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第十七章 勾股定理
勾股定理的逆定理(1)
学习目标
1.(课标)了解原命题及其逆命题的概念.会识别两个互逆的命题,知道原命题成立其逆命题不一定成立.
2.(课标)探索勾股定理的逆定理.
知识点一:逆命题
(1)如果两个命题的题设、结论正好相反,那么这样的两个命题叫做 命题.
(2)如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的
命题.
逆
知识要点
互逆
1.原命题:若a=b,则a2=b2;
逆命题: .
2.原命题:全等三角形的对应角相等;
逆命题: .
对应角相等的三角形是全等三角形
对点训练
若a2=b2,则a=b
知识点二:勾股定理的逆定理
(1)如果一个三角形有两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是 三角形.
(2)三角形的三边长为a,b,c,满足:
a2+b2=c2
或_____________
或 时,
这个三角形是直角三角形.
b2+c2=a2
a2+c2=b2
直角
4.下列各组数据中的三个数,可作为三边长构成直角三角形的是( )
A.4,5,6 B.2,3,4 C.11,12,13 D.8,15,17
3.(人教8下P32、北师8上P16)判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形:
(1)a=15,b=8,c=17; (2)a=13,b=14,c=15.
D
(1)是 (2)不是
B
直角
直角
30
18
24
7.如图,在△ABC中,AB=13,BC=10,中线AD=12.求证:AB=AC.
精典范例
8.【例1】(人教8下P33、北师8上P10)如果三条线段长a,b,c满足a2=c2－b2,这三条线段组成的三角形是不是直角三角形 为什么
解:∵a2=c2－b2,∴a2+b2=c2,
由勾股定理的逆定理得:三条线段长a,b,c组成的三角形是直角三角形.
小结:勾股定理的逆定理的三种表达形式.
13.木工师傅要做一个长方形桌面,做好后量得长为80 cm,宽为60 cm,对角线为100 cm,则这个桌面 (填“合格”或“不合格”).
变式练习
合格
B
小结:(1)每一个命题都有逆命题;(2)每个定理都有逆命题,但不一定都有逆定理.
9.【例2】下列定理有逆定理的是( )
A.对顶角相等
B.全等三角形的对应角相等
C.同角的余角相等
D.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
D
14.“如果x2=y2,那么x=y”的逆命题是 ,
该逆命题是 命题(填“真”或“假”).
15.(人教8下P33改编、北师8下P16改编)下列命题的逆命题正确的是( )
A.对顶角相等
B.全等三角形的面积相等
C.全等三角形的对应角相等
D.两直线平行,内错角相等
D
真
如果x=y,那么x2=y2
10.【例3】(人教8下P34、北师8上P9)如图,在四边形ABCD中,AB=20 cm,BC=15 cm,CD=7 cm,AD=24 cm,∠ABC=90°.
(1)猜想∠DAB与∠BCD之间的关系;
(2)求四边形ABCD的面积.
解:(1)∠DAB+∠BCD=180°.理由如下:连接AC.
∵AB=20 cm,BC=15 cm,∠ABC=90°,
∴由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=625(cm2).
又∵在△ADC中,CD=7 cm,AD=24 cm,
∴CD2+AD2=AC2,∴∠D=90°,
∴∠DAB+∠BCD=360°－180°=180°.
小结:勾股定理及其逆定理的灵活运用.
16.如图,△ABC在正方形网格中,若小方格边长为1.
(1)判断△ABC的形状,说明理由;
(2)求点A到BC的距离.
11.【例4】(创新题)如图,D是BC边上的一点,若AB=10,AD=8,AC=17,BD=6,求BC的长.
小结:利用勾股定理及其逆定理求边长.
★17.如图,等腰△ABC的底边BC=20 cm,D是腰AB上一点,且CD=16 cm,BD=12 cm,求△ABC的周长.
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人教版八年级数学下册课件
第十七章 勾股定理
《勾股定理》单元复习
知识点一:勾股定理
(1)勾股定理:
直角三角形两直角边的 等于斜边的 .
(2)表示方法:
如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么
.
(3)应用:已知直角三角形的任意两边,能求出第三边.
a2+b2=c2
平方
知识要点
平方和
1.在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)若a=5,b=12,则c= ;
(2)若a=15,c=25,则b= ;
(3)若c=61,b=60,则a= ;
(4)若a∶b=3∶4,c=10,则Rt△ABC的面积是 .
