黑龙江省哈尔滨市哈13中2022-2023学年高三下学期开学检测数学试卷（含解析）

哈13中2022-2023学年高三下学期开学检测 数学试卷
选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1集合M＝{y|y＝，x∈Z}的真子集的个数为(　　)
A．7 B．8 C．31 D．32
2若复数z满足z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)，则|z|等于(　　)
A． B．3
C．5 D．25
3设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4已知函数f(x)＝|ln x|．若0A．(4，＋∞) B．[4，＋∞) C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)
5对任意的x∈(1,4)，不等式ax2－2x＋2>0都成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B. C. D.
6已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值是(　　)
－1 B．－ C． D．1
7据统计，某产品的市场销售量y(万台)与广告费用投入x(万元)之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，y与x之间有较强的线性相关关系，其经验回归方程是＝0.3x＋．预测广告费用投入为10万元时，估计该产品的市场销售量约为(　　)
A．6.1万台 B．5.5万台 C．5.2万台 D．6万台
8设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则(　　)
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9已知平面向量a＝(3,4)，b＝(7,1)，则下列结论正确的是(　　)
A．a＋b＝(10,5) B．|b|＝10|a|
C．a∥(a－b) D．a与b的夹角为45°
10设几何体ABCD A1B1C1D1是棱长为a的正方体，A1C与B1D相交于点O，则下列结论正确的是(　　)
A．·＝a2 B．·＝a2
C．·＝－a2 D．·＝a2
11已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是(　　)
A．C的准线方程为y＝－1 B．线段PQ的长度最小为4
C．M的坐标可能为(3,2) D．·＝－3恒成立
12已知函数f(x)＝(3x－5)ex，则下列结论中正确的是(　　)
A．函数f(x)在上单调递减 B．函数f(x)的极小值点为x＝
C．函数f(x)无极大值 D．函数f(x)在[0,1]上的最大值为－5
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b＞c，则＝__________．
14一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为___________．
15已知圆O：x2＋y2＝5与圆C1：x2＋y2－5x＝0相交于M，N两点，点P的坐标为(3，－4)．若圆C2经过M，N，P三点，则C2的方程为________．
16已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1都相切，则双曲线C的离心率是________．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17（10分）等差数列{an}的首项a1>0，数列的前n项和为Sn＝．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
18（12分）在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：
(1)取出的3个球中红球的个数X的分布列；
(2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．
19（12分）如图，正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝，且FO⊥平面ABCD．
(1)求证：AE∥平面BCF；
(2)求证：CF⊥平面AEF．
20（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知asin 2B＝bsin A．
(1)求角B的大小；
(2)给出三个条件①b＝2，②△ABC外接圆半径r＝，③a＋c＝2，试从中选择两个可以确定△ABC的条件，并求△ABC的面积．
21（12分）已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：x＝ty＋1交E于A，B两点．当t＝0时，|AB|＝．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A在直线x＝3上的射影为D，证明：直线BD过定点，并求定点坐标．
22（12分）已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e．
(1)求a，b的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围
答案及解析
1集合M＝{y|y＝，x∈Z}的真子集的个数为(　　)
A．7 B．8 C．31 D．32
A　解析：M＝{y|y＝，x∈Z}＝{2，，0}，故其真子集的个数为23－1＝7．
2若复数z满足z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)，则|z|等于(　　)
A． B．3
C．5 D．25
C　解析：由题意z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)＝10－5i，则z＝＝＝5，所以|z|＝5．
3设{an}是公比为q的等比数列，则“q＞1”是“{an}为递增数列”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
D　解析：等比数列{an}为递增数列的充要条件为或故“q＞1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．故选D．
4已知函数f(x)＝|ln x|．若0A．(4，＋∞) B．[4，＋∞) C．(5，＋∞) D．[5，＋∞)
C　解析：由f(a)＝f(b)得|ln a|＝|ln b|．根据函数y＝|ln x|的图象及0令g(b)＝a＋4b＝4b＋，易得g(b)在(1，＋∞)上单调递增，所以g(b)>g(1)＝5．
5对任意的x∈(1,4)，不等式ax2－2x＋2>0都成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B.
C. D.
D　解析：对任意的x∈(1,4)，都有f(x)＝ax2－2x＋2>0恒成立，∴a>＝2 对任意的x≤(1,4)恒成立．
∵<<1，
∴2∈，
∴实数a的取值范围是.
