON=-1不成立.
∴b的取值范围是(0，1). 6分
(2)当b=2时，由(1)知
∵函数y=x2的导数y′=2x， 7分
抛物线在M(x1,x12)，N(x2，x22)两点处切线的斜率分别为，
8分
∴在点M、N处的切线方程分别为
lM∶y-x12=2x1(x-x1)，
lN∶y-x22=2x2(x-x2). 10分
由
解得交点Q的坐标(x，y)满足
即 11分
∴Q点在定直线y=-2上运动. 12分
22.解：(1)当x∈[n,n+1](n∈)时，函数f(x)=x2+x的值随x的增大而增大，则f(x)的值为[n2+n,n2+3n+2](n∈).
∴g(n)=2n+3(n∈). 3分
(2).
①当n为偶数时，
=-[3+7+…+(2n-1)]=-； 5分
②当n为奇数时，
==-. 7分
∴. 8分
(3)由，得. ① 9分
①×，得. ②
①-②，得
=, 12分
∴=.
则由=＜l，l∈Z
可得l的最小值是7. 14分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本12
本试卷分第I卷（选择题 共60分）和第Ⅱ卷（非选择题 共90分），考试时间120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设I为全集，M、N、P都是它的子集，则图中阴影部分表示的集合是
A.M∩（N∪P） B.M∩［（IN）∩P］
C.［（IM）∩（IN）］∩P D.（M∩N）∪（M∩P）
2.奇函数y=f（x）（x≠0），当x∈（0，+∞）时，f（x）=x－1，则函数f（x－1）的图象为
3.设O、A、B、C为平面上四个点，=a，=b，=c，且a+b+c=0，a，b，c两两数量积都为－1，则｜a｜+｜b｜+｜c｜等于
A.2 B.2 C.3 D.3
4.下列函数中值域是（0，+∞）的函数是
A.y= B.y=（）1－x
C.y= D.y=
5.三个数成等差数列，其公差为d，如果最小数的2倍，最大数加7，则三个数成等比数列，且它们的积为1000，此时d为
A.8 B.8或－15
C.±8 D.±15
6.设a>b>c，且，则n的最大值为
A.2 B.3 C.4 D.5
7.已知0＜θ＜，则下列各式中正确的是
A.sinθ＜cosθ＜cotθ B.cosθ＜cotθ＜sinθ
C.cotθ＜sinθ＜cosθ D.cosθ＜sinθ＜cotθ
8.如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不通过
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
9.有如下一些说法，其中正确的是
①若直线a∥b，b在面α内，则 a∥α；②若直线a∥α，b在面α内， 则 a∥b；
③若直线a∥b，a∥α， 则 b∥α；④若直线a∥α，b∥α， 则 a∥b.
A.①④ B.①③ C.② D.均不正确
10.甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲答及格的概率为，乙答及格的概率为，丙答及格的概率为，三人各答一次，则三人中只有一人答及格的概率为
A. B.
C. D.以上都不对
11.若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小
值为
A.1 B. C.2 D.2
12.已知曲线S:y=3x－x3及点P（2，2），则过点P可向S引切线的条数为
A.0 B.1 C.2 D.3
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）
13.已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的半焦距为c，若b2－4ac＜0，则它的离心率的取值范围是 .
14.地球北纬45°圈上有两点A、B，点A在东经130°处，点B在西经140°处，若地球半径为R，则A、B两点在纬度圈上的劣弧长与A、B两点的球面距离之比是 .
15.已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则a= ，b= .
16.有下列命题：
1 G=（G≠0）是a，G，b成等比数列的充分非必要条件；②若角α，β满足
cosαcosβ=1，则sin（α+β）=0;③若不等式|x－4|+｜x－3|其中错误命题的序号是 .（把你认为错误的命题的序号都填上）
三、解答题（本大题共6小题，共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
已知等差数列｛an｝的首项a1=1，公差d>0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列｛bn｝的第二、三、四项.
（1）求数列｛an｝与｛bn｝的通项公式；
（2）设数列｛cn｝对任意自然数n均有=an+1成立，求c1+c2+c3+…+c2003的值.
18.（本小题满分12分）
如图，已知：PD⊥平面ABCD，AD⊥DC，AD∥BC，PD∶DC∶BC=1∶1∶.
（1）求PB与平面PDC所成角的大小；
（2）求二面角D—PB—C的正切值.
19.（本小题满分12分）
在△OAB中，，AD与BC交于点M，设=a，=b，
（1）用a，b表示;
（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设=p，=q，求证：=1.
20.（本小题满分12分）
某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知该厂生产这种仪器，次品率p与日产量x（件）之间大体满足关系：.已知每生产一件合格的仪器可盈利A元，但每生产一件次品将亏损元，厂方希望定出适当的日产量.
（1）试判断：当日产量（件）超过94件时，生产这种仪器能否赢利？并说明理由；
（2）当日产量x件不超过94件时，试将生产这种仪器每天的赢利额T（元）表示成日产量x（件）的函数；
（3）为了获得最大利润，日产量x件应为多少件？
21.（本小题满分12分）
已知双曲线C:=1（a＞0，b＞0）的一条准线方程为x=，一个顶点到一条渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）动点P到双曲线C的左顶点A和右焦点F的距离之和为常数（大于|AF|），且cosAPF的最小值为－，求动点P的轨迹方程.
22.（本小题满分14分）
已知函数f(x)满足对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1,且f（－2）=－2.
（1）求f（1）的值;
（2）证明:对一切大于1的正整数t，恒有f（t）>t;
（3）试求满足f（t）=t的整数的个数，并说明理由.
参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.B
2.解析：用图象平移或直接求出f（x－1）的解析式即得.
答案：D
3.解析：利用a+b=－c平方得.
答案：C
4.B 5.B
6.解析：用基本不等式（a＞0，b＞0）变形得.
答案：C
7.解析：由tanθ=＞sinθ得.
答案：A
8.解析：利用AC<0，BC<0研究横纵截距.
答案：C
9.D 10.C 11.D
12.解析：设S的切线方程，令切线过点P可求得.
答案：D
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.（1，2+） 14.3∶4 15.4，－11 16.③
三、解答题（17，18，19，20，21题每题12分，22题14分，共74分）
17.解：（1）由题意得（a1+d）（a1+13d）=（a1+4d）2（d＞0），
解得d=2，∴an=2n－1.可得bn=3n－1 5分
（2）当n=1时，c1=3;当n≥2时，由=an+1－an，得cn=2·3n－1，
故cn=9分
故c1+c2+c3+…+c2003=3+2×3+2×32+…+2×32002=32003. 12分
18.解：（1）由PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，
得PD⊥BC.
由AD⊥DC，AD∥BC，得BC⊥DC.
又PD∩DC=D，则BC⊥平面PDC.
所以∠BPC为直线PB与平面PDC所成的角. 3分
令PD=1，则DC=1，BC=，可求出PC=.
由BC⊥平面PDC，PC平面PDC，得BC⊥PC.
在Rt△PBC中，由PC=BC，得∠BPC=45°，
即直线PB与平面PDC所成的角为45°. 5分
（2）如图，取PC中点E，连DE，则DE⊥PC.
由BC⊥平面PDC，BC平面PBC，
得平面PDC⊥平面PBC.
则DE⊥平面PBC. 7分
作EF⊥PB于F，连DF，
由三垂线定理，得DF⊥PB.
则∠DFE为二面角D—PB—C的平面角. 9分
在Rt△PDC中，求得DE=.
在Rt△PFE中，求得EF=.
在Rt△DEF中，tanDFE= 11分
即二面角D—PB—C的正切值为. 12分
19.（1）解：设=ma+nb，
则=（m－1）a+nb;=－a+b，
∵点A、M、D共线，∴与共线，
∴，∴m+2n=1. ① 2分
而a+nb，
a+b，
∵C、M、B共线，∴与共线，
∴，∴4m+n=1. ② 4分
联立①②可得m=，n=，∴a+b. 7分
（2）证明：=（－p）a+b，=－pa+qb，
∵与共线，∴.
∴q－pq=－p，即=1. 12分
20.解：（1）当x>94时，p=，故每日生产的合格品约为x件，次品约为x件，合格品共可赢利xA元，次品共亏损x·xA元.
因盈亏相抵，故当日产量超过94件时，不能赢利. 5分
（2）当1≤x≤94时，p=，
每日生产的合格品约为x（1－）件，次品约为件，∴T=x（1－）A－·=［x－］A（1≤x≤94）.
（3）由（1）可知，日产量超过94件时，不能盈利.
当1≤x≤94时，.
∵x≤94，96－x＞0，
∴T≤
当且仅当（96－x）=时，即x=84时，等号成立.故要获得最大利润，日产量应为84件. 12分
21.解：（1）易求得方程为=1. 5分
（2）A、F是定点，由圆锥曲线的定义知，点P的轨迹为椭圆.设其长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c=8，在△PAF中，应用余弦定理研究∠APF的余弦，应用基本不等式可知，cosAPF≥1－，
当且仅当|PA|=|PF|=a时取等号，故a2=25，b2=9，求出椭圆中心的坐标为（1，0），则所求方程为=1. 12分
22.（1）解：令x=y=0，得f（0）=－1.
令x=y=－1，因f（－2）=－2，所以f（－1）=－2.
令x=1，y=－1，得f（0）=f（1）+f（－1），
所以f（1）=1. 4分
（2）证明：令x=1，得f（y+1）－f（y）=y+2，
故当y∈N时，有f（y+1）－f（y）>0.
由f（y+1）>f（y），f（1）=1可知，
对一切正整数y都有f（y）>0.
当y∈N时，f（y+1）=f（y）+y+2=f（y）+1+y+1>y+1.
故对一切大于1的正整数，恒有f（t）>t. 9分
（3）解：由f（y+1）－f（y）=y+2及（1）可知f（－3）=－1，f（－4）=1.
下面证明t≤－4时，f（t）＞t.
∵t≤－4，∴－（t+2）≥2＞0.
∵f（t）－f（t+1）=－（t+2）＞0，
∴f（－5）－f（－4）＞0，
同理可得f（－6）－f（－5）＞0，f（t+1）－f（t+2）＞0，f（t）－f（t+1）＞0.
将各不等式相加得f（t）＞f（－4）=1＞－4.
∵t≤－4，∴f（t）＞t.
综上所述，满足条件的整数只有两个：1和－2. 14分
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—1—2006年高考理科数学摸拟试题解析样本4
本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一.选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)
1．条件，条件，则是的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．设是集合A到集合B的映射，如果B={1，2}，则A∩B一定是 （ ）
A． B．或{1} C．{1} D．或{2}
3．过点A（－1，2）作直线，若直线在两条坐标轴上的截距相等，则满足条件的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4．的值为 （ ）
A．4 B．－4 C．2 D．－2
5．已知直线、与平面，给出下列四个命题
①若∥，b ，则∥; ②若∥，，则∥ ;
③若∥，∥，则∥; ④⊥，∥，则⊥.
其中正确的命题（ ）
A．①和② B．①和④ C．③和④ D．只有④
6.函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则 的值是 （ ）
A．0 B．1 C．－1 D．
7．(理)已知复数的辐角主值是,则的辐角主值是（ ）
A． B．
C． D．
（文）定义在R上的函数的值域为［a,b］,则的值域为（ ）
A．［a,b］ B．［a+1,b+1］
C．［a－1,b－1］ D．无法确定
8．（理）现有一块长轴长为10分米，短轴长为8分米的椭圆形玻璃镜子，欲从此镜中划出一块面积尽可能大的矩形镜子，则可划出的矩形镜子的最大面积为 （ ）
A、10平方分米 B、20平方分米 C、40平方分米 D、平方分米
（文）函数的图象 （ ）
A. 关于点(2,3)对称 B. 关于点(2,3)对称
C. 关于直线x= 2对称 D. 关于直线y= 3对称
9．若双曲线的左支上一点P（a，b）到直线的距离为+b的值（ ）
A． B． C．－2 D．2
10．已知，则向量在向量上的投影为（ ）
A． B．3 C．4 D．5
11．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）=1.06（0.5·[m]+1）（元）决定，其中m>0,[m]是大于或等于m的最小整数，（如[3]=3，[3.8]=4，[3.1]=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的电话费为 （ ）
A． 3.71元 B．3.97元 C．4.24元 D． 4.77元
12．（理）在上，函数与在同一点取得相同得最小值，那么在上的最大值是
A． B．4 C．8 D．
(文)显示屏有一排7个小孔，每个小孔可显示0或1，若每次显示其中3个孔，但相邻的两孔不能同时显示，则该显示屏能显示信号的种数共有 （ ）
A．10 B．48 C．60 D．80
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二.填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上)
13．已知两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的______条件，如果A是B的充
分必要条件，那么的__________条件。
14．关于x的方程有三个不相等的实数根，则实数a的值是 .
15．一块用栅栏围成的长方形土地的长和宽分别为52米和24米，现欲将这块土地内部分割成一些全等的正方形试验田，要求这块土地全部被划分且分割的正方形的边与这块土地的边界平行，现另有2002米栅栏，则最多可将这块土地分割成 块。
ξ 0 1 2
P
16．设随机变量ξ的概率分布为：
则ξ的数学期望Eξ的最大值是____
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤)
17．（本小题满分12分）
设锐角ABC中，.
(1)求A的大小；
(2)求取最大值时，B的大小；
18．（本小题满分12分）
(理)同时抛掷15枚均匀的硬币一次
(1) 试求至多有1枚正面向上的概率；
(2) 试问出现正面向上为奇数枚的概率与出现正面向上为偶数枚的概率是否相等 请说明理由.
（文）已知： 、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）
（Ⅰ）若||，且//，求的坐标；
（Ⅱ）若||=且与垂直，求与的夹角θ.
19．（本小题满分12分）
如图三棱锥P—ABC中，△ABC是正三角形，
∠PCA=90°，D为PA的中点，二面角P—AC
—B为120°，PC = 2，AB.
（Ⅰ）求证：AC⊥BD；
（Ⅱ）求BD与底面ABC所成角的正弦值.
20．（本小题满分12分）
（理）设函数是定义在［－1，0）∪（0，1］上的奇函数，当x∈［－1，0）时，（a∈R).
（1）当x∈(0，1］时，求的解析式；
（2）若a＞－1，试判断在（0，1］上的单调性，并证明你的结论；
（3）是否存在a，使得当x∈（0，1］时，f(x)有最大值－6.
（文）已知.
（1）求之值；
（2）x为何值时有最小值，并求其最小值.
21． （本小题满分12分）
一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B），车上有一节邮政车厢，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，试求：
（1）列车从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋数是多少个？
（2）第几站的邮袋数最多？最多是多少？
22．（本小题满分14分）
已知圆：和圆：,现在构造一系列的圆,使圆同时与和圆都相切,并都与OX轴相切.回答：
(1)求圆的半径;
(2)证明：两个相邻圆和在切点间的公切线长为;
(3)求和.
参考答案
一、选择题(每小题5分，满分60分)
1．A .由 条件，条件，则：，：，从而仅有 .
2．B . 由是集合A到集合B的映射，如果B{1，2}，则A=或A=或A=或A=或A=或A=或A=或A=或A=，所以A∩B＝或{1}
3．B . 过点A（－1，2）作直线在两条坐标轴上的截距相等，如图：
4．D. =
==
5．D.①错，由a∥b，b α，没有条件a α，就不能保证a∥α成立; ②错，由a∥α，bα，推不出a∥b ;③错，由a∥α，b∥α，推不出a∥b;④正确
6．A. 由函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，
可得周期T=,从而有则＝
7．（理）C .如图，复数与对应的向量垂直，所以的辐角主值是。
（文）A .当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域。
8．(理)C．如图可设A的坐标为，
则有＝（平方分米）
（文）Ａ. ＝3－
9．A．由双曲线的左支上一点P（a，b）到直线（渐近线）的距离为且
10．A．由得：，则向量在向量上的投影为。
11．C．由f（m）=1.06（0.5·[m]+1）（元）得：
f（5.5）=1.06（0.5·[5.5]+1）=1.06（0.56+1）=4.24（元）
12．（理）B. 可知在x=1时有最小值3，从而函数在x=1时有最小值3，所以p＝－2，q＝4，即。那么在上的最大值是。
（文）Ｄ.先将要显示的3个孔插入到不要显示的4个之间或两端，有中插入方法；然后再确定每个小孔可显示的0或1，有种显示方法。因此能显示信号的种数共有80。
二、填空题(每小题4分,满分16分)
13．必要条件,充要条件.
14．．如图所示，要使关于x的方程有三个不相等的实数根，则与的图像必有三个不同的交点，所以的图像经过(1,0)或者的图像与的图像在[1,3]上相切。从而可得实数.
15．设长分割成x列，宽分割成y行，共分割成z块，
则
z=x·y
当x=39，y=18时，
16．. 由非负性，Eξ＝
三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．解：(1)∵2sin2A-cos2A=2 ∴cos2A=- ∴A= …………(6分)
(2)y=2sin2B+sin(2B+)=1+sin(2B-) …………(10分)
∵0<2B< ∴当2B-=即B=时，=2 …………(12分)
18．（理）解：（1）记“抛掷1枚硬币1次出现正面向上”为事件A，P（A）=，抛掷15枚硬币1次相当于作15次独立重复试验，根据几次独立重复试验中事件A发生K次的概率公式，记至多有一枚正面向上的概率为P1
则P1= P15（0）+ P15（1）=+= ……………（6分）
（2）记正面向上为奇数枚的概率为P2，则有
P2= P15（1）+ P15（3）+…+ P15（15）=++…+
=+…+)– ………………………（10分）
又“出现正面向上为奇数枚”的事件与“出现正面向上为偶数枚” 的事件是对立事件，记“出现正面向上为偶数枚” 的事件的概率为P3
P3=1–= 相等 ………………………（12分）
（文）（Ⅰ）设
……2分
由 ∴ 　或
∴ ……5分
（Ⅱ） ……7分
……（※）
代入（※）中,
……10分
……12分
19． 解（Ⅰ）取AC中点E，连DE、BE，则DE∥PC，PC⊥AC∴DE⊥AC ……2分
又△ABC是正三角形 ∴BE⊥AC ∴AC⊥平面DEB
又BD平面BED
∴AC⊥BD ……5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）中知DE⊥AC，BE⊥AC
∴∠DEB是二面角P—AC—B的平面角 ∴∠DEB=120°
又AB= 其中线 BE=
∵AC⊥平面BDE，AC平面ABC
∴平面ABC⊥平面BDE且交线为BE， ……7分
过D作平面ABC的垂线DF，垂足F必在直线BE上 又∠DEB=120°，
∴设F在BE延长线上，则∠DBE即为BD与底面ABC所成的角 ……9分
又△DEB中 ∴BD=
由正弦定理： ∴
即BD与底面ABC所成的角的正弦值为 ……12分
20．（本小题满分12分）
（理）（1）解：设x∈(0，1］，则－x∈［－1，0)，f(－x)=－2ax+，?
∵f(x)是奇函数.?
∴f(x)=2ax－，x∈(0，1］. ……3分?
（2）证明：∵f′(x)=2a+， ……5分?
∵a>－1，x∈(0，1］，>1，∴a+>0.?
即f′(x)>0. ……6分?
∴f(x)在（0，1］上是单调递增函数. ……7分?
（3）解：当a>－1时，f(x)在（0，1］上单调递增.?
f(x)max=f(1)=－6，a=－(不合题意，舍之）， ……9分?
当a≤－1时，f′(x)=0，x=.?
如下表：fmax(x)=f()=－6，解出a=－2.
x=∈(0，1) ……10分?
（－∞，） （，+∞）
+ 0 －
最大值
……11分?
∴存在a=－2，使f(x)在（0，1］上有最大值－6. ……12分
（文）（1）由题设知 ……3分
由②得或 ……4分
又≠1，故=2 代入①得=2 ……5分
∴=2，=2 ……6分
（2） ……8分
……10分
当 ……12分
21．解：设列车从各站出发时邮政车厢内的邮袋数构成一个数列
（1）由题意得：
…2分
在第k站出发时，前面放上的邮袋共：个 ………4分
而从第二站起，每站放下的邮袋共：1+2+3+…+（k－1）个 …………6分
故
即列车从第k站出发时，邮政车厢内共有邮袋数个………8分
（2）
当n为偶数时，时，最大值为
当n为奇数时，时，最大值为.………10分
所以，当n为偶数时，第站的邮袋数最多，最多是个；
当n为奇数时，第站的邮袋数最多，最多是个………12分
22．（本小题满分14分）
解：(1)在直角梯形中,
AC=1－,=1＋,=1＋,=＋.=－.………2分
∴有 ，
，=
∴
∴.即. ………4分
由此可得.
∴{}成等差数列, . ………6分
∴,∴. ………8分
(2)公切线长为. ………11分
(3) ＝.
∴=2. ………14分
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共3页 第1页2006年高考理科数学摸拟试题解析样本22
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分。
第Ⅰ卷 (选择题共 60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.函数y=12sin()-5sin()的最大值是
A.5 B.12 C.13 D.15
2.已知函数y=logax的图象与其反函数的图象有交点，且交点的横坐标为x0，则有
A.a＞1且x0＞1 B.0＜a＜1且0＜x0＜1
C.a＞1且0＜x0＜1 D.0＜a＜1且x0＞1或a＞1且x0＞1
3.已知a=(3，2)，b=(-6，1)，而(λa+b)⊥(a-λb)，则λ等于
A.1或2 B.2或 C.2 D.以上都不对
4.将函数y=3sin()的图象按向量a=(，-1)平移后所得图象的解析式是
A. y=3sin()-1 B. y=3sin()+1
C.y=3sin2x+1 D. y=3sin()-1
5.已知A={x|x=5n+1，n∈N}，B={x|x=5n+2，n∈N}，C={x|x=5n+3，n∈N}，D={x|x=5n+4，n∈N}，若α∈A，β∈B，θ∈C，γ∈D，则
A.α2∈A，β2∈D，θ2∈D，γ2∈A B.α2∈A，β2∈B，θ2∈C，γ2∈D
C.α2∈A，β2∈C，θ2∈B，γ2∈A D.α2∈B，β2∈D，θ2∈D，γ2∈B
6.设甲、已两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数的图象为
7.设P={1，2，3，4，5}，Q={3，4，5，6，7，8}，定义P※Q={(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P※Q中元素的个数为
A.4 B.5 C.30 D.120
8.设函数若f(x0)＞1，则x0的取值范围是
A.(0，10) B.(-1，+∞)
C.(-∞，-2)∪(-1，0) D.(-∞，0)∪(10，+∞)
9.将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2，0)与点(-2，4)重合，若点(5，8)与点(m，n)重合，则m+n的值为
A.4 B.-4 C.13 D.-13
10.设A、B两点的坐标分别为(-1，0)、(1，0)，条件甲：；条件乙：点C的坐标是方程x2+y2=1的解.则甲是乙的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不是充分条件也不是必要条件
11.已知映射f：A→B，其中B=R，对应法则：f：x→y=log0.5(2-x)-，对于实数k∈B，在集合A中不存在原象，则k的取值范围是
A.k＞0 B.k＜1 C.k＜0 D.以上都不对
12.如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒内，它从原点运动到(0，1)，而后它接着按图所示在x轴、y轴的平行方向来回运动(即(0，0)→(0，1)→(1，1)→(1，O)→(2，O)→…)，且每秒移动一个单位长度，那么2004秒时，这个粒子所处位置为
A.(20，44) B.(21，44)
C.(44，20) D.(44，21)
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本22
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
题 号 二 三 总分
17 18 19 20 21 22
分 数
得分 评卷人
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.=_____________.
14.某气象站天气预报准确率是80%，5次预报中至少有4次准确的概率是______(精确到0.01).
15.(ax+1)5(x+1)2展开式中x2的系数为21，则a=___________.
16.下列四个命题：
①分别和两条异面直线相交的两条直线一定是异面直线；
②一个平面内任意一点到另一个平面之距离均相等，那么这两个平面平行；
③一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的平面角相等或互补；
④过两异面直线外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交.
其中正确命题的序号是____________.
得分 评卷人
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
非等边三角形ABC的外接圆半径为2，最长的边BC=2，求sinB+sinC的取值范围.
18.(本小题满分12分)
如图，将长AA′=3，宽AA1=3的矩形沿长的三等分线处折叠成一个三棱柱，如图所示：
(1)求平面APQ与底面ABC所成二面角的正切值；
(2)求三棱锥A1—APQ的体积.
19.(本小题满分12分)
数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1，数列{bn}满足b1=2，bn+1=an+bn.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}的前n项和为Tn，求.
20.(本小题满分12分)
已知抛物线y2=2px(p＞0)上有两点A、B关于点M(2，2)对称.
(1)求p的取值范围；
(2)当p=2时，AB的垂直平分线交该抛物线于C、D两点，问平面内是否存在一点N到A、B、C、D四点的距离相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
21.(本小题满分12分)
某地为防止水土流失，植树造林、绿化荒沙地，每年比上一年多植相同亩数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同亩数的土地沙化，具体情况为下表所示：
1998年 1999年 2000年
新植亩数 1000 1400 1800
沙地亩数 25200 24000 22400
而一旦植完，则不会被沙化.
问：(1)每年沙化的亩数为多少？
(2)到哪一年可绿化完全部荒沙地？
22.(本小题满分14分)
设f(x)是定义域在[－1,1]上的奇函数，且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.
(1)求证：f(x)在[－1,1]上是减函数；
(2)如果f(x－c)、f(x－c2)的定义域的交集为空集，求实数c的取值范围；
(3)证明：若－1≤c≤2，则f(x－c)、f(x－c2)存在公共的定义域，并求这个公共的定义域.
参考答案
一、选择题
1.C 函数解析式可化为y=12sin(2x-)-5cos(2x-)=13cos(2x-+)，最大值为13.
2.B 横坐标x0必为正.
3.B
4.A 按向量a平移即向左移个单位，再向下移1个单位.
5.A 用特值法易检验得A.
6.D 注意本题研究的是路程.
7.C
8.D 分类讨论发现在两个范围中都存在x0使f(x0)＞1.
9.C 折痕为直线y=x+2，点(m，n)为点(5，8)关于直线y=x+2的对称点.
10.C 点C的轨迹是单位圆.
11.A 由题意，k不是函数y=log0.5(2-x)-值域中的数，而函数y=log0.5(2-x)-在定义域(-∞，1]中为单调增函数，易得其值域为(-∞，0].
12.A 研究粒子到达点(0，n)时所用秒数，当n为奇数时，恰好用n2秒；当n为偶数时，用时为(n+1)2-1秒.
二、填空题
13. 分子有理化后求极限.
14.0.74 两种情况下的概率之和.
15.1或-2
16.② 在空间③是不对的.
三、解答题
17.解：由正弦定理=2R.得sinA=.
∵BC是最长边，且三角形为非等边三角形，
∴A=. 4分
sinB+sinC=sinB+sin(-B)
=sinB+cosB
=sin(B+). 8分
又0＜B＜，∴＜B+＜. 10分
∴＜sin(B+)≤1.
故sinB+sinC的取值范围为(，1). 12分
18.解：(1)依题意知三棱柱ABC—A1B1C1是正三棱柱，且侧棱AA1=3.底面边长为，BP=1，CQ=2，
延长QP交BC的延长线于点E，连结AE.
在△ACE中，AC=，CE=2BC=2，∠ACE=60°于是AE=3，
则AE⊥AC于A，QA⊥AE.
所以∠QAC为平面APQ与平面ABC所成的锐二面角的平面角. 4分
又AC=，
于是tanQAC=.
即面APQ与面ABC所成锐二面角的正切值为. 6分
(2)连A1P，△A1AP的面积为， 8分
点Q到平面A1AP的距离为，
. 12分
19.解：(1)当n=1时，a1=2a1-1，∴a1=1， 2分
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-1-2an-1+1，
∴an=2an-1. 4分
于是数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列.
∴an=2n-1. 6分
(2)∵bn+1=an+bn，∴bn+1-bn=2n-1.
从而bn-bn-1=2n-2，
bn-1-bn-2=2n-3,
……
b2-b1=1，
上式相加，得bn-b1=1+2+22+…+2n-2
=2n-1-1，又b1=2，
∴bn=2n-1+1. 8分
Tn=b1+b2+…+bn=(20+21+…+2n-1)+n.
=2n-1+n. 10分
∴. 12分
20.解：(1)设A(x1，y1)、B(x2，y2)是关于点M(2，2)
对称的抛物线上两点.则 2分
得+=2p(x1-x2)=8p，
(y1+y2)2-2y1y2=8p，
得y1y2=8-4p，
从而y1、y2是方程y2-4y+8-4p=0的两个不等实根. 4分
∴△=16-4(8-4p)=16p-16＞0.
∴p＞1. 6分
(2)抛物线方程为y2=4x，且A、B两点在其抛物线上，则
∴-=(y1+y2)(y1-y2)=4(y1-y2).
又-=4(x1-x2)，∴.
得AB所在直线斜率为kAB=1，
从而CD所在直线斜率为kCD=-1.
直线AB的方程为y=x，
直线CD的方程为y=4-x. 8分
由解得A(0，0)，B(4，4).
由消x得y2+4y-16=0.
设C(x3，y3)、D(x4，y4)，
∴y3+y4=-4，y3y4=-16，从而x3+x4=12.
∴CD的中点P的坐标为(6，-2)，且|AP|2=40， 10分
(y3-y4)2=(y3+y4)2-4y3y4=80.
∴|CD|2=2(y3-y4)2=160，
而|PC|2=()2=40.
∴|AP|2=|PC|2=|PD|2=|PB|2.
故存在这样的点N，其坐标为(6，-2). 12分
21.解：(1)由表知,每年比上一年多造林400亩.
因为1999年新植1400亩，故当年沙地应降为25200-1400=23800亩.但当年实际沙地面积为24000亩，所以1999年沙化土地为200亩. 4分
同理2000年沙化土地为200亩.
所以每年沙化的土地面积为200亩. 6分
(2)由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实造面积少200亩.
设2000年及其以后各年的造林亩数分别为a1，a2，a3，…，则n年造林面积总和为
. 8分
由题意得Sn≥24000+200n，化简得
n2+7n-120≥0，
解得n≥8. 10分
故8年，即到2007年可绿化完全部沙地. 12分
22.(1)证明：∵奇函数f(x)的图象上任意两点连线的斜率均为负，
∴对于任意x1、x2∈[-1，1]且x1≠x2，有
. 3分
从而x1-x2与f(x1)-f(x2)异号，
∴f(x)在[-1，1]上是减函数. 5分
(2)解：f(x-c)的定义域为[c-1，c+1]，
f(x-c2)的定义域为[c2-1，c2+1]. 7分
∵上述两个定义域的交集为空集，
则有c2-1＞c+1或c2+1＜c-1. 9分
解得c＞2或c＜-1.
故c的取值范围为c＞2或c＜-1. 10分
(3)证明：∵c2+1＞c-1恒成立，
由(2)知，当-1≤c≤2时，c2-1≤c+1，
当1≤c≤2或-1≤c≤0时，
c2+1≥c+1且c2-1≥c-1，
此时的交集为[c2-1，c+1]. 12分
当0＜c＜1，c2+1＜c+1且c2-1＜c-1，
此时的交集为[c-1，c2+1].
故-1≤c≤2时，存在公共定义域，且
当-1≤c≤0或1≤c≤2时，公共定义域为[c2-1，c+1]；
当0＜c＜1时，公共定义域为[c-1，c2+1]. 14分
C
B
D
A
高考仿真试题（二）第7页2006年高考理科数学摸拟试题解析样本26
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题共 60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.准线方程为x=3的抛物线的标准方程为
A．y2=－6x B.y2=－12x
C.y2=6x D.y2=12x
2.函数y=sin2x是
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为2π的奇函数 D.最小正周期为2π的偶函数
3.函数y=x2＋1(x≤0)的反函数是
A.y=－(x≥1) B.y=－(x≥－1)
C.y=(x≥1) D.y=－(x≥1)
4.已知向量a=(2,1)，b=(x,－2)，且a＋b与2a－b平行，则x等于
A.－6 B.6
C.－4 D.4
5.a=－1是直线ax＋(2a－1)y＋1=0和直线3x＋ay＋3=0垂直的
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6.已知直线a、b与平面a，给出下列四个命题：
①若a∥b，bα，则a∥α ②若a∥α，bα，则a∥b ③若a∥α，b∥α，则a∥b ④a⊥α，b∥α，则a⊥b.
其中正确命题的个数是
A.1 B.2
C.3 D.4
7.函数y=sinx＋cosx,x∈R的单调递增区间是
A.[](k∈Z) B.[](k∈Z)
C.[](k∈Z) D.[](k∈Z)
8.设集合，则M∩N是
A. B.有限集
C.M D.N
9.已知函数f(x)满足2f(x)－f(),则f(x)的最小值是
A. B.2
C. D.
10.若双曲线x2－y2=1的左支上一点P(a,b)的直线y=x的距离为，则a＋b的值为
A.－ B.
C.－2 D.2
11.若一个四面体由长度为1、2、3的三种棱构成，则这样的四面体的个数是
A.2 B.4
C.6 D.8
12.某债券市场常年发行三种债券，A种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B种贴水债券面值为1000元，但买入价为960元，一年到期本息和为1000元；C种面值为1000元，半年到期本息和为1020元.设这三种债券的年收益率分别为a、b、c，则a、b、c的大小关系是
A.a=c且a＜b B.a＜b＜c
C.a＜c＜b D.c＜a＜b
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本26
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
题号 二 三 总分
17 18 19 20 21 22
分数
得分 评卷人
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.已知f(x＋1)=3x＋4，则f－1(x＋1)=___________.
14.在一个棱长为cm的正四面体内有一点P，它到三个面的距离分别是1cm，2cm，3cm，则它到第四个面的距离为___________cm.
15.设等比数列｛qn－1｝(q＞1)的前n项和为Sn，前n＋1项的和为Sn＋1，则=__________________.
16.抛物线y=x2和圆x2＋(y－3)2=1上最近两点的距离是_____________.
得分 评卷人
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
如图，用A、B、C、D四类不同的元件连接成系统N，当元件A正常工作且元件B、C都正常工作，或当元件A正常工作且元件D正常工作时，系统N正常工作.已知元件A、B、C、D正常工作的概率依次为.
(1)求元件A不正常工作的概率；
(2)求元件A、B、C都正常工作的概率；
(3)求系统N正常工作的概率.
18.(本小题满分12分)
设a、b是两个不共线的非零向量(t∈R).
(1)若a与b起点相同，t为何值时，a、tb、(a＋b)三向量的终点在一直线上？
(2)若|a|=|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小？
19.(本小题满分12分)
已知数列｛an｝中，a1=1,a2=2,数列｛an·an＋1｝是公比为q(q＞0)的等比数列.
(1)求使an·an＋1＋an＋1·an＋2＞an＋2·an＋3(n∈N*)成立的q的取值范围；
(2)若bn=a2n－1＋a2n(n∈N*)，求bn的表达方式；
(3)若Sn=b1＋b2＋…＋bn，求Sn，并求.
20.(本小题满分12分)
如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，PA=PB，BC=PD.
(1)证明：CD与平面PAD不重直；
(2)证明：平面PAB⊥平面ABCD；
(3)如果CD=AD＋BC，二面角P－BC－A等于60°，求二面角P－CD－A的大小.
21.(本小题满分为12分)
已知函数f(x)=的图象过原点，且关于点(－1,1)成中心对称.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若数列｛an｝(n∈N*)满足：an＞0,a1=1,an＋1=[f()]2，求a2、a3、a4的值，猜想数列｛an｝的通项公式an，并证明你的结论；
(3)若数列｛an｝的前n项和为Sn，判断Sn与2的大小关系，并证明你的结论.
22.(本小题满分14分)
已知双曲线1(a＞0,b＞0)的两准线间的距离为3，右焦点到直线x＋y－1=0的距离为.
(1)求双曲线方程；
(2)设直线y=kx＋m(k≠0,m≠0)，与双曲线交于不同的两点C、D，若A的坐标为(0,－b)，且|AC|=|AD|，求k的取值范围.
仿真试题(三)
一、选择题
1.B 2.A
3.D 注意反函数与原函数的定义域、值域之间的关系即知选D.
4.C
5.A a=0时两直线也垂直，故所给条件非必要.
6.B 只要①④是正确的.
7.B
8.D M=(0，+∞)，N=[1，+∞]，选D.
9.C 以代x，得2f()-f(x)=|x|，与已知的等式联立解得f(x)=，用基本不等式得C.
10.A 由图可知符合题意的点在第二象限，由两式相除得A.
11.B
12.C a=0.04，b≈0.0416，c=0.0404.
二、填空题
13. 先求得f(x)=3x+1，再求得f-1(x)=，再代入x+1得.
14.4 用体积法，整体体积等于各部分体积之和.
15.
16. 用参数法，设抛物线上的点为(t，t2)，研究抛物线上的点与圆心(0，3)的最短距离.
三、填空题
17.解：(1)元件A正常工作的概率P(A)=，
它不正常工作的概率P()=1-P(A) 2分
=. 3分
(2)元件A、B、C都正常工作的概率
P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C) 5分
. 6分
(3)系统N正常工作可分为A、B、C都正常工作和A、D正常但B、C不正常工作两种情况，前者概率为， 7分
后者的概率为
P(A··C·D)+P(A·B··D)+P(A···D)
10分
=. 11分
所以系统N正常工作的概率是. 12分
18.解：(1)由题意可设a-tb=m[a-(a+b)](m∈R)，
化简得(-1)a=(-t)b. 2分
∵a与b不共线，
∴

