北京交大附中 2022-2023 学年第二学期开学阶段检测
初 三 数 学 2023. 2
一、选择题:（每题 2分，共 16分）
1. 剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文
化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关
于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2. 将抛物线 y = x2的图象向左平移 2 个单位后得到新的抛物线，那么新抛物线的表达式是( )
2 2
A． 2 2y x 2 B． y x 2 C． y x 2 D． y x 2
C
3．如图， AB 是⊙O的直径，CD是弦， ABC=65°，则 D 的度数为( )
A B
O
A．25 B．65 C．35 D． 130
4．如图是一个拱形积木玩具，其主视图是（ ） D
12
5. 已知点 A（1，a）与点 B（3，b）都在反比例函数 y 的图象上，则 a 与 b 之间的关系是( )
x
A. a＜b B. a＞b C. a≥b D. a=b
2
6．若抛物线 y x 2x m与 x 轴有交点，则m 的取值范围是( )
A．m 1 B．m≥1 C．m 1 D．m≤1
7. 如图，等腰直角三角形 ABC 中， ABC 90 ， BA BC ，将 BC 绕点 B 顺时针旋转 (0 90 )，
得到 BP，连接CP，过点 A作 AH CP交CP的延长线于点 H ，连接 AP ，则
随着 的增大， PAH 的度数 ( )
A．增大 B．减小 C．不变 D．先增大后减小
8. 在边长为 1 的小正方形组成的网格中，有如图所示的 A，B 两点，在格点上
1
任意放置点 C，恰好能使得△ ABC 的面积为 的概率为（ ）
2
3 1 5 3
A． B． C． D．
16 4 16 8
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二、填空题:（每题 2分，共 16分）
9．将二次函数 y x2 4x 5化成 y a(x h)2 k 的形式为 ．
2
10．已知关于 x 的方程 x 2x 3m 0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．
11．圆心角为30 ，半径为 12 厘米的扇形面积是 平方厘米．
12．请写出一个符合以下两个条件的反比例函数的表达式： ．
①图象位于第二、四象限；
②如果过图象上任意一点 A 作 AB⊥x 轴于点 B，作 AC⊥y 轴于点 C，那么得到的矩形 ABOC
的面积小于 6．
13．如图，将半径为 3cm 的圆形纸片折叠后，劣弧中点 C 恰好与圆心 O 距离 1cm，
O
则折痕 AB 的长为 cm． C
A B
14. 林业部门要考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，下图是这种幼树在移植过程中
幼树成活率的统计图：
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为 （结果精确到 0.01）．
15. 设二次函数 y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0），如下表列出了 x、y 的部分对应值．
x … -5 -3 1 2 3 …
y … -2.79 m -2.79 0 n …
则不等式 ax2+bx+c＜0 的解集是 ，方程 ax2+bx+c＝m 的解是 ．
16. 如图，已知以 BC 为直径的⊙O，A 为弧 BC 中点，P 为弧 AC 上任意一点，
AD AP交BP于D，连CD．若BC 6，则CD的最小值为 ．
三、解答题：（本题共 68 分，第 17-22题，每题 5 分，第 23-26题，每题 6分，第 27-28题，每题 7
分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 解下列方程： x2﹣2x＝1；
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18. 下面是晓雨同学设计的“过圆外一点作已知圆的切线”的尺规作图的过程.
已知：如图，⊙O及⊙O外一点 P.
求作：过点 P 的⊙O的切线 PD（D 为切点）.
作法：①连接 PO 与⊙O交于点 A，延长 PO 与⊙O交于点 B；
②以点 O 为圆心，AB 长为半径作弧；以点 P 为圆心，PO 长为半径作弧，在 PO 上方两弧交于点 C；
③连接 OC，PC，OC 与⊙O交于点 D；
④作直线 PD.
则直线 PD 即为所求作的⊙O的切线.
请你根据晓雨同学的作法，完成以下问题：
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）完成以下证明过程：
证明：由作图可知，OC=AB，PC=PO，
点 为线段 CO 中点，
∴PD OC ( )
又∵点 D 在⊙O上，
∴PD 是⊙O的切线( )
19．已知二次函数 y x2 bx c的图象经过 A(2,0),B(-1,0)两点，求这个二次函数的解析式.