6已知sin α－cos α＝，α∈(0，π)，则tan α的值是(　　)
A．－1 B．－ C． D．1
A　解析：因为sin α－cos α＝，α∈(0，π)，所以1－2sin αcos α＝2，即sin 2α＝－1，故2α＝，所以α＝，tan α＝－1．
7据统计，某产品的市场销售量y(万台)与广告费用投入x(万元)之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知，y与x之间有较强的线性相关关系，其经验回归方程是＝0.3x＋．预测广告费用投入为10万元时，估计该产品的市场销售量约为(　　)
A．6.1万台 B．5.5万台 C．5.2万台 D．6万台
B　解析：由题意知：＝＝5，＝＝4，
将(，)代入＝0.3x＋，即4＝0.3×5＋，解得＝2.5，即＝0.3x＋2.5，
将x＝10代入得＝0.3×10＋2.5＝5.5．
8设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，已知f(m)<0，则(　　)
A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0
C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0
C　解析：因为f(x)图象的对称轴为直线x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示．
由f(m)<0，得－10．所以f(m＋1)>f(0)>0．
9已知平面向量a＝(3,4)，b＝(7,1)，则下列结论正确的是(　　)
A．a＋b＝(10,5) B．|b|＝10|a|
C．a∥(a－b) D．a与b的夹角为45°
AD　解析：根据向量的坐标运算易知A选项正确；因为|b|＝5，|a|＝5，所以B选项错误；因为a－b＝(－4,3)，3×3≠4×(－4)，所以C选项错误；因为cos 〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为45°，D选项正确．
10设几何体ABCD A1B1C1D1是棱长为a的正方体，A1C与B1D相交于点O，则下列结论正确的是(　　)
A．·＝a2 B．·＝a2
C．·＝－a2 D．·＝a2
ACD　解析：如图，建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，A1(a,0，a)，B1(a，a，a)，O，所以1＝(0，a,0)，＝(－a，a,0)，＝(0，a,0)，＝(－a，a，－a)，＝(0，－a,0)，1＝(0，a，a)，＝．所以·＝a2，故A对；·＝a2，故B错；·1＝－a2，故C对；·＝a2，故D对．故选ACD．
11已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F到准线的距离为2，过点F的直线与抛物线交于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是(　　)
A．C的准线方程为y＝－1 B．线段PQ的长度最小为4
C．M的坐标可能为(3,2) D．·＝－3恒成立
BCD　解：由焦点F到准线的距离为2，得抛物线C的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，A项错误．
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为x＝my＋1．联立消去y可得x2－(4m2＋2)x＋1＝0，Δ＝[－(4m2＋2)]2－4>0，消去x可得y2－4my－4＝0，Δ＝(－4m)2－4×(－4)>0，所以x1＋x2＝4m2＋2，y1＋y2＝4m．|PQ|＝x1＋x2＋p＝4m2＋4≥4，故B项正确．当m＝1时，可得M(3,2)，所以C项正确．又x1x2＝1，y1y2＝－4，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，所以D项正确．
12已知函数f(x)＝(3x－5)ex，则下列结论中正确的是(　　)
A．函数f(x)在上单调递减 B．函数f(x)的极小值点为x＝
C．函数f(x)无极大值 D．函数f(x)在[0,1]上的最大值为－5
BCD　解析：因为f′(x)＝(3x－2)ex，当x<时，f′(x)<0，当x>时，f′(x)>0，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以A错误，B正确，C正确；
f(x)在上单调递减，在上单调递增，f(0)＝－5，f(1)＝－2e，所以函数f(x)在[0,1]上的最大值为－5，D正确．
13在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acos B－c－＝0，a2＝bc，b＞c，则＝__________．
2　解析：由acos B－c－＝0及正弦定理可得sin Acos B－sin C－＝0．因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B，所以－－cos Asin B＝0．因为sin B≠0，所以cos A＝－，即A＝．由余弦定理得a2＝bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b＞c，所以＝2．
14一个圆锥的侧面展开图是半径为2，圆心角为的扇形，则该圆锥的表面积为___________．
π　解析：设圆锥的底面半径为r，则有2πr＝×2，解得r＝，所以圆锥的表面积为π×2×＋π×＝．
15已知圆O：x2＋y2＝5与圆C1：x2＋y2－5x＝0相交于M，N两点，点P的坐标为(3，－4)．若圆C2经过M，N，P三点，则C2的方程为________．
(x－5)2＋y2＝20　解析：把圆O：x2＋y2＝5与圆C1：x2＋y2－5x＝0相减，可得公共弦MN的方程为x＝1，
故M，N两点的坐标为(1,2)，(1，－2)．
又点P的坐标为(3，－4)，故要求的圆的圆心C2在x轴上，设C2(m,0)，
由C2M＝C2P，求得m＝5，故要求的圆的圆心C2(5,0)，半径为C2M＝，
故要求的圆C2的方程为(x－5)2＋y2＝20．
16已知中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线C的两条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1都相切，则双曲线C的离心率是________．
或2　解析：设双曲线C的渐近线方程为y＝kx，因为双曲线的渐近线与圆相切，所以＝1，所以k＝±，则可得双曲线的一条渐近线的方程为y＝x．
故需分双曲线的焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论：
①当双曲线的焦点在x轴上时，有＝，即a＝b，
所以e＝＝＝；
②当双曲线的焦点在y轴上时，有＝，即a＝b，
所以e＝＝＝2．
所以双曲线C的离心率为或2．
17（10分）等差数列{an}的首项a1>0，数列的前n项和为Sn＝．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(an＋1)·2an，求数列{bn}的前n项和Tn．