EMBED Equation.3
∴t=时，a、tb、(a+b)终点在一直线上. 6分
(2)|a-tb|2=(a-tb)2=|a|2+t2|b|-2t|a| |b|cos60°=(1+t2-t)|a|2， 9分
∴t=时，|a-tb|有最小值|a|. 12分
19.解：(1)由题意an·an+1=2qn-1，
故an·an+1+an+1·an+2＞an+2·an+3可化为
2qn-1+2qn＞2qn+1，又q＞0，
∴q2-q-1＜0.∴0＜q＜. 4分
(2)由an·an+1=2qn-1，an-1·an=2qn-2,
∴
∴{an}的奇数项依次成等比数列，∴a2n-1=qn-1；
{an}的偶数项依次成等比数列，∴a2n=2qn-1.
∴bn=3qn-1. 8分
(3)①当q=1时，Sn=3n，，
此时. 10分
②q≠1时，，，
若0＜q＜1，则 ，
若q＞1，则 . 12分
20.(1)证明：若CD⊥平面PAD， 1分
则CD⊥PD， 2分
由已知PC=PD，得∠PCD=∠PDC＜90°，
这与CD⊥PD矛盾，所以CD与平面PAD不垂直. 3分
(2)证明：取AB、CD的中点E、F，连接PE、PF、EF，
由PA=PB，PC=PD，得PE⊥AB，PF⊥CD. 5分
∴EF为直角梯形的中位线.
∴EF⊥CD，又PF∩EF=F.
∴CD⊥平面PEF. 6分
由PE平面PEF，得CD⊥PE，
又AB⊥PE且梯形两腰AB、CD必相交，∴PE⊥平面ABCD. 7分
又PE平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD. 8分
(3)解：由(2)及二面角的定义知∠PFE为二面角P—CD—A的平面角， 9分
作EG⊥BC于G，连PG，由三垂线定理得BC⊥PG，
故∠PGE为二面角P—BC—A的平面角. 10分
即∠PGE=60°，由已知，得EF=(AD+BC)=CD.
又EG=CF=CD，
∴EF=EG，易证得Rt△PEF≌Rt△PEG. 11分
∴∠PEF=∠PGE=60°即为所求. 12分
21.(1)解：∵函数f(x)=的图象过原点，即f(0)=0，∴c=0，∴. 2分
又函数的图象关于点(-1，1)成中心对称，∴b=1.∴.
4分
(2)解：由题意有，即，
即，∴.
∴数列{}是以1为首项，1为公差的等差数列. 6分
∴，即.∴.
∴a2=，a3=，a4=，an=. 8分
(3)证明：当n≥2时，an=. 10分
∴Sn=a1+a2+a3+…+an＜1+(1-)+()+()+…+()=2-＜2.
故Sn＜2. 12分
22.解：(1)设双曲线的右焦点为(c，0)(c＞0)，则. 2分
求得c=2，又=3.∴a2=3，b2=1.
∴所求双曲线方程为. 6分
(2)联立消去y，得(3k2-1)x2+6kmx+(3m2+3)=0， 8分
当3k2-1≠0即k≠±时， ①
△=(6km)2-12(3k2-1)(m2+1)
=12(m2-3k2+1)， ②
令△＞0得m2-3k2+1＞0，
设C(x1，y1)、D(x2，y2)，CD的中点P(x3，y3)，
∵|AC|=|AD|，∴AP⊥CD.
x1+x2=，x3=.
y3=kx3+m=+m=.
则.
由AP⊥CD，得(k≠0，m≠0)，
化简得3k2=4m+1，m=， ③
把③代入②得()2-3k2+1＞0，即
(3k2-1)(3k2-17)＞0， 10分
∴或
∴3k2＞17或3k2＜1.
解得k＞，或k＜-，或＜k＜. ④
又已知k≠0，∴由①、④得k的取值范围为k＜-，或＜k＜0，或0＜k＜，或k＞. 14分
A
B
C
D2006年高考理科数学摸拟试题解析样本1
一、选择题
[分析] 本题主要考查复数的四则运算，以及简单的数值计算技能．
解答本题必须正确用好复数的四则运算法则，既可用复数的代数形式进行演算，也可用三角形式进行演算．
[答案]B
[分析] 本题主要考查三角函数的基础知识和基本三角函数公式的简单应用，以及基本的计算技能．
作为常规解法，可先由已知条件求sin x，推得tan x的值，再应用倍角正切公式求得答案，如解法1；作为灵活解法，可用估值快速求解，如解法2．
(注：也可用下式得解：
而不需求tanx．)

[答案] D
A．（－1，1） B．（－1，+∞）
C．（－∞，－2）∪（0，+∞） D．（－∞，－1）∪（1，+∞）
[分析] 本题主要考查分段函数的概念、指数函数与幂函数的性质、不等式组的求解等基础知识，以及简单的推理计算能力．
根据函数f(x)的分段表达式，画个草图可快速判断，如解法4；也可将不等式化为等价的不等式组求解，如解法1；也可用特殊值排除法求解，如解法2；还可以利用单调性，结合解方程求解，如解法3．
解不等式组①得解不等式组②得综合得的取值范围为(－∞,－1)∪(1，+∞)．
解法2 由排除A和B；由f(0.04)=0.2<1，排除C，得答案D．
解得x=－1；由
解得x=1．
因为f(x)在(－∞，0]上是减函数，在(0，+∞)上是增函数，所以得的取值范围为(－∞，1)∪(1，+∞)．

[答案] D
4．O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足
则P的轨迹一定通过△ABC的
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
[分析] 本题主要考查平面向量的线性运算等基本知识和计算技能．
解法1 为书写方便与直观起见，宜作图表示(如下图)．图中，有
则动点P满足
因此，点P的轨迹一定通过△ABC的内心．得答案为B．

解法2 当λ>0时，
因为A，B，C不共线，
所以AP平分∠BAC，
得点P的轨迹一定通过△ABC的内心．
解法3 考虑特殊情形，取△ABC为等腰直角三角形，即：如图．
这时，△ABC的外心为AC的中点D，垂心为点B．而由题设知点P的轨迹是由点A出发，方向为的射线，不经过点D，也不经过点B，故排除A、D两个选项．其次，由于所以射线不平分BC，即不通过△ABC的重心，排除选项C．从而得选项B为答案．
[答案] B

[分析] 本题主要考查对数函数、指数函数的性质和求反函数的方法，以及基本的计算技能．
根据反函数的概念，求给定函数的反函数，可用解方程的方法，如解法1；作为选择题，还可用特殊值排除法求解，如解法2．
解法1 解方程不等式组
得y>O，因此，所求的反函数为
解法2 因为点(2，ln3)在原函数的图像上，所以点(1n3，2)应在反函数的图像上．因此，由In3>0，可排除选项C、D；由
可排除A，应取B作答．
[答案] B
6．棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为
[分析] 本题主要考查棱柱、棱锥等多面体的基本知识和体积计算，以及基本的空间想象能力．
题设的八面体(记为ABCDEF)如图所示．图中将原正方体略去，以使图线清晰．该八面体的三条轴线AC、BD、EF两两互相垂直，且AC=BD=EF=a，

把这个八面体看作共底(BFDE)的两个四棱锥的组合体，应用棱锥体积计算公式，得所求的八面体的体积为
对于空间想像力比较好的考生，不作图便可由心算得出答案．心算的方法比较多，例如，与上法共通地把八面体看作共底的两个四棱锥，底面积是正方体的一个面的面积之半，锥高是正方体棱长之半，即可得体积为又如，由对称性，将正方体切成相等的八个小正方体，这时题没的八面体也被切成八个相等的三棱锥，每个三棱锥的体积等于小正方体的体积的所以八面体的体积是正方体体积的即
[答案] C
7．设处切线的倾斜角的取值范围为，则点P到曲线y=f(x)对称轴距离的取值范围为
[分析] 本题主要考查导数的几何意义，多项式函数求导数的方法，点到直线的距离，二次函数的性质等基本知识，以及推理和计算技能．
解答本题，宜先求出的取值范围，进而根据曲线y=f(x)对称轴的方程，便可求得点P到对称轴距离的取值范围，如解法1．此外，也可用特殊值排除法求解．
解法1 依题设知点P的横坐标必须且只须满足
因为抛物线y=f(x)的对称轴为直线：
所以点P到直线的距离为
解法2 取特殊值a=1，b=－2，c=0．可知曲线y=f(x)的对称轴为直线l：x=1．曲线在点P处切线的斜率为
由及tanx的单调性，依题设知k的取值范围为[0，1]，所以
得点P到对称轴距离的取值范围为据此，可排除选项A，C，D，得答案B．
[答案] B
8．已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|=
A．1
[分析] 本题主要考查二次方程根与系数的关系，等差数列等基本知识，以及数学思维和分析处理问题的能力．
注意到题设4次方程的两个2次因式中，只有常数项不同，可知等差数列的4个项中首尾两项应为其中一个因式的两根，而中间两项为另一因式的两根．所以，在此基础上，可用不同的引入方式，采取适当的计算程序，求得|m－n|的值．
解法1 因为抛物线有公共的对称轴x=1，又它们与x轴的4个交点的横坐标(即题设方程的4个根)成等差数列，所以可设为
的一个根，则方程的另一个根为
解法3 依题意可设原方程的4个根为
则对任意实数x，有
比较系数，得
（注：m、n的位置也可对调，不影响结果）．
解法4 从解原方程入手．由
求得原方程的根为：
由题设，这4个根组成首项为的等差数列，所以，必有1－m>0，1－n>0，且
[答案] C
9．已知双曲线中心在原点且一个焦点为，直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为则此双曲线的方程是
[分析] 本题主要考查双曲线的基本知识，以及推理和计算技能．
本题要求确定双曲线的方程，而双曲线的已知条件比较复杂，涉及到与已知直线相交的背景．在这种情况下，宜用待定系数法求解．
因为双曲线的中心在原点，点又是双曲线的一个焦点．故双曲线的方程可写为
a>0为待定系数，可用不同方法求得．
解法1 将y=x－1代人方程①，整理得
由直线y=x－1与双曲线相交于M、N两点，故此二次方程有不等的两个实根分别为点M、N的横坐标．从而MN中点的横坐标为
解法2 依题设，可记
其中t为某个常数，且t≠0．
由M、N在双曲线上，得
将两式相减，整理得
上述解法计算量偏大，为了快速解答，可采用定性与定量相结合的方法求解．
解法3 由双曲线与直线y=x－1有两个交点M和N，且焦点在x轴上，可知双曲线渐近线的斜率绝对值应大于1，由此排除B、C；其次，由MN的中点的横坐标为可估计双曲线的张口应比较大，D的可能性比较大．为此，作定量检验，将直线方程代人A所示的双曲线得
[答案] D
10．已知长方形的四个顶点A(0，0)，B(2，0)，C(2，1)和D(0，1)．一质点从AB的中点沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA和AB上的点（入射角等于反射角)．设的坐标为则tanθ的取值范围是
[分析] 本题以运动质点碰壁反射问题为背景，主要考查直线、轴对称和函数等基础知识及其应用，以及分析解决问题的能力．
依题意可知点的横坐标是tanθ的函数，试题要求由的取值范围确定tanθ的取值范围，也即由函数的值域求定义域．为此，宜从建立函数关系式入手，如解法2．不过，作为选择题，本题可以用特殊值排除法快速求解，如解法1．
解法1 取特殊的θ角，当时，根据反射原理，得点依次是BC，CD，DA和AB的中点，即有不属于所求的tanθ的取值范围．从而，可排除选项A、B和D，应取C作答．
解法2 依题设可作图如下．记各点的坐标如下：
根据反射原理得：

[答案] C
A．3 D．6
[分析] 本题主要考查组合数的性质、数列极限的计算等基本知识，以及基本的计算技能．
本题要求考生计算两个和式之比的极限．由于和式的项数随n的增加而无限增加，因而不能简单应用极限四则运算法则求极限，必须将和式化简成有限的形式．
原式中，分子、分母的和式是组合数求和，应充分借助组合数性质，将其化简．例如，应用公式
可顺利化简原式．
此外，也可采用数列求和的方法求解．
[答案] B
12．一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为
A．3π B．4π D．6π
[分析] 本题主要考查正多面体和球的基本知识，以及空间想象能力和几何计算能力．
本题给出棱长为的正四面体，要求推断外接球的表面积．为此，必须先求该球的半径，宜作图进行推算或估算．为了图像清晰，可只作正四面体进行讨论，不画出球的图线．如附图，四面体ABCD各棱长都为．
解法1 如图，点O为球心，OA、OB、OC、OD都是球的半径，因为ABCD是正四面体，所以这四条半径的两两夹角彼此相等，设其大小为θ．

由空间中的一点O，引四条射线，两两的夹角都等于θ，则有
据此，可排除选项B、C和D，应取A作答．
解法2 如图，过A作AE⊥面BCD，E是垂足．连结EB，则EB是正△BCD外接圆的半径．应用正弦定理，由正三角形的边长为得
因为 AE⊥EB
过AB的中点F，在平面AEB中，作AB的垂线交AE于O，则O是四面体ABCD外接球的球心，球的半径为
所以，所求的球之表面积为
上述估计和精算的方法，计算量仍嫌偏大．若充分发挥空间想像力，可获快速判断．
解法3 联想棱长为1的正方体则四面体的棱长都为它的外接球也是正方体的外接球，其半径为正方体对角线长的一半，即有故所求球面积为S=3π．
[答案] A
二、填空题
[分析] 本题主要考查二项式定理的应用，以及基本的计算技能．
直接利用二项展开式的通项公式，便可求得的系数，如解法1．由于二项式中的两个项都含有x，因此将其适当变形，有利于简化计算，如解法2．试题的这种设计，体现了对计算灵活性和准确性的要求．
解法1 设所求系数为a，则由二项展开式的通项公式，知存在非负整数r，使
解得r=3，所求系数为
解法2 因为
14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1 200辆，6 000辆和2 000辆．为检验该公司的产品质量，现用分层抽样方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取____________，_______________，____________辆．
[分析] 本题主要考查分层抽样方法在产品质量检验中的应用，以及简单的数值计算技能．
设三种型号的轿车抽取数依次为x，y，z辆．根据分层抽样方法的原理，知
这个方程组可用不同方法求解．
解法1 由比例式知存在常数k满足
解法2 由此例式得
60x=12y，
20x=12z，
[答案] 6，30，10
15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分(如图)．现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花．不同的栽种方法有_____种．(以数字作答)
[分析] 本题以花圃设计为应用背景，主要考查排列、组合的基础知识，侧重考查乘法原理和加法原理的应用，以及逻辑思维能力和计数能力．

为了正确解答本题，首先必须准确理解题意：抓住花圃布局的要求，看清图形中6个部分的关系；明确每个部分只种同一种颜色的花，相邻部分应种不同颜色的花；而且4种颜色的花都要种上，缺一不可．对这些条件要求，稍有疏忽、遗漏或曲解，都会引致解答出错．其次，应设计好周全而又不出现重复计数的推算程序，关键是推算过程中分步、分类的安排要合理且严密；此外，在每一分步或分类中，计数不出错；最后，乘法原理和加法原理的运用，以及数值计算还得无误，方能得出正确的答数．
采用不同的计数模式和计数程序，伴随出现不同的解法，列举解法供参考．
解法1 将6个区域分4组，不同组栽种不同颜色的花，同一组栽种同一颜色的花．因为区域1与其它5个区域都有公共边，所以为了栽种方案合乎题意，分在同一组的区域至多只能有2个．因而，由图形可知,不同分组法有且只有5类，如下表(表中数字为区域号)：
第一组 第二组 第三组 第四组
第一类 1 2 3，5 4，6
第二类 1 2，5 3，6 4
第三类 1 2，5 3 4，6
第四类 1 2，4 3，5 6
第五类 1 2，4 3，6 5

每一类分组法，都有种不同的栽种方法．应用加法原理，得到所有符合题意的不同栽种方法的种数为
解法2 按区域的顺序，依次安排各区域所栽种的花的颜色：
第1区，可种4色花中的任一种，有4种不同的栽种法；
接着，第2区，因与第1区相邻，两区花色必须不同，所以，第2区只能从3色花中任选一种栽种，有3种不同种法；
跟着，第3区，因与第1、2区都有边界，所以，只有2种不同栽种法；
随后，第4区，与2区无边界，与1、3区都有边界．因此，可分两类情形：
第一类：在第4区中栽种与第2区同一色的花，有1种栽法；至此，只栽种了3种不同颜色的花，因此，第5、6区域，应有一个区域栽种第4种颜色的花，而另一区域可选的花色只有1种(这是因为与之相邻的三个区域，已种上不同颜色的3种花)．从而，在第5、6区域栽花的不同方式有2种；
第二类：在第4区域中栽种与第2区域不同颜色的花，有1种栽法；不过，与第一类不同的是：至此，4种不同颜色的花都被栽种了．往后，第5区域栽花有两种选择：一种是栽与第2区域同色花，紧接着，第6区域有2种栽种方法；第五区域另一种栽花法，是栽种与第2区域不同颜色的花，只有1种选择(因为它不能与1、4区域同色)，紧接着，由于1、2、5三个区域已栽种3种不同颜色的花，故第6区域只有1种栽花的选择．
综合起来，应用乘法原理和加法原理，得合乎题意的不同栽花的方法种数为
N=4×3×2×（1×2+1×2+1×1）
=120
解法3 因为区域1与其它5个区域都有公共边，所以当区域1栽种一种颜色的花之后，该颜色的花就不能栽于其它区域．因而可分两步走，考虑如下：
第一步，在区域1中，栽上一种颜色的花，有4种栽法；
第二步，在剩下的五个区域中，栽种其它三种颜色的花．为此，可将2至6号五个区域分成3组，使同一组中的不同区域没有公共边．这样的分组法有且只有5类，如下表(表中数字为区域号)：
第一组 第二组 第三组
第一类 2 3，5 4，6
第二类 2，4 3，5 6
第三类 2，4 3，6 5
第四类 2，5 3，6 4
第五类 2，5 3 4，6

对每一类分得的3个组，将3种颜色的花分别栽于各组，共有种栽法．
应用乘法原理和加法原理，得合乎题意要求的不同栽种方法的种数为
解法4 由于第1、2、3区两两都有边界，所以这3个区所栽的花，彼此必须不同颜色．因而，第一步可从4种颜色的花任取3种分别栽在这3个区域上，共有种栽法．其次将另一颜色的花栽于4、5、6三个区中的一个区或两个区，即分为两类情形：
第一类：栽在4、5、6的一个区域中，有3种情形：
情形1：栽于4区，则6区只有一种颜色的花可栽(因为必须不同于4、1、2区的颜色)，进而，5区周边三个区域已栽上3种不同颜色的花，故5区也只有一种颜色的花可栽；
情形2：栽于6区，则与情形1同理，4、5区域分别只有1种颜色可栽；
情形3：栽于5区，由于5、1、2三个区已栽上不同颜色的花，6区只有1种栽法；同理，4区也只有1种栽法．
第二类：栽于4、5、6中的两个区，只有栽于4、6两个区域的一种情形，这时5区有2种栽法(因为5区的周边只有两色花)．
综合起来，应用乘法原理与加法原理，得不同栽种方法的种数为
解法5 分两类情况考虑：
第1类：第1、2、3、5等四个区域栽种不同颜色的4种花，共有种栽法．对于每一种栽法，第4、6区分别都只有1种颜色的花可栽．
第2类：第1、2、3、5等四个区域栽种不同颜色的3种花，共有种栽法．对于每一种栽法，要么2、5区栽同色花，要么3、5区栽同色花．对于前者，第6区有2种颜色的花可供选栽，第4区只能栽第4种颜色的花；对于后者，第4区有2种颜色的花可供选栽，第6区只能栽第4种颜色的花．即无论何种情形，第4、6区的栽法都是2种．
综合上述情形，应用加法原理与乘法原理，得不同栽种方法的种数为
[答案] 120
16．下列5个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出⊥面MNP的图形的序号是_______．(写出所有符合要求的图形序号)

[分析] 本题以正方体为依托，主要考查直线与平面垂直的判定，比较深刻地考查了空间想象能力．
为了得到本题答案，必须对5个图形逐一进行判别．对于给定的正方体，位置固定，截面MNP变动，与面MNP是否垂直，可从正、反两方面进行判断．在MN、NP、MP三条线中，若有一条不垂直，则可断定与面MNP不垂直；若有两条与都垂直，则可断定⊥面MNP；若有的垂面∥面MNP，也可得⊥面MNP．
解法1 作正方体如附图，与题设图形对比讨论．在附图中，三个截面都是对角线的垂面．
对比图①，由MP∥BD,，故得⊥面MNP．
对比图②，由MN与面相交，而过交点且与垂直的直线都应在面内，所以MN不垂直于，从而不垂直于面MNP．
对比图③，由MP与面相交，知不垂直于MN，故不垂直于面MNP．
对比图④，由MN∥BD，故⊥面MNP．
对比图⑤，面MNP与面EFGHKR重合，故⊥面MNP．
综合得本题的答案为①④⑤．

解法2 如果记正方体对角线所在的对角截面为α．各图可讨论如下：
在图①中，MN，NP在平面α上的射影为同一直线，且与垂直，故⊥面MNP．事实上，还可这样考虑：在上底面的射影是MP的垂线，故⊥MP；在左侧面的射影是MN的垂线，故⊥MN，从而⊥面MNP．
在图②中，由MP⊥面α，可证明MN在平面α上的射影不是的垂线，故不垂直于MN．从而不垂直于面MNP．
在图③中，点M在α上的射影是的中点．点P在α上的射影是上底面的内点，知MP在α上的射影不是的垂线，得不垂直于面MNP．
在图④中，平面α垂直平分线段MN，故⊥MN．又在左侧面的射影(即侧面正方形的一条对角线)与MP垂直，从而⊥MP，故⊥面MNP．
在图⑤中，点N在平面α上的射影是对角线的中点，点M、P在平面α上的射影分别是上、下底面对角线的4分点，三个射影同在一条直线上，且与这一直线垂直．从而⊥面MNP．
至此，得①④⑤为本题答案．
解法3 如图建立空间直角坐标系O－xyz，设正方体的棱长为2，则对角线的方向向量可取为

