2022-2023学年北师大版八年级数学下册 第一章三角形的证明单元检测题 （含解析）

第一章 三角形的证明 单元检测题 八年级数学下册北师大版
一、单选题
1．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（　　）
A． B． C．32，42，52 D．4，5，6
2．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（　　）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．等腰三角形两边长分别是2 cm和5 cm，则这个三角形周长是（　　）
A．9 cm B．12 cm C．9 cm或12 cm D．14 cm
4．有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为
（　　）
A．2，4，8 B．4，8，10 C．6，8，10 D．8，10，12
5．如图，△ABC中，BC边的垂直平分线交AC于点D，已知AB=3，AC=7，BC=8，则△ABD的周长为（　　）
A．10 B．11 C．15 D．12
6．如图所示，△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，PE⊥AB于点E，线段BP的垂直平分线交BC于点F，垂足为点Q．若BF=2，则PE的长为(　　)
A．2 B．2 C． D．3
7．如图，在Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD的角平分线交DE于F，过点F作FC⊥AD于C，点B为AE上一点，连接FB，且FB＝FD，AD＝6，AB＝3，则AC的长为（　　）
A．3.5 B．4 C．4.5 D．5
8．如图，直线a、b、c表示互相交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的站址有（　　）
A．一处 B．二处 C．三处 D．四处
9．如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点E在上，点F在上，连接，将沿折叠，点C与点恰好重合时，则的度数（　　）
A．90° B．92° C．95° D．98°
二、填空题
10．如图， 中， 于D，要使 ，若根据“ ”判定，还需要加条件　 　
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交AC于E，交BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则BE的长是　 　.
12．如图，在中，，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E．已知的周长为8，，则AC的长为　 　．
13．如图所示，△ABC为等边三角形，AQ＝PQ，PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，PR＝PS，有下列四个结论：①点P在∠BAC的平分线上；②AS＝AR；③QP∥AB；④△BRP≌△CSP.其中，正确的有　 　(填序号即可)．
14．在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交边BC于点D、E，若∠DAE=40°，则∠BAC的度数为　 　.
15．如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的等边三角形纸板，沿图①的底边剪去一块边长为 的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的等边三角形纸板（即其边长为前一块被剪掉的等边三角形纸板边长的 ）后得到图 ③，④…，记第n块剪掉的等边三角形纸板的周长为Pn，则Pn=　 　．
三、作图题
16．画一个等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为h（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出已知，求作，不写作法和证明）．
已知：线段a，线段h．
求作：等腰△ABC，使底边长BC=a，底边上的高为h．
17．用尺规作图（不写作法、保留作图痕迹，标注结果）
（1）作线段AB（如图1所示）的中垂线EF．
（2）作∠AOB（如图2所示）的角平分线OC．
四、解答题
18．阅读并填空：
如图， 是等腰三角形， ， 是边 延长线上的一点， 在边 上且联接 交 于 ，如果 ，那么 ，为什么？
解：过点 作 交 于
所以 （两直线平行，同位角相等）
（　 　）
在 与 中
所以 ，（　 　）
所以 （　 　）
因为 （已知）
所以 （　 　）
所以 （等量代换）
所以 （　 　）
所以
19．如图,△ABC中,∠A=90°，BD为∠ABC平分线，DE⊥BC，E是BC的中点，求∠C的度数.
20．如图所示，在四边形 中， ， ， ， 的长分别为2，2， ，2，且 ，求 的度数.
21．如图， 中， ， 平分 交 于 点.
求证：BC=AC+CD.
22．如图，在△ABC中，ME和NF分别垂直平分AB和AC．
(1) 若BC = 10 cm，试求△AMN的周长．
(2) 在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 100°，求∠MAN的度数．
(3) 在 (2) 中，若无AB = AC的条件，你还能求出∠MAN的度数吗？若能，请求出；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【解析】【解答】解：A、，故选项A符合题意；
B、，故选项B不符合题意；
C、，故选项C不符合题意；
D、，故选项D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边如果满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，从而分别判断，即可作答.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：过A作AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴EC=BE= BC=4，
∴AE= =3，
∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．
∴3≤AD＜5，
∴AD=3或4，
∵线段AD长为正整数，
∴AD的可以有三条，长为4，3，4，
∴点D的个数共有3个，
故答案为：C．
【分析】过A作AE⊥BC，根据等腰三角形的三线合一及勾股定理得出AE的长，又D是线段BC上的动点（不含端点B、C）从而找到AD的取值范围，从而根据线段AD长为正整数，得出结论。
3．【答案】B
【解析】【解答】解：当腰长是2 cm时，因为2+2<5，不符合三角形的三边关系，排除；
当腰长是5 cm时，因为5+5>2，符合三角形三边关系，此时周长是12 cm.
故答案为：B.
【分析】分当腰长是2 cm时与当腰长是5 cm时两种情况，分别根据等腰三角形的两腰相等及三角形三边关系判断能否围成三角形，对能围成三角形的，利用周长的计算方法算出答案.
