北师大版 九年级上册1.1 菱形的性质与判定 课件 (共39张PPT)

(共39张PPT)
1.1 菱形的性质与判定
第一章 特殊平行四边形
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
课时讲解
1
课时流程
2
菱形的定义及其性质
菱形的判定
知1－讲
感悟新知
知识点
菱形的定义及其性质
1
1.定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 .
感悟新知
知1－讲
特别提醒
◆菱形必须满足两个条件：
一是平行四边形；
二是一组邻边相等 .
二者必须同时具备，缺一不可 .
◆菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法 .
感悟新知
2.性质如下表
知1－讲
图形 性质 数学表达式
菱形的四条边相等 ∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AB=BC=CD=AD
菱形的对角线互相垂直 ∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ BD ⊥ AC
菱形是轴对称图形，它有两条对称轴
感悟新知
特别提醒： (1) 菱形的性质可以用来证明线段相等，角相等以及直线的平行、垂直等关系 . (2)由菱形的性质与勾股定理的联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于两条对角线长一半的平方和 . (3)如果菱形的一个内角为 60°，那么菱形的两条边与较短的对角线构成的三角形为等边三角形 .
知1－讲
知1－练
感悟新知
如图1-1-1，在△ ABC中， CD平分∠ ACB交AB于点D，DE ∥ AC 交 BC 于点 E， DF ∥ BC 交 AC 于点 F. 四边形 DECF是菱形吗？为什么？
例1
知1－练
感悟新知
解：四边形 DECF 是菱形 . 理由如下：
∵ DE ∥ FC， DF ∥ EC，
∴四边形 DECF 为平行四边形 .
∵ AC ∥ DE，∴∠ 2= ∠ 3.
∵ CD 平分∠ ACB，∴∠ 1= ∠ 2. ∴∠ 1= ∠ 3.
∴ DE=EC. ∴平行四边形 DECF 为菱形 .
解题秘方：紧扣菱形的定义中“两个条件” 进行判断 .
知1－练
感悟新知
1-1.如图，在平行四边形 ABCD 中， 点 O 是AD 的 中 点， 连接 CO并延长交 BA 的延长线于点 E，连接 AC， DE.
(1)求证： 四边形ACDE 是平行四边形；
知1－练
感悟新知
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD.∴∠BEC＝∠DCE.
∵点O是AD的中点，∴AO＝DO.
又∵∠AOE＝∠DOC，
∴△AEO≌△DCO(AAS)．∴AE＝CD.
又∵AE∥DC，∴四边形ACDE是平行四边形．
知1－练
感悟新知
(2)若 AB=AC，判断四边形 ACDE 的形状，并说明理由 .
解：四边形ACDE是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD.又∵AB＝AC，∴CD＝AC.
又由(1)可知四边形ACDE是平行四边形，
∴四边形ACDE是菱形．
感悟新知
知1－练
如图 1-1-2，在菱形 ABCD 中， E， F 分别是 BC， CD上的点，且∠ B= ∠ EAF=60°，∠ BAE=18° . 求∠ CEF 的度数 .
例2
知1－练
感悟新知
解题秘方：紧扣菱形的性质、三角形外角的性质求解 .
解：如图 1-1-2，连接 AC.
∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠ B=60° ，
∴ AB=BC=CD=DA，∠ D= ∠ B=60° .
∴△ ABC 和△ ACD 均为等边三角形 .
∴ AB=AC，∠ B= ∠ ACF= ∠ BAC=60° .
∵∠ EAF=60°，∴∠ BAC= ∠ EAF.
知1－练
感悟新知
∴∠ BAE= ∠ CAF.
∴△ ABE ≌△ ACF ( ASA ) . ∴ AE=AF.
又∵∠ EAF=60°，∴△ EAF 是等边三角形 .
∴∠ AEF=60° .
∵∠ AEC= ∠ B+ ∠ BAE= ∠ AEF+ ∠ CEF，
∴ 60° +18° =60° + ∠ CEF.
∴∠ CEF=18° .
知1－练
感悟新知
2-1.如图， 在菱形ABCD 中， ∠ BAD=80 °， AB 的垂直平分线交对角线 AC 于点 F， E 为垂足， 连接DF，则∠ CDF 的度数为_____ .
60°
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感悟新知
如图 1-1-3，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC， BD相交于点 O，且 AB=2.
例3
知1－练
感悟新知
解题秘方：紧扣菱形边、对角线的性质，根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理求线段长是解决问题的关键 .
知1－练
感悟新知
(1)求菱形 ABCD 的周长；
解：∵四边形 ABCD 是菱形，AB=2，
∴菱形 ABCD 的周长为 2× 4= 8.
知1－练
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(2)若 AC=2，求 BD 的长 .
解：∵四边形 ABCD 是菱形， AC=2，
∴ AC ⊥ BD， BO= BD， AO= AC= 1.
在 Rt △ AOB 中，∵ AB=2， AO=1，
∴ BO = = = .
∴ BD = 2BO =2 .