对图①，有
对图②，有
对图③，有
对图④，有
对图⑤，有
综合得本题答案为①④⑤．
从解法3可以看到；应用向量法讨论两直线是否垂直十分方便，操作也比较简单，无须多动脑筋，只需要计算正确即可．
[答案] ①④⑤
三、解答题
17．已知函数f(x)=2sinx(sinx+cosx)．
(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(Ⅱ)在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x在区间上的图象．

[命题意图] 本小题主要考查三角函数的性质和恒等变形的基础知识，同时考查动手画图的技能．
作为三角函数的解答题，力求较全面地覆盖三角函数的基础知识，因此，试题的设计给出一个三角函数的解析式，通过运用和角与倍角的三角函数公式，变形为单个三角函数的表达式，从而求出它的周期和最值．恒等变形过程强调通性通法，以适应文科考生的实际．在这个基础上要求作出这个函数的图像，强化了作图技能的考查，倡导考生重视实践，学会动手操作．
[解题思路] 首先把给出的函数解析式变形为单个三角函数的表达式，再按问题的要求答题．
（Ⅱ）解 由（Ⅰ）知
x
Y 1 1 1


18．如图，在直三棱柱底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°．侧棱的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G．

(Ⅰ)求与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；
[命题意图] 本小题主要考查线面关系和直三棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力．
新课程的立体几何教材分为(A)、(B)两个版本，即传统的逻辑推理体系和向量运算方法．为了．适应不同地区的选用情况，前几年高考的立体几何试题是命制出(甲)、(乙)两道平行题目由考生选作．今年试验改变这种做法，原课程与新课程统一命制一道通用的试题，基本要求是用传统方法或向量方法，解题难度相当．于是，试题的知识载体定位于直棱柱．理科用直三棱柱，文科用正四棱柱．
理科试题中的图形实际上是半个正方体，它的原型是正方体的一个性质：“若点M是正方体的棱的中点，则正方体的中心O在截面AMC上的射影恰好是△AMC的重心”．试题基本上是采用其逆命题，且只给出半个正方体，把问题提为“正方体的一条对角线与截面所成的角”，隐蔽了上述性质，提高了对考生空间想像力和推理能力的要求，以期更好地考查考生的数学能力．
[解题思路] 本题(Ⅰ)的基本解法是先求出三棱柱的底面边长，可以在直三棱柱中求解，也可以补形成正四棱柱或直平行六面体求解，思维层次高者可以发现EB=DF避开计算，通过线段比求角的三角函数值．(Ⅱ)问的解法用等积法最为简便．运用向量方法则(Ⅰ)问较易，(Ⅱ)问较难，总体难度相当．
(Ⅰ)解法1 如图，连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是与平面ABD所成的角．

设F为AB中点，连结EF、FC，
因为D、E分别是的中点，又DC⊥平面ABC，
所以CDEF为矩形．
连结DF，G是△ADB的重心，故G∈DF．在直角三角形EFD中，
解法2 同解法1图．
所以 AB·DF·EG=AB·EF·DE，其中EF=1．

的中点P,连结PD,PA,PB,则ABDP是平行四边形,PB必过△ADB的重心．
解得x=2
解法4 如解法1图，由解法1知，CDEF是矩形，故DE=CF，而EF=FB，所以Rt△DEF≌△CFB，则DF=EB．
解法5 连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即与平面ABD所成的角．
如图所示建立坐标系，坐标原点为O．
设CA=2a，则A(2a，0，0)，B(0，2a，0)，D(0，0，1)，,E(a，a，1)，

(Ⅱ)解法1 因为ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，
因为ED⊥AB，ED上⊥EF，又EF∩AB=F，
解法3 如(Ⅰ)问解法5中图，A(2，0，0)，E(1,1,1),D(0，0，1)．
19．设a>0，求函数．
[命题意图] 本题主要考查函数的求导，导数在研究函数性质中的应用和不等式的求解等基本知识，以及运算能力．
本题给出的函数比较简单，为幂函数与对数函数ln(x+a)之差，让考生求这个函数的单调区间．直接应用单调函数的定义，难以进行有效的讨论，宜借助求导的方法求解．以此可以考查函数求导的技能，以及讨论导数正负性的方法．
所设的函数含有参数a，讨论函数单调区间时，应顾及a值的影响．这样，也就考查了分类讨论的数学方法，强化了试题对能力的考查功能．
[解题思路] 可从求函数的导数入手，再讨论导数的正负性变化区间，便可确定函数的单调区间．由于所得导数含有x的根式和分式，在讨论导数正负性时，将遇到解含根式和分式的方程或不等式，须正确运用同解变换的思想方法和技能．
(i)当a>1时，方程①无解，即f′(x)＝0无解，f′(x)在区间(0，+∞)上正负性不变，故由
知f′(x)>0在区间(0，+∞)上恒成立，所以(0，+∞)是f(x)的单调区间，f(x)在(0，+∞)上是增函数．
(ii)a=1时，方程①有惟一解x=1．
知当00；由f′
知当x>1时，恒有f′(x)>0．
所以，当a=1时，函数f(x)在区间(0，1)上是增函数，在区间(1，+∞)上也是增函数．又f(x)在x=1连续，所以(0，+∞)是f(x)的单调区间，f(x)在(0，+∞)上是增函数．
(iii)当0这时,由于
可知：当0所以，当0(i)当a>1时,2a-4>-2,由x>0知
(ii)当a=1时,
当且仅当x=1时取等号．即当01时，f′(x)>0，知f(x)在(0，1)或(1，+∞)内都单调递增．又f(x)在x=1处连续，因此，f(x)在(0，+∞)内单调递增．
因此，函数f(x)在区间内单调递增，在区间内也单调递增．
令f′(x)<0，即
因此，函数，f(x)在区间内单调递减．
20．A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是B队队员是按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分．设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η．
对阵队员 A队队员胜的概率 A队队员负的概率

(Ⅰ)求ξ，η的概率分布；
(Ⅱ)求Eξ，Eη．
[命题意图] 本题主要考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念与计算，以及运用概率知识认识和讨论实际问题的能力．
该题的取材贴近考生日常生活，以广大考生都熟悉的乒乓球比赛为素材，用列表的方式，给出对阵队员间胜负的概率，并规定每场胜负的得分规则．这样的条件下，赛后球队所得总分是离散型随机变量．本题要求考生计算该随机变量的分布列和数学期望．
这样设计试题，应用性强，也能贴近考生实际，符合《考试说明》的要求．
[解题思路] 为了求随机变量ξ和η的概率分布，必须先确定它们是离散型还是连续型．依题意，它们都是离散型随机变量，且满足ξ+η=3．所以只须求出ξ(或η)的概率分布，便可立即写出η(或ξ)的概率分布．
为了求ξ的概率分布，首先应弄清ξ可能取哪些值 这些值表示怎样的随机事件 进而应用随机事件概率计算公式(如乘法公式、加法公式等)，求出ξ取每一个可能值的概率，使得到所要求的概率分布列．
至于第(Ⅱ)问，可直接应用离散型随机变量数学期望的计算公式求解．
因为ξ是A队赛后所得的总分，根据题意，ξ只可能取0，1，2，3等4个值，其表示的随机事件分别为：
ξ=表示A队3场比赛都输球，全负；
ξ=1表示A队3场比赛中1胜2负；
ξ=2表示A队3场比赛中2胜1负；
ξ=3表示A队3场比赛全胜．
所以由给出的胜负概率表，应用互斥事件概率的加法公式、独立事件的概率加法公式等相关公式，便可求得ξ的分布列．
(Ⅰ)解 ξ、η的可能取值都为3，2，1，0．ξ的分布为：
依题意，ξ+η=3，故η的分布为：
21．已知常数a>0，向量c=(0，a)，i=(1，0)．经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A(0，a)以i－2λc方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R．试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值．若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由．
[命题意图] 本题主要考查平面向量的概念和向量的线性运算，根据已知条件求动点的轨迹方程，并讨论轨迹曲线的性质，着重考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，以及综合应用所学知识分析和解决问题的能力．
试题用向量的形式给出两条相交直线的条件，围绕交点P提出个一个探索性的问题：讨论是否存在两个定点，使得点P到这两个定点距离之和为一定值．在这里，点P因实数λ的变化而动．考生在审题时，必须自觉理解到问题的这个特点，具备“运动变化”和“动中求静”的辩证法的思想和观点，只有这样才能有效破题，获得问题的解答．可见试题重在考查思维和分析的能力．同时，该题的设计，围绕平面解析几何的主体知识，将传统的坐标法与向量法有机结合起来，旨在考查综合应用能力．
[解题思路] 有关存在性问题的讨论，许多时候可用构造法，这是一种基本的，而且也是比较原始的方法．就本题而言，即假设符合要求的定点存在，依题意列写出定点坐标所满足的方程，进而探求方程的解是否存在．依此思路，由于未知量比较多，方程的列写也难以简明，因而推演起来工作量大，而且繁杂．显然采用构造法绝非上策，宜另谋出路．
从试题的实际出发，联想广泛可用的知识，才能获得有效的求解思路和方法．题设的点P是两条动直线的交点，随着λ取遍实数集R中所有的值，点P的集合是一条轨迹曲线．另一方面，到两个定点距离之和为一定值的点之集合可能有两种情况：其一，当定值大于两个定点的距离时，该点集是椭圆曲线；其二，当定值等于两个定点的距离时，该点集是连结两点的线段．由于平面上到两个定点距离之和不可能小于两定点的距离，所以也就不可能出现第三种情况．由这样的思考，可得解题思路如下：
从求点P的轨迹方程入手，进而讨论轨迹曲线的性质，便可获得本题的答案．
由题设，可作图观察．图中，向量直线分别过点O和A，其方向向量分别为c+λi和i－2λc，点P是的交点．为了求点P的轨迹方程，可采用不同的方法．在这里，有一点值得注意的是：试题本身并没有要求考生求点P的轨迹方程，我们是借助轨迹的思想，只须求出点P的坐标所应满足的方程，进而展开讨论，而无须检验满足方程的每一个解为坐标的点都是符合题意的点P，也即无须要求所得方程的纯粹性，与严格意义上的求轨迹方程有所不同．

