2022-2023学年北师大版数学九年级下册 2.3 确定二次函数的表达式 常考题训练 （含解析）

2.3 确定二次函数的表达式 常考题训练
一、单选题
1．抛物线过点，，与x轴只有一个交点，d值是（　　）
A． B． C．4 D．16
2．在平面直角坐标系中，将抛物线，绕原点旋转180°，所得到的抛物线的函数关系式是（ ）
A． B． C． D．
3．二次函数的图象过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线（，，为常数，）上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表：
有下列结论：①抛物线的开口向下；②抛物线与轴的一个交点坐标为；③抛物线的对称轴为直线；④函数的最大值为．
其中，正确结论的个数是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
5．将抛物线平移，若有一个点既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，则称这个点为“平衡点”，现将抛物线：向右平移（）个单位长度后得到新的抛物线，若为“平衡点”，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．抛物线（a，b是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线中的自变量x与函数值y的部分对应值如表：
下列结论正确的是（　　）
A．抛物线的对称轴是直线
B．将抛物线向右平移1个单位后经过原点
C．当时，y随x的增大而增大
D．点A的坐标是，点B的坐标是
7．已知二次函数如图所示，那么的图象可能是( )
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，如果点M的横坐标与纵坐标相等，则称点M为和谐点，比如：点…，都是和谐点，若二次函数图象上有且只有一个和谐点，则这个二次函数的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知抛物线的顶点坐标是，且与y轴的交点坐标为，则该抛物线的解析式为______________．
10．已知二次函数的图像过点，则m的值为______．
11．已知一次函数的图像与轴的交点为，若二次函数的图像经过点，则二次函数的解析式为________．
12．给出一个二次函数，它的部分性质如下：①当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；②函数的最大值为；③函数图象过点．根据以上信息，可知该二次函数的解析式为_______．
13．已知抛物线如图所示，则其对应的函数关系式为__________．
14．已知抛物线的顶点为，与x轴相交于两点（点在点的左侧），点关于轴的对称点为，我们称以为顶点且过点，对称轴与轴平行的抛物线为抛物线的“关联”抛物线，直线为抛物线的“关联”直线．若一条抛物线的“关联”抛物线和“关联”直线分别是和，则这条抛物线的解析式为_____．
15．在“探索函数的系数a，b，c与图像的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图像，发现这些图像对应的函数表达式各不相同，其中a的最大值与最小值的和为_________；a的最小值为_______．
16．若三点，，中恰有两点在抛物线（且，均为常数）的上，下列结论：①抛物线的对称轴是直线；②当时，则的取值范围是：；③若和都是抛物线上的点且，则；则下列结论正确的是______．（填序号）
17．如图，、是抛物线在第一象限内的点，点的纵坐标是，点的横坐标是，直线分别交、轴于点、，点恰好是的中点，，且．则的值为________．
18．如图，抛物线交x轴于点A，B，的顶点C在该抛物线上，顶点D在抛物线的对称轴上，若点C的纵坐标为，，则a的值为______．
三、解答题
19．已知二次函数的图象经过点，．
(1)求二次函数的表达式．
(2)若将点向左平移m个单位，或向右平移个单位，都能与该二次函数图象上的点重合，求m，n的值．