4．【答案】C
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理进行分析，从而得到答案．
【解答】由勾股定理的逆定理分析得，只有C中有62+82=102，
故选C．
【点评】本题考查了直角三角形的判定
5．【答案】A
【解析】【分析】根据垂直平分线的性质可得BD=CD，即可求得结果。
【解答】∵DE是BC边的垂直平分线，
∴BD=CD，
∴△ABD的周长为AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=10，
故选A.
【点评】解答本题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
6．【答案】C
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，P是∠ABC的平分线BD上一点，
∴∠ABD=∠DBC=30°.
∵QF为线段BP的垂直平分线，BF=2，∠QBF=30°，
∴FQ=1，
∴BQ==，
∴BP=2.
∵PE⊥AB ，BP=2，∠EBP=30°，
∴PE=BP=2×=.
故答案为：C.
【分析】由等边三角形的性质以及角平分线的概念可得∠ABD=∠DBC=30°，然后在Rt△BQF中，根据含30°角的直角三角形的性质得到FQ，由勾股定理求出BQ的值，根据线段垂直平分线的概念可得BP的值，然后在Rt△BPE中，根据含30°角的直角三角形的性质就可得到PE的值.
7．【答案】C
【解析】【解答】解：∵∠AED＝90°，
∴FE⊥AE，
∵FC⊥AD，AF平分∠EAD，
∴FE＝FC，
在Rt△EFB和Rt△CFD中，
，
∴Rt△EFB≌Rt△CFD（HL），
∴AE＝AC，BE＝CD，
∵AD＝6，AB＝3，
∴AD＝CD+AC＝BE+AC＝AE﹣AB+AC＝6，
∴2AC＝9，
∴AC＝4.5.
故答案为：C.
【分析】由角平分线的性质可得FE＝FC，证明Rt△EFB≌Rt△CFD，得到AE＝AC，BE＝CD，然后根据线段间的和差关系可求得AC的值.
8．【答案】D
【解析】【解答】∵△ABC内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，
∴△ABC内角平分线的交点满足条件；
如图：点P是△ABC两条外角平分线的交点，
过点P作PE⊥AB，PD⊥BC，PF⊥AC，
∴PE=PF，PF=PD，
∴PE=PF=PD，
∴点P到△ABC的三边的距离相等，
∴△ABC两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有3个；
综上，到三条公路的距离相等的点有4个，
∴可供选择的地址有4个．
故答案为：D．
【分析】根据到角两边距离相等的点在这个角的平分线上可知三个内角的平分线交点、任意两外角的平分线交点均可，共四处。
9．【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC．
∵，的平分线与的垂直平分线交于点O，
∴．
∵AB=AC，
∴，
∴．
在和中， ，
∴，
∴OB=OC，
∴．
由题意将沿折叠，点C与点O恰好重合，
∴OE=CE，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接OB、OC，根据角平分线及中垂线的性质可得，根据等腰三角形的性质可求出，从而求出∠OBC=∠CBA-∠ABO=44°，根据SAS证明△AOB≌△AOC，可得OB=OC，从而得出，由折叠的性质可得，根据∠OEC=180°-∠EOC-∠ECO即可求解.
10．【答案】AB=AC
【解析】【解答】解：还需添加条件AB=AC.
∵AD⊥BC于D，∴∠ADB=∠ADC=90°.
在Rt△ABD和Rt△ACD中，
∵AB=AC，AD=AD，
∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）.
故答案为：AB=AC.
【分析】观察图形可知两个三角形有一条公共边AD，且是直角边，根据HL定理“有一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等”可知应添加的条件应该是直角三角形的斜边.
11．【答案】2
【解析】【解答】∵∠ACB=90°，FD⊥AB，∴∠ACB=∠FDB=90°.
∵∠F=30°，∴∠A=∠F=30°（同角的余角相等）.
又AB的垂直平分线DE交AC于E，∴∠EBA=∠A=30°.
∴Rt△DBE中，BE=2DE=2.
【分析】由同角的余角相等可得∠A=∠F，根据线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AE=BE，由等边对等角可得∠EBA=∠A，Rt△DBE中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得BE=2DE可求解.