解法1 因为 c+λi=(0,a)+ λ(1,0)=(λ,a),
i-2λc=(1,0)-2λ(0,a)=(1,-2λa),
所以 直线OP与AP的方程分别为
λy=ax
y-a=-2λax,
式中，a>0,λ∈R．
整理得
因为a>0,所以得：
（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；
（ii）当时，方程①表示椭圆，故焦点为合乎题意的两个定点；
（iii）时，方程①也表示椭圆，故焦点为合乎题意的两个定点．
解法2 依题设，有实数m和n满足
所以点P（x,y）的坐标为
整理得点P的坐标满足方程
以下的讨论同解法1．此处从略．
[命题意图] 本小题主要考查数列、等比数列的基础知识和数学归纳法，同时考查抽象推理等理性思维能力．
数学高考中较难的数列解答题，一般都是给出一个递推关系，通过它或者转化为等差、等比数列，或者通过由特殊到一般的猜想、归纳，或者通过顺次迭代，以求出其通项．而试题的难度则由给出的递推关系与初始值来调整．2002年的数列解答题给出相邻四项的数量关系，较为新颖，2003年定位于回归到考生较为熟悉的相邻两项的数量关系，基本递推关系为“”．理科试题改变以往给出初始值的做法，给出常数证明数列的一个通项公式。这种提问方式反映出新的考查角度，不让考生死套题型，有利于考查独立思考能力和理性思维能力，对文科考生则降低抽象思维的要求，递推关系简化为基本形式“”，并给出初始值a=1，使试题难度较为切合文科考生的实际．
[解题思路] 常规方法是通过递推关系的变形转化为等比数列，但过程较繁，用数学归纳法或迭代方法较顺畅．
(Ⅰ)证法1 (i)当n=1时，由已知等式成立；
（ii）假设当n=k(k≥)时等式成立，即
也就是说，当n=k+1时，等式也成立．
根据（i）和(ii)，可知等式对任何正整数n成立．
证法4顺次迭代
（i）当n=2k-1,k=1,2,…时，①式即为
②式对k=1,2,…都成立，有
（ii）当n=2k,k=1,2,…时，①式即为
③式对k=1,2,…都成立，有
[以下同解法1]
解法3
下面证明当
(i)当n=2k-１,k=1,2,…时，
（ii）n=2k,k=1,2…时，
12006年高考理科数学摸拟试题解析样本10
本试卷分第Ⅰ卷（选择题 共60分）和第Ⅱ卷（非选择题 共90分），考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合P={（x，y）||x|+|y|=1}，Q={（x，y）|x2+y2≤1}，则
A.PQ B.P=Q C.PQ D.P∩Q=Q
2.已知函数f（x）=，则f［f（）］的值是
A.9 B. C.－9 D.－
3.将直线x+y=1绕（1，0）点顺时针旋转90°后，再向上平移1个单位与圆x2+(y－1)2=r2相切，则半径r的值是
A. B. C. D.1
4.复数z满足arg（z+2）=，则|z－2|的最小值是
A.1 B.2 C.2 D.2
5.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a17=10，则S19的值
A.是55 B.是95 C.是100 D.不能确定
6.过定点P（0，2）作直线l，使l与曲线y2=4（x－1）有且仅有1个公共点，这样的直线l共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
7.某产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y=3000+20x－0.1x2（0A.100台 B.120台 C.150台 D.180台
8.对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：①与a是异面直线；②与a所成的角为定值θ；③与a的距离为定值d.那么，这样的直线b有
A.1条 B.2条 C.3条 D.无数条
9.某学生计划有不超过10元的钱购买单价分别为0.5元、0.6元的铅笔和练习本.根据需要，铅笔至少买7支，练习本至少买6本，则不同的选购方式共有
A.10 B.15 C.19 D.20
10.为了使函数y=sinωx（ω>0）在区间［0，1］上至少出现50次最大值，则ω的最小值是
A.98π B.π C.π D.100π
11.在f1（x）=，f2（x）=x2，f3（x）=2x，f4（x）=logx四个函数中，当x1>x2>1时，使［f（x1）+f（x2）］A.f1（x）=x B.f2（x）=x2
C.f3（x）=2x D.f4（x）=logx
12.设P（x，y）是曲线C：x2+y2+4x+3=0上任意一点，则的取值范围是
A.［－］ B.（－∞，－）∪［，+∞］
C.［－］ D.（－∞，－）∪［，+∞］
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）
13.一个凸多面体的面都是四边形，则它的顶点数与面数的差是 .
14.不等式<1的解集为（－∞ ，1）∪（2，+∞），则a= .
15.= .
16.已知x∈（0，π），则y=sinx+的最小值为 .
三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
已知复数z1=x+ai，z2=x+bi（b>a>0，x>0）的辐角主值分别为α，β，求tan（β－α）的最大值及对应的x的值.
18.（本小题满分12分）
如图，M—l—N是120°的二面角，A、B两点在棱上，AB=2，D在平面M内，三角形ABD是等腰直角三角形，∠DAB=90°,C在N内,三角形ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠ABC=60°.
（1）求三棱锥D—ABC的体积；
（2）求直线BD与平面N所成的角的正弦值；
（3）求二面角D—AC—B的平面角的正切值.
19.（本小题满分12分）
一根水平放置的长方体形枕木的安全负荷与它的宽度a成正比，与它的厚度d的平方成正比，与它的长度l的平方成反比.
（1）将此枕木翻转90°（即宽度变为了厚度），枕木的安全负荷变大吗？为什么？
（2）现在一根横断面为半圆（半圆的半径为R）的木材，用它来截取成长方形的枕木，其长度即为枕木规定的长度，问如何截取，可使安全负荷最大？
20.（本小题满分12分）
椭圆C1：=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别是A、B，P是双曲线C2：=1的右支（x轴上方）的一点，线段AP交椭圆于C，PB的延长线交椭圆于D，且C平分AP.
（1）求直线PD的斜率及直线CD的倾斜角；
（2）当双曲线C2的离心率e为何值时，直线CD恰过椭圆C1的右焦点.
21.（本小题满分12分）
某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产产品x（百台），其总成本为G（x）（万元），其中固定成本为2万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R（x）（万元）满足：
R（x）=
假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律.
（1）要使工厂有赢利，产量x应控制在什么范围？
（2）工厂生产多少台产品时，可使赢利最多？
（3）求赢利最多时每台产品的售价.
22.（本小题满分14分）
设f（x）的定义域为x∈R且x≠，k∈Z，且f（x+1）=－，如果f（x）为奇函数，当0（1）求f（）；
（2）当2k+（3）是否存在这样的正整数k，使得当2k+x2－kx－2k有解？
参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.解析：集合P表示正方形，集合Q表示圆面.
答案：A
2.B
3.解析：用d=r去研究线圆相切.
答案：A
4.解析：用数形结合的方法去研究.
答案：D
5.解析：S19=19a10=19·.
答案：B
6.解析：直线l与抛物线相切或与抛物线的对称轴平行.
答案：C
7.C 8.D 9.D
10.解析：由题意1≥49T，其中T为周期.
答案：B
11.解析：研究函数的图象，数形结合，切实理解题中［f（x1）+f（x2）］答案：A
12.解析：数形结合，表示点（x，y）与原点连线的斜率.
答案：C
二、填空题（每小题4分，共16分）
13.2 14. 15.333298 16.3
三、解答题（17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分）
17.解：由题设知tanα=，tanβ=且0<α<β<，
∴tan（β－α）=. 5分
∵x>0，>0且x·=ab为定值.
∴当且仅当x=即x=时，x+取得最小值2.
此时tan（β－α）取最大值. 12分
18.解：（1）过D向平面N作垂线，垂足为O，连接OA并延长至E.
∵AB⊥AD，OA为DA在平面N内的射影，
∴AB⊥OA.∴∠DAE为二面角M—l—N的平面角.
∴∠DAE=120°.∴∠DAO=60°.
∵AD=AB=2，∴DO=.
∵△ABC是有一个锐角为30°的直角三角形，斜边AB=2，
∴S△ABC=，又D到平面N的距离DO=.
∴VD—ABC=. 4分
（2）由（1）可知，∠DBO为直线BD与平面N所成的角，
∴sinDBO=. 8分
（3）过O在N内作OF⊥AC，交AC的反向延长线于F，连接DF，则AC⊥DF，
∴∠DFO为二面角D—AC—B的平面角.又在△DOA中，OA=2cos60°=1，即∠OAF=
∠EOC=60°，∴OF=1·sin60°=.
∴tanDFO==2. 12分
19.解：（1）安全负荷y1=k·（k为正常数），翻转90°后，y2=k·.
∵，
∴当0当0（2）设截取的宽为a，高为d，则（）2+d2=R2，即a2+4d2=4R2.
∵枕木长度不变，
∴u=ad2最大时，安全负荷最大.
当且仅当=R2－d2，即取d=R，取a=2R时，u最大，即安全负荷最大. 12分
20.解：（1）由已知A（－a，0），B（a，0），设P（x0，y0），C（x1，y1），D（x2，y2），x0>a，y0>0，则.将C（）代入椭圆方程得.
∵=1，消去y0得x0=2a或x0=－a（舍）.将x0=2a代入双曲线方程得y0=b，∴P（2a，b）.
∴kPD=kPB=.
∴PD的方程为y=（x－a），代入椭圆方程得2x2－3ax+a2=0.
解得x2=或x2=a（舍）.
∵x1=，∴x1=x2.
∴CD的倾斜角为90°. 6分
（2）当直线CD过椭圆C1的右焦点F2（c，0）时，x1=x2=c，则a=2c，∴b=c，即b=a.在双曲线中半焦距c′=a，
∴e=，这时CD恰过椭圆C1的右焦点. 12分
21.解：依题意，G（x）=x+2.设利润函数为f（x），则
f（x）=
（1）要使工厂有赢利，即解不等式f（x）>0，
当0≤x≤5时，解不等式－0.4x2+3.2x－2.8>0，
即x2－8x+7<0，∴1当x>5时，解不等式8.2－x>0，得x<8.2，∴5综上，要使工厂赢利，x应满足1（2）0≤x≤5时，f（x）=－0.4（x－4）2+3.6，故当x=4时，f（x）有最大值3.6，而当x>5时，f（x）<8.2－5=3.2.
所以，当工厂生产400台产品时，赢利最多. 9分
（3）即求x=4时的每台产品的售价，
此时售价为=2.4（万元/百台）=240元/台. 12分
22.解：（1）∵f（x+2）=－=f（x），
∴f（x）是周期为2的周期函数.
∴. 5分
（2）∵2k+∴f（2k+1－x）=32k+1－x.
又f（2k+1－x）=f（1－x）=－f（x－1）=－f（x+1）=.
∴f（x）==3x－2k－1. 10分
（3）∵log3f（x）>x2－kx－2k，
∴x－2k－1>x2－kx－2k，x2－（k+1）x+1<0（*）
Δ=k2+2k－3.
①若k>1且k∈Z时
但是
∴x∈.
②若k=1，则Δ=0，（*）无解.
∴不存在满足条件的整数k. 14分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本34
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中，内角A满足sinA+cosA＞0，且tanA-sinA＜0，则A的取值范围是
A.(0，) B.(，) C.(，π) D.(，)
2.由下列各组命题构成“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题，其中“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真的是
A.p∶3是偶数，q∶4是奇数 B.p∶3+2=6，q∶5＞3
C.p∶a∈{a，b}，q∶{a}{a，b} D.p∶QR，q∶N={正整数}
3.等差数列{an}中，n≥2，公差d<0，前n项和是Sn，则有
A.nanC.Sn≥na1 D.Sn≤nan
4.已知二面角-l-，直线a，b，且a与l不垂直，b与l不垂直，那么
A.a与b可能垂直，但不可能平行 B.a与b可能垂直，也可能平行
C.a与b不可能垂直，但可能平行 D.a与b不可能垂直，也不可能平行
5.函数y=x3-3x在[-1，2]上的最小值为
A.2 B.-2
C.0 D.-4
6.a、b为正实数且a、b的等差中项为A，、的等差中项为，a、b的等比中项为G(G>0)，则
A.G≤H≤A B.H≤G≤A
C.G≤A≤H D.H≤A≤G
7.函数y=x2-2x在区间[a，b]上的值域是[-1，3]，则点(a，b)的轨迹是图中的线段
A.AB和AD B.AB和CD
C.AD和BC D.AC和BD
8.实数x、y满足不等式组则的取值范围是
A.[-1，0] B.(-∞，0]
C.[-1，+∞) D.[-1，1)
9.曲线y=2x4上的点到直线x+y+1=0的距离的最小值为
A. B. C. D.
10.对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，到区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第五次测试被全部发现，则这样的测试方法有
A.24种 B.96种
C.576种 D.720种
11.将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点(2，0)与点(-2，4)重合，若点(7，3)与点(m，n)重合，则m+n的值为
A.4 B.-4
C.10 D.-10
12.ABCD为四边形，动点p沿折线BCDA由点B向A点运动，设p点移动的路程为x，△ABP的面积为S，函数S=f(x)的图象如右图，给出的以下命题中正确的为
①ABCD是梯形 ②ABCD是平行四边形 ③若Q为AD的中点，那么△ABQ面积为10 ④当9≤x≤14时，函数S=f(x)的解析式为56-4x
A.①② B.②③ C.②④ D.①③④
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
题号 二 三 总分
17 18 19 20 21 22
分数
得分 评卷人
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.某校高一、高二、高三三个年级的学生数分别为1500人、1200人和1000人，现采用按年级分层抽样法了解学生的视力状况，已知在高一年级抽查了75人，则这次调查三个年级共抽查了_______人.
14.在一个水平放置的底面半径为的圆柱形量杯中装有适量的水，现放入一个半径为R的实心铁球，球完全浸没于水中且无水溢出，若水面高度恰好上升R，则R=________.
15.已知双曲线的左支上存在一点P到左焦点的距离是其到右焦点距离和到左准线距离的比例中项，则双曲线的离心率e的取值范围是________.
16.对于定义在R上的函数f(x)，有下述命题：
①若f(x)是奇函数，则f(x-1)的图象关于点A(1，0)对称
②若对x∈R，有f(x+1)=f(x-1)，则，f(x)的图象关于直线x=1对称
③若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称，则f(x)为偶函数
④函数f(1+x)与函数f(1-x)的图象关于直线x=1对称
其中正确命题的序号为__________.
得分 评卷人
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
如右图，=(6，1)，=(x，y),=(-2，-3)
(1)若∥，求x与y之间的关系式；
(2)在(1)的条件下，若，求x与y的值以及四边形ABCD的面积.
18.(本小题满分12分)
已知函数.
(1)将f(x)写成的形式，并求其图象对称中心的横坐标；
(2)如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的范围及此时函数f(x)的值域.
19.(本小题满分12分)
如图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点.E是线段BC1上一点，且BE=BC1.
(1)求证：GE∥侧面AA1B1B；
(2)求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小.
20.(本小题满分12分)
学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A、B两样菜可供选择，调查资料表明，凡是在本周星期一选A菜的，下周星期一会有20%改选B菜，而选B菜的，下周星期一则有30%改选A菜，若An、Bn分别表示在第n个星期一选A、B菜的人数.
(1)试以An表示An+1；
(2)若A1=200，求{An}的通项分式；
(3)问第几个星期一时，选A菜与选B菜的人数相等？
21.(本小题满分12分)
如右图，设离心率为e的双曲线的右焦点为F，斜率为k的直线过点F且与双曲线以及y轴的交点依次为P、Q、R.
(1)试比较e2与1+k2的大小；
(2)若P为FQ的中点，且ek=2，求e的值.
22.(本小题满分14分)
已知函数f(x)=x3+(m-4)x2-3mx+(n-6)(xR)的图象关于原点对称，其中m、n为实常数.
(1)求m、n的值；
(2)试用单调性的定义证明：f(x)在区间[-2，2]上是单调函数；
(3)当-2≤x≤2时，不等式f(x)≥(n-logma)logma恒成立，求实数a的取值范围.
一、选择题
1.D
2.B 命题p与q为一真一假.
3.A ∵d＜0，∴an＜a2＜a1，an＜a3＜a1，…，an＜a1.
∴nan＜Sn＜na1.
4.B
5.B 利用导函数求极值点，ymin=f(1)=-2.
6.B 7.A
8.D W的几何含义为点P(x，y)与点(0，1)连线的斜率.
9.D
10.C .
11.C 点(7，3)与点(m，n)关于直线y=x+2对称，∴m=1，n=9.
12.D
二、填空题
13.185 高一年级抽查了75人，高二年级抽查了60人，高三年级抽查了50人.
14.
15.1＜e≤1+.∵e≤1+，∴e≤1+.
∴(e-1)2≤2.∴1＜e≤1+.
16.①③
三、解答题
17.解：(1)∵(x+4，y-2)，(-x-4，2-y).
又∵∥，∴x(2-y)-(-4-x)y=0，
即x+2y=0. 4分
(2)∵(x+6，y+1)，(x-2，y-3)，又∵，∴，
即(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0. 6分
由(1)中x+2y=0，(x+6)(x-2)+(y+1)(y-3)=0，即y2-2y-3=0.
解得y1=3，y2=-1.
当y=3时，x=-6.
于是=(-6，3)，(0，4)，(-8，0)，
，.
SABCD=. 9分
当y=-1时，x=2.
于是(2，-1)，(8，0)，(0，-4)，
，.
∴SABCD=. 12分
18.(1)解：
f(x)=+(1+)=++=sin(+)+.
由sin(+)=0，即+=kπ(k∈Z)，得x=(k∈Z)，即对称中心的横坐标为，(k∈Z). 6分
(2)由已知b2=ac，得
cosx=≥.
∴≤cosx＜1，0＜x≤. 9分
∴＜+≤.
∵＞，
∴sin＜sin(+)≤1.
即f(x)的值域为，1+].
综上所述，x∈(0，).
∴f(x)值域为(，1+). 12分
19.解：(1)延长B1E交BC于F，∵B1EC∽△FEB，BE=EC1.
BF=B1C1=BC，从而F为BC的中点. 2分
∵G为△ABC的重心，∴A、G、F三点共线，
且.∴GE∥AB1.
又GE侧面AA1B1B.∴GE∥侧面AA1B1B. 6分
(2)在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，
∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，
B1H⊥底面ABC.又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2.
∴∠B1BH=60°，BH=1，B1H=.
在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B1T，由三垂线定理有B1T⊥AF.
又平面B1GE与底面ABC的交线为AF，
∴∠B1TH为所求二面角的平面角. 9分
∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°.
∴HT=AHsin30°=.
在Rt△B1HT中，tanB1TH=，
从而平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为. 12分
20.解：(1)依题意，得 ①
将Bn=1000-An代入①，
得An+1=0.5An+300. ② 4分
(2)设An+1+λ=0.5(An+λ)，即An+1=0.5An-0.5λ，得-0.5λ=300，∴λ=-600.
∴{An-600}是以A1-600=200-600=-400为首项，公比为0.5的等比数列.
∴An-600=-400×0.5n-1.
∴An=600-400×0.5n-1. 8分
(3)∵An=Bn，且An+Bn=1000，∴An=500，得600-400×0.5n-1=500.∴0.5n-1=0.52，n-1=2.
∴n=3，即第三个星期一时，选A菜与选B菜的人数相等. 12分
21.解：(1)过右焦点且斜率为k的直线为y=k(x-c)，把y=k(x-c)代入双曲线方程，得(b2-a2k2)x2+2ca2k2x-(a2c2k2+a2b2)=0. 4分
∵直线与双曲线有两个交点P、R，
由x1x2=-＜0，得b2-a2k2＞0，
即c2-a2-a2k2＞0.
∴()2-1-k2＞0.∴e2＞1+k2. 6分
(2)令y=k(x-c)中的x=0，
得yQ=-kc，由P是FQ的中点，
∴P(，). 8分
把P的坐标代入双曲线方程，得，
即c2(c2-a2)-a2k2c2=4a2(c2-a2). 10分
又ek=2，即k2=.
解得e4-5e2=0，e=. 12分
22.解：(1)由于f(x)的图象关于原点对称，则f(x)是奇函数，
f(-x)=-f(x)-x3+(m-4)x2+3mx+(n-6)=-x3-(m-4)x2+3mx-(n-6)恒成立，
即(m-4)x2+(n-6)=0恒成立，
则必有m=4，n=6. 4分
(2)由(1)可知f(x)=x3-12x，
任取x1、x2∈[-2，2]，且x1＜x2.
f(x1)-f(x2)=(x13-12x1)-(x23-12x2)(x1-x2)(x12+x1x2+x22-12). 6分
由-2≤x1＜x2≤2，知x1-x2＜0，x12+x1x2+x22-12＜0，
从而f(x1)-f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，
∴f(x)在[-2，2]上是减函数. 10分
(3)由(2)知f(x)在[-2，2]上是减函数，则-2≤x≤2时，f(x)≥f(2)=-16.
故-2≤x≤2时，不等式f(x)≥(n-logma)logma恒成立 12分
-16≥(6-log4a)log4a
(log4a-8)(log4a+2)≥0
log4a≤-2或log4a≥8
0＜a≤或a＞48. 14分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本36
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分．
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设M和m分别表示函数y=2sinx-1的最大值和最小值，则M+m等于
A.1 B.2
C.-2 D.-1
2.设集合M={x|x2-x＜0，x∈R＝，N={x||x|＜2，x∈R＝，则M、N的关系为
A.N M
B.M∩N=M
C.M∪N=M
D.M∪N=R
3.函数y=log2(1-x)的图象是
A B C D
4.椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为
A. B. C.2 D.4
5.设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若，则等于
A. B. C. D.
6.曲线y=x4上的点到直线x-2y-1=0的距离的最小值是
A. B. C. D.
7.已知一个四面体的5条棱长都等于2，则它的体积的最大值为
A. B. C.1 D.2
8.直线(3m+2)x-(2m-1)y+5m+1=0必过定点
A.(-1，1-) B.(1，1)
C.(1，-1) D.(-1，1)
9.如果一个三位正整数的中间一个数字比另两个数字小，如305，414，879等，则称这个三位数为凹数，那么所有凹数的个数是
A.240 B.285 C.729 D.920
10.f(0)=0是f(x)为奇函数的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
B.充要条件 D.既不充分又不必要条件
11.正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E为PC的中点，那么异面直线BE与PA所成角的余弦值等于
A. B.
C. D.
12.对抛物线C：y2=4x，我们称满足y02＜4x0的点M(x0，y0)在抛物线的内部，若点M(x0，y0)在抛物线内部，则直线L：y0y=2(x+x0)与曲线C
A.恰有一个公共点 B.恰有两个公共点
C.可能有一个公共点，也可能有两个公共点 D.没有公共点
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
题 号 二 三 总分
17 18 19 20 21 22
分 数
得分 评卷人
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.已知|a|=3，|b|=5，且a·b=12，则a在b的方向上的投影为______.
14.某中学有高一学生400人，高二学生300人，高三学生300人，现通过分层抽样取一个样本容量为n的样本，已知每个学生被抽到的概率为0.2，则n=______.
15.在(1-x)(1+x)10的展开式中，x3的系数为______.(用数字作答)
16.设函数f(x)=lg(x2+ax-a-1)，给出下列命题：①f(x)有最小值；②当a=0时，f(x)值域为R；③当a＞0时，f(x)在[2，+∞)上有反函数；④若f(x)在区间[2，+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4，其中正确命题的序号为______.
得分 评卷人
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知向量a=(cosα，sinα)，b=(cosβ，sinβ)，|a-b|=.
(1)求cos(α-β)的值；
(2)若0＜α＜，-＜β＜0，且sinβ=-，求sinα的值.
18.(本小题满分12分)
一个通讯小组有两套设备，只要其中有一套设备能正常工作，就能进行通讯.每套设备由3个部件组成，只要其中有一个部件出故障，这套设备就不能正常工作.如果在某一时间段内每个部件不出故障的概率为p，计算这一时间段内：
(1)恰有一套设备能正常工作的概率；
(2)能进行通讯的概率.
19.(本小题满分12分)
如图所示，在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD，PA=1.
(1)在BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，说明理由；
(2)若BC边上有且仅有一个点Q，使PQ⊥QD，求AD与平面PDQ所成角的正弦值；
(3)在(2)的条件下，能求出平面PQD与平面ABP所成的角的大小吗？
20.(本小题满分12分)
设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b，0＜a＜1.
(1)求函数f(x)的单调区间、极值；
(2)若当x∈[a+1，a+2]时，恒有|f＇(x)|≤a，试确定a的取值范围.
21.(本小题满分12分)
(1)已知等比例｛an｝的公比为q，前n项和为Sn，是否存在常数C，使数列｛Sn+C｝也成比数列？若存在，求出C的值；若不存在，说明理由.
(2)设等比例数列｛an｝的前n项和为Sn.已知S3，S9，S8成等差数列，S16-S6，S10，xS5成等比数列，求x的值.
22.(本小题满分14分)
以O为原点，所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系.设·=1，点F的坐标为(t，0)，t∈[3，+∞)，点G的坐标为(x0，y0).
(1)求x0关于t的函数x0=f(t)的表达式，判断函数f(t)的单调性，并证明你的判断；
(2)设△OFG的面积S=，若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点G，求当||取得最小值时椭圆的方程；
