安徽省六安重点中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（解析版）

2023年
2022-2023学年安徽省六安重点中学高二下学期开学考试数学试题
一、单选题
1．已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
2．若椭圆的一个焦点为，则的值为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
3．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
4．过双曲线的右焦点且斜率为的直线与双曲线的左右支各有一个交点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
6．设分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．不确定
7．直线与曲线交点的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．已知抛物线：的交点为，准线为，是上一点，直线与曲线相交于，两点，若，则
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ）
A．始终过定点
B．若，则或-3
C．若，则或2
D．当时，始终不过第三象限
10．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
11．已知双曲线的左 右顶点分别为，点是上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线与双曲线无交点，则
B．焦点到渐近线的距离为2
C．点到两条渐近线的距离之积为
D．当与不重合时，直线的斜率之积为2
12．已知抛物线，焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C相交于两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．AB的最小值为2
B．线段AB为直径的圆与直线相切
C．为定值
D．若，则
三、填空题
13．抛物线的焦点坐标为__________．
14．直线与曲线有且仅有一个公共点．则b的取值范围是__________．
15．已知直线与双曲线相交于A，B两点，若A，B两点在双曲线的左支上，则实数a的取值范围是__________．
16．若点P在椭圆C1：＋y2＝1上，C1的右焦点为F，点Q在圆C2：x2＋y2＋10x－8y＋39＝0上，则的最小值为__________．
四、解答题
17．已知圆，点.
(1)若过点M的直线l与圆交于A，B两点，若，求直线l的方程；
(2)从圆C外一点P向该圆引一条切线，记切点为T，若满足PT＝PM，求使PT取得最小值时点P的坐标．
18．已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点 ，且线段的中点在圆上，求实数的值.
19．已知抛物线的方程为，点，过点的直线交抛物线于，两点．
(1)是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
(2)若点是直线上的动点，且，求面积的最小值
20．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F(1，0)，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：△ABO与△MNO的面积之比为定值．
21．如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为4(＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，证明;
(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
试题
一、单选题
1．已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出两个圆的公共弦所在的直线方程，再求出抛物线方程作答.
【详解】将两圆、的方程相减得：，
显然圆的圆心到直线距离1小于其半径2，
圆的圆心到直线距离小于其半径，
因此直线是圆与圆的公共弦所在的直线，即抛物线的准线，
所以抛物线的标准方程为：.
故选：C
2．若椭圆的一个焦点为，则的值为（ ）
A．5 B．3 C．4 D．2
【答案】B
【分析】由题意判断椭圆焦点在轴上，则，解方程即可确定的值.
【详解】有题意知：焦点在轴上，则，从而，解得：.
故选：B.
3．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】分析：先求出A，B两点坐标得到再计算圆心到直线距离，得到点P到直线距离范围，由面积公式计算即可
详解：直线分别与轴，轴交于，两点
,则
点P在圆上
圆心为（2，0），则圆心到直线距离
故点P到直线的距离的范围为
则
故答案选A.
点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．
4．过双曲线的右焦点且斜率为的直线与双曲线的左右支各有一个交点，则双曲线的离心率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设过右焦点且斜率为的直线的方程为，联立直线方程与双曲线方程并化简，由条件列不等式可得的关系，由此求双曲线的离心率取值范围.
【详解】设过右焦点且斜率为的直线的方程为，
联立方程组，化简可得，
方程的判别式，
设方程的解为，
∵ 直线与双曲线的左右支各有一个交点，
∴ ，∴ ，
∴ ，
∴ 双曲线的离心率，
即双曲线的离心率取值范围是.
故选：D.
5．已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程．
【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离．
依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ，
当直线时，， ，此时最小．
∴即 ，由解得， ．
所以以为直径的圆的方程为，即 ，
两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．
故选：D.
【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．
6．设分别为具有公共焦点与的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．不确定
【答案】C
【分析】设它们共同的焦距为，椭圆的长轴长，双曲线的实轴长为，
由椭圆和双曲线的定义及勾股定理建立关于的方程，联立解得可得,
再根据离心率的定义化简整理可得到的值.
【详解】设椭圆长半轴长为，双曲线实半轴长为，
为两曲线的一个公共点，则，
平方相加得，
又，
，
，即.
故选：C.
7．直线与曲线交点的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【分析】分类讨论，和，分别解方程组得解了和个数，也即得交点个数．
【详解】解：若，由，可得，
解得或，均满足题意，
所以直线与半椭圆有两个交点；
若，由，可得，
解得，满足题意，
所以直线与半双曲线有一个交点．
综上所述，直线与曲线交点的个数为3个．
故选：B．
8．已知抛物线：的交点为，准线为，是上一点，直线与曲线相交于，两点，若，则
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得直线PF的方程为，再将直线的方程与抛物线的方程组成方程组，消去y得到关于x的二次方程，最后利用根与系数的关系结合抛物线的定义即可求线段MN的长．
【详解】抛物线：的焦点为F(2,0)，准线为．如下图．
设到准线的距离分别为，
由抛物线的定义可知，
于是．
作MH⊥l于H，
∵，
∴，
∴，
根据对称性可得直线AB的斜率为．
∴直线PF的方程为.