20．已知关于 x 的一元二次方程 mx2+4x+4﹣m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若 m 为整数，当此方程有两个互不相等的负整数根时，求 m 的值；
21．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， Rt△ABO 的边 AB 垂直于 x 轴，垂足为点 B，反比例函
k
数 y 1 （x＞0）的图象经过 AO 的中点 C，且与 AB 相交于点 D， OB=4，AB=3． 1
x
k
（1）求反比例函数 y 1 （x＞0）的解析式； 1
x
（2）设经过 C，D 两点的一次函数解析式为 y2 k2x b，求出其解析式；
（3）根据图象直接写出在第一象限内，当 y2＞y1时，x 的取值范围是 ．
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22．2022 年冬奥会在北京举办．现有如图所示“2022·北京冬梦之约”的四枚邮票供小军选择，依次记为A ，
B ，C ，D，背面完全相同．将这四枚邮票背面朝上，洗匀放好.
(1)小军从中随机抽取一枚，恰好抽到是 C（雪容融）的概率是______．
(2)小军从中随机抽取一枚不放回，再从中随机抽取一枚．请用列表或画树状图的方法，求小军同学抽到
的两枚邮票恰好是 B （冰墩墩）和C （雪容融）的概率．
23．如图，把矩形 ABCD 对折，折痕为 MN，矩形 DMNC 与矩形 ABCD 相似，已知 AB＝4.
（1）求 AD 的长；
（2）求矩形 DMNC 与矩形 ABCD 的相似比．
24．如图⊙O的半径 OC 与弦 AB 互相垂直，垂足为 D，连接 AC，OB，
（1）求证：2 A B 90 ；
（2）延长 BO 交⊙O于点 E，过点 E 作⊙O的切线交 BA 的延长线于点 F. 若 AC//BE，
EF=4，求 B的度数及 AC 的长.
25．某公园有一个截面由抛物线和矩形构成的观景拱桥，如图 1 所示，示意图如图 2，且已知图 2 中矩形
的长 AD为 12 米，宽 AB 为 4 米，抛物线的最高处 E 距地面BC 为 8 米．
图 1 图 2 图 3
(1)请根据题意建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式；
(2)若观景拱桥下放置两根长为 7 米的对称安置的立柱，求这两根立柱之间的水平距离；
(3)现公园管理处打算在观景桥侧面搭建一个矩形“脚手架”PQMN（如图 3），对观景桥表面进行维
护，P，N 点在抛物线上，Q，M 点在BC 上，为了筹备材料，需求出“脚手架”三根支杆 PQ，PN，MN
的长度之和的最大值，请你帮管理处计算一下．
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27．在△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，D 是 AB 的中点．E 为直线 AC 上一动点，连接 DE，过点 D 作
DF⊥DE，交直线 BC 于点 F，连接 EF．
（1）如图 1，当 E 是线段 AC 的中点时，设 AE a, BF b，求 EF 的长（用含a,b的式子表示）；
（2）当点 E 在线段 CA 的延长线上时，依题意补全图 2，用等式表示线段 AE，EF，BF 之间的数量关
系，并证明．
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28.平面直角坐标系 xOy 中，对于点 A 和线段 MN，如果点 A，O，M，N 按逆时针方向排列构成菱形 AOMN，
且∠AOM= ，则称线段 MN 是点 A 的“ -相关线段”．例如，图 1中线段 MN 是点 A 的“30°-相关线
段”．
y y
5 5
4
N 4
3 3
M
2 2 A
A 1 1
30°
–4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 x –4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 5 x
–1 –1
–2 –2
–3 –3
–4 –4
图 1 图 2
（1）已知点 A 的坐标是(0,2)．