(3)在(2)的条件下，若点P的坐标为(0，)，C、D是椭圆上的两点，且=λ(λ≠1)，求实数λ的取值范围.
一、选择题
1.C M=2-1=1，m=-2-1=-3，∴M+n=1-3=-2.
2.B M=(0,1)，N=(-2，2)，M∩n=(0，1)=M.
3.C 由定义域知x＜1，故排除A、B，由函数单调递减，故选C.
4.A 椭圆方程为，由题意得=2×1，∴m=4.
5.A 设S4=m,则S8=3m，∴S8-S4=2m，由等差数列性质知，S12-S8=3m，S16-S12=4m，∴S16=10m，∴.
6.D 设直线L平行于直线y=2y+1,且与曲线y=x4相切于点P(x0，y0)，则所求最小值d，即点P到直线y=2y+1的距离，y′=4x3=.
∴x0=，y0=.
∴.
7.C 设PB=PC=AB=BC=AC=2，则当面PBC⊥面ABC时，四面体PABC体积最大，V=··=1.
8.D 代入检验知直线过定点(-1，1).
9.B 分别将0，1，2，3……8放在十位上，则凹数个数为
92+82+72+…+12=×9×(9+1)×(2×9+1)=285.
10.D
11.D 连EO(O为AC，BD交点).
12.D 由L与C方程消x得y2-2y0y+4x0=0(*)，Δ=4y02-16x0=4(y02-4x0)＜0.
∴方程(*)无实根，∴l与C无公共点.
二、填空题
13. ∵a·b=|a||b|cosθ=12，|b|=5，∴|a|cosθ=.
14.200
15.75 .
16.②③
三、解答题
17.解：(1)∵a=(cosα，sinα)，b(cosβ，sinβ)，
∴a-b=(cosα-cosβ，sinα-sinβ). 2分
∵|a-b|=，
∴， 4分
即2-2cos(α-β)=.∴cos(α-β). 6分
(2)∵0＜α＜，＜β＜0，∴0＜α-β＜π. 7分
∵cos(α-β)，∴sin(α-β)=. 8分
sinβ=，∴cosβ=. 9分
∴sinα=sin[(α-β)+β]=sin(α-β)cosβ+cos(α-β)sinβ=·+·()=. 12分
18.解：记“第一套通讯设备能正常工作”为事件A，“第二套通讯设备能正常工作”为事件B，由题意知
P(A)=p3，P(B)=p3. 2分
P()=1-p3，P()=1-p3.
(1)恰有一套设备能正常工作的概率为P(A·+·B)=P(A·)P(·B) 4分
=p3(1-p3)+(1-p3)p3=2p3-2p6. 7分
(2)解法一：两套设备都能正常工作的概率为P(A·B)=P(A)·P(B)=p6. 9分
至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为P(A+B)+P(AB)=2P3-2P6+P6=2P3-P6. 11分
解法二：两套设备都不能正常工作的概率为P(·)=P()·P()=1(1-p3)2.
9分
至少有一套设备能正常工作的概率，即能进行通讯的概率为
1-P(·)=1-P()·P()=1(1-p3)2=2p3-p6. 11分
答：恰有一套设备能正常工作的概率为2p3-2p6，能进行通讯的概率为2p3-p6. 12分
19.解：(1)当BC＜2时，不存在；当BC=2时，存在唯一；当BC＞2时，存在两个.
4分
(2)此时，BC=2，Q为BC中点，连AQ，作AE⊥PQ于E.
∵DQ⊥PA，DQ⊥PQ，∴DQ⊥面PAQ.∴PDQ⊥面PAQ.∴AE⊥面PDQ，AE=，AD=2，sinθ=即正弦值为. 8分
(3)∵PA⊥面ABCD，AB⊥DA，AB⊥BC，
BC面PBA，DA⊥面PBA，cosθ=. 10分
S△PAB=·1·1=，S△PDQ=··.
∴cosθ，即大小为arccos. 12分
20.解：(1)f′(x)=-x2+4ax-3a2.
令f′(x)=-x2+4ax-3a2=0，
得x=a或x=3a. 2分
由表
x a 3a
y′ - 0 + 0 -
y 递减 递增 b 递减
可知：当x∈(-∞,a)时，函数f(x)为减函数；
当x∈(3a,+∞)时，函数f(x)也为减函数；
当x∈(a,3a)时，函数f(x)为增函数； 4分
当x=a时，f(x)的极小值为；
当x=3a时，f(x)的极大值为b； 6分
(2)由|f′(x)|≤a，得-a≤-x2+4ax-3a2≤a.
∵0＜a＜1，
∴a+1＞2a，f′(x)=-x2+4ax-3a2，在[a+1，a+2]上为减函数. 8分
∴[f′(x)]max=f′(a+1)=2a-1，
[f′(x)]min=f′(a+2)=4a-4.
于是，问题转化为求不等式组的解.
解不等式组，得≤a≤1.
又0＜a＜1，∴所求a的取值范围是≤a≤1. 12分
21.解：(1)①q=1时，不存在C. 2分
②Sn=(q≠1)，Sn=·qn.
∴C=. 5分
(2)①当q=1时，S3=3q1，S8=8q1，S9=9q1，不合题意. 7分
②当q≠1时，，
∴，.
∴且q≠1，又成等比数列，
∴S102=xS5(S16-S6). 9分
∴
∴(1-q10)2=x(1-q5)(q6-q16).
∴1+q5=xq6，又2q6=1+q5.
∴2q6=xq6，而且q≠0.∴x=2. 12分
22.解：(1)由题意知，
，则.
解得.
设t1＞t2≥3，则
∵t1-t2＞0，t1t2-1＞0，t1t2＞0，
∴f(t1)-f(t2)＞0，f(t1)＞f(t2)，
函数f(t)在区间[3，+∞]上单调递增. 4分
(2)由S=得y0=.
∴点Q的坐标为(t+),
∵函数f(t)在区间[3，+∞]上单调递增，
∴当t=3时，取得最小值，此时点F、G的坐标分别为(3，0)、().
由题意设椭圆方程为.
由点G在椭圆上，得，解得b2=9.
∴所求椭圆方程为. 8分
(3)设C、D的坐标分别为(x,y)、(m,n)，则.
由=，得=，x=m，y=n-.
∵点C、D在椭圆上，
∴.
消去m，得n=.
又∵|n|≤3，∴||≤3，解得≤≤5.
∴实数的取值范围是. 14分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本18
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列函数中具有反函数的有
①y=x2，x∈{1，2，3} ②y=lg|x| ③y=ex－2
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.将点P(1，2)按向量a=(3，4)平移到点P′(－t2+t+6，t2+t)，则实数t的值为
A.2或－1 B.－3或2
C.－1或3 D.2
3.数列{an}满足an=－an－1(n≥2)，a1=，则a4与a2的等差中项是
A.－ B.
C. D.－
4.若0＜a＜1，f(x)＝|logax|，则下列各式中成立的是
A.f(2)＞f()＞f() B.f()＞f(2)＞f()
C.f()＞f(2)＞f() D.f()＞f()＞f(2)
5.(x3+)n的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列，则展开式中的常数项是
A.21 B.35 C.56 D.58
6.已知圆方程x2+y2=4，A(－1，0)，B(1，0)，动抛物线过A、B两点且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是
A.=1(y≠0) B.=1(y≠0)
C.=1(y≠0) D.=1(y≠0)
7.函数y=cos2(x+π)是
A.周期为2π的偶函数 B.周期为2π的奇函数
C.周期为π的偶函数 D.周期为π的奇函数
8.若直线a⊥b，且a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是
A.bα B.b∥α
C.bα或b∥α D.以上都不对
9.在正三棱锥S—ABC中，D是AB的中点，且SD与BC成45°角，则SD与底面ABC所成角的正弦为
A. B.
C. D.
10.某校高中生有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采取分层抽样法抽取容量为45人的样本，那么高一、高二、高三年级抽取的人数分别为
A.15，5，25 B.15，15，15
C.10，5，30 D.15，10，20
11.在△ABC中，A＝60°，b＝1，面积为，则的值为
A. B.
C. D.
12.R上的函数y=f(x)不恒为零，同时满足f(x+y)=f(x)f(y)，且当x＞0时，f(x)＞1，则当 x＜0时，一定有
A.f(x)＜－1 B.－1＜f(x)＜0
C.f(x)＞1 D.0＜f(x)＜1
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.若关于x的方程4x+a·2x+4=0有实数解，则实数a的取值范围是___________.
14.若曲线f(x)=x4－x在点P处切线平行于直线3x－y=0，则点P的坐标为___________.
15.若c≠0，则直线ax+by+c=0与圆x2+y2+ax+by+c=0的交点个数是___________.
16.若对n个向量a1，a2，…，an存在n个不全为零的实数k1，k2，…，kn，使得k1 a1+k2 a2+…+knan=0成立，则称向量a1，a2，…，an为“线性相关”，依此规定，能说明a1=(1，0)，a2=(1，－1)，a3=(2，2)“线性相关”的实数k1，k2，k3依次可以取___________.(写出一组数值即可，不必考虑所有情况)
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知cos(α+)=，≤α＜π，求cos(2α+)的值.
18.(本小题满分12分)
解关于x的不等式|x－a|＜ax(a＞0).
19.(本小题满分12分)
在某物理实验中，有两粒子a，b分别位于同一直线上A、B两点处(如图所示)，|AB|＝2，且它们每隔1秒必向左或向右移动1个单位，如果a粒子向左移动的概率为，b粒子向左移动的概率为.
(1)求2秒后，a粒子在点A处的概率；
(2)求2秒后，a，b两粒子同时在点B处的概率.
20.(本小题满分12分)
如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC⊥BC，侧面BCC1B1是边长为a的正方形，D、E分别是B1C1、BB1的中点.
(1)试过A、C、D三点作出该三棱柱的截面，并说明理由；
(2)求证：C1E⊥截面ACD；
(3)求点B1到截面ACD的距离.
21.(本小题满分12分)
已知函数g(x)=(2－x)3－a(2－x)，函数f(x)的图象与g(x)的图象关于直线x－1＝0对称.
(1)求f(x)的表达式；
(2)若f(x)在区间［1，＋∞)上是单调增函数，求实数a的取值范围；
(3)记h(x)＝f(x)+g(x)，求证：当x1，x2∈(0，2)时，|h(x1)－h(x2)|＜12|x1－x2|.
22.(本小题满分14分)
设A(－2，0)，B(2，0)，M为平面上任一点，若|MA|＋|MB|为定值，且cosAMB的最小值为－.
(1)求M点轨迹C的方程；
(2)过点N(3，0)的直线l与轨迹C及单位圆x2+y2=1自右向左依次交于点P、Q、R、S，若|PQ|＝|RS|，则这样的直线l共有几条？请证明你的结论.
参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.解析：①③由一一映射确定，故有反函数.
答案：C
2.解析：由平移公式知：解得t=2.
答案：D
3.解析：公比q=－，a2=a1q=－，a4=a1q3=－.
∴a2与a4的等差中项为(a2+a4)÷2=－.
答案：A
4.解析：f(2)=|loga2|=|－loga|=loga，
f()=|loga|=loga，
f()=|loga|=loga.
∵0＜a＜1，logax是减函数，
∴f()＞f()＞f(2).
答案：D
5.解析：2C=C+C，解得n=7，Tr+1=Cx21－7r.
令21－7r＝0，∴r=3，∴常数项为T4=C=35.
答案：B
6.解析： |AF|＋|BF|＝|AA′|+|BB′|＝2|OO′|＝4.
由定义知，抛物线焦点F的轨迹是中心在原点，A、B为焦点，4为长轴长的椭圆(不包括在x轴上的点).?∴a=2，c=1，b=，故选B.
答案：B
7.解析：y=sin2x= (1－cos2x)，故选C.
答案：C
8.解析：b与α可能相交，可能平行，也可能b在α内，故选D.
答案：D
9.解析：取AC中点E，连结DE、SE，则∠SDE是SD与BC所成角.∴∠SDE=45°，设BC＝2，SA＝x．易得DE＝1，SD＝SE＝，∴△SDE是等腰直角三角形，∴SD＝=.作SO⊥面ABC于O，连结OD，则OD＝BC=，∠SDO即SD与底面所成角，cosSDO=，∴sinSDO=.
答案：C
10.解析：300∶200∶400=3∶2∶4=15∶10∶20.
答案：D
11.解析：由S=bcsinA=，得c=4，a2=b2+c2－2bccosA=13，∴a=，原式=.
答案：B
12.解析：显然f(x)=2x满足条件，当x＜0时， 0＜2x＜1，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.a≤－4 14.(1，0) 15.0 16.－4，2，1
三、解答题(17，18，19，20，21题每题12分，22题14分，共74分)
17.解：cos(2α+)=cos2αcos－sin2αsin= (cos2α－sin2α).
∵π≤α+＜π，cos(α+)=＞0，
∴π＜α+＜π，
∴sin(α+)=－. 6分
∴cos2α=sin(2α+)=2sin(α+)cos(α+)=－.
sin2α=－cos(2α+)=1－2cos2(α+)=.
∴cos(2α+)= (－－)=－. 12分
18.解：|x－a|＜ax(a＞0)
2分
①a＞1时，，∴x＞. 6分
②a=1时，∴x＞. 8分
③0＜a＜1时，，∴＜x＜. 10分
综上，a≥1时，解集为［，+∞)；0＜a＜1时，解集为(，).12分
19.解：(1)∵1秒后a粒子向左移动1个单位的概率为，又过1秒后a粒子回到A处的概率为1－=，∴a粒子先向左后向右回到A处的概率为×，同理，a粒子向右后向左回到A处的概率为×，故2秒后a粒子在A处的概率为×+×=.6分
(2)∵2秒后a粒子在B处的概率为×=，而b粒子2秒后在B处的概率为×+×=.
∴2秒后a、b粒子同时在B处的概率为×=. 12分
20.(1)解：取A1B1中点F，连DF、AF，由题设DF∥A1C1∥AC，
∴A、C、D、F四点共面，∴截面是ACDF. 3分
(2)证明：
C1E⊥AC.
D、E是B1C1、BB1中点
C1E⊥截面ACD. 7分
(3)解：延长AF、CD、BB1，易证它们交于一点G，由(2)知C1E⊥截面ACD，又C1E?侧面BCC1B1，
∴侧面BCC1B1⊥截面ACD.
过B1作B1M⊥CG于M，则B1M⊥截面ACD.
∴B1M就是B1到截面ACD的距离.
∵B1DBC，
∴GD＝DC＝a，GB1＝B1B＝a，
在Rt△GB1D中，B1M＝.
即B1到截面ACD距离为a. 12分
21.解：(1)设P(x，y)为函数f(x)图象上任一点，其关于x＝1的对称点P′(x′，y′)应在g(x)图象上.
∴∴代入g(x)表达式得f(x)= x3－ax. 4分
(2)∵f′(x)=3x2－a，且f(x)在［1，+∞)上是增函数，
∴3x2－a≥0在［1，+∞）上恒成立，∴a≤3x2∈［3，+∞）恒成立.
∴a≤3. 8分
(3)∵h(x)=f(x)+g(x)=(2－x)3－a(2－x)+x3－ax=6x2－12x+8－2a，
|h(x1)－h(x2)|=|(6x12－12x1+8－2a)－(6x22－12x2+8－2a)|
=|6(x12－x22)－12(x1－x2)|
=6|x1－x2|·|x1+x2－2|.
∵x1，x2∈(0，2).
∴0＜x1+x2＜4，∴－2＜x1+x2－2＜2，
即|x1+x2－2|＜2，∴6|x1－x2|·|x1+x2－2|＜12|x1－x2|，
即|h(x1)－h(x2)|＜12|x1－x2|. 12分
22.解：(1)设M(x，y)，∵在△AMB中，AB＝4，|MA|＋|MB|是定值.
可设|MA|＋|MB|＝2a(a＞0).
∴cosAMB=
=
=－1. 3分
而|MA|＋|MB|≥2，
∴|MA|·|MB|≤a2.
∴－1≥－1.
∵cosAMB最小值为－，
∴－1=－.
∴a=.
∴|MA|+|MB|=2＞|AB|.
∴M点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，且a=，c=2.
∴b2=a2－c2=2.
∴曲线C的方程是=1. 7分
(2)设直线l的方程是y＝k(x－3).
1°当k＝0时，显然有|PQ|＝|RS|；此时l的方程是y＝0.
2°当k≠0时，∵|PQ|＝|RS|，
∴PS与RQ的中点重合，设中点为G，则OG⊥PS.
由，得(1+3k2)x2－18k2x+27k2－6=0. 10分
设P(x1，y1)，S(x2，y2)，
则x1+x2=，y1+y2=k(x1－3)+k(x2－3)=.
∴G(，).
∴×k=－1无解，此时l不存在，
综上，存在一条直线l：y＝0满足条件. 14分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本7
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.设全集U=R，集合M={x|＞2},N={x|logx7＞log37},那么M∩(UN)是
A.{x|x＜－2 B.{x|x＜－2或x≥3
C.{x|x≥3 D.{x|－2≤x＜3
2.若函数f(x)=lg(x2－ax－3)在(－∞,－1)上是减函数，则a的取值范围是
A.a＞2 B.a＜2
C.a≥2 D.a≤2
3.已知|a|=3，|b|=2，a，b的夹角为60°，如果(3a+5b)⊥(ma－b)，则m的值为
A. B.
C. D.
4.已知相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面，内若p:l、m中至少有一条与相交;q: 与相交.则p是q的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.不充分也不必要条件
5.已知数列10，10，10，…，10，…它的前n项的积大于105，则正整数n的最小值是
A.12 B.11
C.10 D.8
6.设m,n都是不大于6的自然数，则方程Cx2－Cy2=1表示双曲线的个数是
A.16 B.15
C.12 D.6
7.若复数z满足|z+4+3i|=3，则复数Z的模应满足的不等式是
A.|z|＜8 B.|z|≤|－4－3i|
C.2≤|z|≤8 D.5≤|z|≤8
8.在100件产品中，有60件正品，40件次品，从中有放回地抽取3次，每次抽取1件，那么恰有2次抽到正品的概率是
A.0.024 B.0.144
C.0.236 D.0.432
9.已知cot=2,tan(－)=－，则tan(－2)的值是
A. B.－
C. D.－
10.直线l:x+2y－3=0与圆C：x2+y2+x－6y+m=0有两个交点A、B，O为坐标原点，若，则m的值是
A.2 B.3
C.－1 D.
11.用6种不同的颜色把下图中A、B、C、D四块区域分开，允许同一色涂不同的区域，但相邻的区域不能涂同一色，则不同的涂法共有
A.400种 B.460种
C.480种 D.496种
12.若，则k的取值范围
A.0＜k＜ B.k＜
C.|k|＜ D.＜k＜1
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.函数y=x3－3x的单调减区间是___________.
14.如果x,y满足x2+y2－2x+4y=0，那么x－2y的最大值是___________.
15.点P(a,b)是单位圆上的动点，则点Q(a+b,ab)的轨迹方程是___________.
16.平面∥，A、B分别为、内的定点，AB与平面成30°角，、间的距离为1,A∈l1,B∈l2,l1,l2，则l1与l2间的距离的取值范围是___________.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=sinxcosx－cos2x+,x∈R,求函数f(x)的最小正周期.
18.(本小题满分12分)
{an},{bn}都是各项为正数的数列，对任意的自然数n，都有an、bn2、an+1成等差数列，bn2、an+1、bn+12成等比数列.
(1)试问{bn}是否是等差数列？为什么？
(2)求证：对任意的自然数p,q(p＞q),bp－q2+bp+q2≥2bp2成立；
(3)如果a1=1,b1=,Sn=，求.
19.(本小题满分12分)
已知：正三棱柱A1B1C1—ABC中，AA1=AB=a,D为CC1的中点，F是A1B的中点，A1D与AC的延长线交于点M，
(Ⅰ)求证：DF∥平面ABC；
(Ⅱ)求证：AF⊥BD；
(Ⅲ)求平面A1BD与平面ABC所成的较小二面角的大小.
20.(本小题满分12分)
科华电子商城是“奔达”牌电脑的特约经销单位，为了在来年的电脑销售中居于有利地位，2002年5~7月，商城对“奔达”牌电脑的市场销售情况进行了摸底调查，经过对市场情报的分析，预计从2003年1月开始的10个月内(称为销售期)，电脑的销售总量y与销售的时间h(单位：月)近似地满足函数关系y=h(h+2)(18－h)，试问：
(1)哪个月的销售量超过130台？
(2)在2003年的销售期内哪几个月的销售量最大？
(3)在2003年的销售期内，商场每个月月初从厂家等量进货，为了保证该品牌电脑不脱销(即商城始终有货可售)，每月应至少进多少台该电脑？
21.(本小题满分12分)
函数f(x)=loga(x－3a)(a＞0且a≠1)，当点P(x,y)是函数y=f(x)图象上的点时，Q(x－2a,－y)是函数y=g(x)图象上的点.
(Ⅰ)写出函数y=g(x)的解析式；
(Ⅱ)当x∈［a+2,a+3］时，恒有|f(x)－g(x)|≤1，试确定a的取值范围.
22.(本小题满分14分)
已知双曲线的两个焦点分别为F1、F2，点F1又是抛物线y2=4x的焦点，点A(－1，2)、B(3，2)在双曲线上.
(1)求点F2的轨迹方程；
(2)是否存在直线l:y=x+m与点F2的轨迹有两个公共点？若存在，求出实数m的值；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.B
2.解析：使x2－ax－3在(－∞,－1)上单减且在(－∞,－1)上恒为正，
故令≥－1,(－1)2－a(－1)－3≥0.
答案：C
3.C 4.C
5.解析：注意是前n项的积，而非和.
答案：B
6.A
7.解析：利用数形结合，研究圆上的点到原点距离的范围.
答案：C
8.D
9.解析：用角的变换, －2=(－)－.
答案：B
10.B
11.解析：分用三种颜色涂和用四种颜色涂两种，只有A与D两区可以同色.
答案：C
12.解析：由题意得－1＜＜1.
答案：B
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.［－1，1］ 14.10 15.x2=1+2y 16.［1,2］
三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分)
17.解：f(x)=sin2x－
=. 8分
最小正周期为T==. 12分
18.解：依题意2bn2=an+an+1， ①
an+12=bn2·bn+12. ②
(1)∵an＞0，bn＞0，∴由②式得an+1=bn·bn+1，从而n≥2时，an=bn－1·bn,代入①2bn2= bn－1bn+bnbn+1,
∴2bn=bn－1+bn+1(n≥2),
∴{bn}是等差数列. 4分
(2)因为{bn}是等差数列，∴bp－q+bp+q=2bp.
∴bp－q2+bp+q2≥. 7分
(3)由a1=1,b1=及①②两式易得a2=3,b2=，
∴{bn}中公差d=，
∴bn=b1+(n－1)d
=(n+1),
∴an+1=(n+1)(n+2). ③
又a1=1也适合③,∴an=(n∈N),
∴,
∴Sn=2［1－］
=2(1－),
∴=2. 12分
19.(Ⅰ)证明：取AB中点E，连EF、CE，
∵F为AB中点，
∴EF∥AA1∥CC1，且EF=AA1=CC1.
∵D为CC1中点，∴CD=CC1.
又AA1∥CC1,∴EF∥CD且EF=CD，
∴四边形EFDC为平行四边形，
∴DF∥CE.
∵DF面ABC，∴DF∥面ABC. 4分
(Ⅱ)证明：∵A1A=AB，F为A1B中点，
∴AF⊥A1B.
∵AA1⊥面ABC，∴AA1⊥CE.
又DF∥CE，∴DF⊥AA1.
∵A1ACC1，B1BCC1为正方形，D为CC1中点,
∴A1D=BD，∴DF⊥A1B.
∴DF⊥面AA1B，∴DF⊥AF.
∴AF⊥面A1BD，∴AF⊥BD. 8分
(Ⅲ)解：∵CD∥AA1，
∴CD=AA1，D为A1M中点，
又F为A1B中点，
∴DF∥BM.由(Ⅱ)知DF⊥面AA1B，
∴BM⊥面AA1B，∴BM⊥A1B，BM⊥AB.
∴∠A1BA为平面A1BM与面ABC所成二面角的平面角.
即∠A1BA为平面A1BD与平面ABC所成的二面角的平面角.
∵A1ABB1为正方形，
∴∠A1BA=45°即为所求二面角大小.
20.解：设f(n)=n(n+2)(18－n),
(1)第一个月的销售量为f(1)=＜130,
当n≥2时，第n个月的销售量
f(n)－f(n－1)=－(3n2－35n－19),
根据题意，要f(n)－f(n－1)＞130,
只要－(3n2－35n－19)＞130，
只要3n2－35n+98＜0,即＜n＜7,即n=5或6，
所以2003年5、6月份的销售量超过130台. 5分
(2)由(1)知，销售量最大的月份应是5月份或6月份，
∵［f(6)－f(5)］－［f(5)－f(4)］=＞0，
∴6月份的销售量最大. 8分
(3)设每月应至少进该电脑x台，依题意nx＞f(n),对一切n(1≤n≤10)恒成立,
即9x＞－10(n－8)2+1000对一切n(1≤n≤10)恒成立，
∴x＞,即x≥112,
∴每月份应至少进该电脑112台. 12分
21.解：(Ⅰ)设P(x0,y0)是y=f(x)图象上的点，Q(x,y)是y=g(x)图象上的点，则
∴
∴－y=loga(x+2a－3a),
∴y=loga(x＞a). 5分
(Ⅱ)∴x＞3a.
∵f(x)与g(x)在［a+2,a+3］上有意义，
∴3a＜a+2,∴0＜a＜1.
∵|f(x)－g(x)|≤1恒成立，
∴|loga(x－3a)(x－a)|≤1恒成立.
对x∈［a+2,a+3］上恒成立，令h(x)=(x－2a)2－a2,其对称轴x=2a.2a＜2,2＜a+2,
∴当x∈［a+2,a+3］时，h(x)min=h(a+2),h(x)max=h(a+3).
∴
. 12分
22.解：(1)∵F1(1，0)，∴由题意,得||F1A|－|F2A||=||F1B|－|F2B||. (*)
∵A(－1，2)，B(3，2)，
∴|F1A|=2，|F1B|=2，设点F2的坐标为(x,y),
①当(*)取|F1A|－|F2A|=|F1B|－|F2B|时，则有|F2A|=|F2B|，∴x=1.
②当(*)取|F1A|－|F2A|=|F2B|－|F1B|时，则有|F2A|+|F2B|=4＞|AB|=4.
∴F2的轨迹表示椭圆=1.
∵F1,F2不重合，∴除去点(1，0).
∵A、B两点到两焦点距离不等，∴除去点(1,4).
③综上，F2的轨迹方程为x=1(y≠0,y≠4)和=1(y≠0,y≠4). 8分
(2)F2的轨迹如图所示，当直线l与椭圆相切时符合题意，由
消y，得3x2+(4m－10)x+2m2－8m+1=0,由Δ=0，得m=1±2. 14分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本25
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集为R，集合A={x∈R|f(x)=0}，B={x∈R|g(x)=0}，则不等式f(x)g(x)≠0的解集为
A.(CRA)∩(CRB) B.(CRA)∪(CRB)
C.(B∩CRA)∪(A∩CRB) D.(B∪CRA)∪(A∪CRB)
2.已知等差数列前n项和为Sn，若S12＞0，S13＜0，则此数列中绝对值最小的项为
A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项
3.要得到函数y=cos()的图象，只需将函数y=sin的图象
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
4.两个非零向量的模相等是两个向量相等的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设a=(sin17°+cos17°)，b=2cos213°-1，c=，则
A.c＜a＜b B.b＜c＜a C.a＜b＜c D.b＜a＜c
6.以下可以描述总体稳定性的统计量是
A.样本均值 B.样本中位数
C.样本方差 D.样本最大值
7.已知四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；②对角面是全等矩形的直四棱柱一定是长方体；③有一条侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱；④有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体.则上述命题中
A.四个都是假命题 B.只有③是真命题
C.只有①是假命题 D.只有④是假命题
8.P是双曲线(a＞0，b＞0)的左支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为
A.-a B.a
C.-c D.c
9.若的展开式中第五项等于，则(x-1+x-2+x-3+…+x-n)的值等于
A.1 B. C. D.
10.已知抛物线y=-2x2+bx+c在点(2，-1)处与直线y=x-3相切，则b+c的值为
A.20 B.9 C.-2 D.2
11.向高为H的水瓶A、B、C、D中同时以等速注水，注满为止，若水量V与水深h的函数的图象是左下图，则水瓶的形状为