由消去y整理得，
∴．
于是．
故选B．
【点睛】解答本题时注意两点：一是抛物线定义的应用，即利用定义可将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离进行转化，根据此结论可将问题的解决带来方便．二是代数方法的应用，将求弦长的问题转化为二次方程根与系数的关系求解，即借助代数方法求解几何问题．
二、多选题
9．已知直线：和直线：，下列说法正确的是（ ）
A．始终过定点
B．若，则或-3
C．若，则或2
D．当时，始终不过第三象限
【答案】ACD
【分析】将直线化为可判断A；将或-3代入直线方程可判断B；根据可判断C；将直线化为，即可求解.
【详解】：过点，A正确；
当时，，重合，故B错误；
由，得或2，故C正确；
：始终过，斜率为负，不会过第三象限，故D正确.
故选：ACD
【点睛】本题考查了直线过定点、直线垂直求参数，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
10．如图所示，某探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点处变轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点处第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，且轨道Ⅱ的右顶点为轨道Ⅰ的中心.设椭圆Ⅰ与Ⅱ的长半轴长分别为和，半焦距分别为和，离心率分别为，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．椭圆Ⅱ比椭圆Ⅰ更扁
【答案】ABC
【解析】由，，得出正确；
由，，得到正确；
由，，得出离心率判断正确；
求出，判断错误．
【详解】解：对于、由，，所以，所以选项正确；
对于、由，，得到：，所以选项正确；
对于、由，，得，
即，所以选项正确；
对于、根据选项知，，
所以，即椭圆Ⅰ比椭圆Ⅱ更扁些，选项错误．
故选：．
11．已知双曲线的左 右顶点分别为，点是上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线与双曲线无交点，则
B．焦点到渐近线的距离为2
C．点到两条渐近线的距离之积为
D．当与不重合时，直线的斜率之积为2
【答案】BC
【分析】由双曲线的渐近线可以判断A；
求出双曲线的渐近线和焦点，进而根据点到直线的距离判断B；
设点，进而求出该点到两条渐近线的距离之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断C；
求出的斜率之积，并结合点在双曲线上进行化简，然后判断D.
【详解】对A，双曲线的渐近线方程为，若直线与双曲线无交点，则.A错误；
对B，由A渐近线方程为，焦点为，则焦点到渐近线的距离.B正确；
对C，设点，则，点到两条渐近线的距离之积为.C正确；
对D，易得，由C点满足，所以直线的斜率之积为.D错误.
故选：BC.
12．已知抛物线，焦点为F，过焦点的直线l与抛物线C相交于两点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．AB的最小值为2
B．线段AB为直径的圆与直线相切
C．为定值
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据抛物线焦点弦的性质即可结合选项逐一判断.
【详解】对A，抛物线的焦点坐标为，准线方程为，过焦点的弦中通径最短，所以AB最小值，故A不正确；
对B，如图，设线段AB的中点为D，过点A，B，D作准线的垂线，垂足分别为，，，由抛物线的定义可知，
所以,
所以以线段AB为直径的圆与直线相切，故B正确；
对C，设AB所在的方程为，
由消去得，
所以，，故C正确；
对D，由C得，
，故D正确．
故选:BCD
三、填空题
13．抛物线的焦点坐标为__________．
【答案】
【分析】化成标准形式，结合焦点定义即可求解.
【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为．
故答案为：
14．直线与曲线有且仅有一个公共点．则b的取值范围是__________．
【答案】或.
【分析】根据曲线方程得曲线的轨迹是个半圆，数形结合分析得两种情况：（1）直线与半圆相切有一个交点；（2）直线与半圆相交于一个点，综合两种情况可得答案.
【详解】由曲线，可得，表示以原点为圆心，半径为的右半圆，
是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：
（1）直线与半圆相切，根据，所以，结合图像可得；
（2）直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知.
故答案为：或.
【点睛】方法点睛：处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法；如果或有限制，需要数形结合进行分析.
15．已知直线与双曲线相交于A，B两点，若A，B两点在双曲线的左支上，则实数a的取值范围是__________．
【答案】
【分析】联立直线与双曲线的方程，根据一元二次方程根的分布即可求解.
【详解】由得，
方程在有两个不相等的负实根，
所以,解得.
故答案为：.
16．若点P在椭圆C1：＋y2＝1上，C1的右焦点为F，点Q在圆C2：x2＋y2＋10x－8y＋39＝0上，则的最小值为__________．
【答案】
【分析】根据椭圆的定义得，结合圆的性质以及四点共线即可求解最小值.