12．【答案】5
【解析】【解答】解：∵△BCE的周长为8，
∴BE+EC+BC=8．
∵AB的垂直平分线交AB于点D，
∴AE=BE， ∴AE+EC+BC=8，
即AC+BC=8，
∵AC-BC=2，
∴AC=5，BC=3，
故答案为：5．
【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=BE，再结合AE+EC+BC=8， 求出AC+BC=8， 根据可求出AC=5，BC=3， 从而得解。
13．【答案】①②③④
【解析】【解答】∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠A的平分线上，∴①符合题意；
∵点P在∠A的平分线上，∴∠QAP=∠BAP．
在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2﹣PR2，AS2=AP2﹣PS2．
∵AP=AP，PR=PS，∴AR=AS，∴②符合题意；
∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA．
∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP∥AB ，∴③符合题意；
∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠CAB=60°，AB=AC．
∵∠QAP=∠BAP，∴BP=CP．
∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠BRP=∠PSQ=90°．
在Rt△BRP和Rt△CSP中，∵BP=CP，PR=PS，∴△BRP≌△CSP，∴④符合题意．
【分析】根据角平分线的性质即可推出①符合题意；利用勾股定理即可推出②符合题意；利用平行线的判定即可推出③符合题意；证明出△BRP≌△CSP，即可推出④符合题意．
14．【答案】20°或110°
【解析】【解答】（1）当△ABC为锐角三角形时，
易知∠ABE=∠BAE，∠DAC=∠DCA，
∠ACE=∠ADE–∠DAC，∠EBA=2∠ACB+∠DAB，
求得∠BAC=∠BAD+∠DAC=20°.
（ 2 ）当△ABC为钝角三角形时，
∠DAB=∠B，∠C=∠EAC，所以，2（∠B+∠C）+40°=180°，求得∠BAC=110°.
【分析】根据垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点与线段的两个端点的距离相等，再由等边对等角和三角形内角和定理，求出∠BAC的度数.
15．【答案】3﹣
【解析】【解答】解：P1=1+1+1=3，
P2=1+1+ = =3﹣ ，
P3=1+1+ ×3= =3﹣ ，
P4=1+1+ ×2+ ×3= =3﹣ ，
…
Pn=3﹣ ，
故答案为：3﹣ ．
【分析】根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P1，P2，P3，P4，然后即可得到规律．
16．【答案】解： ABC就是所求的等腰 ABC.
【解析】【分析】先作线段BC=a，然后作线段BC的垂直平分线交BC于D,在垂直平分线上截取DA=h，连接AB、AC， ABC就是所求的等腰 ABC.
17．【答案】（1）解：如图1所示
（2）解：如图所示：
【解析】【分析】（1）利用尺规作图作出线段AB的垂直平分线即可。
（2）利用尺规作图作出∠AOB的平分线即可
18．【答案】对顶角相等；ASA；全等三角形对应边相等；等边对等角；等角对等边
【解析】【解答】解：过点 作 交 于 ，
∴ （两直线平行，同位角相等），
∴ （两直线平行，内错角相等），
在 与 中
，
∴ ，（ ）
∴ （全等三角形对应边相等）
∵ （已知）
∴ （等边对等角）
∴ （等量代换）
∴ （等角对等边）
∴ ；
【分析】先根据平行线的性质，得到角的关系，然后证明 ，写出证明过程和依据即可．
19．【答案】解：∵DE⊥BC，E是BC的中点，
∴BD＝CD，
∴∠CBD＝∠C，
∵BD为∠ABC平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠C，
∵△ABC中，∠A＝90 ，
∴∠ABC＋∠C＝3∠C＝90 ，
∴∠C＝30 .
【解析】【分析】由DE⊥BC，E是BC的中点，根据线段垂直平分线的性质，即可得BD＝CD，又由等边对等角，可得∠CBD＝∠C，由BD为∠ABC平分线，即可求得∠ABD＝∠CBD＝∠C，然后由△ABC中，∠A＝90 ，求得答案.
20．【答案】解：连接 ，
于 ，∴ ，
在 中，∵ ，
∴
又∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ， .
∴ ，
由勾股定理的逆定理得： ，
∴ .
【解析】【分析】连接 AC ，首先在直角 中，运用勾股定理求出 AC 的长，然后由勾股定理的逆定理判定 为直角三角形，则根据 ，即可求解．
21．【答案】证明：如图，在线段 上截取 ，连结 ，
∵ 平分 ，
∴
在 和 中，
∴ ，
∴ ， .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ .
【解析】【分析】如图，在线段 上截取 ，连结 ，由角平分线的性质可得∠ABD=∠EBD= ∠ABC，利用SAS可证明△ABD≌△EBD，即可得∠BED=∠A=108°，∠ADB=∠EDB， 根据等腰三角形的性质可求出∠ACB=∠ABC=36°，根据三角形内角和定理及外角性质可得 ，即可证明CD=CE，进而可得结论.
22．【答案】解：(1) ∵ME垂直平分AB
∴MA = MB
∵NF垂直平分AC
∴NA = NC
∴cm
(2) ∵AB = AC，
∴
∵MA = MB
∴
∵NA = NC
∴
∴
(3) 能．理由如下：
∵MA = MB
∴∠MAB =∠B
∵NA = NB
∴∠NAC =∠C
∴
【解析】【解答】（1）由线段垂直平分线求出AM=BM，AN=CN，可求解．
（2）利用线段垂直平分线的性质求出∠BAM+∠NAC=80°，∠BAC=100°，易求解；
（3）利用线段垂直平分线的性质，即可求解.
【分析】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形性质和三角形内角和定理.