20．在平面直角坐标系中，点和点在二次函数的图像上．
(1)若，求二次函数的表达式及图像的对称轴．
(2)若点是二次函数图像上的任意一点且满足，当时，求证：．
(3)若点在该二次函数的图像上，试比较m，n的大小．
21．已知抛物（，为常数）经过点，
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若点，在该抛物线上，当时，试比较与的大小；
(3)点为该抛物线上一点，当取得最大值时，求点的坐标
22．已知二次函数（a为常数）．
(1)若二次函数的图象经过点，求函数y的表达式．
(2)若，当时，此二次函数y随着x的增大而减小，求m的取值范围．
(3)点和是这个二次函数的图象上的动点，若有最大值4，求常数a的值．
23．在平面直角坐标系中，已知抛物线（为常数）．
(1)当抛物线经过点时，求的值．
(2)该拋物线的顶点坐标为___________．（用含有的代数式表示）
(3)当时，若，，则的取值范围是___________．
(4)当时，若函数（为常数）的图象最低点到轴的距离为3，求的值．
24．如图1，已知抛物线经过点．
(1)求的值；
(2)如图2，点在抛物线上，连接，在下方的抛物线上有一动点．当面积最大时，点的坐标及最大面积；
(3)如图3，点为轴负半轴上一点，线段交抛物线于．若为等腰三角形，求点的坐标．
参考答案：
1．A
【详解】解：∵抛物线过点，，
∴对称轴是直线，
又∵抛物线与x轴只有一个交点，
∴设抛物线解析式为，
把代入，得．
故选：A．
2．D
【详解】解：∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴将抛物线，绕原点旋转后顶点坐标变为，，
∴旋转后的函数关系式为．
故选：D．
3．B
【详解】将，，代入，
得：，解得：，
∴该抛物线开口向下，对称轴为．
∵离对称轴最远，离对称轴最近，
∴．
故选B．
4．C
【详解】解：∵抛物线经过点
∴
解得：
∴抛物线解析式为
∴抛物线开口向下，对称轴为直线，最大值为，
故①③④正确
令，即，
解得：，抛物线与轴的一个交点坐标为，故②不正确，
故选：C．
5．A
【详解】解：依题意得抛物线为：
，
为“平衡点”，
既在平移前的抛物线上，又在平移后的抛物线上，
解得或，
，
，
故选：A．
6．D
【详解】当和时，，
抛物线的对称轴是直线，故A选项错误；
设抛物线解析式为，将代入得，
，
解得：，
抛物线解析式为，
向右平移一个单位的抛物线解析式为：，
令，，
即抛物线经过点，故B选项错误
又抛物线解析式为：
时，随增大而减小；时，随增大而大，故C选项错误；
时，，则点，
点与点关于抛物线的对称轴对称，
点坐标，
故D正确．
故选：D ．
7．D
【详解】解：二次函数的图象，开口向下，对称轴在轴左侧，则，
∴，
∴
则的图象，开口向上，对称轴为直线，与轴交于点，
故选：D．
8．D
【详解】解：由题意可得和谐点所在直线为，
把代入得，
∴，
∴．
令，整理得，
∵抛物线与直线只有1个公共点，
∴，
解得，
∴．
故选：D．
9．
【详解】解：由题意，设该抛物线解析式为，，
将代入得：，
解得：，
∴，
故答案为：．
10．2
【详解】把点代入得

故答案为：2
11．
【详解】解：根据题意得，当时，，
∴点的坐标为，
把点的坐标代入二次函数得，
∴，
∴，
∴二次函数的解析式为，
故答案为：．
12．
【详解】解：由①当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；
可得抛物线的对称轴为直线，且抛物线的开口向下，
结合②函数的最大值为；可得顶点坐标为：，
可得抛物线的解析式为：，
∵③函数图象过点，
∴，
解得：，
∴抛物线为，
故答案为：．
13．
【详解】解：由图可得：
抛物线对称轴为直线，且经过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，
∴，，，
解得：，
∴对应的函数关系式为：，
故答案为：．
14．
【详解】解：∵，
∴点坐标为，
解方程组，得或，
∴点的坐标为，
∵点和点关于轴对称，
∴，
设原抛物线解析式为，
∴把代入得，，解得，
∴原抛物线解析式为．
故答案为：．
15． 0