12.如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有A、B、C、D、E、F六个焊点，如果某个焊点脱落，整个电路就会不通，现在电路不通了，那么焊点脱落的可能性共有的种数为
A.6 B.36 C.63 D.64
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本25
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
题 号 二 三 总 分
17 18 19 20 21 22
分 数
得分 评卷人
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.一个凸多面体的面都是四边形，则它的顶点数与面数的差是___________.
14.不等式＜1的解集为(-∞，1)∪(2，+∞)，则a=_________.
15.=___________.
16.已知x∈(0，π)，则的最小值为__________.
得分 评卷人
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d＞0，且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第二、三、四项.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)设数列{cn}对任意自然数n均有成立，求c1+c2+c3+…+c2003的值.
18.(本小题满分12分)
如图，矩形ABCD与ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设AB=1，PA=h，AD=y.



(1)试求y关于h的函数解析式；
(2)当y取最小值时，指出点Q的位置，并求出此时AD与平面PDQ所成的角；
(3)在条件(2)下，求三棱锥P—ADQ内切球的半径.
19.(本小题满分12分)
在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，.
(1)用a、b表示；
(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设，，求证.
20.(本小题满分12分)
甲、乙、丙三人一起参加公务员选拔考试，根据三人的初试情况，预计他们被录用的概率依次为0.7、0.8、0.8.求：
(1)甲、乙两人中恰有一人被录用的概率；
(2)三人中至少有两人被录用的概率.
21.(本小题满分12分)
已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条准线方程为x=，一个顶点到一条渐近线的距离为．
(1)求双曲线C的方程；
(2)动点P到双曲线C的左顶点A和右焦点F的距离之和为常数(大于|AF|)，且cosAPF的最小值为，求动点P的轨迹方程．
22.(本小题满分14分)
已知函数f(x)满足对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1，且f(-2)=-2.
(1)求f(1)的值；
(2)证明：对一切大于1的正整数t，恒有f(t)＞t；
(3)试求满足f(t)=t的整数的个数，并说明理由．
仿真试题(七)
一、选择题
1.A f(x)g(x)≠0f(x)≠0且g(x)≠0.
2.C
3.A 化y=cos()为y=sin()即得.
4.B 向量相等则模相等，模相等向量不一定相等.
5.A 全化为正弦值的形式后可比较大小.
6.C
7.B 本题考查的是特殊的四棱柱的概念，注意区分理解它们的本质区别.
8.A
9.A 可求得x=2，而后用求和公式，再求极限.
10.C 用导数做，令(2)=1,又f(2)=-1.
11.A
12.C 至少有一个焊点脱落，.
二、填空题
13.2 灵活应用欧拉公式.
14. 先移项通分，再化为整式不等式，注意相应方程的解及a的符号.
15.333298
16.3 注意0＜sinx≤1，用基本不等式可以发现，函数y=x+在区间(0,]上单调递减，故当sinx=1时取最小值.
三、解答题
17．解：(1)由题意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2(d＞0).
解得d=2,∴an=2n-1,可得bn=3n-1. 5分
(2)当n=1时，c1=3；当n≥2时，由=an+1-an,得cn=2·3n-1,故cn= 9分
故c1+c2+c3+…+c2003=3+2×3+2×32+…+2×32002=32003. 12分
18.解：(1)显然h＞1，连接AQ，∵平面ABCD⊥平面ADQP，PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD.由已知PQ⊥DQ，∴AQ⊥DQ，AQ=y2-h2.
∵Rt△ABQ∽Rt△QCD，CQ=，
∴.
∴y=(h＞). 4分
(2)y= 6分
当且仅当时，等号成立.此时CQ=1，即Q为BC的中点.于是由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ，PQ是其交线，则过A作AE⊥平面PDQ，
∴∠ADE就是AD与平面PDQ所成的角.由已知得AQ=，PQ=AD=2，
∴AE=1,sinADE=,∠ADE=30°. 8分
(3)设三棱锥P-ADQ的内切球半径为r，则(S△PAD+S△PAQ+S△PDQ＋S△ADQ)·r=VP-ADQ.
∵VP-ADQ=S△ADQ·PA=，S△PAQ=1,S△PAD=，S△QAD=1,S△PDQ=.
∴r=. 12分
19.(1)解：设，.
∵点A、M、D共线，∴共线.
∴.∴m+2n=1. ① 2分
而，，∵C、M、B、共线，∴共线.
∴∴4m+n=1. ② 4分
联立①②可得m=n=，∴=. 7分
(2)证明：，
∵共线，∴.
∴. 12分
20.解:记A=“甲被录用”,B=“乙被录用”，C=“丙被录用”. 1分
(1)甲、乙两人中恰有一人被录用包括A··B两种情况，这两种情况所对应的事件为互斥事件. 2分
∴P(A··B)=P(A)P()+P()+P(B)
=0.7×(1-0.8)+(1-0.7)×0.8
=0.38. 5分
(2)“三人中至少有两人被录用”分“三人中恰有两人被录用”和“三人都被录用”两种情况，这两种情况所对应的事件为互斥事件. 6分
“三人中恰有两人被录用”的概率为
P(A·B·+A·C·+C·B·)
=P(A)P(B)P()+P(A)P()P(C)+P()P(B)P(C) 9分
=2×0.7×0.8×(1-0.8)+(1-0.7)×0.82=0.416.
“三人都被录用”的概率为
P(A·B·C)=P(A)P(B)P(C)=0.7×0.8×0.8=0.448. 11分
故所求概率为0.416+0.448=0.864. 12分
21.解：(1)易求得方程为. 5分
(2)A、F是定点，由圆锥曲线的定义知，点P的轨迹为椭圆，设其长轴为2a,短轴为2b，焦距为2c=8,
在△PAF中，利用余弦定理研究∠APF的余弦，应基本不等式可知，cosAPF≥1-，
当且仅当|PA|=|PF|=a时取等号，故a2=25，b2=9.求出椭圆中心的坐标为(1,0)，则所求方程为. 12分
22.(1)解：令x=y=0，得f(0)=-1.令x=y=-1，因f(-2)=-2，所以f(-1)=-2.令x=1,y=-1,得f(0)=f(1)+f(-1).所以f(1)=1. 4分
(2)证明：令x=1,得f(y+1)-f(y)=y+2.
故当y∈N*时，有f(y+1)-f(y)＞0.由f(y+1)＞f(y),f(1)=1可知，对一切正整数y都有f(y)＞0.
当y∈N*时，f(y+1)=f(y)+y+2=f(y)+1+y+1＞y+1.
故对一切大于1的正整数，恒有f(t)＞t. 9分
(3)解：由f(y+1)-f(y)=y+2及(1)可知f(-3)=-1,f(-4)=1.
下面证明t≤-4时，f(t)＞t.
∵t≤-4,∴-(t+2)≥2＞0.
∵f(t)-f(t+1)=-(t+2)＞0,
即f(-5)-f(-4)＞0.
同理可得f(-6)-f(-5)＞0,f(t+1)-f(t+2)＞0,f(t)-f(t+1)＞0.
将各不等式相加得f(t)＞f(-4)=1＞-4.
∵t≤-4，∴f(t)＞t.
综上所述，满足条件的整数只有两个：1和-2. 14分
A
B
C
D2006年高考理科数学摸拟试题解析样本24
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合P={(x，y)||x|+|y|=1}，Q={(x，y)|x2+y2≤1}，则
A.PQ B.P=Q C.PQ D.P∩Q=Q
2.已知函数则f[f()]的值是
A.9 B. C.-9 D.
3.将直线x+y=1绕(1，0)点顺时针旋转90°后，再向上平移1个单位与圆x2+(y-1)2=r2相切，则半径r的值是
A. B. C. D.1
4.复数z满足arg(z+2)=则|z-2|的最小值是
A.1 B.2 C.2 D.2
5.等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3+a17=10，则S19的值
A.是55 B.是95
C.是100 D.不能确定
6.过定点P(0，2)作直线l，使l与曲线y2=4(x-1)有且仅有1个公共点，这样的直线l共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
7.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=3000+20x-0.1x2(0＜x＜240，x∈N)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是
A.100台 B.120台
C.150台 D.180台
8.对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：①与a是异面直线；②与a所成的角为定值θ；③与a的距离为定值d.那么，这样的直线b有
A.1条 B.2条
C.3条 D.无数条
9.某学生计划用不超过10元的钱购买单价分别为0.5元、0.6元的铅笔和练习本.根据需要，铅笔至少买7枝，练习本至少买6本，则不同的选购方式共有
A.10 B.15
C.19 D.20
10.为了使函数y=sinωx(ω＞0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值是
A.98π B.
C. D.100π
11.在f1(x)=，f2(x)=x2，f3(x)=2x，f4(x)=x四个函数中，当x1＞x2＞1时，使成立的函数是
A.f1(x)= B.f2(x)=x2
C.f3(x)=2x D.f4(x)=x
12.设P(x，y)是曲线C：x2+y2+4x+3=0上任意一点，则的取值范围是
A.[，] B.(-∞，)∪[，+∞]
C.[，] D.(-∞，)∪[，+∞]
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本24
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
题 号 二 三 总 分
17 18 19 20 21 22
分 数
得分 评卷人
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.已知双曲线(a＞0，b＞0)的半焦距为c，若b2-4ac＜0，则它的离心率的取值的范围是___________.
14.地球北纬45°圈上有两点A、B，点A在东经130°处，点B在西经140°处，若地球半径为R，则A、B两点在纬度圈上劣弧长与A、B两点的球面距离之比是__________.
15.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则a=________，b_________.
16.有下列命题：①G=(G≠0)是a、G、b成等比数列的充分非必要条件；②若角α、β满足cosαcosβ=1，则sin(α+β)=0；③若不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集非空，则必有a≥1；④函数y=sinx+sin|x|的值域是[-2，2].
其中错误命题的序号是_______________.(把你认为错误的命题的序号都填上)
得分 评卷人
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知△ABC中，三内角A、B、C满足A∶B∶C=1∶2∶2.
求1-cosA+cosB-cosAcosB的值.
18.(本小题满分12分)
如图，矩形ABCD中，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥面ABCD且|PA|=1.
(1)BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD？并说明理由；
(2)若BC边上存在唯一的点Q使得PQ⊥QD，指出点Q的位置，并求出此时AD与平面PDQ所成的角的正弦值；
(3)在(2)的条件下，求二面角Q—PD—A的正弦值.
19.(求小题满分12分)
若一个箱内装有分别标有号码1，2，…，50的50个小球，从中任意取出两个球把其上的号码相加，计算：
(1)其和能被3整除的概率；
(2)其和不能被3整除的概率.
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=2x3+ax，g(x)=bx2+c的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公切线，求a、b、c及f(x)、g(x)的表达式.
21.(本小题满分12分)
如图，已知△ABC的三边分别为a、b、c，A为圆心，直径PQ=2r，问P、Q在什么位置时，有最大值？
22.(本小题满分14分)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是(，)，且f(3)=2.
(1)求y=f(x)的表达式，并求出f(1)、f(2)的值；
(2)数列{an}、{bn}，若对任意的实数x都满足f(x)g(x)+anx+bn=xn+1，n∈N*，其中g(x)是定义在实数集R上的一个函数，求数列{an}、{bn}的通项公式；
(3)设圆Cn：(x-an)2+(y-bn)2=rn2，若圆Cn与圆Cn+1外切，{rn}是各项都是正数的等比数列，记Sn是前n个圆的面积之和，求(n∈N*).
参考答案
一、选择题
1.A 集合P表示正方形，集合Q表示圆面.
2.B
3.A 用d=r去研究线圆相切.
4.D 用数形结合的方法去研究.
5.B S19=19a10=19·
6.C 直线与抛物线相切或与抛物线的对轴平行.
7.C 8.D 9.D
10.B 由题意1≥49T，其中T为周期.
11.A 研究函数的图象，用数形结合切实理解题中的意义.
12.C 数形结合，表示点(x,y)与原点连线的斜率.
二、填空题
13.(1,2+)化b2-4ac＜0＜为c2-a2-4ac＜0，从而变为＜，解关于的一元二次不等式，注意＞1.
14.3∶4
15.4,-11或-3,3 由题意得f(1)=10,(1)=0，解之即得.
16.③ 在③中，a=1时，不等式的解集仍为空集，故错.
三、解答题
17.解：由题意得A=36°,B=C=72°，原式可化为,
而=(2cos36°sin18°)2， 5分
, 10分
故原式=. 12分
18.解：(1)若BC边上存在Q，使PQ⊥QD，因PA⊥面ABCD，知AQ⊥QD.矩形ABCD中，当a＜2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q使AQ⊥QD，故仅当a≥2时才存在点Q使PQ⊥QD；4分
(2)当a=2时，以AD为直径的圆与BC相切于Q，此时Q是唯一使∠AQD为直角的点，且Q为BC的中点，作AH⊥PQ于Q，可证∠ADH为AD与平面PDQ所成的角，且在Rt△PAQ中可求得sinADH=； 8分
(3)作AG⊥PD于G，可证∠AGH为二面角Q—PD—A的平面角，且在Rt△PAD中可求得
sinAGH=. 12分
19.解：因为基本事件总数n=，从1到50中能被3整除的数有3、6、9等16个数，被3除余1的数有17个，被3除余2的数有17个，按题意
(1). 7分
(2). 12分
20.解：f(x)=2x3+ax的图象过点P(2,0),
故a=-8，所以f(x)=2x3-8x. 5分
(x)=6x2-8,(2)=16.
由g(x)=bx2+c的图象过点P(2,0),得4b+c=0.
又(x)=2bx,(2)=4b=(2)=16,∴b=4.从而c=-16.
∴f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16. 12分
21.解：
=-r2+
=. 5分
设∠BAC=α,PA的延长线与BC的延长线交于D，∠PDB=θ,
则=bccosα-r2+racosθ.
∵a、b、c、α、r均为定值，∴只需cosθ=1，即AP∥BC时，有最大值. 12分
22.解：(1)由已知得f(x)=a(x-)2-(a≠0)，由f(3)=2,得a=1.
∴f(x)=x2-3x+2,x∈R.∴f(1)=0,f(2)=0. 5分
(2)∵f(1)g(1)+an+bn=1n+1,∴an+bn=1.
∴an=2n+1-1,bn=2-2n+1. 10分
(3)|CnCn+1|=.
设｛rn｝的公比为q，
则rn+rn+1=rn(1+q)=|CnCn+1|=.
∴rn+1(1+q)= ∴
∴rn=,rn2=40·4n.
∴Sn=.
∴. 14分
高考仿真试题（六）第8页2006年高考理科数学摸拟试题解析样本32
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.集合｛x∈N|0＜|x-1|＜3｝(N为含0的自然数集)的真子集个数是
A.16 B.15个 C.8个 D.7个
2.将点P(1，2)按向量a=(3，4)平移到点P′(-t2+t+6，t2+t)，则实数t的值为
A.2或-1 B.-3或2
C.-1或3 D.2
3.数列｛an｝满足an=(n≥2)，a1=，则a4与a2的等差中项是
A. B. C. D.
4.若0＜a＜1，f(x)=|logax|，则下列各式中成立的是
A.f(2)＞f()＞f() B.f()＞f(2)＞f()
C.f()＞f(2)＞f() D.f()＞f()＞f(2)
5.(x3+)n展开式中，第二、三、四项的二项系数成等差数列，则展开式中的常数项是
A.21 B.35 C.56 D.58
6.已知圆方程x2+y2=4，A(-1，0)，动抛物线过A、B两点且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是
A.(y≠0) B.(y≠0)
C.(y≠0) C.(y≠0)
7.x为三角形的一个内角，且sinx+cosx=，则sin2x与cos2x的值依次为
A.， B.-， C.-，- D.，-
8.如图：某电路中，在A、B之间有四个焊接点，若焊点脱落，则可能导致电路不通，今发现A、B之间电路不通，则焊点脱落的不同情况有
A.4种 B.10种
C.12种 C.13种
9.实系数方程x2+ax+2b=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，则的取值范围是
A.(，1) B.(，1) C.(，) D.(，)
10.已知l1、l2是两条异面直线，直线l与l1、l2所成的角都是，则l1与l2所成角的范围是
A.(0，) B.(0，) C.[，] D.[，]
11.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等腰直角三角形，斜边AB=，侧棱AA1=2a，点D是AA1的中点，那么截面DBC与底面ABC所成二面角的大小是
A.30° B.45°
C.60° D.非以上答案
12.若F(c，0)是椭圆的右焦点，F与椭圆上点的距离的最大值为M，最小值为m，则椭圆上与F点的距离等于的点的坐标是
A.(c，) B.(-c，) C.(0，±b) D.不存在
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
题 号 二 三 总分
17 18 19 20 21 22
分 数
得分 评卷人
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.某单位有职工160名，其中业务人员120名，管理人员16名，后勤人员24名.为了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若用分层抽样的方法，抽取的业务人员、管理人员、后勤人员的人数应分别为__________________.
14.若双曲线过点(，2)，则该双曲线的焦距为______.
15.某地区预计2004年的前x个月内对某种商品的需求量f(x)(万件)与月份x的近似关系式是f(x)=(x+1)(19-x)，x∈N*，1≤x≤12，则2004年的第x月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式是______.
16.直线y=x是曲线y=x3-3x2+ax的切线，则a=______.
得分 评卷人
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
张华同学骑自行车上学途中要经过4个交叉路口，在各交叉路口遇到红灯的概率都是(假设各交叉路口遇到红灯的事件是相互独立的).
(1)求张华同学某次上学途中恰好遇到3次红灯的概率；
(2)求张华同学某次上学时，在途中首次遇到红灯前已经过了2个交叉路口的概率.
18.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ωx·cosωx-cos2ωx(ω＞0)的周期为.
(1)求ω的值；
(2)△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，求此时函数f(x)的值域.
19.(本小题满分12分)
已知如图，在多面体ABCDEF中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1，F为CE的中点.
(1)求证：BF⊥平面CDE；
(2)求多面体ABCDE的体积；
(3)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.
20.(本小题满分12分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正自然数n，总有Sn=p(an-1)(p为常数且p≠0，p≠1)，数列{bn}中，bn=2n+q(q为常数).
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a1=b1，a2＞b2，求常数p的取值范围.
21.(本小题满分12分)
已知椭圆C：(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1、F2，斜率为k的直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点，与y轴交于M点，且点B分的比为2.
(1)若|k|≤，求离心率e的取值范围；
(2)若|k|=，并且弦AB的中点到右准线的距离为，求椭圆的方程.
22.(本小题满分14分)
设关于x的一元二次方程2x2-ax-2=0的两个根为α、β(α＜β)，函数f(x)=.
(1)求f(α)·f(β)的值；
(2)证明f(x)是[α，β]上的增函数；
(3)当a为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小.
一、选择题
1.D ∵集合为{0，2，3}，
∴真子集个数为23-1=7.
2.D 由平移公式知
解得t=2.
3.A 公比q=-，a2=a1q=-，a4=a1q3=-.
∴a2与a4的等差中项为(a2+a4)÷2＝-.
4. D f(2)=|loga2|=|-|=，
f()=||=，
f()=||=.
∵0＜a＜1，x是减函数，
∴f()＞f()＞f(2).
5.B ，解得n=7，Tr+1=.
令21-=0，∴r=3，∴常数项为T4=C=35.
6.B |AF|+|BF|=|AA′|+|BB′|=2|OO′|=4.
由定义知，抛物线焦点F的轨迹是中心在原点，A、B为焦点，4为长轴长的椭圆(不包括在x轴上的点).
∴a=2，c=1，b=，故选B.
7.C 8.D 9.A 10.B
11.B 实际是要求∠DCA的大小.
12.C 先考虑M+m=2a，然后用验证法.
二、填空题
13.15，2，3 20×=15，20×=2，20×=3.
14.2
15.x(13-x)，x∈，1≤x≤2
16.1或 y′=3x2-6x+a=1，x3-3x2+ax=x，x=0或x=.
∴a=1或.
三、解答题
17.解：(1)经过各交叉路口遇到红灯，相当于独立重复试验，所以恰好遇到3次红灯的概率为
P4(3)=C. 6分
(2)记“经过交叉路口遇到红灯”为事件A.
张华在第1、2个交叉路口未遇到红灯，在第3个交叉路口遇到红灯的概率为
P=P()=P()·P()·P(A)=(1-)×(1-)×=. 12分
18.解：(1)f(x)=.
由函数f(x)的周期T=，得=2. 6分
(2)由(1)得函数f(x)的表达式为f(x)=sin.
由题意，得cosx=. 8分
∵0＜x＜π，∴0＜x≤.∴-＜4x-≤.
∴-≤sin(4x-)≤1，-1≤sin(4x-)-≤.
即函数f(x)的值域为[-1]. 12分
19.(1)证明：取CD中点G，连AG、GF，则AG⊥CD，GF∥DE，GF=DE.
∵DE⊥面ACD，∴面ACD⊥面CDE.
∴AG⊥面CDE，又AB⊥面ACD，DE⊥面ACD.
∴AB∥DE，且AB=DE.
∴AB∥GF且AB=GF，四边形AGFB为平行四边形.
∴BF∥AG.∴BF⊥平面CDE. 4分
(2)解：连BD，则所求体积= 8分
(3)解：延长EB与DA交于H，连CH，则CH为所求二面角的棱.
∴F为CE中点，∴HC∥BF.∴HC⊥平面CDE.
∴∠ECD即为面BCE与面ACD所成二面角的平面角，且∠ECD=45°. 12分
20.解：(1)当n=1时，a1=S1=p(a1-1)，
∴p≠1，∴a1=.
当n≥2时，，
∵p≠1，∴=. 4分
∵p≠0，a1≠0，∴≠0，故=.
∴{}是首项a1=，公比q=的等比数列.
∴=. 7分
(2)由条件有2+q=,且4+q＜()2，
消去q，得2+＜()2，
解得＜p＜1或1＜p＜2，故所求常数p的取值范围为(，1)(1，2). 12分
21.解：(1)直线l的方程为y=k(x-c)，则M(0，-ck)，
∵点B分的比=2，
∴.∴.
∴.
∵k2≤24，∴4e4-37+9≤0.
解之≤＜1，也即≤e＜1. 6分
(2)∵k=2，∴e=.∴a=2c，b=c.
∴椭圆方程为. 8分
将直线y=2(x-c)代入椭圆方程得33x2-64cx+28c2=0. 10分
由韦达定理得x1+x2=，又右准线为x=4c,
∴弦AB中点到右准线距离为4c-.故4c-.
解得c=2，从而a=4，b=2.
∴椭圆方程为. 12分
22.(1)解：由已知
∴. 4分
(2)证明：令x≤x1＜x2≤β,f(x1)-f(x2)=.
∵(x1-α)(x2-β)≤0，(x1-β)(x2-α)＜0，
∴2x1x2-()(x1+x2)+2αβ＜0,
4x1x2-a(x1+x2)-4＜0.
又x2-x1＞0，(x12+1)(x22+1)＞0，
∴f(x1)-f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2).
∴f(x)在[α,β]上是增函数. 9分
(3)解：∵f(α)f(β)=-4＜0，
∴f(β)-f(α)=|f(β)|+|f(α)|≥2=4.
当且仅当f(β)=-f(α)时，等号成立.
∴f(β)=2，即
14分
高考仿真试题（六）第4页2006年高考理科数学摸拟试题解析样本23
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知集合P={}，Q={}如QP，则实数a的取值范围是
A.(-∞，2] B.(-∞，1] C.(1，2] D.(2，+∞
2.若，，则A为C的
A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充也不必要条件
3.将函数y=()(R)的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象的解析式为
A.()(R) B.()(R)
C.()(R) D.()(R)
4.如果M=(1-x)-5(1-x)+10(1-x)-10(1-x)+5(1-x)-1，那么M等于
A.(x-2) B.(2-x) C.-x D.x
5.对于一组数据(i=1，2，…，n)如果将它们改变为(i=1，2，…，n)，其中c为不等于0的常数，则下面结论中正确的是
A.平均数与方差都不变 B.平均数变了而方差不变
C.平均数不变，方差变了 D.平均数与方差都变了
6.已知函数f(x)在R上是增函数，A(0，-1)、B(3，1)是其图象上两点，那么|f(x+1)|<1的解集的补集为
A.(-1，2) B.(1，4)
C.(-∞，-1]∪[4，+∞) D.(-∞，-1]∪[2，+∞)
7.等腰直角三角形ABC沿斜边上的高AD折成直二面角，则BD与平面ABC所成角的正切值为
A. B. C.1 D.
8.ω是正实数，函数f(x)在[-]上递增，那么
A.0<ω≤ B.0<ω≤2 C.0<ω≤ D.ω≥2
9.等差数列{an}的首项a1>0，前n项的和Sn，若Sm=Sk(m，k∈N*，且m≠k)，则Sn取最大值时
A.
B.m+k为偶数，；m+k为奇数，
C.
D.m+k为偶数，；m+k为奇数，
10.设a、b为两个非零向量，且a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则以下命题中与等价的个数有
①a·b=0 ②x1x2+y1y2 ③|a+b|=|a-b| ④a2+b2=(a-b)2
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
11.已知-1A.(，) B.(，) C.(，) D.(，)
12.设F1(-c，0)、F2(c，0)是椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点，P是以F1F2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF1F2=5∠PF2F1，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
2006年高考理科数学摸拟试题解析样本23
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
题号 二 三 总分
17 18 19 20 21 22
分数
得分 评卷人
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.若双曲线离心率为2，则它的两条渐近线的夹角等于_______.
14.已知函数y=f(x)的反函数f-1(x)=()，则f(x)=1方程的解是______.
15.对于实数x、y，定义新运算x*y=ax+by+1，其中以a、b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，若3*5=15，4*7=28，则1*1=_______.
16.设α、β表示平面，l表示不在α内也不在β内的直线，存在下列三个事实：
①l⊥α，②l∥β③a⊥β，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，可构成三个命题，其中真命题是____________.(要求写出所有真命题)
得分 评卷人
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知10件产品中有2件是次品.(1)任意取出4件产品作检验，求其中恰有1件是次品的概率.(2)为了保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取几件产品作检验？
18.(本小题满分12分)
三个互不相同的实数是等比数列{an}中连续三项，又依次为某一等差数列中的第2项，第9项和第44项，这三个数的和为217.
(1)求这三个数；
(2)记sn为等比数列{an}的前n项和，且，求n的值.
19.(本小题满分12分)
如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=AB=1，P、Q分别是CC1、C1D1的中点，点P到直线AD1的距离为.
(1)求证：AC∥平面BPQ；
(2)求二面角B-PQ-D的大小.
20.(本小题满分12分)
设某物体从午夜0:00开始，一天中的温度T是时间t的函数，已知T(t)=at3+bt2+ct+d(a≠0)，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时，t=0表示12:00，取正值表示12:00以后，若测得该物体在8:00的温度为8℃，12:00的温度为60℃，13:00的温度为58℃，且已知该物体的温度在8:00与16:00有相同的变化率.
(1)写出该物体的温度T关于时间t的函数关系式；
(2)该物体在10:00到14:00这段时间中(包括端点)何时温度最高？最高温度是多少？
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=(，R).
(1)若m∈N，x∈R，且f(x)的值域为[1，2]，求，的值；
(2)若=-1，且f(x)的值域R，求m的取值范围.
22.(本小题满分14分)
已知点P(-3，0)，点R在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线RQ上，且=0，，
(1)当R在y轴上移动时，求点M的轨迹C；
(2)若曲线C的准线交x轴于点N，过N的直线交曲线C于A、B两点，又AB的中垂线交x轴于点E，求点E的横坐标x0的取值范围；
(3)试问(2)中所给的△ABE能否为正三角形？若能，求出的x0值；若不能，说明理由.
参 考 答 案
仿真试题(一)
一、选择题
1.B
2.A AB，BC，∴AC.
3.B 4.C 5.B
6.D ∵|f(x+1)|≥1时，x+1≤0或x+1≥3，
∴x≤-1或x≥2.
7.B 过D作DH⊥AC于H，则∠DBH即为所求，tanDBH=.
8.A ≥，∴0＜ω≤.
9.D Sn=f(n)是关于n的二次函数，又Sm=Sk，
∴f(n)应关于直线n=对称.
10.D
11.D ∵2a+3b=(a+b)-(a-b)，
∴或运用线性规划方法.
12.B ∵，∴.
二、填空题
13.60°
14.x=2 只要将x=1代入f-1(x)即可.
15.-11 .
16.①②③，①③②.
三、解答题
17.解：(1). 5分
(2)设抽取n件产品作检验，则， 8分
，得n(n-1)＞54.
∴n≥8，即至少应抽取8件产品才能满足题意. 12分
18.解：(1)设这三个数为a+d，a+8d，a+43d(d≠0)，则a+d+(a+8d)+(a+43d)=217，
即3a+52d=217. 2分
又(a+8d)2=(a+d)(a+43d)，
即3d2=4ad，∵d≠0，∴3d=4a. 4分
由①②得a=3，d=4，∴所求三数为7，35，175. 6分
(2)由(1)知等比数列的公比为5，故Sn=，于是由，得. 10分
∴52＜5n＜54.由于n为整数，∴n=3. 12分
19.(1)连结CD1，
∵P、Q分别是CC1、CD1的中点.
∴CD1∥PQ.
故CD1∥平面BPQ.
又D1Q=AB=1，D1Q∥AB，
得平行四边形ABQD1.故AD1∥平面BPQ.
∴平面ACD1∥平面BPQ.
∴AC∥平面BPQ. 4分
(2)设DD1中点为E，连PE，则PE∥CD，
∵CD⊥AD，CD⊥DD1，∴CD⊥平面ADD1.
∴PE⊥平面ADD1.
过E作EF⊥AD1于F，连PF，则PF⊥AD1，PF为点P至直线AD1的距离. 6分
PF=，PE=2，∴EF=.
又D1E=，D1D=1，∴AD=1. 8分
取CD中点G，连BG，
由AB∥DG，AB=DG，得GB∥AD.
∵AD⊥DC，AD⊥DD1，∴AD⊥平面DCC1D1，则BG⊥平面DCC1D1.
过G作GH⊥PQ于H，连BH，则BH⊥PQ，
故∠BHG是二面角B-PQ-D的平面角. 10分
由△GHQ∽△QC1P，得GH=.又BG=1，得tanBHG=.
∴二面角为B-PQ-D大小为arctan. 12分
20.解：(1)T′=3at2+2bt+c，而T′(4)=T′(-4)，
故48a+8b+c=48a-8b+c， 2分
又由条件可得
4分
∴T(t)=t3-3t+60，(-12≤t≤12). 6分
(2)T′(t)=3t2-3=3(t2-1)，
当t∈[-2，-1∪1，2]时，T′(t)＞0； 9分
当t∈(-1，1)时，T′(t)＜0.
∴t∈(-2，-1)和t∈(1，2)时，T(t)为增函数；
t∈(-1，1)时，T(t)为减函数.
又T(2)=T(-1)=64，
说明在上午10：00与下午14：00这段时间内，该物体温度最高，最高温度是62℃.
12分
21.解：(1)设，由已知得2≤y≤4，myx2+y=3x2+2x+n，即(3-my)x2+2x+n-y=0，
Δ4-4(n-y)(3-my)≥0，
即my2-(3+mn)y+3n-1≤0.
∵2≤y≤4，∴解得m=1，n=3. 5分
(2)①m=0时，f(x)∈R. 6分
②m≠0时，要使f(x)∈R，只需值域包含(0，+∞).
设，即(3-my)x2+2x-1-y=0.
-Δ=my2-(3-m)y-4≤0. 9分
要使值域包含(0，+∞)，只需m＜0时，
，有两个负根或
即或
或
∴m≤-9或-1≤m＜0或-9＜m＜-1. 11分
综上所述m≤0. 12分
22.解：(1)设点M的坐标为(x，y)，
则由得，R(0，).
又由，得(3，)·(x，)=0，
即y2=4x. 4分
(2)由(1)知点N(-1，0)，设AB：y=k(x+1).
由得k2x2+2(k2-2)x+k2=0.
由Δ＞0得0≠k2＜1. 6分
又AB的中点(，)，
AB的中垂线方程为， 8分
令y=0得，所以x0＞3. 10分
(3)若△ABE为正三角形，
则E到AB的距离等于，
. 12分
此时. 14分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本20
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知f(x)=sinx+cosx，则f()的值为
A. B.
C. D.
2.若＜＜0，则下列结论不正确的是
A.a2＜b2 B.ab＜b2
C.＞2 D.｜a｜+｜b｜＞｜a+b｜
3.已知a，b，c为任意非零向量，下列命题中可作为a=b的必要不充分的条件是
①|a|=|b|；②(a)2=(b)2；③c·(a－b)=0.
A.①② B.②③
C.①②③ D.①
4.从6人中任选4人排成一排，其中甲、乙必入选，且甲必须排在乙的左边(可以不相邻)，则所有不同排法种数是
A.36 B.72
C.144 D.288
5.正项等比数列｛an｝满足：a2·a4=1，S3=13，bn=log3an，则数列｛bn｝的前10项的和是
A.65 B.－65
C.25 D.－25
6.椭圆=1(a＞b＞0)的长轴被圆x2+y2=b2与x轴的两个交点三等分，则椭圆的离心率是
A. B.
C. D.
7.甲、乙、丙投篮一次命中的概率分别为、、，现三人各投篮一次至少有1人命中的概率为
A. B.
C. D.
8.正四面体棱长为1，其外接球的表面积为
A.π B.π
C.π D.3π
9.如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1，底面边长为1，侧棱长为2，E为BB1中点，则异面直线AD1与A1E所成的角为
A.arccos B.arcsin
C.90° D.arccos
10.已知，命题p:x+的最小值是2，q:(1－x)5的展开式中第4项的系数最小，下列说法正确的是
A.命题“p或q”为假 B.命题“p且q”为真
C.命题“非p”为真 D.命题q为假
11.已知f(x)为奇函数，周期T=5，f(－3)=1，且tanα=2，则f(20sinαcosα)的值为
A.1 B.－1
C.2 D.－2
12.已知f(x)=3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2，1)，则F(x)=［f－1(x)］2－f－1(x2)的值域为
A.［2，5］ B.［1，+∞）
C.［2，10］ D.［2，13］
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.若双曲线离心率为2，则它的两条渐近线的夹角等于_________.
14.已知函数y=f(x)的反函数f－1(x)=log (x－cos2)，则方程f(x)=1的解是_________.
15.对于实数x、y，定义新运算x*y=ax+by+1，其中a、b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算.若3*5=15，4*7=28，则1*1=_________.
16.设α、β表示平面，l表示不在α内也不在β内的直线，存在下列三个事实：
①l⊥α;②l∥β;③α⊥β，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，可构成三个命题，其中真命题是_________.(要求写出所有真命题)
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且4sin2－cos2A=，
(1)求∠A的度数；
(2)若a=，b+c=3，求b和c的值.
18.(本小题满分12分)
数列｛an｝中，a1=1，n≥2时，其前n项的和Sn满足Sn2=an(Sn－).
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn=，求数列｛bn｝的前n项和Tn.
19.(本小题满分12分)
如图，正三角形ABC与直角三角形BCD成直二面角，且∠BCD=90°，∠CBD=30°.
(1)求证：AB⊥CD；
(2)求二面角D—AB—C的大小；
(3)求异面直线AC和BD所成的角.
20.(本小题满分12分)
在中国轻纺市场，当季节即将来临时，季节性服装价格呈上升趋势，设某服装开始时定价为10元，并且每周(七天)涨价2元，5周后保持20元的价格平稳销售，10周后当季节即将过去时，平均每周削价2元，直到16周末，该服装已不再销售.
(1)试建立价格P与周次t的函数关系.
(2)若此服装每件进价Q与周次t之间的关系为Q=－0.125(t－8)2+12，t∈［0，16］，t∈N.试问：该服装第几周每件销售利润L最大？
21.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图象是C1，函数y=g(x)的图象C2与C1关于直线y=x对称.
(1)求函数y=g(x)的解析式及定义域M；
(2)对于函数y=h(x)，如果存在一个正的常数a，使得定义域A内的任意两个不等的值x1，x2都有|h(x1)－h(x2)|≤a|x1－x2|成立，则称函数y=h(x)为A的利普希茨Ⅰ类函数.试证明：y=g(x)是M上的利普希茨Ⅰ类函数；
(3)设A、B是曲线C2上任意不同两点，证明：直线AB与直线y=x必相交.
22.(本小题满分14分)
椭圆E中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e=，过点C(－1，0)的直线l与椭圆E相交于A、B两点，且C分有向线段的比为2.
(1)用直线l的斜率k(k≠0)表示△OAB的面积;
(2)当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程.
参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.解析：f(x)=sin(x+)，
∴f()=sin=.
答案：A
2.解析：由＜＜0，得b＜a＜0.
∴|a|+|b|=|a+b|，∴D不正确.
答案：D
3.解析：由a=b可推得①②③均成立，而由①②③均推不出a=b成立，∴选C.
答案：C
4.解析：CA÷A=72.
答案：B
5.解析：a32=a2a4=1，∴a3=1.设{an}的公比为，则
S3=q2+q+1=13，解得q=3，∴公比为.
an=a3()n－3=()n－3，
∴bn=log3()n－3=3－n.
∴{bn}是等差数列，其前10项和为=－25.?
答案：D
6.解析：由题意知a－b=2b，∴a=3b，c=2b，
∴e=.
答案：D
7.解析：甲、乙、丙三人均未命中的概率为
(1－)(1－)(1－)=，
∴甲、乙、丙三人至少有1人命中的概率为1－=.
答案：C
8.解析：将正四面体补成正方体，由正四面体棱长为1，可得正方体棱长为，正四面体的外接球也就是正方体的外接球，其直径2r等于正方体的对角线长·=.
∴r=，∴外接球表面积为4πr2=π.
答案：B
9.解析：取CC1中点F，连结D1F、AF，则∠AD1F是AD1与A1E所成角，
易得AD1=，D1F=，AF=，
∴∠AFD1=90°.
cosAD1F=.
答案：A
10.解析：∵x可取负值，∴命题p为假，∴非p真，故选C.
答案：C
11.解析：由tanα=2，得sin2α=，
f(20sinαcosα)=f(10sin2α)=f(8)=f(3)=－f(－3)=－1.
答案：B
12.解析：∵f(x)图象过点(2，1)，∴32－b=1，∴b=2.
∴f(x)=3x－2，∴f－1(x)=log3x+2(1≤x≤9).
∴f－1(x2)中，x2∈［1，9］.
∴x∈［－3，－1］∪［1，3］，
∴F(x)定义域为［1，3］，
而F(x)=(log3x+2)2－(log3x2+2)=(log3x+1)2+1.
∵log3x∈［0，1］，∴F(x)∈［2，5］.
答案：A
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.60° 14.x=2 15.－11 16.①②③，①③②
三、解答题(17，18，19，20，21题每题12分，22题14分，共74分)
17.解：(1)由4sin2－cos2A=及A+B+C=180°，
得2［1－cos(B+C)］－2cos2A+1=，
4(1+cosA)－4cos2A=5.
∴4cos2A－4cosA+1=0，∴cosA=.
∵0°＜A＜180°，∴A=60°. 6分
(2)由余弦定理得：cosA=.
∵cosA=，∴= ，
∴(b+c)2－a2=3bc.
将a=，b+c=3代入上式得bc=2.
由得或 12分
18.解：(1)n≥2，Sn2=(Sn－Sn－1)(Sn－)，
∴Sn=，
即－=2(n≥2).
∴=2n－1，∴Sn=. 6分
(2)bn=，
Tn= (1－+－+－+…+－)
= (1－). 12分
19.(1)证明：∵平面ABC⊥平面BCD，且∠BCD=90°，
∴CD⊥平面ABC，∵AB平面ABC，
∴CD⊥AB. 3分
(2)解：过点C作CM⊥AB于M，连DM，由(1)知CD⊥平面ABC，
∴DM⊥AB.
∴∠CMD是二面角D—AB—C的平面角.
设CD=1，由∠BCD=90°，∠CBD=30°，得BC=，BD=2.
∵△ABC为正三角形，∴CM=BC=.∴tanCMD=，∴∠CMD=arctan.
∴二面角D—AB—C的大小为arctan. 7分
(3)解：取三边AB，AD，BC的中点M，N，O，连AO，MO，NO，MN，OD.
则OMAC，MNBD.
∴直线OM与MN所成的锐角或直角就是直线AC和BD所成的角.
∵△ABC为正三角形，且平面ABC⊥平面BCD，
∴AO⊥平面BCD，∴△AOD是直角三角形，ON=AD，
又∵CD⊥平面ABC，∴AD==2.
在△OMN中，OM=，MN=1，ON=1，?cosNMO?=.
∴直线AC和BD所成的角为arccos. 12分
20.解：(1)P= 6分
(Ⅱ)P－Q=
t=5时，Lmax=9，即第5周每件销售利润最大. 12分
21.解：(1)由y=x2－1(x≥1)，得y≥0，且x=，
∴f－1(x)= (x≥0)，
即C2：g(x)= ，M={x|x≥0}. 4分
(2)对任意的x1，x2∈M，且x1≠x2，则有x1－x2≠0，x1≥0，x2≥0.
∴|g(x1)－g(x2)|=|－|=＜|x1－x2|.
∴y=g(x)为利普希茨Ⅰ类函数，其中a=. 8分
(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是曲线C2上不同两点，x1，x2∈M，且x1≠x2.
由(2)知|kAB|=||=＜＜1.
∴直线AB的斜率kAB≠1.
又∵直线y=x的斜率为1，∴直线AB与直线y=x必相交. 12分
22.解：(1)设椭圆E的方程为=1(a＞b＞0)，由e=.
∴a2=3b2，故椭圆方程x2+3y2=3b2. 2分
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由于点C(－1，0)分有向线段的比为2，
∴，即
由消去y整理并化简，得
(3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0. 4分
由直线l与椭圆E相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)?两点，?
∴
而S△OAB=|y1－y2|=|－2y2－y2|
=|y2|=|k(x2+1)|= |k||x2+1|. ⑥
由①④得:x2+1=－，代入⑥得：
S△OAB= (k≠0). 8分
(2)因S△OAB==≤=，
当且仅当k=±，S△OAB取得最大值.
此时x1+x2=－1，又∵=－1，
∴x1=1，x2=－2.
将x1，x2及k2=代入⑤得3b2=5.
∴椭圆方程x2+3y2=5. 14分
①②
③
④
⑤
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—30—2006年高考理科数学摸拟试题解析样本29
本试卷分第Ⅰ卷(选择题共 60分)和第Ⅱ卷(非选择题共 90分)，考试时间为120分钟，满分为150分。
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.以下满足AB的非空集合A、B的四个命题中正确的个数是
①若任取x∈A，则x∈B是必然事件 ②若xA，则x∈B是不可能事件 ③若任取x∈B，则x∈A是随机事件 ④若xB，则xA是必然事件
A.1 B.2 C.3 D.4
2.函数y=|x－3|－|x+1|
A.最小值为0，最大值为4 B.最小值为－4，最大值为0
C.最小值为－4，最大值为4 D.没有最大值，也没有最小值
3.一组数据中的每一个数据都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是
A.81.2，4.4 B.78.8，4.4
C.81.2，84.4 D.78.8，75.6
4.设z∈C，且z+2的辐角主值为，z-2的辐角主值为，那么z等于
A. B.
C. D.
5.直线y=x+m与曲线有两个不同交点，则实数m的取值范围为
A.(-，) B.(-，-1] C.(-，1] D.[1，)
6.在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中，含x4项的系数是通项公式为an=3n-5的数列的
A.第3项 B.第11项
C.第18项 D.第20项
7.已知数列{an}共有n项，且通项，则此数列的各项之和S为
A.3n B.3n-1
C.n·2n D.不存在
8.已知函数的图象上相邻的两条对称轴间的距离是，则ω的一个值是
A. B. C. D.
9.已知f(x)=1-(x-a)(x-b)，并且m、n是方程f(x)=0的两根，则实数a、b、m、n的大小关系可能是
A.m＜a＜b＜n B.a＜m＜n＜b
C.a＜m＜b＜n D.m＜a＜n＜b
10.对于函数，下列四命题中正确的是
A.该函数的值域是[-1，1]
B.当且仅当(k∈Z)时，该函数取得最大值1
C.该函数是以π为最小正周期的周期函数
D.当且仅当2kπ+π＜x＜2kπ+π(k∈Z)时，f(x)＜0
11.MN是两条互相垂直的异面直线a、b的公垂线段，点P是线段MN上除M、N外一动点，若点A是a上不同于公垂线垂足的一点，点B是b上不同于公垂线垂足的一点，△APB是
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上均有可能
12.某商品进货规则是：不超过50件，按每件b元，若超过50件，按每件(b-30)元.现进货不超过50件花了a元，若多进11件，则花费仍为a元，设进货价都是每件整元，则a等于
A.1980 B.3690 C.6600 D.7200
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上.
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
题 号 二 三 总分
17 18 19 20 21 22
分 数
得分 评卷人
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.点P(a，3)到直线4x-3y+1=0的距离等于4，且在不等式2x+y-3＜0表示的平面区域内，则点P的坐标是________________.
14.函数y=(sinx-cosx)(cosx-sinx)的最小正周期为___________.
15.过双曲线的右焦点F(c，0)的直线交双曲线于M、N两点，交y轴于P点，则有的定值为.类比双曲线这一结论，在椭圆(a＞b＞0)中，是定值_______________.
16.已知函数f(x)=|x2-2ax+b|(x∈R).给出下列命题：
①f(x)必是偶函数；
②当f(0)=f(2)时，f(x)的图象必关于直线x=1对称；
③若a2-b≤0，则f(x)在区间[a，+∞]上是增函数；
④f(x)有最大值|a2-b|.
其中正确命题的序号是_________.
得分 评卷人
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
将一个各个面上均涂有红颜色的正方体锯成64个同样大小的小正方体.
(1)从这些小正方体中任取1个，其中恰好有奇数个面涂有红颜色的概率是多少？
(2)从这些小正方体中任取2个，至少有一个小正方体的某个面或某几个面涂有红颜色的概率是多少？
18.(本小题满分12分)
数列{an}的前n项和是Sn，数列{bn}满足：b1=a1，an=-Sn+n，bn+1=an+1-an.
(1)求证：数列{bn}是等比数列，并写出其通项公式；
(2)求an的通项公式；
(3)求.
19.(本小题满分12分)
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
(1)在棱AD上有一点P，当为多少时，使二面角D1-PC-D的大小等于60°？
(2)在(1)的条件下，求直线A1B1与平面CD1P所成的角.
20.(本小题满分12分)
已知△OFQ的面积为2，且=m.
(1)设＜m＜4，求向量与的夹角θ的取值范围；
(2)设以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q(如图)，且||=c，m=()c2，当||取最小值时，求此双曲线的方程.
21.(本小题满分14分)
已知点F(0，)，上半平面内的点P到F和x轴的距离之和为.
(1)求动点P的轨迹；
(2)设动点P的轨迹是C1，曲线C1交y轴于M，A、B是曲线C1上满足∠AMB=的两点.
证明：直线AB与y轴交于一定点.
22.(本小题满分12分)
设f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c)，f(1)=0,g(x)=ax+b.
(1)求证：函数f(x)与g(x)的图象有两个交点；
(2)设f(x)与g(x)的图象的交点A、B在x轴上的射影为A1、B1，求|A1B1|的取值范围；
(3)求证：当x≤-时，恒有f(x)＞g(x).
参 考 答 案
一、选择题
1.C
2.C 利用绝对值的几何意义在数轴上研究.
3.A 数据变化后，平均数改变而方差不变.
4.D
5.B 利用数形结合研究直线系y=x+m与半圆x2+y2=1 (x≥0)的交点情况.
6.D
7.B 利用二项式定理展开(1+2)2.
8.A 函数y=Asin(ωx+)的图象的相邻两条对称轴相距半个周期.
9.A 因为(x-a)(x-b)=0的两解为a、b，又m、n满足(x-a)(x-b)=1＞0，故m、n不可能介于a、b之间.
10.D 利用数形结合研究f(x)的性质.
11.B 利用在△ABC中，若a2+b2＜c2知C为钝角，则本题中∠APB为钝角.
12.C 设进货件数为x(39＜x≤50)，由题意得bx=(b-30)(x+11)，从而，由条件得x=44.
二、填空题
13.(-3，3) 由点线距离公式得a=7或-3，代入2x+y-3＜0得a=-3.
14.π
15. 用特值法去研究.
16.③ 当a2-b≤0时，f(x)=x2-2ax+b，图象的对称轴为x=a，开口向上，③对.
三、解答题
17.解：切割后有0、1、2、3个面涂有红色的面的小正方体的个数分别为8、24、24、8.因此有
(1). 6分
(2). 12分
18.(1)证明：an=-Sn+n，an+1=-Sn+1+n+1，故an+1-an=-an+1+1，an-an-1=-an+1，
从而(an+1-an)-(an-an-1)=-(an+1-an)，(an+1-an)=(an-an-1)，
故. 4分
(2)提示：用叠加法求an=. 8分
(3)1. 12分
19.解：(1)设PD=x，AB=1，作DE⊥PC于E，可得，比值为-1. 6分
(2)30°. 12分
20.解：(1)由已知，得 2分
∴tanθ=，∵＜m＜4， 4分
∴1＜tanθ＜4，则＜θ＜arctan4. 6分
(2)设所求的双曲线方程为(a＞0，b＞0)，Q(x1，y1)，则=(x1-c，y1).
∵△OFQ的面积是，
∴.
又由=(c，0)·(x1-c,y1)=(x1-c)c=(-1)c2,
∴x1=c, 8分
,
当且仅当c=4时，||最小.
此时Q的坐标为(,)或(,-).
由此可得
解得 11分
故所求方程为. 12分
21.解：(1)设P点到x轴的距离为|PQ|，P到直线y=的距离为|PR|.
∵|PF|+|PQ|=，
∴|PF|=-|PQ|=|RQ|-|PQ|=|PR|.
∴P点的轨迹是以F(0，)为焦点，y=为准线的抛物线在上半平面的部分，方程为x2=-(y-4)(y＞0). 7分
(2)证明：设A(x1,4-x12),B(x2,4-x22),
又M(0,4),∴==-x1, =-x2.
∵MA⊥MB,∴x1·x2=-1,AB的方程为.
由x1≠x2得(x1+x2)x+y-3=0，它与y轴的交点为(0，3)，是一个定点. 14分
22.(1)证明：由