知1－练
感悟新知
3-1. [ 中考· 安徽 ] 如图，在菱形 ABCD 中，AB=2， ∠ A=120 °，过菱形 ABCD 的对称中心 O 分别作边 AB， BC的垂线，交各边于点 E，F， G， H， 则 四 边形EFGH 的周长为( )
A.3+ B.2+2
C.2+ D.1+2
A
感悟新知
知1－练
如图 1-1-4，在菱形 ABCD 中，对角线交于点 O，∠ ABC 与∠ BAD 的度数比为 1∶2，菱形 ABCD的周长是 48. 求：
例4
知1－练
感悟新知
解题秘方：紧扣菱形的性质和面积公式求解 .
知1－练
感悟新知
(1)菱形 ABCD 的两条对角线的长度；
解：∵在菱形 ABCD 中，∠ ABC 与∠ BAD 的度数比
为 1 ∶ 2，∴ ∠ ABC=60°，∠ BAD=120°， AC ⊥ BD.
∴ ∠ ABO=30° .
∵ 菱形 ABCD 的周长是 48，∴ AB=BC=DC=AD=12.
∴ AO=6. ∴ BO= = =6 ，
AC=12，∴ BD=12 .
知1－练
感悟新知
(2)菱形 ABCD 的面积 .
解：S 菱形 ABCD= AC· BD
= × 12× 12 =72 .
菱形面积的两种计算方法
1. 一边与这边上的高的乘积；
2. 两条对角线乘积的一半 .
知1－练
感悟新知
4-1.如图，在菱形ABCD 中，对角线 AC和 BD 相交于点 O，E 是 BC 的中点，连接AE. 若∠ ABC=60°，BE=2 cm，求： (1)菱形ABCD的周长；
知1－练
感悟新知
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD.
∵E为BC的中点，BE＝2 cm，
∴BC＝2BE＝4 cm.
∴菱形ABCD的周长为4BC＝16 cm.
知1－练
感悟新知
(2)菱形ABCD的面积.
感悟新知
知2－讲
知识点
菱形的判定
2
1.判定定理 1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 .
数学表达式： 如图 1-1-5，在 ABCD 中，
∵ AC ⊥ BD，∴ ABCD 是菱形 .
感悟新知
知2－讲
2. 判定定理 2 四边相等的四边形是菱形 .
数学表达式： 如图 1-1-5，在四边形 ABCD 中，
∵ AB=BC=CD=DA，∴四边形 ABCD 是菱形 .
知2－讲
感悟新知
特别提醒
●菱形的判定定理和性质定理是互逆定理.
●判定菱形的常见思路:
四边形
平行四边形
知2－练
感悟新知
如图 1-1-6，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 O 作直线 EF ⊥ BD，分别交 AD， BC 于点 E 和点 F， 连接 BE， DF. 求证： 四 边形BEDF 是菱形 .
例5
知2－练
感悟新知
解题秘方：紧扣对角线垂直这一条件，从判定平行四边形入手判定菱形 .
证明： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB=OD， AD ∥ BC.
∴∠ EDO= ∠ FBO，∠ OED= ∠ OFB.
∴△ OED ≌△ OFB(AAS) . ∴ DE=BF.
又∵ DE ∥ BF，∴四边形 BEDF 是平行四边形 .
又∵ EF ⊥ BD，∴四边形 BEDF 是菱形 .
知2－练
感悟新知
5-1.如图， 在三角形纸片 ABC 中， AD 是△ ABC 的角平分线，把△ ABC 进行折叠，使点A 与点 D 重合，折痕与AB 相交于点 E，与 AC相交于点 F. 求证：四边形 AEDF 是菱形 .
知2－练
感悟新知
证明：设AD与EF相交于点O.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.
∵点A与点D关于直线EF对称，
∴EF⊥AD，∴∠AOE＝∠AOF＝90°.
又∵AO＝AO，∴△AEO≌△AFO(ASA)．
∴EO＝FO.
知2－练
感悟新知
又∵点A与点D重合，∴AO＝DO.
∴EF，AD互相平分．
∴四边形AEDF是平行四边形．
又∵AD⊥EF，∴四边形AEDF是菱形．
感悟新知
知2－练
如图 1-1-7，在四边形 ABCD 中， AD=BC，点 E， F， G，H 分别是 AB， CD， AC， BD 的中点，求证：四边形 EGFH 是菱形 .
例6
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解题秘方：紧扣题中中点条件与线段相等这一特征，从证四条边相等入手判定菱形 .
证明： ∵点 E， H 分别是 AB， BD 的中点，
∴ EH 为△ ABD 的中位线 . ∴ EH= AD.
同理可得 GF= AD， EG= BC， HF= BC.
∵ AD=BC，∴ EH =GF= EG = HF .
∴四边形 EGFH 是菱形 .
知2－练
感悟新知
6-1.四边形的四边长顺次为 a， b， c， d，且 a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+ad， 则此四边形一定是( )
A. 平行四边形 B. 长方形
C. 菱形 D. 正方形
C
菱形的性质与判定
边的关系
边的性质
对角线的性质
对角线的关系
菱形
定义
轴对称性
性质
判定