24
11
20
对点训练
13
2.已知直角三角形的两边长分别为3,2,则第三边长是
.
知识点二:勾股定理的逆定理
(1)勾股定理的逆定理:
如果三角形两边的 等于第三边的 ,那么这个三角形是直角三角形.
(2)表示方法:
如果三角形的三边长a,b,c满足 ,那么这个三角形是直角三角形.
(3)应用:
判断某三角形是否为直角三角形或证明两条线段垂直.
a2+b2=c2(答案不唯一)
平方
平方和
3.有下面三角形:
①△ABC中,∠C=∠A－∠B;
②△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;
③△ABC中,a∶b∶c=3∶4∶5;
④△ABC中,三边长分别为8,15,17.
其中是直角三角形的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D
知识点三: 原命题、逆命题、逆定理
(1)如果两个命题的题设、结论正好相反,我们把像这样的两个命题叫做互逆命题.
(2)如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的 .
(3)一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,它也是一个定理,那么称这两个定理互为 .
逆定理
逆命题
4.(1)任何一个命题都有 ;
但任何一个定理未必都有 ;
(2)“对顶角相等”的逆命题是 ;
(3)“两直线平行,内错角相等”的逆定理是
.
内错角相等,两直线平行
相等的角是对顶角
逆定理
逆命题
精典范例
5.【例1】(北师8上P14)求阴影部分面积(阴影部分分别是正方形、长方形、半圆):
(1) (2) (3)
(1)25 cm2 (2)51 cm2 (3)8π cm2
小结:利用勾股定理求面积
9.如图,分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形,面积分别是S1,S2,S3,则它们之间的关系是( )
A.S1－S2=S3
B.S1+S2=S3
C.S2+S3＜S1
D.S2－S3=S1
变式练习
B
小结:数形结合.
答案图
10.(无图题)在△ABC中,AB=13,AC=15,高AD=12,求△ABC的周长.
如图1,当AD在△ABC内部时,BC=BD+CD=5+9=14,△ABC的周长为42.
如图2,当AD在△ABC外部时,BC=CD－BD=9－5=4,
△ABC的周长为32.
综上所述,△ABC的周长为42或32.
小结:灵活变形,利用勾股定理
逆定理判断三角形的形状.
7.【例3】(全国视野)(2021玉林)如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,甲、乙轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里,1小时后两船分别位于点A,B处,且相距20海里,如果知道甲船沿北偏西40°方向航行,则乙船沿 方向航行.
北偏东50°
11.已知△ABC三边长a,b,c满足a2+b2+c2－6a－8b－10c+50=0,试判断△ABC的形状.
解:∵a2+b2+c2－6a－8b－10c+50=0,
∴a2－6a+9+b2－8b+16+c2－10c+25=0,
即(a－3)2+(b－4)2+(c－5)2=0,
∴a=3,b=4,c=5,
∵32+42=52,∴△ABC是直角三角形.
8.【例4】(创新题)如图,长方形ABCD沿直线AE折叠,顶点D正好落在BC边上F点处,已知CE=3,AB=8,求图中的阴影部分面积.
解:由折叠的性质,知EF=DE=CD－CE=5,
AD=AF=BC,
由勾股定理,得CF=4,AF2=AB2+BF2,
即AD2=82+(AD－4)2,解得AD=10,∴BF=6,
∴图中的阴影部分面积=S△ABF+S△CEF=30.
小结:灵活运用勾股定理解决折叠类问题.
12.(全国视野)(2021凉山州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,
AC=8,BC=6,将△ADE沿DE翻折,使点A与点B重合,求CE的长.
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第十七章 勾股定理
第2课时 勾股定理(2)
学习目标
1.(课标)能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.
2.树立数形结合的思想、分类讨论思想.
知识要点
知识点一:梯子的滑动问题
(1)抽象出单个梯子模型,通常存在2个.
(2)利用直角三角形的三边关系.
(3)利用一些常识,如:墙与地面垂直、梯子的长度不变等.
对点训练
1.(人教8下P25、北师8上P18)如图,一个3米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO为2.5米.如果梯子的顶端A沿墙下滑 0.5米,那么梯子底端B也外移0.5米吗
知识点二:构建直角三角形模型
(北师8上P197)如图1,校园内有两棵树相距12 m,两棵树分别高 13 m,8 m,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,至少要飞多少米 (如图2,作DE⊥AB于点E,构造Rt△ADE)
知识点三:勾股数问题
(1)勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数.