①在图 2中画出点 A 的“30°-相关线段”MN，并直接写出点 M 和点 N 的坐标；
②若点 A 的“ -相关线段”经过点 ( 3,1)，求 的值；
（2）若存在 ， ( ≠ )使得点 P 的“ -相关线段”和“ -相关线段”都经过点(0,4)，记 PO=t，
直接写出 t 的取值范围．
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参考答案
一． 选择题
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 D B A C A D C D
1
8.【详解】如图所示，可以找到 6 个恰好能使△ABC的面积为 的三角形，
2
6 3
则概率为： ，故选：D．
16 8
二．填空题
9.解： y x2 4x 5 x2 4x 4 1 (x 2)2 1，
1
10. m
3
30 2
11. 【详解】解： S 12 12 （平方厘米）， 扇形
360
5
12．答案不唯一，如： y ；
x
13．2 5 ；
14.答案为 0.88．
【点睛】本题主要考查的是利用频率估计概率，正确理解大量反复试验下频率稳定值即是概
率是解题的关键．
15.【答案】 6 x 2， x 3或 x= 1
【详解】解：∵抛物线经过点 5, 2.79 ， 1, 2.79 ，
5 1
∵抛物线的对称轴为直线 x 2，
2
∵点 2,0 关于直线 x 2的对称点是 6,0 ，
∵设二次函数的解析式为 y a x 2 x 6 ，
将 1, 2.79 代入得，a 1 2 1 6 2.79，
279
∵ a 0，
700
∵抛物线开口向上，
∵不等式ax2 bx c 0的解集是 6 x 2，
∵点 3,m 关于直线 y= 2的对称点是 1,m ，
∵方程ax2 bx c m的解是 x 3或 x= 1，
16.解：如图所示，连接 AB，AC ，以 AB为斜边作等腰直角三角形 AB O ，则 A O B 90 ，
∵ BC为直径的 O，A 为弧BC中点，
∵ BPA 45 ， ABC是等腰直角三角形，
∵ BC 6，
∵ AB 3 2 ,
∵O B O A 3，
又∵ AD AP，
∵ DAP 90 ，
∵ PDA 45 ， ADB 135 ，
∵点D在以点O 为圆心，A O 长为半径的 AB 上运动，
连接O C 交 AB 为点D，此时CD为最短，
O BA 45 , ABC 45 ，
O BC 90 ，
在 BCO 中，BO 3, BC 6，O C BO 2 BC2 3 5
∵CD O C O D 3 5 3．
故答案为：3 5 3
三．解答题
17. x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝2，………….1
（x﹣1）2＝2，………….2
x﹣1＝± ，…………...3
所以 x1＝1+ ，x2＝1﹣ ； ................5
18.
19.
20.解：(1)根据题意得∶
△＝42﹣4m（4﹣m）＝4m2﹣16m+16＝4（m﹣2）2≥0，………..1
△无论 m为任何实数，方程总有两个实根；……………..2
4 4(m 2)2
(2) 4 2(m 2)解∶△ x ，…………3
2m 2m
4 2(m 2) m 4 4 2(m 2)
△x1＝ ＝ ，x2＝ ＝﹣1．
2m m 2m
△方程有两个互不相等的负整数根，
m 4
△ ＜0．
m
m 0 m 0
△ 或 ，
m 4 0 m 4 0
△0＜m＜4．………………..4
m 4 4
△m为整数，且 x1 1 ，
m m
△m＝1 或 2．
1 4
当 m＝1 时，x1＝ ＝﹣3≠x2，符合题意；
1
2 4
当 m＝2 时，x1＝ ＝﹣1＝x2，不符合题意；
2
△m＝1．…………………………………5
3
21.（1）由题意可求点 C的坐标为 (2, ) . …………1 分
2
3
∴ 反比例函数的解析式为 y1 （x＞0）. …………2 分
x
3
（2）可求出点 D的坐标为（4， ）. …………3 分
4
3 9
∴ 可求直线 CD的解析式 y2 - x . …………4 分
8 4
（3）当 2＜x＜4 时， y2＞y1 . …………5 分
22．解：（1）由题意可知，共有四种等可能的情况，
1
∵P（抽到是 C） ．……………………………………………………………2