【详解】当抛物线经过三点时，
得，
解得，
；
当抛物线经过三点时，
得，
解得，
∴；
当抛物线经过三点时，
得，
解得，
∴；
当抛物线经过三点时，
得，
解得，
∴，
∵
∴a的值最大是， a的值最小是，
∴．
故答案为0，．
16．##
【详解】当时，，
∴抛物线过点，
∵，，
∴轴，
∴和只有一个点在抛物线上，
∴点在抛物线上，
结合点可知：当时，已有或者，
即不存在当时，还有的可能，
∴点不在抛物线上，
∴在抛物线上，
代入、，可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
化成顶点式为：，
即①抛物线的对称轴是直线，故正确；
∴当时，函数的最小值为：，故②错误；
∵，
∴当时，，当或时，，
若和都是抛物线上的点且，
∴，
∴，
∴当时，，故③正确．
故答案为：．
17．
【详解】解：依题意，点的横坐标是，点恰好是的中点，
∴的坐标为，
∵，且，
∴，
∴，
又∵，
∴，
如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，则，
∴，
将点，代入，得，
，
解得：，
∴，
故答案为：．
18．
【详解】解：过点D作于E，如图所示：
∵抛物线，
∴对称轴为直线，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点C的纵坐标为，
∴点D的纵坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵A，B是抛物线与x轴的交点，
∴，
∴，
∴，
∴，
把A，C坐标代入得：
，
解得：，
故答案为：．
19．【详解】（1）将A，B两点代入得，
，
解得，
∴二次函数的解析式为．
（2）由，可知，二次函数的对称轴为直线，
将点向左平移m个单位，或向右平移个单位，则可得到点和点，
由题意可知点和点均在该二次函数图象上，
∴点和点关于直线对称，
∴，
解得，
∴和在二次函数图象上，
当时，，
即．
20．【详解】（1）解：∵，
∴，，
把A、B代入得
，解得：，
∴二次函数的表达式为：，
对称轴为，
即对称轴为直线；
（2）证明：∵点是二次函数图象上任意一点，且，
可得为最低点，即开口向上，，
对称轴，则，
∴，
根据抛物线的对称性，可知和时的函数值相等，
∵当时，，
∴，即，
∵，
∴，
将代入，得，
∴；
（3）解：将点代入
得：，解得：，
∴y＝，
当时，，
当时，，
∵，
∴．
21．【详解】（1）解：把，代入得，
，
解得．
所以，该抛物线的解析式为；
（2）对称轴为直线，
∵，
∴当时，随的增大而增大．
∵，
∴；
（3）∵点为该抛物线上一点，
∴，
设
∴当时，最大，
此时．
22．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，解得：，
∴；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∵，
∴抛物线的开口向上，在对称轴的左侧，随的增大而减小，
∵当时，此二次函数y随着x的增大而减小，
∴，
∴；
（3）解：∵点和在二次函数的图象上，
∴，，
∴
；
∵有最大值，
∴，当时，的最大值为：，
∴．
23．【详解】（1）当抛物线经过时，
，即，
解得；
（2）
∴该抛物线的顶点坐标为；
（3）∵
∴
∵当时，
∵抛物线的对称轴为，顶点坐标为，开口向上，
∴抛物线最小值为3，
∴当时，，
∵时，，
∴b的取值范围是；
（4）∵当时，若函数（为常数）的图象最低点到轴的距离为3，
①当时，
时，图象取得最低点的坐标为，到轴的距离为，
∴，
解得：
②当时，
时，图象取得最低点的坐标为，到轴的距离为，
∴，方程无解，
综上所述：
24．【详解】（1）解：将代入解析式，得：，
解得：；
（2）解：由(1)知，抛物线的解析式为，
将代入解析式得：，
设直线的解析式为，
将，分别代入解析式，得
，
解得
直线的解析式为 ，
过点作轴垂线交于点，如图：
设，则，
，

，
当时，的面积最大，最大面积为，此时；
（3）解：如图，
设，
设直线的解析式为，
将点A、N的坐标分别代入解析式，得
解得
直线的解析式为，
令，解得，
，
，，
解得：（舍去），，
．