解：(1)由的前n项和为Sn＝知
可得
设等差数列{an}的公差为d，
从而
解得或又a1>0，则
故an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1．
(2)由(1)知bn＝(an＋1)·2an＝2n·22n－1＝n·4n，
则Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝1×41＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)×4n－1＋n×4n，
两边同时乘以4得4Tn＝1×42＋2×43＋3×44＋…＋(n－1)×4n＋n×4n＋1，
两式相减得－3Tn＝41＋42＋43＋44＋…＋4n－n×4n＋1＝－n×4n＋1，
故Tn＝＋·4n＋1．
18（12分）在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球．从这10个球中任取3个．求：
(1)取出的3个球中红球的个数X的分布列；
(2)取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率．
解：(1)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
且X服从参数为N＝10，M＝3，n＝3的超几何分布，
因此P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，
所以P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝．
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件A1，“恰好取出2个红球”为事件A2，“恰好取出3个红球”为事件A3，由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3，
而P(A1)＝＝，
P(A2)＝P(X＝2)＝，
P(A3)＝P(X＝3)＝，
所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝．
即取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为．
19（12分）如图，正方形ABCD的边长为2，四边形BDEF是平行四边形，BD与AC交于点G，O为GC的中点，FO＝，且FO⊥平面ABCD．
(1)求证：AE∥平面BCF；
(2)求证：CF⊥平面AEF．
证明：取BC中点H，连接OH，则OH∥BD．
又四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD，所以OH⊥AC，
故以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，
则A(3,0,0)，C(－1,0,0)，D(1，－2,0)，F(0,0，)，B(1,2,0)，＝(－2，－2,0)，＝(1,0，)，＝(－1，－2，)．
(1)设平面BCF的法向量为n＝(x，y，z)，
则即取z＝1，得n＝(－，，1)．
又四边形BDEF为平行四边形，所以＝＝(－1，－2，)，
所以＝＋＝＋＝(－2，－2,0)＋(－1，－2，)＝(－3，－4，)，
所以·n＝3－4＋＝0，所以⊥n．
又AE 平面BCF，所以AE∥平面BCF．
(2)因为＝(－3,0，)，所以·＝－3＋3＝0，·＝－3＋3＝0，
所以⊥，⊥，即CF⊥AF，CF⊥AE．
又AE∩AF＝A，AE，AF 平面AEF，
所以CF⊥平面AEF．
20（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知asin 2B＝bsin A．
(1)求角B的大小；
(2)给出三个条件①b＝2，②△ABC外接圆半径r＝，③a＋c＝2，试从中选择两个可以确定△ABC的条件，并求△ABC的面积．
解：(1)因为asin 2B＝bsin A，
所以2asin Bcos B＝bsin A．
由正弦定理得2abcos B＝ba，所以cos B＝．
因为0(2)显然可知当选择条件①②时，△ABC不唯一．
当选择条件①③时，△ABC唯一，此时，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
即4＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝12－3ac，解得ac＝．
所以△ABC的面积S＝acsin B＝××＝．
当选择条件②③时，△ABC唯一，此时，由正弦定理可知b＝2r·sin B＝2．
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，即4＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac＝12－3ac．解得ac＝．
所以△ABC的面积S＝acsin B＝××＝．
21（12分）已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，直线l：x＝ty＋1交E于A，B两点．当t＝0时，|AB|＝．
(1)求椭圆E的方程；
(2)设A在直线x＝3上的射影为D，证明：直线BD过定点，并求定点坐标．
(1)解：由题意得e2＝＝＝，整理得a2＝3b2，
由t＝0时，|AB|＝，得＋＝1，因此a＝，b＝1．故椭圆E的方程是＋y2＝1．
(2)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则D(3，y1)，将x＝ty＋1代入＋y2＝1得(t2＋3)y2＋2ty－2＝0，
y1＋y2＝－，y1·y2＝－，从而ty1·y2＝y1＋y2．①
直线BD：y＝(x－3)＋y1，设直线BD与x轴的交点为(x0,0)，
则(x0－3)＋y1＝0，所以x0＝＋3＝＋3＝＋3，
将①式代入上式可得x0＝2，故直线BD过定点(2,0)．
22（12分）已知函数f(x)＝ex(ax＋1)，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y＝bx－e．
(1)求a，b的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－3ex－m有两个零点，求实数m的取值范围
解：(1)f(x)＝ex(ax＋1)，则f′(x)＝ex(ax＋1)＋ex·a＝ex(ax＋1＋a)．
由题意知解得
所以a＝1，b＝3e．
(2)g(x)＝f(x)－3ex－m＝ex(x－2)－m，
函数g(x)＝ex(x－2)－m有两个零点，相当于函数u(x)＝ex·(x－2)的图象与直线y＝m有两个交点，u′(x)＝ex·(x－2)＋ex＝ex(x－1)．
当x∈(－∞，1)时，u′(x)<0，所以u(x)在(－∞，1)上单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，u′(x)>0，所以u(x)在(1，＋∞)上单调递增；
当x＝1时，u(x)取得极小值u(1)＝－e．
又当x→＋∞时，u(x)→＋∞，当x<2时，u(x)<0，
所以实数m的取值范围为{m|－e