(2)3n,4n,5n(n是正整数)是最著名的一组勾股数,俗称“勾三,股四,弦五”.
(3)古人把较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,而斜边称为弦.
5, , ;7, , ;9, , ;
41
40
25
24
13
12
(2)写出一般规律的表达方式(用字母n表示,n为正整数):
n, , ;
(3)用(2)的结论直接判断15,111,112是否为一组勾股数:
.
15,111,112不是一组勾股数
小结:等腰三角形三线合一性质.
4.【例1】一个等腰三角形的腰长为5,底边上的高为4,这个等腰三角形的周长是 .
精典范例
16
变式练习
C
小结:含特殊角度的直角三角形.
小结:勾股定理的简单应用.
6.【例3】如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避
开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”.他们仅仅少走了
m路,却踩伤了花草,真不应该呀.
2
11.(人教8下P28、北师8上P6)如图,一木杆在离地面3 m处折断,木杆顶端落在离木杆底端4 m处,木杆折断之前有多高
小结:勾股定理中的最值问题.
12.如图,在锐角△ABC中,AB=4,∠BAC=45°,∠BAC的平分线交BC于点D,M,N分别是AD,AB上的动点,则BM+MN的最小值是 .
4
小结:用等面积法解决问题.
★13.(创新题)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,其一腰上的高为h,M是底边BC上的任意一点,M到腰AB,AC的距离分别为h1,h2.
(1)结合图形证明:h1+h2=h;
(2)当点M在BC延长线上时,h1,h2,h之间又有什么样的结论 画出图形,并直接写出结论不必证明.
(2)解:图略,结论:h1－h2=h.
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第十七章 勾股定理
第1课时 勾股定理(1)
学习目标
1.(课标)探索勾股定理.
2.掌握勾股定理的内容,会用面积法证明勾股定理.
3.培养在实际生活中发现问题、总结规律的意识和能力.
两图中三个正方形A,B,C的面积有什么关系 (每个小方格的面积均为1) .
知识点一:探索勾股定理
(人教8下P23、北师8上P2)观察右边两幅图,完成下表:
A的面积+B的面积=C的面积
图号 A的面积 B的面积 C的面积
图1
图2
8
4
9
4
25
16
知识要点
对点训练
1.(人教8下P23、北师8上P5)如图,已知四个全等的直角三角形的两条直角边长分别为 a,b,斜边长为c.求证:a2+b2=c2.
知识点二:勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a,b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么 + =
.
用图形表示为:
c2
b2
a2
2.若直角三角形的两直角边长分别为1 cm,2 cm,则斜边长为 .
3.若直角三角形的两边长分别为5和12,则斜边长为 .
13或12
4.在△ABC中,∠A=90°,∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c,下列结论错误的是( )
A.a2+b2=c2 B.b2+c2=a2
C.a2－b2=c2 D.a2－c2=b2
A
3个正方形如图摆放,其中两个正方形的面积为S1=25,S2=144,则第三个正方形的面积为S3= .
知识点三: 勾股定理与图形面积
169
5.如图,在△ABC中,∠A=90°,则三个半圆的面积S1,S2,S3的关系为 .
S1=S2+S3
知识点四:勾股定理的简单计算
在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c是△ABC的三边,则:
(1)c=_________(已知a,b,求c)
(2)a= .(已知b,c,求a)
(3)b= .(已知a,c,求b)
6.求下列直角三角形中未知边的长度.
(1) (2)
精典范例
7.【例1】(北师8上P3改编)求图中字母所代表的正方形的面积.
(1) (2) (3)
(1)A=81 (2)A=56,B=80 (3)A=225
小结:灵活运用勾股定理求面积.
11.(人教8下P24、北师8上P4)如图,所有的三角形都是直角三角形,四边形都是正方形,正方形A,B,C,D的边长分别是12,16,
9,12,则最大正方形E的面积为 .
变式练习
625
12.如图,以直角三角形a,b,c为边,向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形,上述四种情况的面积关系满足S1+S2=S3的图形个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
D
8.【例2】(人教8下P24)设直角三角形的两条直角边长分别为a和b,斜边长为c.(1)已知a=6,c=10,求b;
(2)已知a=5,b=12,求c;(3)已知c=25,b=15,求a.