【详解】记椭圆C1：＋y2＝1的左焦点为E(－1,0)，右焦点F(1,0)，
由椭圆的定义可得，，
所以，
由，得 ，即圆C2的圆心为，半径为，
作出图形如图所示，由圆的性质可得，，＝＝4－3＝ (当且仅当C2，Q，P，E四点共线时，等号成立)，
所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题
17．已知圆，点.
(1)若过点M的直线l与圆交于A，B两点，若，求直线l的方程；
(2)从圆C外一点P向该圆引一条切线，记切点为T，若满足PT＝PM，求使PT取得最小值时点P的坐标．
【答案】(1)或.
(2)
【分析】（1）根据圆的弦长求解，即可根据直线有无斜率讨论求解，
（2）根据两点间距离公式可得点轨迹，根据点到直线的距离即可求解最小值，联立方程即可求解交点坐标.
【详解】（1）圆C的标准方程为，圆心为，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
.∵ ，∴ 圆心C到直线l的距离d＝＝1，∴ d＝＝1，解得k＝，则直线l的方程为，
∴ 所求直线l的方程为或.
（2）设，
∵ ，
∴ ＝，
化简得，
∴点在直线.
当PT取得最小值时，即PM取得最小值，
即为点到直线的距离，
此时直线PM垂直于直线，
∴直线PM的方程为，即.
由解得
∴ 点P的坐标为(－，).
18．已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点 ，且线段的中点在圆上，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方程计算.
【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，，所以双曲线的方程为：
（2）由得
设，则，，所以
则中点坐标为，代入圆
得，所以.
19．已知抛物线的方程为，点，过点的直线交抛物线于，两点．
(1)是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
(2)若点是直线上的动点，且，求面积的最小值
【答案】(1)是定值，；
(2)32.
【分析】（1）由题意设出所在直线方程，与抛物线方程联立，化为关于的一元二次方程，由根与系数的关系即可求得为定值；
（2）当的斜率为0时，求得三角形的面积为；当AB的斜率不为0时，由弦长公式求解，再由点到直线的距离公式求到的距离，代入三角形面积公式，利用函数单调性可得三角形的面积大于，由此可得面积的最小值．
【详解】（1）由题意知，直线斜率存在，不妨设其方程为，
联立抛物线的方程可得，
设，，则，，
所以，，
所以
，
所以是定值；
（2）当直线的斜率为0时，，
又， ，
此时．
当直线的斜率不力0时，
，
又因为，且直线的斜率不为0，
所以，即，
所以点到直线的距离，
此时，
因为，所以，
综上，面积的最小值为．
20．已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F(1，0)，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x＝－2相交于M，N两点．
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证：△ABO与△MNO的面积之比为定值．
【答案】(1)y2＝4x
(2)证明见解析
【分析】（1）由焦点坐标得焦参数，从而得抛物线方程；
（2）直线垂直于x轴时直接求出面积比，直线与x轴不垂直时，设直线AB方程为y＝k(x－1)，设M(－2，yM)，N(－2，yN)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线方程代入抛物线方程后由韦达定理得，然后计算面积比可得．
【详解】（1）由焦点坐标可知，＝1，所以p＝2，所以抛物线方程为y2＝4x.
（2）证明：当直线垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，
所以＝()2＝.
当直线与x轴不垂直时，设直线AB方程为y＝k(x－1)，设M(－2，yM)，N(－2，yN)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(4＋2k2)x＋k2＝0，所以x1x2＝1，
所以＝＝＝·＝，综上，＝.
21．如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为4(＋1)，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D.
(1)求椭圆和双曲线的标准方程；
(2)设直线、的斜率分别为、，证明;
(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)＋＝1，－＝1；
(2)证明见解析；
(3)存在，.
【分析】（1）由题可得、，再根据，即可求出椭圆方程，由双曲线的离心率为，设双曲线方程为，由顶点坐标求出，即可求出双曲线方程；
（2）设，即可表示，，再根据在双曲线上，即可得到，从而得解；
（3）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，
由弦长公式表示出，再设直线的方程为，即可得到，则代入计算可得；
【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题意知：，
由椭圆定义知，
所以，，又，因此，故椭圆的标准方程为，
由题意知双曲线为等轴双曲线，设其标准方程为，
因为双曲线的顶点是椭圆的焦点，所以，因此双曲线的标准方程为；
（2）设，由于，，则，，
因为点在双曲线上，所以，
因此，即为定值；
（3）由于直线 斜率一定存在，设直线的方程为
联立，可得，
由于恒成立，设，，
则有，，
则由弦长公式，
化简得即，
直线的方程为，同理可得
由于，可得，
所以，
综上，存在常数，使得恒成立.