2022-2023学年人教A版（2019）第三章函数概念与性质 单元测试卷（含解析）

人教A版（2019）第三章函数概念与性质 单元测试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1、已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是( )
A.的定义域为R B.的值域为
C.为偶函数 D.为减函数
2、设函数的定义域为R，对于任一给定的正数p，定义函数，则称为的“p界函数”.若函数，则下列结论：
①；
②的值域为；
③在上单调递减；
④函数为偶函数.
其中正确的结论共有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3、设函数的定义域为R，满足，且当时，.若对任意，都有，则m的取值范围是( )
A. B. C. D.
4、已知是定义域为的奇函数，满足.若，则( )
A.-50 B.0 C.2 D.50
5、已知函数的定义域为，且满足，则( )
A. B. C. D.
6、设为定义在R上的函数，函数是奇函数.对于下列四个结论：
①；
②；
③函数的图象关于原点对称；
④函数的图象关于点对称.
其中，正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7、已知定义域为R的函数是奇函数，且，若在区间上单调递减，则，，的大小关系是( )
A. B.
C. D.
8、已知是定义域为的奇函数，且满足.若2，则( )
A.2 B.0 C.-2 D.4
9、函数是( )
A.奇函数，且在R上单调递减 B.奇函数，且在R上单调递增
C.偶函数，且在R上单调递减 D.偶函数，且在R上单调递增
10、定义在上的函数满足，当时，都有，且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、填空题
11、已知幂函数的图象经过点,那么________.
12、某数学练习册，定价为40元.若一次性购买超过9本，则每本优惠5元，并且赠送10元代金券；若一次性购买超过19本，则每本优惠10元，并且赠送20元代金券.某班购买x(，)本，则总费用与x的函数关系式为___________(代金券相当于等价金额).
13、已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则_____________.
14、已知函数是幂函数，若，则实数k的最大值是______.
15、已知函数为幂函数，且，则当时，实数a等于__________.
16、设偶函数对任意，都有，且当时，，则的值是_________.
三、解答题
17、已知函数，且，.
（1）求的解析式；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明.
18、设函数与的定义域都是且，是偶函数，是奇函数，且.
（1）求与的解析式；
（2）求的值.
19、已知函数是偶函数.当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数在区间上单调，求实数a的取值范围；
（3）当时，记在区间上的最小值为，求的解析式.
20、定义在上的函数满足：对任意的，都有：.
（1）求证：函数是奇函数.
（2）若当时，，求证：在上是减函数.
（3）若，对所有，恒成立，求实数t的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：解：因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，定义域为，且，即为偶函数，因为，所以，所以，故A错误，B错误，C正确，又在上单调递减，根据偶函数的对称性可得在上单调递增，故D错误；
故选：C.
2、答案：B
解析：由，解得，因此.
对于①，，故①错；
对于②，当时，，结合的解析式可知，的值域为，故②正确；
对于③，当时，，结合图像性质可知，在上单调递减，故③正确；
对于④，，结合图像可知函数为偶函数，故④正确.
故选：B.
3、答案：B
解析：由题可知，当时，，则当时，，且当时，.当时，，则.当时，，则.
若，则当时，，且时，.
同理，若，则当时，，且时，.
函数的大致图象如图所示.
对任意恒成立，
当时，，由图可知.故选B.
4、答案：C
解析：是奇函数，且，
，
，
，
即函数是周期为4的周期函数，
，
，，
，，
函数是周期为4的周期函数
则.
故选：C.
5、答案：C
解析：因为①，所以②，得，即，所以.
6、答案：C
解析：令，
①因为为上的奇函数，所以，所以，故正确；
②因为为上的奇函数，所以，所以，即，故正确；因为的图象由的图象向左平移一个单位长度得到的，又的图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故③错误，④正确.所以正确的有①②④.
7、答案：B
解析：因为，
所以，
所以.
因为函数是奇函数，，
所以，
.
因为在区间上单调递减，，
所以，即.
8、答案：B
解析：因为是定义域为的奇函数，所以.
由，可得，
所以，.
因为，，，
所以，，，
所以
.
9、答案：B
解析：函数的定义域为R，关于原点对称，
又，
所以是奇函数.
又，是R上的增函数，
所以是R上的增函数.
10、答案：A
解析：令，得，即，令，，则，得，令，则.
因为函数的定义域为，且当时，都有，所以由得.所以即所以，即不等式的解集为.
11、答案：2
解析:为幂函数,可设,则,解得:,
,.
故答案为:2.
12、答案：，
解析：当时，，
当时，，
当时，，
综上，有，.
故答案为：，
13、答案：12
解析：是定义在R上的奇函数，
.
.
14、答案：6
解析：函数是幂函数，
，，，故函数为奇函数，且在R上单调递增.
若，则，，求得，
实数k的最大值为6，
故答案为：6.
15、答案：4
解析：函数为幂函数，设，，
，，.
当时，有，实数
16、答案：
解析：由，
得.
又是偶函数.
所以.
17、答案：（1）
（2）单调递增，证明见解析
解析：（1）由题意，得，即，
解得：，.故.
（2）方法一：在上单调递增.
证明：，且，则.
由，得，，，
所以，即.故在上单调递增.
方法二：在上单调递增.
证明：，且，则
.
由，得，，所以.故在上单调递增.
18、答案：（1），
（2）3
解析：（1）因为，①
所以.
因为是偶函数，是奇函数，
所以，②
所以①+②得，进而.
（2）因为，所以，
所以，
所以.
19、答案：（1）
（2）或
（3）
解析：（1）设，则，
可得.
又因为为偶函数，所以，
所以当时，，
所以
（2）作出函数的图象如图：
可得的增区间为，，减区间为，，
又函数在区间上具有单调性，
所以或，
即或，解得或，故实数a的取值范围是或.
（3）当时，，
此时；
当时，在区间上单调递增，
此时.
所以
20、答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）证明：令，，得，
即，设任意，则，
令得，
即，所以函数是奇函数.
（2）证明：设，则，
所以.
由知，，，
所以，即，所以.
又，即，
所以，即，，
所以在上是减函数.
（3）由（2）知，函数在上是减函数，
所以当时，函数的最大值为.
若对所有，恒成立，则等价于，即，对所有恒成立.
设，，
所以即
解得.