4
（2）根据题意画树状图，如图所示，
………………………………………..4
从上图可以看出，共有 12 种等可能的情况，其中小颖同学抽到的两枚邮票恰好是 B（冰墩
墩）和 C（雪容融）的情况有 2 种．
2 1
∵恰好是 B（冰墩墩）和 C（雪容融）的概率为：P ．……………………………………….1
12 6
x AD CD x 4
23. (1)若设 AD＝x(x＞0)，则 DM＝ .∵矩形 DMNC 与矩形 ABCD相似，∴ ＝ .∴ ＝ ，即
2 AB DM 4 x
2
x＝4 2(舍负)．∴AD的长为 4 2……………………………3
4 2
(2)矩形 DMNC与矩形 ABCD的相似比为： ＝ ………………………2
4 2 2
…………………………………2
………………………………………..4
…………………………6
25. （1）解：如图，以CB所在的直线为 x轴，点 E为顶点建立直角坐标系，
由题意得，E 0，8 ， A 6，4 ，
设抛物线的解析式为 y ax2 c ，
1
c 8 a
代入可得 ，解得 9 ，
36a c 4
c 8
1
∵ y x2 8；…………………………………………….…………2
9
1
（2
2
）依题意可得： x 8 7，
9
解得： x 3，
∵3 3 6（米），
答：这两根立柱之间的水平距离是 6 米；……………………………………….2
1 2 1
（3）设N
2
m， m 8 ，则PN 2m，MN PQ m 8，
9 9
1 2
∵三根支杆的总长度w PQ PN MN 2m 2 m
2 8 m
2 2m 16 ，
9 9
2
∵ a 0，
9
b
∵ m 4.5时，w的最大值为20.5，
2a
∵三根支杆PQ，PN，MN 的长度之和的最大值为 20.5 米．…………………………..2
…………………..2
………………………………………………………………………………………………………………………………6
27.解:（1）∵D 是 AB 的中点，E 是线段 AC 的中点
∵DE 为 ABC的中位线，且CE AE a
1
∵ DE//BC，DE BC
2
∵ C 90
∵ DEC 180 C 90
∵ DF DE
∵ EDF 90
∵四边形 DECF 为矩形 …………………………………………….1
∵ DE CF
1 1
CF BC (BF CF)
2 2
∵CF BF b
则在Rt CEF 中，EF CE2 CF 2 a2 b2 ；………………………………………..2
（2）补全图形…………………….3 分
写出结论………………………..4 分
过点 B 作 AC 的平行线交 ED 的延长线于点 G，连接 FG
∵ BG//AC
∵ EAD GBD， DEA DGB
∵D 是 AB 的中点
∵ AD BD
EAD GBD
在 EAD和△GBD中， DEA DGB
AD BD
∵ EAD GBD(AAS)
∵ ED GD， AE BG
又∵ DF DE
∵DF 是线段 EG 的垂直平分线
∵ EF FG
∵ C 90 ，BG//AC
∵ GBF C 90
在Rt BGF 中，由勾股定理得：FG2 BG2 BF 2
∵ EF 2 AE2 BF 2 ．…………………………………………………………..7
28.（1）① 如图，MN即为所求． …………………………….1
y
4
N
3
2 A
M
1
–4 –3 –2 –1 O 1 2 3 4 x
–1
–2
–3
–4
点M的坐标是（1， 3 ），点 N的坐标是（1， 3 2 ）．……………………..3
② 解：
∵ 点 A的“α-相关线段”MN经过点 ( 3,1)，
∴ 点M必在直线 x 3上．
记直线 x 3与 x轴交于点 H（ 3 ，0），
∵ OM=OA=2，OH 3 ，
∴ MH OM 2 OH 2 1， MOH 30 ．
分两种情况：
a) 当点M在 x轴上方时，点 M恰为 ( 3,1)，符合题意，
此时∠AOM=60°， 60 ；
b) 当点M在 x轴下方时，点 M为 ( 3, 1)，由MN=2 知点 N为 ( 3,1)，
也符合题意，此时∠AOM=120°， 120 ．
综上， 的值为 60°或 120°． ………………………………………5
（2） 2 2 t 4 ……………………………………………………………..……7