ax2+(b-a)x+(c-b)=0，
△=(b-a)2-4a(c-b).
∵f(1)=0,∴a+b+c=0,且a＞b＞c,
∴a＞0,c-b＜0,故△＞0.
∴函数y=f(x)与y=g(x)的图象有两个交点. 4分
(2)解：设方程的两根为x1、x2，则x1+x2=，x1·x2=，
∴|A1B1|=|x1-x2|=
=
=
==.
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴
∴1＞＞，即1＞＞.
∴-2＜＜，＜(-2)2-4＜12.
∴＜|A1B1|＜2.
即|A1B1|的取值范围是(，＜2). 8分
(3)证明：令F(x)=f(x)-g(x),
∴F(x)=ax2-(a-b)x-b+c=ax2-(2a+c)x+(a+2c).
∵x≤-，∴x2≥3且-x≥＞1，又2a+c＞0，
∴-x(2a+c)＞2a+c.
∴F(x)＞3a+(2a+c)+(a+2c)=3(2a+c)＞0.
∴f(x)＞g(x). 12分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本11
本试卷分第Ⅰ卷（选择题 共60分）和第Ⅱ卷（非选择题 共90分），考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.设全集为R，集合A={x||x|<1}，集合B={x|>0}，则有
A.AB B.BA C.RAB D.ARB
2.sin15°cos165°的值是
A. B. C.－ D.－
3.下列函数中，图象与函数y=4x的图象关于y轴对称的是
A.y=－4x B.y=4－x C.y=－4－x D.y=4x+4－x
4.已知α、β是第二象限角，且sinα>sinβ，则
A.tanα>tanβ B.cotαC.cosα>cosβ D.secα>secβ
5.若关于x的方程3x－1=a－x有实根，则实数a的取值范围是
A.R B.（－∞，0）
C.（0，+∞） D.（3，+∞）
6.设l、m为直线，α为平面，且l⊥α，其中真命题的序号是
①若m⊥α，则m∥l; ②若m⊥l，则m∥α; ③若m∥α，则m⊥l;
④若m∥l，则m⊥α.
A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④
7.设1+（1+x）2+（1+2x）2+（1+3x）2+…+（1+nx）2=a0+a1x+a2x2，则的值是
A.0 B. C.1 D.2
8.若两方程ax2－by2=1及ax2－by2=λ（a>0，b>0，λ>0且λ≠1）分别表示两圆锥曲线C1、C2，则C1与C2有相同的
A.顶点 B.焦点 C.准线 D.离心率
9.在等比数列{an}中，a1+a2=162，a3+a4=18，那么a4+a5等于
A.6 B.－6 C.±2 D.±6
10.一棱锥被平行于底面的平面截成一个小棱锥和一个棱台，若小棱锥及棱台的体积分别是y和x，则y关于x的函数图象的大致形状为
11.如图，斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1在底面 ABC上的射影H必在
A.直线AB上 B.直线BC上 C.直线CA上 D.△ABC内部
12.已知k是常数，若双曲线=1的焦距与k的取值无关，则k的取值范围是
A.－25 C.－2第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）
13.若lgx+lgy=2，则的最小值是 .
14.已知f（x）=（+t）2（t为常数），则f′（x）= .
15.定义在（－∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=－f（x），且在［－1，0］上是增函数，下面是关于f（x）的判断：
①f（x）是周期函数；
②f（x）的图象关于直线x=1对称；
③f（x）在［0，1］上是增函数；
④f（x）在［1，2］上是减函数；⑤f（2）=f（0）.
其中正确的判断是 （把你认为正确的判断都填上）.
16.在装有相同的9个红球与5个白球的口袋中，任意摸出2个球，其中一次摸出的2个球都是白球的概率是 .（用数字作答）
三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分12分）
已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对边，且a=4，b+c=5，tanA+tanB+
=tanAtanB，求△ABC的面积.
18.（本小题满分12分）
已知点B为圆|z|=1的上半部上一点，点A对应复数2，△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形，且点C位于x轴上方.问：点B对应什么复数时，O、C两点距离最大？并求此最大值.
19.（本小题满分12分）
如图，已知矩形ABCD，PA⊥平面AC于点A，M、N分别是AB、PC的中点.
（1）求证：MN⊥AB；
（2）若平面PDC与平面ABCD所成的二面角为θ，能否确定θ，使得直线MN是异面直线AB与PC的公垂线？若能确定，求出θ的值；若不能确定，说明理由.
20.（本小题满分12分）
设椭圆的中心在原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t.
（1）求椭圆的方程；
（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q，点P在该直线上，且，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
21.（本小题满分12分）
某省两个相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车，已知如果该列火车每次拖4节车厢，能来回16次;如果每次拖7节车厢，则能来回10次.每日来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数，每节车厢一次能载客110人，问：这列火车每天来回多少次，每次应拖挂多少节车厢才能使营运人数最多 并求出每天最多的营运人数.
22.（本小题满分14分）
已知方程x2+px+q=0有两个相异的实根.
求证:若k≠0，则方程x2+px+q+k（2x+p）=0也有两个相异的实根，并且仅有一个根在前一个方程的两根之间.
参考答案
一、选择题（每小题5分，共60分）
1.解析：注意RB≠{x|≤0}.
答案：D
2.C 3.B
4.解析：不妨设α、β∈（，π）.
答案：C
5.解析：数形结合，在同一坐标系中画出两函数f（x）=3x－1与g（x）=a－x的图象，发现它们总有唯一交点.
答案：A
6.D
7.解析：a0=n+1，a1=2+4+6+…+2n=n（n+1）.
答案：C
8.D
9.解析：q=±（不可漏掉－）.
答案：D
10.解析：x与y的关系为x+y=V0，其中V0为原棱锥的体积，是常数.
答案：B
11.解析：利用面C1AB⊥面ABC，故射影在两面的交线AB上.
答案：A
12.C
二、填空题（每小题4分，共16分）
13. 14.+t 15.①②⑤ 16.
三、解答题（17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分）
17.解：由tanA+tanB+=tanAtanB，得，
∴tan（A+B）=－，又∵A+B+C=π，∴tanC=－tan（A+B）.
∴tanC=.∴C=60°.∴cosC=. 5分
由c2=a2+b2－2abcosC，
得c2=16+（5－c）2－8（5－c）×，
∴c=.∴b=.
故S△ABC=absinC= 12分
18.解：设点B对应的复数为cosθ+isinθ(0<θ<π)，则对应复数(cosθ－2)+isinθ，对应复数［（cosθ－2）+isinθ］（－i），又.
∴对应复数（2+sinθ）+（2－cosθ）i.
故||=，8分
故当θ=π时，||最大值为1+2，
此时B对应的复数为－ 12分
19.证明：（1）取CD的中点K，连MK、NK，
∵AM=BM，DK=CK，∴MK=AD，且MK∥AD.
∵AB⊥AD，∴AB⊥MK.
∵PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，
∴PD⊥AB.∵PN=CN，DK=CK，
∴NK∥PD.∴AB⊥NK，又MK∩NK=K，
∴AB⊥平面MNK，∴AB⊥MN. 5分
（2）解：由（1）得MN⊥AB，故MN为AB和PC的公垂线当且仅当MN⊥PC.
∵PN=CN，∴MN⊥PCPM=CM ①
∵AM=BM，∴①PA=BC. ②
∵BC=AD，∴②PA=AD.
又∵PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，
∴PD⊥CD.∴∠ADP为二面角A—CD—P的平面角.
从而PA=AD△PAD为等腰直角三角形∠ADP=，
∴存在θ=使MN为AB与PC的公垂线. 12分
20.解：（1）椭圆方程为=1; 5分
（2）点P的轨迹为抛物线x2=y在直线x=右侧的部分和抛物线x2=－y在直线x=－左侧的部分. 12分
21.解：设每日来回y次，每次挂x节车厢，由题意，y=kx+b，且当x=4时，y=16;当x=7时，y=10.
解得：k=－2，b=24，∴y=－2x+24. 5分
由题意，每次挂车厢最多时，营运人数最多，设每日拖挂W节车厢，
则W=2xy=2x（－2x+24）=－4x2+48x=－4（x－6）2+144，
∴当x=6时，Wmax=144，此时，y=12，最多营运15840人. 12分
22.证明：（1）∵方程x2+px+q=0有相异的两个实根，
∴Δ1=p2－4q>0.
又∵k≠0，
∴方程x2+px+q+k（2x+p）=0的判别式
Δ2=（p+2k）2－4（q+kp）=p2+4kp+4k2－4q－4kp=p2－4q+4k2>0.
∴方程x2+px+q+k（2x+p）=0有两个相异实根. 6分
（2）设f1（x）=x2+px+q，f2（x）=x2+px+q+k（2x+p），且x1、x2是f1（x）=0的两根.
则f2（x1）f2（x2）=［x12+（p+2k）x1+（q+kp）］·［x22+（p+2k）x2+（q+kp）］
=（2kx1+kp）（2kx2+kp）=k2（4q－p2）<0.
∴方程f2（x）=0在x1与x2之间只有一个实根. 14分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本16
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若A∩B＝，且A∪B＝{a，b}，则满足条件的集合A、B的组数有
A.2 B.4 C.6 D.8
2.设sinα＝(＜α＜π，tan(π－β)＝，则tan(α－2β)的值等于
A.－ B.－ C. D.
3.已知向量a＝(－1，)，向量b＝(，－1)，则a与b的夹角等于
A. B. C.π D.π
4.函数f(x)=sinx+cosx的图象相邻的两条对称轴的距离为
A.3π B.π C.π D.π
5.集合P={(x，y)|y=k}，Q={(x，y)|y=ax+1}，已知P∩Q只有一个子集，则k的取值范 围是
A.(－∞，1) B.(－∞，1 C.(1，+∞) D.(－∞，+∞)
6.若f(x)是奇函数，且在(0，+∞)上是增函数，又f(－3)=0，则x·f(x)＜0的解集是
A.{x|－3＜x＜0或x＞3 B.{x|x＜－3或0＜x＜3
C.{x|x＜－3或x＞3 D.{x|－3＜x＜0或0＜x＜3
7.已知一个四面体的5条棱长都等于2，则它的体积的最大值为
A. B. C.1 D.2
8.直线(3m+2)x－(2m－1)y+5m+1=0必过定点
A.(－1，－1) B.(1，1) C.(1，－1) D.(－1，1)
9.如果一个三位正整数的中间一个数字比另两个数字小，如305，414，879等，则称这个三位数为凹数，那么所有凹数的个数是
A.240 B.285 C.729 D.920
10.f(0)=0是f(x)为奇函数的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
11.双曲线－=1(mn≠0)的离心率为2，则的值为
A.3 B. C.3或－ D.3或
12.函数f(x)=log|x|，g(x)=－x2+2，则f(x)·g(x)的图象只可能是
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.若(x2+)n的展开式中，只有第四项的系数最大，那么这个展开式的常数项是 __________．
14.正方形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，沿EF将正方形折成60°的二面角，则异面直线BF与DE所成角的余弦是 __________．
15.已知x=－2与x=4是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点，则a=__________，?b=___________?.
16.已知两点M(－5，0)，N(5，0)，给出下列直线方程:①5x－3y=0；②5x－3y+30=0； ③x－y=0；④4x－y+5=0．在直线上存在点P满足|MP|＝|NP|＋6的所有直线方程的序号是__________．
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
设向量a=(cos23°，cos67°)，b=(cos68°，cos22°)，u=a+tb(t∈R).
(1)求：a·b；
(2)求u的模的最小值．
18.(本小题满分12分)
甲、乙两人独立解出某一道数学题的概率相同，已知该题被甲或乙解出的概率为 0.36，求：
(1)甲独立解出该题的概率；
(2)甲、乙中有且只有一个解出该题的概率．
19.(本小题满分12分)
如图，已知斜三棱柱ABC－A1B1C1，∠BCA＝90°，AC＝BC＝a，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又A1B⊥AC1．
(1)求证：BC⊥平面ACC1A1；
(2)求AA1与平面ABC所成的角；
(3)求二面角B－AA1－C的正切值．
20.(本小题满分12分)
如图，已知椭圆+y2=1(a＞1)，直线l过点A(－a，0)和点B(a，ta)(t＞0)交椭圆于M，直线MO交椭圆于N．
(1)用a，t表示△AMN的面积S；
(2)若t∈［1，2］，a为定值，求S的最大值.
21.(本小题满分12分)
已知点B1(1，y1)，B2(2，y2)，…，Bn(n，yn)，…(n∈N*)顺次为直线y=x+上的点，点A1(x1，0)，A2(x2，0)，…，An(xn，0)，…顺次为x轴上的点，其中x1=a(0＜a＜1).对于任意n∈N*，点An，Bn，An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形．
(1)求数列{yn}的通项公式，并证明它为等差数列；
(2)求证：xn+2－xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
(3)上述等腰△AnBnAn+1中是否可能存在直角三角形，若可能，求出此时a的值；若不可能，请说明理由．
22.(本小题满分14分)
设函数f(x)=x2+2bx+c(c＜b＜1)，f(1)=0，且方程f(x)+1=0有实根．
(1)证明：－3＜c≤－1，且b≥0；
(2)若m 是方程f(x)+1=0的一个实根，判断f(m－4)的正负，并加以证明．
参 考 答 案
仿真试题(四)
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.解析：
答案：B
2.解析：tanα=－，tanβ=－，tan2β=－，tan(α－2β)=.
答案：D
3.解析：cosα===－，∴α=π.
答案：C
4.解析：相邻两对称轴的距离应为周期，而周期T==3π，∴d=π.
答案：C
5.解析：∵P∩Q只有一个子集，∴P∩Q=，故y=k的图象与y=ax+1的图象无公共点，∴k≤1.
答案：B
6.解析：∵f(x)是奇函数，
∴f(x)在(－∞，0)上是增函数，且f(3)=0.
可画出f(x)简图为下图，
而xf(x)＜0易得D.
答案：D
7.解析：设PB＝PC＝AB＝BC＝AC＝2，则当面PBC⊥面ABC时，四面体PABC体积最大，V=··=1.
答案：C
8.解析：代入检验知直线过定点(－1，1) .
答案：D
9.解析：分别将0，1，2，3…8放在十位上，则凹数个数为
AA+AA+AA+…+AA=92+82+72+…+12=×9×(9+1)×(2×9+1)＝285.
答案：B
10.D
11.解析：当m＞0，n＞0时，e==2，求得;
当m＜0，n＜0时，e==2，求得=3.
答案：D
12.解析：∵f(x)和g(x)均为偶函数，∴f(x)·g(x)也是偶函数，其图象关于y轴对称，排除A、D，x→0时，f(x)→－∞，g(x)→2，∴f(x)·g(x)→－∞，故选C．
答案：C
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.20 14. 15.a=－3，b=－24 16.②③
三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分)
17.解：(1)a·b=cos23°cos68°+cos67°cos22°
=cos68°cos23°+sin68°sin23°
=cos45°=. 6分
(2)|u|2=(a+tb)2=a2+2ta·b+t2b2
=1+t+t2=(t+)2+.
当t=－时，|u|min=. 12分
18.解：(1)设甲、乙独立解出该题的概率为x，则甲、乙均未解出该题的概率为(1－x)2，该题被甲或乙解出的概率为1－(1－x)2＝0.36，解得x＝0.2，故甲独立解出该题的概率为0.2． 6分
(2)0.2×0.8+0.8×0.2＝0.32，
即甲、乙中有且只有一个解出该题的概率为0.32． 12分
19.(1)证明：∵A1D⊥平面ABC，∴A1D⊥BC.
又∵AC⊥BC，∴BC⊥平面ACC1A1. 4分
(2)解：∵A1D⊥平面ABC，
∴∠A1AD是AA1与底面ABC所成的角，
由(1)知，BC⊥平面ACC1A1，又A1B⊥AC1，
∴A1C⊥AC1，∴ACC1A1是菱形.
∴AA1＝a，
∵A1D⊥AC，且AD＝DC＝a，∴∠A1AD＝60°，
即AA1与底面ABC所成的角为60°. 8分
(3)由(1)知，BC⊥平面ACC1A1，作CN⊥AA1于点N，
∵△A1AC是等边三角形，∴点N是AA1的中点，连NB，则BN⊥AA1，
∴∠BNC是二面角B－AA1－C的平面角.
易知，CN＝a，BC=a，
∴在Rt△BCN中，tanBNC＝，
∴二面角B－AA1－C的正切值为． 12分
20.解：(1)易得l的方程为y= (x+a)，代入椭圆方程得(a2t2+4)y2－4aty=0，
∴yM=，S=2S△AOM=2·|OA|·yM=. 6分
(2)由(1)得S=≤=a.
当a2t=，即t=时等号成立．
∴当∈［1，2］时，即a∈［1，2］时，Smax=a．
当a＞2时，设u=a2t+，即u′=a2－.
∵t∈［1，2］，∴u′＞0，∴u在t∈［1，2］上单调增，
(也可由单调性定义证明u在[1，2]上单调增)
∴S在[1，2]上单调减． 10分
∴t=1时，Smax=.
综上，Smax= 12分
21.(1)证明：yn=n+，yn+1－yn=，所以数列{yn}是等差数列． 4分
(2)解：由题意知，=n，所以数列xn+xn+1=2n. ①
xn+1+xn+2=2(n+1). ②
①、②相减，得xn+2－xn=2.
∴x1，x3，x5，…，x2n－1，…成等差数列；x2，x4，x6，…，x2n，…成等差数列，
∴xn= 8分
(3)解：当n是奇数，An(n+a－1，0)，An+1(n+1－a，0)，所以|AnAn+1|=2(1－a);当n是偶数时，An(n－a，0)，An+1(n+a，0)，所以|AnAn+1|=2a;
作BnCn⊥x轴于Cn，则|BnCn|=n+．
要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必需且只需|AnAn+1|=2|BnCn|．
所以，当n为奇数时，有2(1－a)=2(n+)，即12a=11－3n.(*)
当n=1时，a＝；当n=3时，a＝；当n≥5时，方程(*)无解．
当n是偶数时，12a＝3n＋1，同理可求得a=．
综上，当a=或a=或a=时，存在直角三角形． 12分
22.(1)证明：f(1)=01+2b+c=0b=－.
又c＜b＜1，故c＜－＜1－3＜c＜－. 4分
方程f(x)+1=0有实根，即x2+2bx+c+1=0有实根，故Δ=4b2－4(c+1)≥0．
(c+1)2－4(c+1)≥0c≥3或c≤－1．
又c＜b＜1，得－3＜c≤－1，由b=－知b≥0． 8分
(2)解： f(x)=x2+2bx+c=x2－(c+1)x+c=(x－c)(x－1)，
f(m)=－1＜0.∴c＜m＜1，∴c－4＜m－4＜－3＜c.
∴f(m－4)=(m－4－c)(m－4－1)＞0，∴f(m－4)的符号为正． 14分
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—1—2006年高考理科数学摸拟试题解析样本9
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.集合A={1，2，3}，B={－1，0，1}，满足条件f(3)=f(1)+f(2)的映射f：A→B的个数是
A.2 B.4
C.5 D.7
2.若指数函数y=ax在［－1，1］上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于
A. B.
C. D.
3.对于任意k∈［－1,1］,函数f(x)=x2+(k－4)x－2k+4的值恒大于零，则x的取值范围是
A.x<0 B.x>4
C.x<1或x>3 D.x<1
4.等比数列{an}中，已知对任意自然数n，a1+a2+a3+…+an=2n－1，则a12+a22+a32+…+an2等于
A.(2n－1)2 B.(2n－1)
C.4n－1 D.(4n－1)
5.在以下关于向量的命题中，不正确的是
A.若向量a=(x,y)，向量b=(－y,x)(xy≠0)，则a⊥b
B.四边形ABCD是菱形的充要条件是,且||=| |
C.点G是△ABC的重心，则+=0
D.△ABC中，和的夹角等于180°－A
6.直线l1与平面所成的角为30°，直线l2与l1所成的角为60°，则l2与平面所成的角的取值范围是
A.{|0°≤≤60°} B.{|15°≤≤90°}
C.{|60°≤≤90°} D.{|0°≤≤90°}
7.两个同底的正三棱锥P—ABC和Q—ABC都内接于同一个半径为R的球O，设正三棱锥的底面边长为a，侧面与底面所成的二面角分别为,，则tan(+)等于
A.－ B.－
C.－ D.－
8.抛物线y=x2上的两点A、B的横坐标恰是关于x的方程x2+px+q=0(常数p,q∈R)的两个实根，则直线AB的方程是
A.qx+3y+p=0 B.qx－3y+p=0
C.px+3y+q=0 D.px－3y+q=0
9.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是
A.(0,+∞) B.(0,2)
C.(1,+∞) D.(0,1)
10.当a为任意实数时，直线(a－1)x－y+2a+1=0恒过的定点是
A.(2,3) B.(－2,3)
C.(1,－) D.(－2,0)
11.△ABC中，sinA∶sinB∶sinC=3∶2∶4，则cosC的值为
A.－ B.
C.－ D.
12.在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是
A.2 B.－3i
C.－2i D.+3i
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.不等式log2(2x－4)<2的解集是___________.
14.要把4名学生保送到3所不同的高校去，每所高校至少保送1人，则不同的保送方法的种数是___________.(用数字作答)
15.如图，三棱锥S—ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，SC⊥平面ABC，D是AB的中点，则图中以S、A、B、C、D中的三点为顶点的所有三角形中，不是直角三角形的是___________.(有几个，写几个)
16.若f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－2)=－f(x)，给出下列4个结论：
①f(2)=0
②f(x)是以4为周期的函数
③f(x)的图象关于直线x=0对称
④f(x+2)=f(－x)
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知数列{an}中，a1=1，a2=2，数列{an·an+1}是公比为q(q>0)的等比数列.
(1)求使an·an+1+an+1·an+2>an+2·an+3(n∈N*)成立的q的取值范围；
(2)若bn=a2n－1+a2n(n∈N*),求bn的表达式；
(3)若Sn=b1+b2+…+bn，求Sn，并求.
18.(本小题满分12分)
已知a、b、c分别是△ABC三个内角A、B、C的对边.
(1)若△ABC面积为，c=2，A=60°，求a,b的值；
(2)若acosA=bcosB，试判断△ABC的形状，证明你的结论.
19.(本小题满分12分)
20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表所示：
每亩所需劳动力数 每亩预计产值
蔬菜 0.6万元
棉花 0.5万元
水稻 0.3万元
问：怎样安排田地，才能使每亩地都种上农作物，且所有劳动力都有工作，农作物的预计总产值最高？
20.(本小题满分12分)
如图，已知三棱柱A1B1C1—ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB，AC均成45°角，且A1E⊥B1B于E，A1F⊥CC1于F.
(1)求证：平面A1EF⊥平面B1BCC1；
(2)求点A1到平面B1BCC1的距离；
(3)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等？
21.(本小题满分12分)
已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数.又知y=f(x)在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值，最小值为－5.
(1)证明：f(1)+f(4)=0；
(2)试求y=f(x)在［1，4］上的解析式；
(3)试求y=f(x)在［4，9］上的解析式.
22.(本小题满分14分)
设双曲线=1的焦点分别为F1、F2，离心率为2.
(1)求此双曲线的渐近线L1、L2的方程；
(2)若A、B分别为L1、L2上的动点，且2|AB|=5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线.
参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.解析：题意即3的象是1和2的象之和.
答案：D
2.解析：无论怎样总有|a－a－1|=1,解之即得.
答案：D
3.解析：化f(x)为g(k)=(x－2)k+(x2－4x+4),令g(1)>0,g(－1)>0即得.
答案：C
4.D 5.C
6.解析：线面所成角的最大角为直角.
答案：D
7.A
8.解析：用点差法及韦达定理综合做.
答案：C
9.D
10.解析：用特值法.令a=1及a=0去求交点；或看成直线系方程做.
答案：B
11.解析：用正余弦定理解.
答案：A
12.B
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.{x|216.①②④
三、解答题(17、18、19、20、21题每题12分，22题14分，共74分)
17.解：(1)由题意an·an+1=2qn－1,故an·an+1+an+1·an+2>an+2·an+3可化为：2qn－1+2qn>2qn+1,
又q>0,∴q2－q－1<0.∴0(2)由an·an+1=2qn－1,an－1·an=2qn－2,
∴=q.
∴{an}的奇数项依次成等比数列.∴a2n－1=qn－1,
{an}的偶数项依次成等比数列.
∴a2n=2qn－1.∴bn=3qn－1. 8分
(3)①当q=1时，Sn=3n,,此时=0.
②当q≠1时，Sn=,
若0若q>1，则. 12分
18.解：(1)由已知得bcsinA=bsin60°,
∴b=1.由余弦定理a2=b2+c2－2bccosA=3,
∴a=. 5分
(2)由正弦定理得2RsinA=a,2RsinB=b,
∴2RsinAcosA=2RsinBcosB,
即sin2A=sin2B,由已知A、B为三角形内角，
∴A+B=90°或A=B.
∴△ABC为直角三角形或等腰三角形. 12分
19.解：设种x亩蔬菜，y亩棉花，则种水稻(50－x－y)亩，由题意得：=20,从而y=90－3x,50－x－y=2x－40, 5分
由得20≤x≤30,设预计总产值为C(x),
则C(x)=0.6x+0.5(90－3x)+0.3(2x－40)=－0.3x+33,由于C(x)是关于x的一次函数且一次项系数为负，且它在［20，30］上是单调递减函数，所以当x=20时，C(x)取得最大值27，此时y=30,50－x－y=0.所以种20亩蔬菜，30亩棉花，总产值最高. 12分
20.(1)证明：已知A1E⊥B1B于E，A1F⊥C1C于F，
由B1B⊥平面A1EF，得平面A1EF⊥平面B1BCC1. 3分
(2)解：易得△A1EF为等腰直角三角形，取EF的中点N，连A1N，则A1N⊥EF，
所以A1N⊥平面B1BCC1.
所以A1N为点A1到平面B1BCC1的距离.
又A1N=EF=1，所以点A1到平面B1BCC1的距离为1. 7分
(3)解：设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连AD，DD1和A1D1，则N∈DD1.
∵DD1∥BB1∥AA1,
∴A、A1、D、D1四点共面.∴AD∥A1D1.
∴A1ADD1为平行四边形.
∵B1C1⊥A1D1，A1N⊥平面BCC1B1，
∴B1C1⊥D1D，又B1C1⊥A1N.
∴B1C1⊥平面ADD1A1.∴BC⊥平面ADD1A1.
∴平面A1ADD1⊥平面ABC.
作A1M⊥面ABC于M，则点M在AD上，
若A1M=A1N，又∠A1AD=∠A1D1D，∠A1MA=∠A1ND1=90°,
则Rt△A1MA≌Rt△A1ND1，于是A1A=A1D1=,
即当A1A=时，点A1到平面ABC和平面B1BCC1的距离相等. 12分
21.(1)证明：略. 4分
(2)解：f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4); 8分
(3)解：f(x)=. 12分
22.解：(1)渐近线L1、L2的方程为x－y=0和x+y=0. 6分
(2)∵|F1F2|=4，2|AB|=5|F1F2|，
∴|AB|=10.
设A在L1上，B在L2上，则可以设A(y1,y1)、B(－y2,y2),
∴=10. ①
设AB的中点M(x,y),
则x=.
∴y1－y2=,y1+y2=2y,代入①得12y2+=100,
即=1为中点M的轨迹方程，
故轨迹为椭圆. 14分
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—3—2006年高考理科数学摸拟试题解析样本31
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂在答题卡上.
2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上.
3.考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回.
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的)
1.如果集合P={x||x|>2}，集合T={x|3x>l}，那么集合P∩T等于
A.{x|x>0} B.{x|x>2}
C.{x|x<-2或x>O} D.{x|x<-2或x>2}
2.若函数f(x)=3sin()对任意实数x，都有f()=f()，则f()等于
A.0 B.3 C.-3 D.3或-3
3.已知真命题“a≥bc>d”和“aA.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.直线3x+4y-12=0与椭圆C：相交与A、B两点，C上点P，△PAB的面积等于3，这样的点P共有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.若函数y=f(x)(R)满足f(x+2)=f(x)，且x∈(-1，1)时，f(x)=|x|，则函数y=f(x)的图象与函数y=log4|x|图象的交点的个数为
A.3 B.4 C.6 D.8
6.已知，为互相垂直的单位向量，a=i-2j，b=i+λj且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
A.(-∞，2)∪(-2，) B.(，+∞)
C.(-2，)∪(，+∞) C.(-∞，)
7.点P在曲线y=上移动，在点P处的切线的倾斜角为a，则a的取值范围是
A.[0，] B.[0，∪，π C.，π) D.，
8.配置A、B两种药剂需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位：千克)
甲 乙
A 2 5
B 5 4
药剂A、B至少各配一剂，且药剂A、B每剂售价为1百元、2百元.现有原料甲20千克，原料乙25千克，那么可以获得的最大销售额为
A.6百元 B.7百元 C.8百元 D.9百元
9.一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：(10，20]，2；(20，30]，3；(30，40]，4；(40，50]，5；(50，60]，4；(60，70]，2.则样本在(50，+∞)上的频率为
A. B. C. D.
10.正三棱柱ABC-A1B1C1D1中，D是AB的中点，CD等于，则顶点A1到平面CDC1的距离是
A. B.a C. D.
11.关于x的不等式ax-b>O的解集是(1，+∞)，则关于x的不等式>0的解集是
A.(-∞，-1)∪(2，+∞) B.(-1，2)
C.(1，2) D.(-∞，1)∪(2，+∞)
12.由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为
A.180 B.196
C.210 D.224
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
注意事项：
1.第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上．
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚．
题号 二 三 总分
17 18 19 20 21 22
分数
得分 评卷人
二、填空题(本大题共4小题，第小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.对于满足O≤p≤4的实数p，使x2+px>4x+p-3恒成立的x的取值范围是_______.
14.动点P到直线l:y+4=0的距离减去它到点M(0，2)的距离等于2，则点P的轨迹方程是_______.
15.已知()的展开式的第7项为，则x的值为_______.
16.有两个向量e1=(1，0)，e2=(0，1)，今有动点P，从P0(-1，2)开始沿着与向量e1+e2相同的方向作匀速直线运动，速度为|e1+e2|；另一动点Q，从Q0(-2，-1)开始沿着与向量3e1+2e2相同的方向作匀速直线运动，速度为|3e1+2e2|.设P、Q在时刻t=0秒时分别在P0、Q0处，则当时t=_______秒.
得分 评卷人
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演处步骤)
17.(本小题满分12分)
在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a+c=10，C=2A，cosA=.
求：(1)的值；(2)b的值.
18.(本小题满分12分)
某厂生产的A产品按每盒10件进行包装，每盒产品均需检验合格后方可出厂.质检办法规定：从每盒10件A产品中任抽4件进行检验，若次品数不超过1件，就认为该盒产品合格；否则，就认为该盒产品不合格.已知某盒A产品中有2件次品.求：
(1)该盒产品被检验合格的概率；
(2)若对该盒产品分别进行两次检验，则两次检验得出的结果不一致的概率.
19.(本小题满分12分)
已知长方体AC1中，棱AB=BC=3，棱BB1=4，连结B1C，过B点作B1C的垂线交CC1于E，交B1C于F.
(1)求证：A1C⊥平面EBD；
(2)求点A到平面A1B1C的距离；