小结:运用勾股定理时明确直角边、斜边.
13.在Rt△ABC中,∠C=90°:
(1)已知a=b=5,求c;
(2)已知a=3,c=7,求b.
9.【例3】(人教8下P27、北师8上P4)如图,等边三角形的边长是6.求:
(1)高AD的长;
(2)这个三角形的面积.
小结:构造直角三角形,运用勾股定理.
∴AD2+BD2=AB2=2,AD=BD,∴AD=1,
在Rt△ADC中,∠C=30°,∴AC=2AD=2.
10.【例4】如图,正方体的棱长为5 cm,一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A沿着正方体表面爬到点C1处,求蚂蚁需要爬行的最短路程的长.
答案图
小结:勾股定理中的最短路径.
★15.(北师8上P15)如图,一只蚂蚁从长为4 cm、宽为3 cm,高是5 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱表面爬到B点,求它所行的最短路线的长.
答案图
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第十七章 勾股定理
勾股定理的逆定理(2)
学习目标
1.(课标)能运用勾股定理及其逆定理解决一些简单的实际问题.
2.进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.
知识要点
知识点一:航海问题
(人教8下P33)如图,某港口P位于东西方向的海岸线上,远航号和海天号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,远航号每小时航行16海里,海天号每小时航行12海里,他们离开港口一个半小时后相距30海里.如果知道远
航号沿东北方向航行,能知道海
天号沿哪个方向航行吗
解:根据题意,得PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),QR=30海里.
∵242+182=302,即PQ2+PR2=QR2,∴∠QPR=90°.
由远航号沿东北方向航行可知,∠QPS=45°,
则∠SPR=45°,即海天号沿西北方向航行.
对点训练
1.如图,在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域,我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A,B两个基地前去拦截,6分钟后同时到达C地将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西40°,求甲巡逻艇的航向.
解:∵a2+b2=(a+b)2－2ab=16－2×1=14,
c2=14,∴a2+b2=c2,∴△ABC是直角三角形.
2.已知△ABC的三边长分别是a,b,c,且a=n2－1,b=2n,
c=n2+1(n＞1),试判断三角形的形状.
解:△ABC是直角三角形,理由如下:
∵在△ABC中,三条边长分别是a,b,c,且a=n2－1,
b=2n,c=n2+1(n＞1),
∴a2+b2=(n2－1)2+(2n)2=n4－2n2+1+4n2=(n2+1)2,c2=(n2+1)2,
∴a2+b2=c2,∴∠C=90°,△ABC是直角三角形.
知识点三:在网格中确定三角形的形状
如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,四边形ABCD的四个顶点都在格点上.
(1)AB= ,BC= ,CD= ,AD= ;
5
(2)连接AC,△ACD的形状是 ,△ABC的形状是 .
直角三角形
等腰三角形
5
90
(3)在格点上存在点P(不与点A,B,C重合),使∠APC=90°,请在图中标出所有满足条件的格点P.(用P1,P2,…表示)
答案图
解:如图.
精典范例
4.【例1】如图,在△ABC中,AB的垂直平分线l交AB于E,交AC于D.AD=5,DC=3,BC=4.
(1)求证:△ABC是直角三角形;(2)求AB的长.
(1)证明:连接BD.
∵AB的垂直平分线l交AC于D,∴AD=DB,
∵AD=5,∴BD=5,
在△DCB中,BD=5,CD=3,BC=4,
∴BD2=CD2+BC2,∴∠BCD=90°,∴△ABC是直角三角形.
变式练习
8.如图,AD是△ABC的中线,DE是△ADC的高,且CE=1,DE=2,AE=4.
(1)求证:∠ADC是直角;(2)AB的长为 .
5
(1)证明:∵DE是△ADC的高,∴∠AED=∠CED=90°,
在Rt△ADE中,∠AED=90°,
∴AD2=AE2+DE2=42+22=20,
同理:CD2=5,∴AD2+CD2=25,
∵AC=AE+CE=4+1=5,∴AC2=25,
∴AD2+CD2=AC2,∴△ADC是直角三角形,
∴∠ADC是直角.
★9.如图,等腰△ABC的底边BC=15 cm,AH⊥BC于H,D是腰AB上一点,且CD=12 cm,BD=9 cm,求AH的长.
谢谢大家