(3)求平面A1B1C与平面BDE所成角的度数；
(4)求ED与平面A1B1C所成角的大小.
20.(本小题满分12分)
某公司欲建连成片的网球场数座，用128万元购买土地10000平方米，该球场每座的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设费用与球场数有关，当该球场建ｘ个时，每平方米的平均建设费用用f(x)表示，且f(n)=f(m)(1+)(其中n>m，nN)，又知建五座球场时，每平方米的平均建设费用为400元，为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，公司应建几个球场？
21.(本小题满分12分)
已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点为B(0，-1)，且其右焦点到直线x-y+=0的距离为3.
(1)求椭圆方程；
(2)是否存在斜率为k(k≠0)且过定点Q(0，)的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由.
22.(本小题满分14分)
设f1(x)=，定义，，其中n∈N.
(1)求数列{a}的通项公式；
(2)若T=，其中n∈，试比较9T与的大小，并说明理由.
一、选择题
1.B
2.D ∵，∴直线是y=f(x)的对称轴.
∴.∴.
3.A ∵a≥bc＞d，∴c≤da＜b.
又∵a＜be≤f，∴c≤de≤f.
4.B 令椭圆上任一点P(4cosθ，3sinθ)，则点P到直线AB的距离.
当θ∈(0，)时，，
∴S△PAB=×5×d=6(-1)＜3.
5.C 函数f(x)以2为周期，画出f(x)的图象，数形结合.
6.A a·b＜0且a与b不共线.
7.B ∵y′=3x2-1≥-1，
∴a∈[0，)∪[，π).
8.C 9.C 10.B
11.A ∵a=b＞0.
12.C .
二、填空题
13.(-∞，-1)∪(3，+∞) 令f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，f(0)＞0，f(4)＞0.
14.x2=8y 动点P到直线l：y+2=0的距离等于它到点M(0，2)的距离.
15.
16.2 ∵P(-1+t，2+t)，Q(-2+3t，-1+2t)，(-1+2t，-3+t)，(-1，-3)，
∴1-2t+9-3t=0.∴=2.
三、解答题
17.解：(1) 2分
. 4分
(2)由a+c=10，及，得a=4，c=6. 6分
又因为， 8分
化简得b2-9b+20=0，解得b=4或b=5， 10分
而b=4不合题意(舍去)，所以b=5. 12分
18.解：(1)从该盒10件产品中任抽4件，有等可能的结果数为种， 1分
其中次品数不超过1件的有种， 2分
被检验认为是合格的概率为 4分
=. 6分
(2)两次检验是相互独立的，可视为独立重复试验， 7分
因两次检验得出该盒产品合格的概率均为，
故“两次检验得出的结果不一致”即两次检验中恰有一次是合格的概率为
10分
=. 11分
答：该盒产品被检验认为是合格的概率为；两次检验得出的结果不一致的概率为. 12分
19.(1)证明：连结AC，则AC⊥BD，又AC是A1C在平面ABCD内的射影.
∵A1C⊥BD，
又∵A1B1⊥面B1C1CB，且A1C在平面B1C1CB内的射影B1C⊥BE，
∴A1C⊥BC.又∵BD∩BE=B.
∴A1C⊥面EBD. 3分
(2)解：容易证明BF⊥平面A1B1C，
∴所求距离即为BF=. 6分
(3)解：同上∵BF⊥平面A1B1C，而BF在平面BDE上，
∴平面A1B1C⊥平面BDE. 9分
(4)解：连结DF、A1D，∵EF⊥B1C，EF⊥A1C，
∴EF⊥面A1B1C，∴∠EDF即为ED与平面A1B1C所成的角. 10分
由条件AB=BC=3，BB1=4，
可知B1C=5，BF=，B1F=，CF=，，.
∴.∴.
∴ED与平面A1B1C所成角为. 12分
20.解：设建成x个球场，则每平方米的购地费用为. 2分
由题意知f(5)=400，f(x)=f(5)()=400().
6分
从而每平方米的综合费用为y=f(x)+=20()+300≥20×2+300=620(元)，当且仅当x=8时等号成立. 10分
故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省. 12分
21.解：(1)设椭圆方程为(a＞b＞0)，
则b=1. 2分
令右焦点F(c，0)(c＞0)，
则由条件得，得. 4分
那么a2=b2+c2=3，∴椭圆方程为. 6分
(2)假设存在直线l：y=kx+(k≠0)，
与椭圆联立，消去y得
.
由Δ=(9k)2-4(1+3k2)·＞0，得k2＞. 8分
设M(x1，y1)，N(x2，y2)的中点P(x0，y0)，
由|BM|=|BN|，则有BP⊥MN.
由韦达定理代入kBP=，可求得k2=. 10分
满足条件k2＞，所以所求直线存在，直线方程为. 12分
22.解：(1)f1(0)=2，a1==，(1分)
fn+1(0)=f1[fn(0)]=，
. 3分
∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列.
∴. 4分
(2)T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n-1)a2n-1+2na2n-=()a1+()2a2+…+()(2n-1)a2n-1+()2na2n=a2+2a3+…+(2n-1)a2n-na2n，
a1+a2+a3+…+a2n+na2n， 6分
所以，=+，
T2n=
=.
∴9T2n=1-. 8分
Qn=，
当n=1时，22n=4，(2n-1)2=9.∴9T2n＜Qn. 9分
当n=2时，22n=16，(2n+1)2=25.
∴9T2n＜Qn. 10分
当n≥3时，22n=[(1+1)n]2=(…)2＞(2n+1)2，∴9T2n＞Qn.
14分
原
料
药
剂2006年高考理科数学摸拟试题解析样本5
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.集合A={x|x=2k,k∈Z},B={x|x=2k+1,k∈Z},C={x|x=4k+1,k∈Z},又a∈A,b∈B,则有
A.a+b∈A
B.a+b∈B
C.a+b∈C
D.a+b不属于A，B，C中的任意一个
2.已知f(x)=sin(x+,g(x)=cos(x－),则f(x)的图象
A.与g(x)的图象相同
B.与g(x)的图象关于y轴对称
C.向左平移个单位，得到g(x)的图象
D.向右平移个单位，得到g(x)的图象
3.过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是
A.y=x B.y=－x
C.y=x D.y=－x
4.函数y=1－, 则下列说法正确的是
A.y在(－1,+∞)内单调递增 B.y在(－1,+∞)内单调递减
C.y在(1,+∞)内单调递增 D.y在(1,+∞)内单调递减
5.已知直线m,n和平面，那么m∥n的一个必要但非充分条件是
A.m∥,n∥ B.m⊥,n⊥
C.m∥且n D.m,n与成等角
6.在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本：①采用随机抽样法，将零件编号为00，01，02，…，99，抽出20个；②采用系统抽样法，将所有零件分成20组，每组5个，然后每组中随机抽取1个；③采用分层抽样法，随机从一级品中抽取4个，二级品中抽取6个，三级品中抽取10个；则
A.不论采取哪种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是
B.①②两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，③并非如此
C.①③两种抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率都是，②并非如此
D.采用不同的抽样方法，这100个零件中每个被抽到的概率各不相同
7.曲线y=x3在点P处的切线斜率为k，当k=3时的P点坐标为
A.(－2,－8) B.(－1,－1),(1,1)
C.(2,8) D.(－,－)
8.已知y=loga(2－ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是
A.(0，1) B.(1，2)
C.(0，2) D.［2，+∞
9.已知lg3,lg(sinx－),lg(1－y)顺次成等差数列，则
A.y有最小值，无最大值 B.y有最大值1，无最小值
C.y有最小值，最大值1 D.y有最小值－1，最大值1
10.若=a，=b，则∠AOB平分线上的向量为
A. B.()，由决定
C. D.
11.一对共轭双曲线的离心率分别是e1和e2,则e1+e2的最小值为
A. B.2
C.2 D.4
12.式子的值为
A.0 B.1
C.2 D.3
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.从A={a1,a2,a3,a4}到B={b1,b2,b3,b4}的一一映射中，限定a1的象不能是b1，且b4的原象不能是a4的映射有___________个.
14.椭圆5x2－ky2=5的一个焦点是(0，2)，那么k=___________.
15.已知无穷等比数列首项为2，公比为负数，各项和为S，则S的取值范围为___________.
16.已知an是(1+x)n的展开式中x2的系数，则=___________.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=，记数列{an}的前n项和为Sn，且有a1=f(1),当n≥2时，Sn－(n2+5n－2).
(1)计算a1，a2，a3，a4;
(2)求出数列{an}的通项公式，并给予证明.
18.(本小题满分12分)
已知△ABC的三个内角A，B，C，满足sinC=.
(1)判断△ABC的形状；
(2)设三边a,b,c成等差数列且S△ABC=6 cm2，求△ABC三边的长.
19.(本小题满分12分)
如图，矩形ABCD与ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设AB=1，PA=h，AD=y.
(1)试求y关于h的函数解析式；
(2)当y取最小值时，指出点Q的位置，并求出此时AD与平面PDQ所成的角；
(3)在条件(2)下，求三棱锥P—ADQ内切球的半径.
20.(本小题满分12分)
某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/时(4≤v≤20)从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以w千米/时(30≤w≤100)自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x、y小时.
(1)作图表示满足上述条件x、y的范围；
(2)如果已知所需的经费p=100+3(5－x)+2(8－y)(元)，那么v、w分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？
21.(本小题满分12分)
已知f(x)=loga(x+1)，点P是函数y=f(x)图象上的任意一点，点P关于原点的对称点Q的轨迹是函数y=g(x)的图象，当a＞1,x∈［0,1时，总有2f(x)+g(x)≥m恒成立.
(1)求出g(x)的表达式；
(2)求m的取值范围.
22.(本小题满分14分)
直线l:ax－y－1=0与曲线C：x2－2y2=1交于P、Q两点，
(1)当实数a为何值时，|PQ|=2
(2)是否存在a的值，使得以PQ为直径的圆经过原点？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.解析：由已知得a是偶数，b是奇数，则a+b是奇数，又b∈B，BC，∴a+b∈B,选B.
答案：B
2.解析：f(x)的图象向右平移个单位，得sin［(x－)+］=sinx，又g(x)=cos(x－=cos(－x)=sinx,故选D.
答案：D
3.解析：设直线为y=kx.
由消去y，得
(1+k2)x2+4x+3=0,
由Δ=16－4×3(1+k2)=0,k=±.
又知切点在第三象限，∴k=，选C.
答案：C
4.解析：令x－1=X,y－1=Y,则Y=－.
X∈(0,+∞)是单调增函数，由X=x－1,得x∈(1,+∞)，y=1－为单调增函数,故选C.
答案：C
5.解析：若m∥n,则m,n与平面成相等的角，反之 ，若m,n与平面成等角，不一定有m∥n,故选D.
答案：D
6.解析：将三种抽样法的有关计算公式计算所得的概率都是，故选A.
答案：A
7.解析：由y=x3，得y′=3x2.由已知得3x2=3，x=±1.
当x=1时，y=1,当x=－1时，y=－1，
故P点的坐标为(1，1)或(－1，－1)，选B.
答案：B
8.解析：由已知loga(2－a·0)＞loga(2－a)，即loga2＞loga(2－a)，
当0＜a＜1时，有无解，
当a＞1时，有，得1＜a＜2,选B.
答案：B
9.解析：由已知得2lg(sinx－)=lg3+lg(1－y)，且,
得(sinx－)2=3(1－y)
得y=1－,
当sinx=1时，ymin=，无最大值，选A.
答案：A
10.答案：B
11.解析：设双曲线=1的离心率e1=，
则共轭双曲线=1的离心率e2=.
e1+e2=
≥2· (a=b时取等号)
=2·≥2· (a=b时取等号).
∴e1+e2的最小值为2，选C.
答案：C
12.解析：原式=
==2,选C.
答案：C
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.解析：A－2A+A=14.
答案：14
14.解析：由已知得x2+=1,k＜0,
由焦点坐标(0，2)知长轴在y轴上，
得(－)－1=4,得k=－1.
答案：－1
15.解析：由题意得S=,－1＜q＜0.
由q=得－1＜＜0,解不等式得1＜S＜2.
答案：1＜S＜2
16.解析：由已知得x2的系数为C，即an=C=,
∴a2=1,=1=,,…,,
∴
=.
答案：2
三、解答题(17、18、19、20、21题，每题12分，22题14分，共74分)
17.解：(1)由已知，当n≥2时，f(an)=,
∵Sn－，
∴Sn－(n2+5n－2),
即Sn+an=(n2+5n+2).
又a1=f(1)=2,
由S2+a2=a1+2a2=(22+5×2+2),
得a2=3;
由S3+a3=a1+a2+2a3=(32+5×3+2),
解得a3=4;
由S4+a4=a1+a2+a3+2a4=(42+5×4+2),解得a4=5. 6分
(2)则a1=2,a2=3,a3=4,a4=5,于是猜想：an=n+1(n∈N). 8分
以下用数学归纳法证明：
(a)当n=1时命题成立.
(b)设n=k时，ak=k+1(k∈N).
由Sk+1+ak+1=［(k+1)2+5(k+1)+2］,
a1+a2+…+ak+2ak+1=(k2+7k+8),
2ak+1=(k2+7k+8)－(2+3+…+k+1)
=(k2+7k+8)－
=(k2+7k+8－k2－3k)
=2k+4.
ak+1=(k+1)+1,
即当n=k+1时命题也成立.
故由(a)、(b)知对一切n∈N均有an=n+1. 12分
18.(1)解法一：sinC=
=tan=.
∵sinC≠0,∴cosC=0,0°＜C＜180°,
∴C=90°,∴△ABC为直角三角形. 6分
解法二：∵cosA+cosB=,
∴.
化简整理得：(a+b)(c2－a2－b2)=0,∴a2+b2=c2,
∴△ABC为直角三角形. 6分
(2)解：由已知得：a2+b2=c2,a+c=2b,ab=6,
解得：a=3 cm,b=4 cm,c=5 cm. 12分
19.解：(1)显然h＞1，连接AQ，
∵平面ABCD⊥平面ADQP,PA⊥AD，
∴PA⊥平面ABCD，由已知PQ⊥DQ,
∴AQ⊥DQ,AQ=y2－h2.
∵Rt△ABQ∽Rt△QCD,CQ=,
∴,即.
∴y=(h＞1). 4分
(2)y==
=+≥2, 6分
当且仅当,即h=时，等号成立.
此时CQ=1,即Q为BC的中点，于是由DQ⊥平面PAQ，知平面PDQ⊥平面PAQ,PQ是其交线，则过A作AE⊥平面PDQ,∴∠ADE就是AD与平面PDQ所成的角，由已知得AQ=,PQ=AD=2,∴AE=1,sinADE=,∠ADE=30°. 8分
(3)设三棱锥P－ADQ的内切球半径为r,
则(S△PAD+S△PAQ+S△PDQ+S△ADQ)·r=VP－ADQ .
∵VP－ADQ=S△ADQ·PA=,S△PAQ=1,
S△PAD=,S△QAD=1,S△PDQ=,
∴r=. 12分
20.解：(1)由题意得：v=,w=,4≤v≤20,30≤w≤100, 3分
∴3≤x≤10,≤y≤.①
由于汽车、摩托艇所要的时间和x+y应在9至14小时之间，即9≤x+y≤14,②
因此满足①②的点(x,y)的存在范围是图中阴影部分(包括边界). 6分
(2)因为p=100+3(5－x)+2(8－y),所以3x+2y=131－p,设131－p=k,那么当k最大时，p最小，在图中通过阴影部分区域且斜率为－的直线3x+2y=k中，使k值最大的直线必通过点(10,4)，即当y=4时，p最小，此时x=10,v=12.5,w=30,p的最小值为93元. 12分
21.解：(1)设Q(x,y)P(－x,－y),代入f(x)方程得，g(x)=－loga(－x+1). 4分
(2)2f(x)+g(x)≥m恒成立
2loga(x+1)－loga(1－x)≥m恒成立
loga≥m恒成立,即m小于等于loga的最小值.
令h(x)=
=. 8分
易证h(x)在x∈［0,1)上单调递增，
∴h(x)min=h(0)=1,
又∵a＞1,∴loga≥loga1=0,
即loga的最小值为0，
∴m的取值范围是m≤0. 12分
22.解：(1)设P(x1,y1),Q(x2,y2),,
∴(1－2a2)x2+4ax－3=0.
若1－2a2=0,即a=±时，l与C的渐近线平行，l与C只有一个交点，与题意不合，
∴1－2a2≠0,Δ=(4a)2－4(1－2a2)(－3)＞0,
∴－＜a＜.
(*)
∴｜PQ｜=｜x1－x2｜=2.
∴(x1－x2)2=4,∴(x1+x2)2－4x1x2=4.
∴(－)2－4=4.
∴a=±1∈(－,).
∴所求的实数a的值为a=±1. 5分
(2)假设存在实数a,使得以PQ为直径的圆经过原点O，则由OP⊥OQ，得y1·y2=－x1·x2.
∴(ax1－1)·(ax2－1)=－x1·x2,
∴(1+a2)x1·x2－a(x1+x2)+1=0. 9分
把(*)式代入得：a2=－2与a为实数矛盾，
∴不存在实数a使得以PQ为直径的圆经过原点. 14分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本19
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.若X={x|x=4n+1，n∈Z}，Y={y|y=4n－3，n∈Z|，Q={z|z=8n+1，n∈Z}，则X、Y、Q的关系是
A.QYX B.XYQ
C.QX=Y D.X=Y=Q
2.函数f(x)=2－x+1的反函数图象大致是
3.对于任意k∈［－1，1］，函数f(x)=x2+(k－4)x－2k+4的值恒大于零，则x的取值范 围是
A.x＜0 B.x＞4
C.x＜1或x＞3 D.x＜1
4.已知在四边形ABCD中，有·=·=0，则该四边形是
A.平行四边形 B.矩形
C.直角梯形 D.矩形或直角梯形
5.已知数列{an}、{bn}都是等差数列，a1=－1，b1=－4，用Sk、Sk′分别表示数列{an}、{bn}的前k项和(k是正整数)，若Sk+Sk′=0，则ak+bk的值为
A.2 B.3 C.4 D.5
6.把函数y=cosx－sinx的图象向左平移m个单位(m＞0)，所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是
A. B. C. D.
7.设m和n是一对异面直线，它们所成的角为θ，且0＜θ＜.以下四个命题中，正确命题的个数为
①在过m的平面中存在平面α，使n∥α；②在过m的平面中存在平面β，使n⊥β；③在过m、n的平面中存在平面α，β，使它们所形成的二面角(较小的)的大小为θ；④在过m的平面中存在平面γ，使n和γ所形成的线面角的大小为θ.
A.1 B.2 C.3 D.4
8.一动圆与圆x2+y2=1和x2+y2－8x+12=0都相切，则动圆圆心轨迹为
A.圆 B.椭圆
C.双曲线一支 D.抛物线
9.若点A的坐标为(3，2)，F为抛物线y2=2x的焦点，点P在抛物线上移动，为使|PA|+|PF|取最小值，P点的坐标为
A.(3，3) B.(2，2)
C.(，1) D.(0，0)
10.5人随意排一排，则甲不在左端，乙不在右端的概率是
A. B.
C. D.
11.若关于x的方程9x+(4+a)·3x+4=0有解，则实数a的取值范围是
A.(－∞，－8]∪［0，+∞） B.(－∞，－4)
C.［－8，4） D.(－∞，－8］
12.路灯距地平面为8 m，一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速率从路灯在地面上射影点C，沿某直线离开路灯，那么人影长度的变化速率v为
A. m/s B. m/s
C. m/s D. m/s
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.设函数f(x)=4x3－3x+3，则f(x)的单调减区间是___________.
14.在容量为10的一个样本中，s=9，则s*=___________.
15.以双曲线－y2=1左焦点F，左准线l为相应焦点、准线的椭圆截直线y=kx+3所得弦恰被x轴平分，则k的取值范围是___________.
16.在下列四个命题中，
①a与b共线存在唯一实数λ，使a=λb;②a与b不同向对任何正实数λ，均有a≠λb;?③a∥b且b≠0存在唯一实数λ，使a=λb；④a与b不共线对任何正实数λ，均有a≠λb.
其中为真命题的是___________.(写出序号即可)
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
解关于x的不等式：lg(－x2+x+2m－2)≥lg(4－x2)(m∈R).
18.(本小题满分12分)
同时掷两个均匀的骰子，求:
(1)点数和为偶数的概率；
(2)点数积为偶数的概率.
19.(本小题满分12分)
在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.
(1)证明：SC⊥BC；
(2)求侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小；
(3)求异面直线SC与AB所成的角的大小.(用反三角函数表示)
20.(本小题满分12分)
渔场中鱼群的最大养殖量为m吨，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量.已知鱼群的年增长量y吨和实际养殖量x吨与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k＞0).(空闲率为空闲量与最大养殖量的比值)
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值；
(3)求鱼群的年增长量达到最大值时k的取值范围.
21.(本小题满分12分)
以椭圆x2+a2y2=a2(a＞1)的一个顶点C(0，1)为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC，试问：这样的三角形是否存在？若存在，最多有几个？若不存在，说明理由.
22.(本小题满分14分)
记函数f(x)的定义域为D，若存在x0∈D，使f(x0)=x0成立，则称以(x0，y0)为坐标的点是函数f(x)的图象上的“稳定点”.
(1)若函数f(x)=的图象上有且只有两个相异的“稳定点”，试求实数a的取值范围；
(2)已知定义在实数集R上的奇函数f(x)存在有限个“稳定点”，求证：f(x)必有奇数个“稳定点”.
参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.C
2.解析：利用图象变换.
答案：B
3.解析：将f(x)转化成关于k的一次函数g(k)=(x－2)k+x2－4x+4，由g(－1)＞0，g(1)＞0可得.
答案：C
4.D 5.D 6.C 7.C
8.解析：利用几何意义以及圆锥曲线定义.
答案：C
9.解析：运用抛物线的准线性质.
答案：B
10.解析：.
答案：B
11.解析：令3x=t(t＞0)，则a=－－4≤－8.
答案：D
12.A
二、填空题(每小题4分，共16分)
13.［－0.5，0.5］ 14.3 15.(0，) 16.②③④
三、解答题(17，18，19，20，21题每题12分，22题14分，共74分)
17.解：原不等式等价于下列不等式组：
即 6分
1°当6－2m≥2，即m≤2时，原不等式解集为空集；
2°当－2＜6－2m＜2，即2＜m＜3时，原不等式解集为{x|6－2m＜x＜2};
3°当6－2m≤－2，即m≥3时，原不等式的解集为{x|－2＜x＜2}. 12分
18.解：(1)P1==. 6分
(2)P2=. 12分
19.(1)证明：∵∠SAB=∠SAC=90°，∴SA⊥AB，SA⊥AC，又AB∩AC=A，∴SA⊥平面ABC.?∵∠ACB=90°，即BC⊥AC，由三垂线定理得SC⊥BC. 4分
(2)解：∵BC⊥AC，SC⊥BC，∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成二面角的平面角，
在Rt△SCB中，BC=，SB=，得 SC==4，
在Rt△SAC中，AC=2，SC=4，得cosSCA==，∴∠SCA=60°，即侧面SBC与底面ABC所成二面角的大小为60°. 8分
(3)解：过点C作CD∥BA，过点A作BC的平行线交CD于D，连结SD，则∠SCD是异面直线SC与AB所成的角.
∵四边形ABCD是平行四边形，DC=AB=，SA=，SD==5，
在△SCD中，cosSCD=
，
∴SC与AB所成的角的大小为arccos. 12分
20.解：(1)由题意，空闲率为1－，
从而y=kx(1－)，定义域为(0，m)； 4分
(2)由(1)得y=kx(1－)=－ (x－)2+，
故当x=时，ymax=; 8分
(3)由题意知，0＜x+y＜m，即0＜＜m，
得：－2＜k＜2，又k＞0，故0＜k＜2. 12分
21.解：设A、B两点分别居于y轴的左右两侧，设CA的斜率为k，则k＞0，CA所在直线的方程为y=kx+1，代入椭圆的方程并整理得(a2k2+1)x2+2a2kx=0，∴x=0或x=－.∴A点的横坐标为?－.?∴|CA|=. 4分
同理，|CB|=，由|CA|=|CB|得，
∴(k－1)［k2－(a2－1)k+1］=0.① 8分
当1＜a＜时，k=1，k2－(a2－1)k+1=0无实数解；
当a=时，①的解是k=1，k2－(a2－1)k+1=0的解也是k=1；
当a＞时，①的解除k=1外，方程k2－(a2－1)k+1=0有两个不等的正根，且都不等于1，故①有3个正根.
∴符合题意的等腰直角三角形一定存在，最多有3个. 12分
22.解：(1)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1≠x2)是函数f(x)=的图象上的两个“稳定点”，
∴，即有x12+ax1=3x1－1(x1≠－a)，x22+ax2=3x2－1(x2≠－a). 4分
有x12+(a－3)x1+1=0(x1≠－a)，
x22+(a－3)x2+1=0(x2≠－a).
∴x1、x2是方程x2+(a－3)x+1=0两根，且?∵x1， x2≠－a，∴x≠－a，
∴方程x2+(a－3)x+1=0有两个相异的实根且不等于－a.
∴
∴a＞5或a＜1且a≠－.
∴a的范围是(－∞，－)∪(－，1)∪(5，+∞).? 8分
(2)∵f(x)是R上的奇函数，∴f(－0)=－f(0)，即f(0)=0.∴原点(0，0)是函数f(x)的“稳定点”，若f(x)还有稳定点(x0，y0)，则∵f(x)为奇函数，f(－x0)=－f(x0)，f(x0)=x0，∴f(－x0)=－x0，这说明：(－x0，－x0)也是f(x)的“稳定点”.
综上所述可知，f(x)图象上的“稳定点”除原点外是成对出现的，而且原点也是其“稳定点”，∴它的个数为奇数. 14分2006年高考理科数学摸拟试题解析样本8
本试卷分第Ⅰ卷(选择题 共60分)和第Ⅱ卷(非选择题 共90分)，考试时间为120分钟，满分为150分.
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.已知全集为R，集合A={x∈R|f(x)=0},B={x∈R|g(x)=0}，则不等式f(x)g(x)≠0的解集为
A.(RA)∩(RB) B.(RA)∪(RB)
C.(B∩RA)∪(A∩RB) D.(B∪RA)∪(A∪RB)
2.已知等差数列前n项和为Sn，若S12＞0，S13＜0，则此数列中绝对值最小的项为
A.第5项 B.第6项
C.第7项 D.第8项
3.要得到函数y=cos()的图象，只需将函数y=sin的图象
A.向左平移个单位 B.向右平移个单位
C.向左平移个单位 D.向右平移个单位
4.两个非零向量的模相等是两个向量相等的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设a=(sin17°+cos17°),b=2cos213°－1,c=，则
A.c＜a＜b B.b＜c＜a
C.a＜b＜c D.b＜a＜c
6.以下可以描述总体稳定性的统计量是
A.样本平均值 B.样本中位数
C.样本方差 D.样本最大值
7.已知四个命题：①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱 ②对角面是全等矩形的直四棱柱一定是长方体 ③有一条侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱 ④有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体.则上述命题中
A.四个都是假命题 B.只有③是真命题
C.只有①是假命题 D.只有④是假命题
8.P是双曲线=1(a＞0,b＞0)的左支上一点，F1、F2分别为左右焦点，且焦距为2c,则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为
A.－a B.a
C.－c D.c
9.若(x)6的展开式中第五项等于,则)的值等于
A.1 B.
C. D.
10.已知抛物线y=－2x2+bx+c在点(2,－1)处与直线y=x－3相切，则b+c的值为
A.20 B.9
C.－2 D.2
11.向高为H的水瓶A、B、C、D同时以等速注水，注满为止，若水量V与水深h的函数的图象是左下图，则水瓶的形状为
12.如图，某电子器件是由三个电阻组成的回路，其中共有A、B、C、D、E、F六个焊点，如果某个焊点脱落，整个电路就会不通.现在电路不通了,那么焊点脱落的可能性共有的种数为
A.6 B.36
C.63 D.64
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
13.设有两个命题：(1)不等式|x|+|x－1|＞m的解集是R；(2)函数f(x)=－(7－3m)x是减函数.如果这两个命题中有且只有一个真命题，则实数m的取值范围是___________.
14.已知a、b、c成等比数列，a、x、b成等差数列，b、y、c也成等差数列，则的值等于___________.
15.过底面边长为1的正三棱锥的一条侧棱和高作截面，如果这个截面的面积为，那么这个棱锥的侧面与底面所成角的正切值为___________.
16.将直线y=x－1绕点(1，0)逆时针转90°后，接着将其沿y轴向上平移一个单位所得到的直线恰好与圆x2+(y－1)2=r2相切，则半径r=___________.
三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)
已知△ABC中，三内角A、B、C满足A∶B∶C=1∶2∶2.
求1－cosA+cosB－cosAcosB的值.
18.(本小题满分12分)
如图，矩形ABCD中，|AB|=1，|BC|=a,PA⊥面ABCD且|PA|=1.
(1)BC边上是否存在点Q，使得PQ⊥QD，并说明理由；
(2)若BC边上存在唯一的点Q使得PQ⊥QD,指出点Q的位置，并求出此时AD与平面PDQ所成的角的正弦值；
(3)在(2)的条件下，求二面角Q—PD—A的正弦值.
19.(本小题满分12分)
若一个箱内装有分别标有号码1，2，…，50的50个小球，从中任意取出两个球把其上的号码相加，计算：
(1)其和能被3整除的概率；
(2)其和不能被3整除的概率.
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=2x3+ax,g(x)=bx2+c的图象都过点P(2，0)，且在点P处有公切线，求a,b,c及f(x),g(x)的表达式.
21.(本小题满分12分)
如图，已知△ABC的三边分别为a,b,c，A为圆心，直径PQ=2r，问P,Q在什么位置时，有最大值？
22.(本小题满分14分)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象的顶点坐标是(),且f(3)=2.
(1)求y=f(x)的表达式，并求出f(1),f(2)的值；
(2)数列{an}，{bn}，若对任意的实数x都满足f(x)g(x)+anx+bn=xn+1,n∈N*，其中g(x)是定义在实数集R上的一个函数，求数列{an},{bn}的通项公式；
(3)设圆Cn:(x－an)2+(y－bn)2=rn2，若圆Cn与圆Cn+1外切，{rn}是各项都是正数的等比数列.记Sn是前n个圆的面积之和，求(n∈N*).
?参考答案
一、选择题(每小题5分，共60分)
1.解析：f(x)g(x)≠0f(x)≠0且g(x)≠0.
答案：A
2.C
3.解析：化y=cos()为y=sin()即得.
答案：A
4.解析：向量相等则模相等，模相等向量不一定相等.
答案：B
5.解析：全化为正弦值的形式后可比较.
答案：A
6.C 7.B 8.A
9.解析：可求得x=2，然后用求和公式，再求极根.
答案：A
10.解析：用导数做，令f′(2)=1，又f(2)=－1.
答案：C
11.A
12.解析：至少有一个焊点脱落，C+C+…+C=63.
答案：C
二、填空题(每小题4分，满分16分)
13.1≤m＜2 14.2 15.2 16.
三、解答题(17、18、19、20、21题，每题12分；22题14分，共74分)
17.解：由题意得A=36°,B=C=72°,原式可化为2cos2·2sin2,
而2cos2·2sin2=(2cos36°sin18°)2, 5分
2cos36°sin18°=
=. 10分
故原式=()2=. 12分
18.解：(1)若BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，因PA⊥面ABCD知AQ⊥QD.矩形ABCD中，当a＜2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q使AQ⊥QD，故仅当a≥2时才存在点Q使PQ⊥QD； 4分
(2)当a=2时，以AD为直径的圆与BC相切于Q，此时Q是唯一的点使∠AQD为直角，且Q为BC的中点.作AH⊥PQ于H，可证∠ADH为AD与平面PDQ所成的角，且在Rt△PAQ中可求得sinADH=; 8分
(3)作AG⊥PD于G，可证∠AGH为二面角Q—PD—A的平面角，且在Rt△PAD中可求得sinAGH=. 12分
19.解：因为基本事件总数n=C，从1到50中能被3整除的数有3，6，9等16个数，被3除余1的数有17个，被3除余2的数有17个，按题意:
(1)P1=. 7分
(2)P2=1－P1=. 12分
20.解：f(x)=2x3+ax的图象过点P(2,0)故a=－8，故f(x)=2x3－8x, 5分
f′(x)=6x2－8,f′(2)=16.
由g(x)=bx2+c的图象过点P(2,0)得4b+c=0.
又g′(x)=2bx,g′(2)=4b=f′(2)=16，
∴b=4.从而c=－16.
∴f(x)=2x3－8x,g(x)=4x2－16. 12分
21.解：
=
=－r2+
=. 5分
设∠BAC=，PA的延长线与BC的延长线交于D，∠PDB=,则=bccos－r2+racos.
∵a,b,c, ,γ均为定值，只需cos=1即AP∥BC时，最大. 12分
22.解：(1)由已知得f(x)=a(x－)2－(a≠0)，由f(3)=2得a=1.
∴f(x)=x2－3x+2,x∈R，f(1)=0,f(2)=0. 5分
(2)f(1)g(1)+an+bn=1n+1,∴an+bn=1.
f(2)g(2)+2an+bn=2n+1,∴2an+bn=2n+1.
所以an=2n+1－1,bn=2－2n+1. 10分
(3)|CnCn+1|=
=2n+1.
设{rn}的比为q，则rn+rn+1=rn(1+q)
=|CnCn+1|=2n+1.
∴rn+1(1+q)=2n+2,∴=2,
∴rn=,rn2=4n.
∴Sn=(4n－1),
∴. 14分